数学规划的KT条件
非线性规划
（１）根据相继两次迭代 的绝对误差 ； （２）根据相继两次迭代 的相对误差 ； （３）根据 目标 函数梯度 的模足够小 。 满足上述条件之一时 ，则认 为 目标 函数 厂（ｚ ＋ ）值收敛 于函数 ｆ（ｘ） 的最小 值。这 样就求得 近似 的最优化解 ： 一ｊ ，，（ ）一厂（ ），迭 代 过 程 可 以 结 束 。 ２．二 次 规 划 与 内 点 算 法 约束非 线性规划 问题 ，无 非是在无约 束非线性 规划 问题 的基础上 加上 了一些限制 条件。而二次 规划是这 类问题 巾最简单 的一类 ，它 是 指 目标 甬数是二 次函数 、约束 函数是线性 函数 的一类规划问题 ，具有 广 泛 的应用背 景 ，二次背 包问题 、投资 组合等 问题 都能化 为二 次规划 问 题 ；在统 计学 中一个 典型 的应 用就是线性 回归 问题 ；此外 ，二 次规划 也 是流行 的序列二 次规划问题 的基本方法 。在过去 的几十年 里 ，二次 规 划 已经成 为运筹学 、经济数学 、管理科学 、系统分 析和组合优 化学科 的 基本方 法。 因此 ，对二次规 划的研究 引起 了专业 人员和学 者们 的广泛 注意 。二次规划相关 的概念和理论在文献『１１中都有详细 的介绍 。文献 ［２］指 出一般的二次规划属于 ＮＰ问题 ，文献 ［３】给 出了不定二 次规划的 个改 进算 法 ，文献『４１给 出 了一类 ０—１二 次规划 最优 解 的一个新 方法 求解二 次规 划常用的算法有 ：Ｌａｇｒａｎｇｅ方 法 、Ｌｅｍｅｋ方法 、有效 集方法 以 及求 出所有解 的整数标号 法 ，但是 这些算法都 不是多项 式算法 。于是 二次规划是否存在 多项式算法便成 了计 算 机科 学家和数学家 十分 感兴 趣 的 问 题 。 ｌ９７９年 ，苏联数学 家哈奇扬给 出 厂一个求 解线性规 划的多项 式算 法 — — 椭 球 算 法 ；１９８４年 ，印 度 数 学 家 Ｋａｒｍａｒｋａｒ给 出 了线 性 规 划 的 一 个新 的多项式 算法——梯度投影算 法 ，大大改进 ｌ『哈奇扬 的结 果 ，其理 论上 的 多项式 收敛性及 实际 计算 的有效性 ，引起 了人 们极 大的兴趣 。 这些 多项式算 法的一个共 同特点 就是不再从 可行域 的顶 点开始 迭代 ， 而是 选取可行 域 内部一 个适 当的点 ，沿某个下 降方 向开始迭代 到达最 优解 。把具 有这种特点的算法统称 为内点算法。 内点算法 的理论 比较 成熟 ，但是应用 起来还是有 难度 的 ，其原因就 是初始 内点 难以找 到 ， 此对 内点算法 的研究 始终 停留在理论上。 受 Ｋａｒｍａｒｋａｒ算法 的影响 ，内点算法成 为近十多年来优化 界研 究 的 热点 ，二次 规划的 内点算 法紧接着 也被提 了出来 。内点算法是 目前二 次规划 的主流算法 。内点算法大致 可分为三种类型 ：梯度 投影 算法 、仿 射 尺度算 法 和路 径跟 踪算法 。仿射 尺度 算法用 简单 的仿射 变换 替代 Ｋａｒｍａｒｋａｒ原来 的投影变换 ，从 而使人们直接解 标准形式 的线 性规划 问 题 。仿 射尺度算法 的另一特 点是结构简单 ，易于实现 ，计算 效果好 。但 是 ，该算法 的收敛性证 明却 十分 困难 ，到 目前 为止 ，原 始一对偶仿 射尺 度算法 的多项式收敛性还不能证 明。文 献［９］给 出了求解二 次规划的一 个原 始一对偶 内点算法 ，这是 目前 理论上最好 且最完 善的求解二 次规 划 的多项式 算法 ，由于该算法对 初始点的要求很严格 ，这就 给数值试验 带来更 大的困难。文献［１ ｏ］基 于牛顿方向 ，给 出了求解 凸二 次规划问题 的改进原始一 对偶可行 内点算法 。若获得算 法的初 始可行 �
等式约束kkt条件
等式约束kkt条件【原创版】目录1.等式约束的定义与作用2.KKT 条件的含义与应用3.等式约束 KKT 条件的推导与实例4.结论与展望正文一、等式约束的定义与作用等式约束是优化问题中的一种约束条件，指在优化过程中，某些变量之间的关系需要满足某个等式。
等式约束在实际问题中有广泛应用，例如线性规划、非线性规划等。
通过引入等式约束，可以更好地描述实际问题，并提高求解问题的准确性。
二、KKT 条件的含义与应用KKT 条件（Karush-Kuhn-Tucker 条件）是优化理论中的一个重要条件，用于描述最优解的必要条件。
KKT 条件可以分为以下三类：1.一阶必要条件：目标函数梯度等于约束条件的梯度之和；2.二阶必要条件：目标函数海塞矩阵与约束条件海塞矩阵正定；3.等式约束 KKT 条件：等式约束的梯度等于 0。
KKT 条件在求解优化问题时具有重要作用，可以有效地判断最优解是否满足条件，并提高求解速度。
三、等式约束 KKT 条件的推导与实例假设有一个优化问题如下：```最大化：f(x) = x^2约束：x^2 - 4x + 4 = 0```为了求解该问题，我们需要先求解等式约束 KKT 条件。
根据 KKT 条件，我们有：1.目标函数梯度：df(x) = 2x2.约束条件梯度：dg(x) = 2x - 43.等式约束 KKT 条件：d(x^2 - 4x + 4)/dx = 0将上述梯度代入 KKT 条件，我们可以得到：2x = 2x - 4 + 0解得 x = 2，代入原问题，得到最优解为 f(2) = 4。
四、结论与展望等式约束 KKT 条件在求解优化问题中具有重要作用，可以帮助我们更好地描述实际问题，并提高求解速度。
在实际应用中，我们需要灵活运用等式约束 KKT 条件，以提高问题求解的准确性和效率。
数学规划的KT条件
淮北师范大学2011届学士学位论文数学规划的KT条件学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名杨传东学号20071101187指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日数学规划的KT条件杨传东(淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000)摘要数学规划理论包括线性规划理论和非线性规划理论两个主要分支，非线性规划问题的Kuhn-Tucker条件是数学规划论的一个重要结论，1951年P.Kuhn和A.W.Tucker提出了一般非线性规划问题的一阶必要条件，即Kuhn-Tucker条件，标志着非线性规划理论作为一个独立的数学分支被正式确立。
Kuhn-Tucker最优性条件是一个非线性规划问题能有最优化解法的一个必要和充分条件,同时也是解决存在不等式约束，尤其是非负约束条件下最优化的重要工具，因此对非线性规划中对Kuhn-Tucker最优化条件的深入研究，并研究其应用显得尤为必要。
其在数学和经济学中有着广泛的应用，本文首先分析了非线性规划问题的Kuhn-Tucker条件的数学基础，指出将数学结论直接引入经济学的不足．然后根据经济理论和数学模型的方法建立了一个新的非线性规划问题，并用数学分析和线性代数的有关理论证明了新问题的Kuhn-Tucker条件．同时还分别用Farkas 引理和非线性规划问题的Kuhn-Tucker定理证明了这个结果，并对这些证明做了比较分析．最终使得数学与经济学完美结合．关键词非线性规划，Kuhn-Tucker条件，最优性，经济学The KT Condition of the Mathematical ProgrammingYang Chuandong(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractKT optimality condition is well-known in nonlinear programming to gain the optimal solution. It is widely used in Mathematics and Economics. Firstly, this paper analyses the mathematical foundations of the Kuhn-Tucker condition of the nonlinear programming problems and points out the disadvantages of taking mathematic conclusions into Economics directly. Then according to economic theory and the method of the mathematical model, it establishes a new nonlinear programming problem and uses the knowledge of mathematical analysis and linear algebra to prove the Kuhn-Tucker condition of the new problem. At the same time, it uses the Farkas lemma and the Kuhn-Tucker theorem of the nonlinear programming problems to prove this conclusion and makes a comparing analysis with these proofs. At last, this paper gives an application of the new conclusion in nonlinear programming theory.Keywords nonlinear programming, Kuhn-Tucker condition，optimization, Economics目录引言 (1)一、预备知识 (1)1 一般的非线性规划问题 (1)2 凸集.凸函数与凸规划 (2)3 P的Kuhn-Tucker条件1 一般的非线性规划问题 (3)二、K UHN-T UCKER条件在经济学中的应用 (3)三、经济理论中的非线性规划问题 (4)四、E-P的K UHN-T UCKER条件 (6)1 术语与约定 (6)2 约束极值问题的Lagrange定理 (6)3 引理 (6)4 E-P的Kuhn-Tucker条件 (8)五、由F ARKAS引理证明E-P的K UHN-T UCKER条件 (9)1 Farkas引理 (9)2 引理 (10)六、E-P的K UHN-T UCKER条件的应用举例 (10)1，一般的线性规划问题及其Kuhn-Tucker条件 (10)2 LP的约束规范条件 (12)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (16)引言数学规划包括线性规划,非线性规划,二次规划，多目标规划等等。
非线性规划-KT条件
第三讲非线性规划§4约束极值问题(1)问题min(),{|()0,1,}jf XR X g X j l⎧⎨=≥=⎩<1>思路:有约束→无约束; 非线性→线性; 复杂→简;一、最优性条件1. 可行下降方向(有用约束,可行方向,下降方向) (1) 有用(效)约束设<1>式的(),()jf Xg X有一阶连续偏导设(0)X是一个可行解, 下一步考察时，要讨论约束.分析: 应有(0)(0)(0)()0()0()0j j j g X g X g X ⎧>⎪≥→⎨=⎪⎩ 若(0)()0j g X>,则在(0)()U X 内, 有()0j g X >, 此时各个方向均可选. 若(0)()0j g X =,则(0)X∈()0j g X =形成的边界, 影响下一步选向.1x 2x {()0}R X g X =≥()f X ()0j g X =(0)X故称()0j g X =是(0)X 点的有效约束.(2) 可行方向(对可行域来说)设(0)X为可行点, P 为某方向,若存在00λ>, 使得(0)0,[0,]X P R λλλ+∈∈ 则称P 是(0)X点的一个可行方向.(a) 可行方向P 与有效约束(0)()0j g X =的梯度(0)()j g X ∇关系是:(0)()0T j g X P ∇≥.记有效约束下标集(0){|()0,1}j J j g X j l ==≤≤ 若P 为(0)X的可行方向, 则存在00λ>, 使得当0[0,]λλ∈,有(0)(0)()()0,j j g X P g X j J λ+≥=∈从而(0)(0)0d ()()0,d j T j g X P g X P j J λλλ=+=∇≥∈见下图.(b)反之, 若(0)()0Tj g XP ∇>, 则P 必为可行方向.(0)(0)(0)()()()()T j j j g X P g X g X P o λλλ+=+∇+<1>对有效约束(0)()0j g X=,只要λ充分小,得(0)1()0g X =(0)2()0g X =(0)2()g X ∇(0)1()g X ∇P(0)X ∙(0)()0j g X P λ+≥, 所以P 是可行方向;<2>对无效约束(0)()0j g X >,同样只要λ充分小, 就有(0)()0j g X P λ+≥,故P 也是可行方向; 事实上, 对无效(0)()0j g X>,P ∀都是可行方向.(3) 下降方向(对目标函数来说) 设(0)XR ∈, 对某P 方向, 若在00[0,],0λλλ''∈>内, 有(0)(0)()()f X P f X λ+<则称P 是一个下降方向. 下降方向判定:若(0)()0T f X P ∇<,则P 是(0)X 的一个下降方向.因为(0)()()f X f X P λ=+(0)(0)()()()T f X f X P o λλ=+∇+,只要λ充分小, 都有(0)()()f X f X <.(4) 可行下降方向 若(0)XR ∈的某方向P 是可行方向+下降方向,则称P 是(0)X的可行下降方向.即 存在00λ>,当0[0,]λλ∈时,有(0)()0j g X P λ+≥且(0)(0)()()f X P f X λ+<,是继续寻优方向. 讨论: (0)X非极小值点⇔存在可行下降方向P ; (0)X极小值点⇔无可行下降方向P ;(可行但不下降,或下降不可行)定理(局部极(最)小必要条件)设X *是min (),{()0}i f X X g X ∈≥局部极小点,(),(),j f X g X j J ∈(有效约束下标集)在X *处可微, (),j g X j J∉在X *处连续, 则在X *处无可行下降方向P ,即不存在P , 使**()0,,()0,T j Tg X P j J f X P ⎧∇>∈⎨∇<⎩(**) 证 否则由(**)及前面的分析, 可找出可行下降点 →X *非局部极小值点→矛盾.如图 所示问题:min (),{|()0,1,}j f X R X g X j l ⎧⎨=≥=⎩<1>2. 库恩—塔克条件(局部最小的必要条件) 是非线性规划中最重要成果之一 (1) Gordan 引理(不加证明) 设12,,...,l A A A 是l 个n 维向量, 则1x 2x ()f X *∇()f X 1()g X *∇*P ∃/,使0,1,2,...,T j A P j l <=⇔ 0j μ∃≥,不全为零, 使10lj j j A μ==∑.(不指向同侧的向量, 正组合为零)(如l =3,n =2)若同侧, 则有P (图a), 否则无P (图b),但可正组为0.3A 1A 2A PH ()a 3A 1A 2A P H()b(2) Fritz John 定理设X *是<1>极小值点, ()f X 和()j g X 有一阶连续偏导数, 则存在不全为零的01,,...,l μμμ, 使⎧⎪⎨⎪⎩01()()0()0,1,2,...,0,1,2,...,lj j j j j j f X g X g X j l j lμμμμ**=*∇-∇===≥=∑证明 因X *是问题<1>的解, 故由定理4, 不存在 可行下降方向P, 使()0()0,TTj f X P g X P j J **⎧∇<⎪⎨-∇<∈⎪⎩由Gordan 引理,存在不全为零非负数0,,j j J μμ∈使0()()0j j j Jf Xg X μμ**∈∇-∇=∑对无效约束j J ∉, 令0j μ=, 则()0j j g X μ*∇=从而有(对所有l )01()()0lj j j f X g X μμ**=∇-∇=∑且有()0,0,1,2,.j j j g X j l μμ*=≥=, 证毕.注1: 类似于条件极值的必要条件.注2 若00μ=,则有效约束的()j g X *∇正线性相关→同侧→有可行下降方向→X *非极值点. 故一般设()j g X *∇线性无关→00μ>. 以上条件称为 Fritz John 条件, *X 称为Fritz John 点.(3) 必要条件 (库恩-塔克条件)设X *是<1>极小值点, ()f X 和()j g X 有一阶连续偏导,且有效约束梯度线性无关,则1,...,l μμ**∃, 使⎧⎪⎨⎪⎩1()()0()0,1,2,...,0,1,2,...,lj j j j j j f X g X g X j l j lμμμ***=***∇-∇===≥=∑<2> 证明 由Fritz John 引理, ()j g X *∇j J ∈线性无关得00μ>, 作00/0j μμμ*=>, 即得<2>. 式<2>=库恩-塔克条件. 相应点=库恩-塔克点. 简称K-T 条件, K-T 点. 对一般非线性规划min (),()0,1,()0,1,i j f X h X i m g X j l⎧⎪==⇒⎨⎪≥=⎩ min (),()0,()0,1,()0,1,i ij f X h X h X i m g X j l⎧≥⎪⎨-≥=⎪≥=⎩<3> 它的K-T 条件如下设X *是<3>极小值点, 相应函数有一阶连续偏导,且有效约束的()i h X *∇和(),j g X j J *∇∈线性无关,则12(,,...,)Tm Γγγγ****∃=和1(,...,)T l M μμ***=,使11()()()0()0,1,2,...,0,1,2,...,mlii j j i j j j j f X h X g X g X j lj lγμμμ*****==***∇-∇-∇===≥=∑∑<4>其中12,,...,m γγγ***,1,...,l μμ**称为广义Lagrange 乘子.注1 对凸规划, K-T 条件也是充分的.设kX 为某可行解, 若kX 是极小点, 且1()0k g X =, 和2()0k g X =, 则()()k f X ∇必与,1()k g X ∇和2()k g X ∇同侧, 否则有可行下降方向.由1()k g X ∇和2()k g X ∇线性无关1122()()()k k f X g X g X μμ*∇=∇+∇即1x 2x ()k f X -∇()f X 1()0k g X =2()0k g X =2()k g X ∇1()k g X ∇1122()()()0k k f X g X g X μμ*∇-∇-∇=例10 用库恩-塔克条件解非线性规划2max ()(4)16f x x x ⎧=-⎨≤≤⎩. 1()g X ∇()k X ()()k f X -∇86()1()0k g X =()2()0k g X =2()g X ∇R164解 变为 212min ()(4)()10()60f x x g x x g x x ⎧=--⎪=-≥⎨⎪=-≥⎩, 12()2(4),()1,()1f x x g x g x ∇=--∇=∇=-,引入广义拉格朗日乘子12,μμ**, 则有 所以1212122(4)0(1)0(6)0,0x x x μμμμμμ*********⎧---+=⎪-=⎪⎨-=⎪⎪≥⎩, 具体分析如下.若120,0,μμ**>>引出矛盾, 无解;若120,0μμ**>=:1x *=,点; ()9f x *=(1μ*=6) 若120,0μμ**==:4x *=,()0f x *=;若120,0μμ**=>:6x *=,()4f x *=(2μ*=4) 所以最大值点1x *=, 最大值()9f x *=. 注: 2()(4)f x x =--非凸函数, 在[1,6]上有两个局部最小值点.还有一个”驻点”164附加例题(略)用K-T 条件解非线性规划2min ()(3)05f x x x ⎧=-⎨≤≤⎩. 解 212min ()(3),()0,()50f x x g x x g x x ⎧=-⎪=≥⎨⎪=-≥⎩,(是凸规划) 12()2(3),()1,()1f x x g x g x ∇=-∇=∇=-,所以1212122(3)00(5)0,0x x x μμμμμμ*********⎧--+=⎪=⎪⎨-=⎪⎪≥⎩, 具体分析如下. 若120,0,μμ**≠≠引出矛盾, 无解;若120,0,μμ**≠=解得10,6x μ**==-,非K-T 点; 若120,0,μμ**=≠解得15,4x μ**==-,非K-T 点;若120,0,μμ**==解得3x *=,()0f x *=全局最小.习题4.1 已知非线性规划131212max ()(1)0,0f X x x x x x =⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩的极大点为(1,0), 试(1) 转化目标函数后, 写出其K-T 条件;(2) 求出K-T 点..4.2 试用K-T 条件求解问题2min ()(4)16f X x x =-≤≤.。
拉格朗日乘子法和KKT条件
拉格朗⽇乘⼦法和KKT条件0 前⾔上”最优化“课，⽼师讲到了⽆约束优化的拉格朗⽇乘⼦法和KKT条件。
这个在SVM的推导中有⽤到，所以查资料加深⼀下理解。
1 ⽆约束优化对于⽆约束优化问题中，如果⼀个函数f是凸函数，那么可以直接通过f(x)的梯度等于0来求得全局极⼩值点。
为了避免陷⼊局部最优，⼈们尽可能使⽤凸函数作为优化问题的⽬标函数。
凸集定义：欧式空间中，对于集合中的任意两点的连线，连线上任意⼀点都在集合中，我们就说这个集合是凸集。
凸函数定义：对于任意属于[0,1]的a和任意属于凸集的两点x, y，有f( ax + (1-a)y ) <= a * f(x) + (1-a) * f(y)，⼏何上的直观理解就是两点连线上某点的函数值，⼤于等于两点之间某点的函数值。
凸函数的任⼀局部极⼩点也是全局极⼩点半正定矩阵的定义：特征值⼤于等于0的实对称矩阵。
半正定矩阵的充要条件：⾏列式（n阶顺序主⼦式）等于0，⾏列式的i阶顺序主⼦式>=0，i从1到n-1凸函数的充要条件：如果f(x)在开凸集S上具有⼆阶连续偏导数，且f(x)的海塞矩阵（⼆阶偏导的矩阵）在S上处处半正定，则f(x)为S上的凸函数。
2 约束优化定义考虑带约束的优化问题，可以描述为如下形式其中f(x)是⽬标函数，g(x)为不等式约束，h(x)为等式约束。
若f(x)，h(x)，g(x)三个函数都是线性函数，则该优化问题称为线性规划。
若任意⼀个是⾮线性函数，则称为⾮线性规划。
若⽬标函数为⼆次函数，约束全为线性函数，称为⼆次规划。
若f(x)为凸函数，g(x)为凸函数，h(x)为线性函数，则该问题称为凸优化。
注意这⾥不等式约束g(x)<=0则要求g(x)为凸函数，若g(x)>=0则要求g(x)为凹函数。
凸优化的任⼀局部极值点也是全局极值点，局部最优也是全局最优。
3 等式约束考虑⼀个简单的问题⽬标函数f(x) = x1 + x2，等式约束 h(x) = x_1^2 + x_2^2 - 2 ，求解极⼩值点。
kkt条件——精选推荐
深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件在求取有约束条件的优化问题时，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件是非常重要的两个求取方法，对于等式约束的优化问题，可以应用拉格朗日乘子法去求取最优值；如果含有不等式约束，可以应用KKT条件去求取。
当然，这两个方法求得的结果只是必要条件，只有当是凸函数的情况下，才能保证是充分必要条件。
KKT条件是拉格朗日乘子法的泛化。
之前学习的时候，只知道直接应用两个方法，但是却不知道为什么拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件能够起作用，为什么要这样去求取最优值呢？本文将首先把什么是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件叙述一下；然后开始分别谈谈为什么要这样求最优值。
一. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件通常我们需要求解的最优化问题有如下几类：(i) 无约束优化问题，可以写为:min f(x);(ii) 有等式约束的优化问题，可以写为:min f(x),s.t. h_i(x) = 0; i =1, ..., n(iii) 有不等式约束的优化问题，可以写为：min f(x),s.t. g_i(x) <= 0; i =1, ..., nh_j(x) = 0; j =1, ..., m对于第(i)类的优化问题，常常使用的方法就是Fermat定理，即使用求取f(x)的导数，然后令其为零，可以求得候选最优值，再在这些候选值中验证；如果是凸函数，可以保证是最优解。
对于第(ii)类的优化问题，常常使用的方法就是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) ，即把等式约束h_i(x)用一个系数与f(x)写为一个式子，称为拉格朗日函数，而系数称为拉格朗日乘子。
通过拉格朗日函数对各个变量求导，令其为零，可以求得候选值集合，然后验证求得最优值。
KKT条件理解
KKT条件理解在学习过程中，⼀直纠结于KKT条件到底是怎么来的，然后翻阅资料，发现这个博主写的很好，就给引⽤过来了。
⼀、带等式约束的优化问题带等式约束的优化问题是指我们有个求最⼤值或者最⼩值的⽬标函数，同时，针对该⽬标函数我们还有⼀些约束条件，这些约束条件是等式。
该问题的形式化描述如下：求解上述问题⼀般有两种⽅法，⼀种是消元法，就是把这些等式联⽴，然后求解即可。
也就是多元⼀次⽅程组的求解了。
之类不多说了。
另⼀种⽅法是拉格朗⽇乘数法，这是⾼等数学⾥⾯提供的⼀种⽅法。
这是⼀种寻找多元函数在其变量受到⼀个或者多个条件的约束的时候，求极值的⽅法。
该⽅法将⼀个有nn个变量和kk个等式约束条件的最优化问题，转换成⼀个有n+kn+k个变量的⽅程组求解问题。
该⽅法会引⼊⼀组未知数，这些未知数称为拉格朗⽇乘⼦（或者算⼦、乘数等）。
对上式进⾏拉格朗⽇乘数法转换得到⼀个新的函数：这个时候对上述转换后的⽅程求解其极值点会包含原问题所有的极值点，但是不保证每个极值点都是原问题的极值点。
这个理论上有证明这⾥忽略了。
因此，当转换后的公式只包含⼀个极值点的时候，我们可以对上市求偏导后联⽴⽅程，得到的结果就是原来结果的极值点。
上式中的未知数包含了所有的xx和\lambdaλ：拉格朗⽇乘数法有很强的⼏何意义，也可以⽤来解释为何这样做可以求出最终结果。
⼆、带不等式约束的最优化问题与拉格朗⽇乘法类似，如果最优化问题的约束是不等式，那么我们可以使⽤KKT条件来求解。
KKT条件就是拉格朗⽇乘数法在带不等式约束优化问题上的推⼴。
假设我们有如下的最优化问题：那么该问题的拉格朗⽇函数为：KKT条件是指⼀组条件，它是⼀组解成为原问题最优解的必要条件。
如果原问题是凸问题，那么这个条件也是充分条件。
K.K.T.条件包括平稳条件、互补松弛条件、对偶可⾏性条件、原问题可⾏性条件等⼏类。
上述问题的KKT条件如下：原⽂转⾃：。
约束优化的kkt条件
约束优化的KKT条件引言在数学和工程领域，优化问题是一类经典的问题，其目标是找到使得目标函数取得最小（或最大）值的变量取值。
在实际问题中，我们通常会面临各种各样的约束条件，这些约束条件限制了变量的取值范围。
约束优化问题是在满足一定约束条件下，求解最优解的问题。
KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件是约束优化问题的一种重要的解析工具，它提供了一种判断最优解的方法。
本文将详细介绍约束优化的KKT条件，包括KKT条件的定义、理论基础、推导过程以及实际应用。
KKT条件的定义KKT条件是一组必要条件，用于判断约束优化问题的最优解。
对于一个约束优化问题，假设目标函数为f(x)，约束条件为g_i(x)≤0，其中x为变量向量。
则KKT条件的定义如下：1.非负性条件：g_i(x)≤0，对所有的i=1,2,…,m。
2.可行性条件：g_i(x)的约束必须满足。
3.梯度条件：存在拉格朗日乘子向量λ，使得目标函数f(x)加上所有约束条件的乘积的梯度为0，即∇f(x)+∑λ_i∇g_i(x)=0。
4.互补松弛条件：对所有的i=1,2,…,m，有λ_i*g_i(x)=0。
KKT条件包含了非负性条件、可行性条件、梯度条件和互补松弛条件四个方面，这些条件综合起来，可以判断一个解是否满足约束优化问题的最优解。
KKT条件的理论基础KKT条件的理论基础可以从拉格朗日乘子法来理解。
拉格朗日乘子法是一种常用的求解有约束优化问题的方法，它通过引入拉格朗日乘子，将约束优化问题转化为无约束优化问题。
对于一个约束优化问题，假设目标函数为f(x)，约束条件为g_i(x)≤0，其中x为变量向量。
我们可以构建一个拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+∑λ_ig_i(x)，其中λ为拉格朗日乘子向量。
通过求解拉格朗日函数的极小值，可以得到一组变量向量x和拉格朗日乘子向量λ。
根据极值的必要条件，可以推导出KKT条件。
KKT条件的推导过程KKT条件的推导过程可以通过求解拉格朗日函数的极小值来实现。
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淮北师范大学2011届学士学位论文数学规划的KT条件学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名杨传东学号20071101187指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日数学规划的KT条件杨传东(淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000)摘要数学规划理论包括线性规划理论和非线性规划理论两个主要分支，非线性规划问题的Kuhn-Tucker条件是数学规划论的一个重要结论，1951年P.Kuhn和A.W.Tucker提出了一般非线性规划问题的一阶必要条件，即Kuhn-Tucker条件，标志着非线性规划理论作为一个独立的数学分支被正式确立。
Kuhn-Tucker最优性条件是一个非线性规划问题能有最优化解法的一个必要和充分条件,同时也是解决存在不等式约束，尤其是非负约束条件下最优化的重要工具，因此对非线性规划中对Kuhn-Tucker最优化条件的深入研究，并研究其应用显得尤为必要。
其在数学和经济学中有着广泛的应用，本文首先分析了非线性规划问题的Kuhn-Tucker条件的数学基础，指出将数学结论直接引入经济学的不足．然后根据经济理论和数学模型的方法建立了一个新的非线性规划问题，并用数学分析和线性代数的有关理论证明了新问题的Kuhn-Tucker条件．同时还分别用Farkas 引理和非线性规划问题的Kuhn-Tucker定理证明了这个结果，并对这些证明做了比较分析．最终使得数学与经济学完美结合．关键词非线性规划，Kuhn-Tucker条件，最优性，经济学The KT Condition of the Mathematical ProgrammingYang Chuandong(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractKT optimality condition is well-known in nonlinear programming to gain the optimal solution. It is widely used in Mathematics and Economics. Firstly, this paper analyses the mathematical foundations of the Kuhn-Tucker condition of the nonlinear programming problems and points out the disadvantages of taking mathematic conclusions into Economics directly. Then according to economic theory and the method of the mathematical model, it establishes a new nonlinear programming problem and uses the knowledge of mathematical analysis and linear algebra to prove the Kuhn-Tucker condition of the new problem. At the same time, it uses the Farkas lemma and the Kuhn-Tucker theorem of the nonlinear programming problems to prove this conclusion and makes a comparing analysis with these proofs. At last, this paper gives an application of the new conclusion in nonlinear programming theory.Keywords nonlinear programming, Kuhn-Tucker condition，optimization, Economics目录引言 (1)一、预备知识 (1)1 一般的非线性规划问题 (1)2 凸集.凸函数与凸规划 (2)3 P的Kuhn-Tucker条件1 一般的非线性规划问题 (3)二、K UHN-T UCKER条件在经济学中的应用 (3)三、经济理论中的非线性规划问题 (4)四、E-P的K UHN-T UCKER条件 (6)1 术语与约定 (6)2 约束极值问题的Lagrange定理 (6)3 引理 (6)4 E-P的Kuhn-Tucker条件 (8)五、由F ARKAS引理证明E-P的K UHN-T UCKER条件 (9)1 Farkas引理 (9)2 引理 (10)六、E-P的K UHN-T UCKER条件的应用举例 (10)1，一般的线性规划问题及其Kuhn-Tucker条件 (10)2 LP的约束规范条件 (12)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (16)引言数学规划包括线性规划,非线性规划,二次规划，多目标规划等等。
广泛应用于各领域，特别是金融领域.线性规划论的两个基本问题已于1947年由G.B.Dantzig 圆满地解决．1951年P.Kuhn 和A.W.Tucker 提出了一般的非线性规划问题的最优解的一阶必要条件，即Kuhn-Tucker 条件，很好地解决了非线性规划论的第一个基本问题，但是由于非线性问题的复杂性，至今为止，Kuhn-Tucker 条件仍是非线性规划论的唯一重要的分析结果，同时，非线性规划论的第二个基本问题也没有一个很好的答案，即尚未找到对一般的非线性规划问题成立的算法[1]．数学规划论不但直接用于解决经济学中的实际问题，同时还与经济理论结合，构成了数理经济学(抽象经济学)的一个重要组成部分，因此数学规划论也是经济学的一个重要分支．本文讨论的范围是Kuhn-Tucker 条件的数学理论，目的是要寻找一个适合经济学的Kuhn-Tucker 条件并简化其数学理论，从而对数学规划论在经济学中的应用作一个改进．本文首先将对一般的非线性规划问题的Kuhn-Tucker 条件及其数学基础作一个简要的说明，并对该结论在经济学中的应用情况作分析．然后根据经济理论和数学模型的理论与方法建立一个具有一般性的经济最优化模型，并运用较为简单的数学理论证明新模型的Kuhn-Tucker 条件，同时还从不同的角度来推导这个结论．最后给出新结论在数学上的应用实例．为了方便讨论，本文把与经济学有关的内容和与数学有关的内容相对地集中起来，同时在数学理论较深的小节的开头,本文都对该节使用的符号作说明或是约定．如果没有特别声明，符号的约定对后文同样适用.一、预备知识本节对一般的非线性规划问题的Kuhn-Tucker 条件作一个简要说明[2]．1 一般的非线性规划问题在前面我们学习过线性规划的相关知识，线性规划是研究在线性约束条件下的求解线性目标函数的最小（或最大）的问题，即.,,1,0)( ;,,2,1,0)( s.t. )(min P m h i c h i c f i i +=≥==x x x其中n R x ∈，f ：R R →n 和i c ：R R →n 连续可微且都是线性函数．所谓非线性规划问题是指目标函数)(x f 和约束函数 ()i x c ；中至少有一个是非线性函数. 称f 是目标函数；x 是决策变量；h i c i ,,2,1;0)( ==x 和()0i c ≥x ；1,,i h m =+是约束条件．记},,2,1|{h i i H ==，},,1|{m h i i I +==，}0)(|{)(≤∈=x x i c I i I 和},0)(;,0)(|{I i c H i c X i i n ∈≥∈=∈=x x R x ，并称X 是约束域．对δ>0，定义}|||| |{),(**δδ≤-∈=x x R x x n B ．称n R x ∈*是P 的局部最优解(或局部极小值点)，如果对任意的),(*δx x B ∈都有)()(*x x f f ≤．约定，本文所使用的向量均为列向量，)(x f ∇表示)(x f 的一阶导数，即梯度．本文需要对两个矩阵或是向量比较大小，比较的规则和使用的符号定义如下：设()n m ij x ⨯=x ，()n m ij y ⨯=y ∈n m ⨯R ，定义(1) y x <当且仅当ij ij y x <，对所有的j i ,；(2) y x =当且仅当ij ij y x =，对所有的j i ,；(3) y x <等价于x y >；(4) y x ≤当且仅当y x >不成立；(5) y x ≠当且仅当ij ij y x ≠，存在j i ,．2 凸集·凸函数与凸规划定义1 设S 是n 维向量空间的点集，如果对于任意的1x ∈ S ，2x ∈S 以及数α∈[]0,1，都有x =α1x +（1-α）2x ∈S ，则称集合S 为凸集.定理1 线性规划问题（LP ）的可行解集R ={x | Ax=b ，x ≥0}为凸集.（证明参见魏权龄，胡显佑．运筹学通论）定义2 若对任意x ∈n E ，y ∈n E ，以及λ∈[]0,1都有()(1)x y ƒλ+-λ()()(1)f x f y ≤λ+-λ则称()f x 为凸函数.若对任意 x ∈n E ，y ∈n E ，x ≠y 以及λ∈()0,1都有()(1)x y ƒλ+-λ()()(1)f x f y <λ+-λ则称()f x 为严格凸函数.反之为凹函数及严格凹函数. 定理2 函数()f x 为凸函数的充分必要条件是：对任意x ∈n E ，y ∈n E ，单变量函数()h λ=()()()()1f x y f y x y λ+-λ=+λ-在[]0,1λ∈上为凸函数.定理3 设()f x 为具有一阶连续偏微商的函数，则()f x 为凸函数的充分必要条件为：()f x ()()()x f y f y x y ≥+-.注：定理1﹑2﹑3的证明参见魏权龄，胡显佑．运筹学通论）性质1 若()()()()121211220f x f x f x f x α≥0α≥α+α和为凸函数，数，，则也为凸函数.性质2 若()t ϕ为单调下降的凸函数,()f x 为凹函数，则复合函数. 定义3 设x ∈R,若对于任意x ∈R 均有()f x ()f x ≥则称x 为规划问题（P ）的最优解.记（P ）的最优解集合为*R .定义4 若目标函数()f x 为凸函数，约束函数()i g x 为凹函数，i=1,2，，，m ，则称规划问题（P ）为凸规划.定理4 设（P ）为凸规划则有：()()()()**1.2.3R f x ≠φ约束集合为凸集最优解集合R 为凸集若为严格凸函数，并且最优解集合R ，则（P ）的最优解必唯一.3 P 的Kuhn-Tucker 条件对于一般形式的非线性规划问题 (P) ()min,n f x x E ∈(),1,2,,,i g x i m ≥0= 令 ()()()1,m i i i x u f x u g x ==-ϕ∑，此时 Kuhn-Tucker 条件为()()()110mx i ix i x u g x f =-=∑（KT ）()()20,,1,2,,,i i g x u i m ≥≥0=()()30,1,2,,,i i u g x i m ==有关定理表明：若X ∈*x 是P 的局部最优解且满足下面两个条件之一，则X ∈*x 满足Kuhn-Tucker 条件．这些条件是：条件1 ()()**,,i x i x g ∈H ⋃I 都是线性函数.条件2 ()()*,,.i x i x g ∈H ⋃I ∇线性无关称条件1和2为P 的约束规范条件．二、Kuhn-Tucker 条件在经济学中的应用数学被誉为科学的皇冠，对人类改善世界，发明创造，自然科学的发展都做出了重大贡献。