冲量 动量与角动量
第 04 章 动量和角动量
H
N
(M+m)g
冲击过程后，m、M、地球系统机械能守恒：
解得：
[例4-4] 炮车的质量为M，炮弹的质量为m。若炮车与地面 有摩擦，摩擦系数为μ , 炮弹相对炮身的速度为u， 求炮身 相对地面的反冲速度 v 。
解： 选取炮车和炮弹组成系统 内、外力分析。
水平的动量守恒吗 ？ 运用质点系的动量定理：
v0 (t1 t2 ) l
l l v0 t1 t2 t1
得：
mM g g l v0 l 3M m 2h 2h
[例4-9] 光滑桌面上， 质量为m1的小球以速度u 碰在质量 为m2的静止小球上，u 与两球的连心线成θ 角(称为斜碰)。 设两球表面光滑， 它们相互撞击力的方向沿着两球的连 心线， 已知恢复系数为e ，求碰撞后两球的速度。 x 解： 设碰后两球速度分别为v 、v ，
人在最高点向后抛出物体的过 程中，应用动量守恒定律： O
α
x R R+ΔR
抛出物体后人的速度：
比不抛出物体时速度增加了：
抛出物体后多跳过的距离：
[解法二] 质心坐标系中应用动量守恒定律。 y m M
α O
x
R R+ΔR
在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人 比不抛出物体时多跳过的距离:
二、箭体运动方程
对箭体和喷气组成的系统(设受外力F)： v+dv t+dt
z o
u
t
v
时，加速上升。
箭体运动方程可适用于所有有质量流动物 体的动力学问题。
三、火箭的速度公式
只计重力： 设 t=0 时，v=v0 ，m1=m10 ，任一时刻 t 时为 v 和 m1。
第3章_动量与角动量
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
动量与角动量1PPT
设有两个质点的系统 质点系
（内力internal force 、外力external force ）
对每个质点应用动量定理，有
m1 : f , F1
m2 : f ', F2
F1 F2
f
dp1
f'
dt dp2
dt
F1
f
F2
f '
dp1 dt
dp2 dt
s2 F2
F1
m1
)
0
(3)
I y
Fydt
mv02
R
0
sin
d
mv0
(
cos
)
0
(4)
经过3/4圆周,即 3 时，
B
2
I x mv0 I y mv0
C
即 I mv0i mv0 j
经过整个圆周,即 2 时，
D
Ix 0
Iy 0
即
2024年7月16日
I mv 0
mv0 mv0
A
16 16
§3.2 质点系的动量定理
其中 vx vxm地 vxmM (VM地 )
代入（1）式，得
m(vx V ) MV
mvx (m M )V (1)
V
(m
m M
)
v
x
24
2024年7月16日
24
V
(m
m M)
vx
dX m ds (m M )
dX m ds dt (m M ) dt
X
m
R
0 dX (m M ) 0 ds
MV 2
m M
1 2
mv02
取M=100kg,m=5kg,h=4m估算,可得 Ek 10 J
机械系统动力学知识点总结
机械系统动力学知识点总结机械系统动力学是研究对象在外力作用下的运动规律和相互作用关系，是机械领域的基础知识之一。
了解机械系统动力学不仅可以帮助我们理解机械系统的工作原理，还能指导我们设计和优化机械系统，提高机械系统的性能。
本文将就机械系统动力学的相关知识进行总结，包括运动描述、牛顿定律、动量与冲量、角动量、能量和动力学方程等内容。
一、运动描述机械系统动力学研究的对象是物体在外力作用下的运动规律，因此对于机械系统中的物体运动进行描述是非常重要的。
在机械系统动力学中，常用的运动描述方法包括位移、速度和加速度。
位移描述了物体的位置变化，速度描述了物体的位置变化速率，而加速度描述了物体的速度变化速率。
1. 位移在机械系统动力学中，位移是描述物体位置变化的重要参数。
位移通常用矢量来表示，其方向表示位移的方向，大小表示位移的大小。
位移可以分为线性位移和角位移两种，线性位移是描述物体沿直线方向的位置变化，而角位移是描述物体绕固定轴旋转的位置变化。
2. 速度速度是描述物体位置变化速率的参数，通常用矢量来表示。
线性速度描述物体在直线方向上的位置变化速率，角速度描述物体绕固定轴旋转的位置变化速率。
线性速度的大小表示速度的大小，方向表示速度的方向，而角速度的大小表示角速度的大小，方向表示角速度的方向。
3. 加速度加速度是描述速度变化速率的参数，通常用矢量来表示。
线性加速度描述物体在直线方向上的速度变化速率，角加速度描述物体绕固定轴旋转的速度变化速率。
线性加速度的大小表示加速度的大小，方向表示加速度的方向，而角加速度的大小表示角加速度的大小，方向表示角加速度的方向。
以上就是机械系统动力学中常用的运动描述方法，通过对位移、速度和加速度进行描述，可以帮助我们理解物体在外力作用下的运动规律。
二、牛顿定律牛顿定律是机械系统动力学的基础法则，它描述了物体在外力作用下的运动规律。
牛顿定律一共包括三条，分别是惯性定律、动量定律和作用-反作用定律。
第3章 动量与角动量12
动量和力是矢量，使用动量定理可沿坐标轴分解用分量计算。
t1
质点所受合外力的冲 量在某一方向上的分量等 于质点动量在该方向上分 量的增量。
四、质点的动量定理的应用
例 1:质量为 m 的物体,原来向北运动,速率为vo,它突然受到外力的打击, 变为向东运动，速率为 3vo。求打击过程外力的冲量大小和方向。
第3章 动量与角动量
（momentum and angular momentum）
§3.1 冲量与动量定律
一、冲量 I : 描述力的时间累积作用的物理量。
1.定义:
t2 I Fdt
t1
单位:N•∙s
分量式：
注意：冲量是过程矢量，称为一段时 间 的冲量。其方向和大小取决于力的 大小和方向及其作用时间。
Fn
t n
t0
n n ( Fi ) d t mi vi mi vi 0
i 1
i 1
i 1
P
系统所合外力的冲量等于该系统动量的增量 -------质点系动量定理。
§3.2 动量守恒定律
一、质点动量守恒定律:
t2
t1
Fdt P
当
F 0时
y
0
m
0
M x
V
问题延伸： 1.沙箱刚摆动时悬线受到 的拉力有多大？ 2.子弹射入沙箱过程中受 到的冲量有多大？
m 解得： V v0 mM
运用动量守恒定理解题步骤：
1. 选系统，确定研究对象，建立坐标系；
2. 找出研究过程，分析系统受力；
3. 合外力为零时，可用动量守恒定理列方程求解。（一般 在给定坐标系下用分量形式列方程。） 4.若合外力不为零，但某个方向上合外力为零，可运用该 方向上动量守恒列方程求解。 注意 列方程时各物理量均用字母表示，不要代数值， 所有表示未知量的字母前都取“正号”，当最终 解得结果大于0时，说明它的方向与选定的坐标轴 正方向相同，否则相反。
动量角动量
v 2） 守恒条件是 ∑ f 外 = 0 ） 即 系统所受外力的矢量 和在整个过程中始终为零。 和在整个过程中始终为零。当外力矢量和远远小于系统的 内力时，守恒条件近似成立。 内力时，守恒条件近似成立。 3）动量守恒是矢量守恒，具体运用时用分量式 ）动量守恒是矢量守恒，
n ∑ mi vix = 恒量 i =1 n ∑ mi viy = 恒量 i =1 n ∑ mi viz = 恒量 i =1
§3.6 质点的角动量 3.6
1、角动量定义
用叉积定义 角动量 相对于某一 固定点而言
r r r L=r×p
v L
o
v m α r
矢量 角动量大小
L = mvr sin α
角动量方向
2、角动量定理
v v dp =F dt
v v v dL d (r × p ) = =? dt dt
* 微分公式
r r r dB dA r d r r ( A × B) = A × + ×B dt dt dt
tanα =
Fy
= 0.1148
α = 6.54o
3.2动量守恒定律 动量守恒定律
一、质点系的动量定理
质点系(物体系):由具有相互作用 质点系(物体系):由具有相互作用 ): 的若干个质点组成的系统. 的若干个质点组成的系统. 内力:系统内各质点间的相互作用力. 内力:系统内各质点间的相互作用力.如
v v f12 + f 21 = 0
，故
质点系
v f2
v v f f 12 21 m2
t1
v f1
m1
因为内力
∫
t2
t1
v v v v v v ( f1 + f 2 )dt = (m1v1 + m2 v2 ) − (m1v10 + m2 v20 )
3-3动量角动量
t1
3. 冲力
当两个物体碰撞时，它们相互作用的时间很短， 相互作用的力很大，而且变化非常迅速，这种力 称为冲力。
平均冲力
得
F
1 t t0
t
t0
Fdt
F
F t
t
I F t t mv mv x x 0 x x0 分量式 I y Fy t t0 mv y mv y 0
解：设在某极短时间t 内落到传送带B上的矿砂的质 量为m，即
m qm t
此矿砂动量的增量为
v2
150
30 0
v1
A
mv mv2 mv1
B
由图可知 2 mv m v12 v2 2v1v2 cos 75 0 3.98 qm t
I z Fz t t0 mv z mv z 0
t0
Fdt F t t0 p p0
F
o
t0
t
t
§3-7 系统的动量定理 动量守恒定理
一、系统的动量定理
n n n n F外i F内i dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1 i 1 i 1
Fi 0
则有
mi vi 恒矢量
i 1
n
当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变
当外力远小于内力，且可以忽略不计时（如碰撞、 爆炸等），可近似应用动量守恒定律
§3-7 系统的动量定理 动量守恒定理
合外力某方向分量为零，则此方向的总动量的分量守恒 直角坐标系中的分量式：
当
F外2
t2
t1
动量和角动量
解：
（1）求动量
v vx i v y j v0i gtj
v 2 20i 19.6 j p 2 mv 2 16i 15.7 j v 5 20i 49 j p 5 mv 5 16i 39.2 j
赛车城车道边的轮胎
鸟撞事故
3、处理变质量物体的运动。 火箭飞行原理
鸟撞事故分析
飞机速度300ms-1 鸟速度10ms-1
碰撞时间0.01s
质量100g
1
p mv2 mv1 0.1 (310) 31
P F 3100 N t
v'b 310ms
F ' 3100 N
例：用棒打击水平方向飞来的小球， 小球的质量为0.3kg，速度为20ms-1。 小球受棒击后，竖直向上运动10m， 即达到最高点。若棒与球的接触时间 是0.02s，求棒受到的平均冲力。
思路：
以球为研究对象。由动量定理I= p，计算 p，就得到冲量I，从而可求得球所受的 平均冲力。应用牛顿第三定律，即可求出 棒所受的平均冲力。
第2秒末
第5秒末
（2）求冲量
I p 5 P 2 mv 5 mv 2 23.5 j I F t mg t 0.8 9.8 j 3 23.5 j
动 量 定 理 冲 量 定 义
三 动量定理应用举例
• 例：一质量为1010-3kg的小球，从 h1=0.256m的高度由静止下落到水平桌 面上，反跳后的最大高度为h2=0.196m。 问小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量 是多少？如果小球与桌面的接触时间为 (1)=0.01s,(2)=0.002s，试求小球对桌 面的平均冲力。
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冲量 动量与角动量
3-1-1. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上
运动．第一次实验，B 静止，A 以0.5 m/s 的速率
向右与B 碰撞，其结果A 以 0.1 m/s 的速率弹回，
B 以0.3 m/s 的速率向右运动；第二次实验，B 仍静止，A 装上1 kg 的物体后仍以 0.5 m/s 的速率与B 碰撞，结果A 静止，B 以0.5 m/s 的速率向
右运动，如图．则A 和B 的质量分别为
(A) m A =2 kg , m B =1 kg
(B) m A =1 kg , m B =2 kg
(C) m A =3 kg , m B =4 kg
(D) m A =4 kg, m B =3 kg ［ ］
3-1-2. 质量为20 g 的子弹沿X 轴正向以 500 m/s 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿X 轴正向以50 m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为
(A) 9 N·s . (B) -9 N·s ．
(C)10 N·s ． (D) -10 N·s ． ［ ］ 3-1-3. 质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v 和B v (v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则
(A) A 的动量增量的绝对值比B 的小．
(B) A 的动量增量的绝对值比B 的大．
(C) A 、B 的动量增量相等．
(D) A 、B 的速度增量相等． ［ ］ 3-1-4. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）
(A) 总动量守恒．
(B) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒．
(C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒．
(D) 总动量在任何方向的分量均不守恒． 3-1-5. 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． ［ ］ 3-1-6. 一质量为M 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，
如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运
动．
(C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动．
［ ］
3-1-7. A 、B 两木块质量分别为m A 和m B ，且m B ＝2m A ，
两者用一轻弹簧连接后静止于光滑水平桌面上，如图所示．若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤
去，则此后两木块运动动能之比E KA /E KB 为
(A) 2
1． (B) 2/2． (C) 2． (D) 2． ［ ］
3-1-8. 用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的
细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为
50 N ，则
(A)下面的线先断． (B)上面的线先断．
(C)两根线一起断． (D)两根线都不断． ［ ］
3-1-9. 质量为m 的小球，沿水平方向以速率v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，
设指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量增量为
(A) m v ． (B) 0．
(C) 2m v ． (D) –2m v ． ［ ］
3-1-10. 机枪每分钟可射出质量为20 g 的子弹900颗，子弹射出的速率为
800 m/s ，则射击时的平均反冲力大小为
(A) 0.267 N ． (B) 16 N ．
(C)240 N ． (D) 14400 N ． ［ ］
3-1-11. 一炮弹由于特殊原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一
块作自由下落，则另一块着地点（飞行过程中阻力不计）
(A) 比原来更远． (B) 比原来更近．
(C) 仍和原来一样远． (D) 条件不足，不能判定． ［ ］
3-1-12. 如图所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为
v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受
重力冲量的大小为
(A) 2m v ． (B)
22)/()2(v v R mg m π
+ (C) v /Rmg π
． (D) 0．
［ ］
3-1-13. 如图所示．一斜面固定在卡车上，一物块置于该斜面上．在卡车沿水平方向加速起动的过程
中，物块在斜面上无相对滑动. 此时斜面上摩擦力对物块的冲量的方向
(A) 是水平向前的．
(B) 只可能沿斜面向上． (C) 只可能沿斜面向下．(D) 沿斜面向上或向下均有可能． ［ ］
3-1-14. 动能为E K 的A 物体与静止的B 物体碰撞，设A 物体的质量为B 物
体的二倍，m A ＝2 m B 碰撞为完全非弹性的，则碰撞后两物体总动能为
(A) E K (B) K E 3
2． (C) K E 21． (D)K E 3
1． ［ ］ 3-1-15. 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，
则卫星的
(A)动量不守恒，动能守恒．
(B)动量守恒，动能不守恒．
(C)对地心的角动量守恒，动能不守恒．
(D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． ［ ］
3-1-16. 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分
别为A 和B ．用L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应
有
(A) L A >L B ，E KA >E kB ． (B) L A =L B ，E KA <E KB ．
(C) L A =L B ，E KA >E KB ． (D) L A <L B ，E KA <E KB ． ［ ］
3-1-17. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的
绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子
的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是
(A)甲先到达． (B)乙先到达．
(C)同时到达． (D)谁先到达不能确定． ［ ］
3-1-18. 一质点作匀速率圆周运动时，
(A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变．
(B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变．
(C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变．
(D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变． ［ ］
3-1-19. 速度为v 0的小球与以速度v （v 与v 0方向相同，并且v ＜v 0）滑
行中的车发生完全弹性碰撞，车的质量远大于小球的质量，则碰撞后小球的速
度为
(A) v 0－2v ． (B) 2（v 0－v ）．
(C) 2v －v 0． (D) 2（v －v 0）． ［ ］
3-1-20. 一个质量为M = 10 kg 的物体静止放在光滑水平面上，今有一质量
为m = 1 kg 的小球，以水平速度v 0 = 4 m/s 飞来，与物体M 正碰后以v 1 = 2 m/s
的速度弹回，则恢复系数e 是：
(A) 0.25． (B) 0.35．
(C) 0.65． (D) 0.75． ［ ］。