03动量与角动量习题解答汇总
第一册第三章动量与角动量
时 ∑ F ix = 0时 ,
m 1 v 1 x + m 2 v 2 x + L + m n v nx = 常 数
时 ∑ Fiy = 0时 ,
时 ∑ F iz = 0时 ,
m 1 v 1 y + m 2 v 2 y + L + m n v ny = 常 数
m 1 v 1 z + m 2 v 2 z + L + m n v nz = 常 数
M L
解：（1）链条在运动过程中，各部分的速度、 ）链条在运动过程中，各部分的速度、 加速度都相同。 加速度都相同。
o
x
v F
研究对象：整条链条 研究对象： 建立坐标： 建立坐标：如图 M v v (= xg ) 受力分析： 受力分析： F 运动方程： 运动方程：
M L xg dv = M dt
2
L
一段时间内，质点所受的合外力的冲量 冲量等 在t1到t2一段时间内，质点所受的合外力的冲量等 动量的增量。 于在这段时间内质点动量的增量 于在这段时间内质点动量的增量。 几点说明： 几点说明： (1)冲量的方向： (1)冲量的方向： 冲量的方向 v v 的方向， 冲量 I 的方向一般不是某一瞬时力 Fi 的方向，而是所
例子：见书 例子：见书P137例3.3
12
方向， 例1. 力 F = 3 − 2t ，沿z方向，计算 =0至t =1s 方向 计算t 至 内，力对物体的冲量。 力对物体的冲量。
解： Fz = F = 3 − 2t
I z = ∫ Fz dt = ∫ (3 − 2t )dt = 2( N ⋅ s ) t
I y = ∫ Fy dt
t1
t2
I z = ∫ Fz dt
《大学物理I》作业-No.03 角动量与角动量守恒-A-参考答案
《大学物理I 》作业 No.03 角动量 角动量守恒定律 （A 卷）班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、选择题[ ]1、一质点沿直线做匀速率运动时，(A) 其动量一定守恒，角动量一定为零。
(B) 其动量一定守恒，角动量不一定为零。
(C) 其动量不一定守恒，角动量一定为零。
(D) 其动量不一定守恒，角动量不一定为零。
答案：B答案解析：质点作匀速直线运动，很显然运动过程中其速度不变，动量不变，即动量守恒；根据角动量的定义v m r L⨯=，质点的角动量因参考点（轴）而异。
本题中，只要参考点（轴）位于质点运动轨迹上，质点对其的角动量即为零，其余位置均不会为零。
故(B)是正确答案。
[ ]2. 两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，两圆盘质量与厚度相同，如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J(B) B J >A J(C) A J ＝B J(D) A J 、B J 哪个大，不能确定答案：B答案解析：设A 、B 联盘厚度为d ，半径分别为A R 和B R ，由题意，二者质量相等，即B B A A d R d R ρπρπ22=因为B A ρρ>，所以22B A R R <，由转动惯量221mR J =，则B A J J <。
[ ]3．对于绕定轴转动的刚体，如果它的角速度很大，则 (A) 作用在刚体上的力一定很大 (B) 作用在刚体上的外力矩一定很大(C) 作用在刚体上的力和力矩都很大 (D) 难以判断外力和力矩的大小答案：D 答案解析：由刚体质心运动定律和刚体定轴转动定律知：物体所受的合外力和合外力矩只影响物体运动的加速度和角加速度，因此无法通过刚体运动的角速度来判断外力矩的大小，正如无法通过速度来判断物体所受外力的大小一样。
作业3 动量与角动量
3-12 、质量为Ｍ的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为m 的小球水平向右飞行,以速度 v 1 （相对地面）与滑块斜面相碰，碰 t ，试 后竖直向上弹起，速度为 v2（相对地面）。若碰撞时间为 计算此过程中滑块对地面的平均作用力和滑块速度的增量。
解：x 方向合外力为零，系统在该方向动量守恒。
3-10 、一个质量 m=50g ，以速率 v=20m/s 作匀速圆周运动的小球，
在1
4周期内向心力加给它的冲量是多大？
解：I mv mv0 I 2mv 2 N s
mv
I
mv
mv0
2
3-11、将小车从静止推过一复杂路段时小车所受的合外力为 F=3t－t2，在到达光滑路段时车速为 v=0.5m/s，然后撒手。求: （1）推了多长时间；（2）合力的冲量大小；（3）车子的质 量。 解：（１）撒手时
3-14、哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，它离太阳最近的距
离是 r1 8.75 10 m , 此时它的速度是 v1 5.46 104 m / ， s 它离太阳最远时的速率是 v2 9.08 102 m / s ，这时它离太阳的距
10
离r2是多少？
解：在太阳参考系力的作用线始终通过一点， 角动量守恒:
F 3t t 2 0 t 3( s )
（2）由力的冲量定义得
I Fdt
0
t
t
0
（3）由质点的动量定理
3t t 3t t dt 4.5( N S ) 2 30
2
2
3 3
I mv 2 mv 1 mv 4.5 0.5m m 9( kg )
《大学物理AI》作业 No.03 角动量、角动量守恒(参考解答)
为为零零。；（（bc））不不正正确确； ；角当动参量考还点与不参在考运点动的直选线择上有时关，，质只点要相参对考于点参不考选点在的运位动矢直r 是线在上变，化角动的量，就因可此能角不动
量
L
r
mv
也是会变化的；（d）不正确；作匀速率圆周运动的物体，其合外力指向圆心，属于有心
力，以圆心为参考点，质点的角动量守恒，角动量大小和方向都不改变。
端的水平轴在竖直平面内自由摆动，现将棒由水平位置静止释放，求：
（1）细棒和小球绕 A 端的水平轴的转动惯量，
A
B
（2）当下摆至 角时，细棒的角速度。
m
解：（1） J
J1
J2
ml 2
1 ml 2 3
4 ml 2 3
（2）根据转动定理： M
J
d dt
J
d d
d dt
J
d d
1、理解质点、质点系、定轴转动刚体的角动量的定义及其物理意义； 2、理解转动惯量、力矩的概念，会进行相关计算； 3、熟练掌握刚体定轴转动定律，会计算涉及转动的力学问题； 4、理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴转动刚体的角动量定理，熟练进行有关计算； 5、掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
第3章动量角动量
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
牛顿力学中的角动量守恒练习题及
牛顿力学中的角动量守恒练习题及解答牛顿力学中的角动量守恒练习题及解答在牛顿力学中，角动量守恒是一个重要的概念。
它指的是如果一个物体受到的合外力矩为零，则该物体的角动量将保持不变。
本文将介绍一些关于角动量守恒的练习题，并提供解答。
练习题一：一个半径为r的质点以速度v绕一个定点做匀速圆周运动。
求该质点的角动量。
解答一：根据角动量的定义：L = r × p其中，r为质点与定点的距离，p为质点的动量。
由于质点做匀速圆周运动，所以其速度和角动量的方向是沿着圆周平面的法向量。
而质点的动量则是质量和速度的乘积，即p = mv。
所以，角动量的大小为L = r × mv = mvr角动量的方向与速度方向垂直，并由右手法则确定。
对于这道题目，要求的只是角动量的大小，所以最终答案为L = mvr。
练习题二：一个竖直绕一个定点转动的细长杆长L，质量为m。
当杆的角速度为ω时，求杆的角动量。
解答二：根据角动量的定义：L = r × p其中，r为质点与定点的距离，p为质点的动量。
对于细长杆，可以将其看作是质点，且该质点的动量为质量乘以质点的速度，即p = mLω（ω为角速度）。
而关于杆的角速度，根据直线运动的关系可得：v = ωr（v为线速度，r为质点与定点的距离）。
将v代入p = mv中，得到：p = mLωr将以上结果代入角动量的定义中，可得到：L = r × p = r × (mLωr) = mL²ω所以杆的角动量大小为L = mL²ω。
练习题三：一个质量为m的质点，以速度v沿一条与水平方向夹角θ的斜面下滑，质点的轨迹是一条半径为R的圆弧，求质点的角动量。
解答三：首先需要计算质点的速度与轨迹的关系。
根据斜面的性质和牛顿力学的知识，可以得到：mgsinθ = mv²/R其中，g为重力加速度。
将以上结果代入角动量的定义中，可得到：L = r × p = mRsinθ × mv = m²R²sinθ所以质点的角动量大小为L = m²R²sinθ。
角动量复习题
角动量复习题角动量复习题角动量是物体运动的一个重要物理量，它描述了物体围绕某一轴心旋转的性质。
在物理学中，角动量的计算涉及到物体的质量、速度以及旋转半径等因素。
下面将介绍一些与角动量相关的复习题，帮助大家巩固对角动量的理解。
1. 一个半径为2米的旋转木马上，有一个质量为100kg的小孩坐在边缘处。
如果旋转木马以每秒2π弧度的角速度旋转，求小孩的角动量。
解析：角动量的计算公式为L = Iω，其中L为角动量，I为转动惯量，ω为角速度。
在此题中，旋转木马上的小孩可以视为一个质点，其转动惯量可以近似为mR^2，其中m为小孩的质量，R为旋转木马的半径。
代入数值计算可得L = 100kg × (2m)^2 × 2π rad/s = 800π kg·m^2/s。
2. 一个质量为2kg的物体以每秒4π弧度的角速度绕着一个半径为1米的圆周运动，求其角动量。
解析：同样利用角动量的计算公式L = Iω，其中I为转动惯量，ω为角速度。
在此题中，物体可以视为一个质点，转动惯量I = mR^2，其中m为物体质量，R为圆周半径。
代入数值计算可得L = 2kg × (1m)^2 × 4π rad/s = 8π kg·m^2/s。
3. 一个半径为3米的风车叶片以每秒3π弧度的角速度旋转，其转动惯量为10kg·m^2，求其角动量。
解析：根据角动量的计算公式L = Iω，其中L为角动量，I为转动惯量，ω为角速度。
代入数值计算可得L = 10kg·m^2 × 3π rad/s = 30π kg·m^2/s。
4. 一个质量为1kg的小球以每秒2π弧度的角速度绕着一个半径为2米的圆周运动，求其角动量。
解析：同样利用角动量的计算公式L = Iω，其中I为转动惯量，ω为角速度。
在此题中，小球可以视为一个质点，转动惯量I = mR^2，其中m为小球质量，R为圆周半径。
第03章(刚体力学)习题答案
内力做功，机械能守恒，动量守恒的条件为合外力为零，转轴不属于系统，转轴与盘之间有
作用力，动量不守恒。
3-2 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑
O
固定轴 O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打
击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆
与小球这一系统的哪种物理量守恒？ 答：在碰撞时，小球重力过转轴，杆的重力也过轴，外力矩为
思考题 32 图
零，所以角动量守恒。因碰撞时转轴与杆之间有作用力，所以动量不守恒。碰撞是非弹性的，
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
解：（1）设在任意时刻定滑轮的角速度为w，物体的速度大小为 v，则有 v=Rw.
则物体与定滑轮的总角动量为： L = Jw + mvR = Jw + mR2w
根据角动量定理，刚体系统所受的合外力矩等于系统角动量对时间的变化率：
M = dL ,该系统所受的合外力矩即物体的重力矩:M=mgR dt
所以： b
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第三章 动量与动量守恒定律习题一 选择题1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ）A. 必为零；B. 必不为零，合力方向与行进方向相同；C. 必不为零，合力方向与行进方向相反；D. 必不为零，合力方向是任意的。
解：答案是C 。
简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )= m d v + v d m = v d m 。
因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。
2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ）A. 地面给予两球的冲量相同；B. 地面给予弹性球的冲量较大；C. 地面给予非弹性球的冲量较大；A. 无法确定反冲量谁大谁小。
解：答案是B 。
简要提示：)(12v v -=m I3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为∆t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ）A ．mg t m +∆v B ．mg C ．mg t m -∆v D ．tm ∆v 解：答案是D 。
简要提示：v m t F =∆⋅4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是： （ ） 选择题4图A. 静止不动；B. 朝质量大的人行走的方向移动；C. 朝质量小的人行走的方向移动；D. 无法确定。
解：答案是B 。
简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒：02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --='如果m 1> m 2，则v ′< 0。
5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为： （ ）A. uB. u /2C. u /4D. 0解：答案是B 。
简要提示：由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。
6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球： （ ）A.仍静止；B.匀速上升；C.匀速下降；D.匀加速上升。
解：答案是C 。
简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。
7. 一背书包的小学生位于湖中心光滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是： （ ）A. 用力蹬冰面B. 不断划动手臂C. 躺在冰面上爬行D. 用力将书包抛出解：答案是D 。
二 填空题1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N ⋅s ，则两船分离的相对速率为 m ⋅ s –1。
解：答案为：5/6 m ⋅ s –1简要提示：由动量定理：11v m I =，22v m I =得：11s m 2/1-⋅=v ，12s m 3/1-⋅=v所以分离速度为12112s m 6/5-⋅=+=v v v2. 一小车质量m 1 = 200 kg ，车上放一装有沙子的箱子，质量m 2 = 100 kg ，已知小车与砂箱以v 0 = 3.5 km ⋅ h –1的速率一起在光滑的直线轨道上前进，现将一质量m 3 = 50 kg 的物体A 垂直落入砂箱中，如图所示，则此后小车的运动速率为 km ⋅ h –1。
解：答案为： 3.0 km ⋅ h –1简要提示：系统在水平方向上不受力的作用，所以水平方向的动量守恒：v v )()(321021m m m m m ++=+， 1h km 0.3-⋅=∴v 3. 初始质量为M 0的火箭在地面附近空间以相对于火箭的速率u 垂直向下喷射燃料，每秒钟消耗的燃料d m /d t 为常数，设火箭初始速度为0，则火箭上升的速率v 与时间函数关系为 。
解：答案为：gt MM u -=0lnv 简要提示：由动量定理得到： m u m t mg d d d +=-v 两边积分： ⎰⎰⎰+=-M M t mm u t g 0d d d 00v v ，得到 0ln M M u gt +=-v ， 即 gt MM u -=0lnv ， 式中t t m M M d d 0-= 4. 机关枪每分钟发射240发子弹，每颗子弹的质量为10g ，出射速度为900 m ⋅ s –1，则机关枪的平均反冲力为 。
解：答案为：36 N简要提示：每个子弹受到的冲量为：v m I =单位时间内子弹受到的平均冲力，即机关枪的平均反冲力：)N (366090010102403=⨯⨯⨯=∆=-∑t I F 5. 乐队队长的指挥棒，是由长为l 的细杆，其两端分别附着两个质量为m 1和m 2的物体所组成，将指挥棒抛入空中，其质心的加速度为 ，质心的轨迹为 。
3 m 2 m 1 填空题2图解：答案为：g ； 抛物线。
简要提示：根据质心运动定理。
6. 质量为m =0.2kg 的小球系于轻绳的一端，并置于光滑的平板上，绳的另一端穿过平板上的光滑小孔后下垂用手握住。
开始时，小球以速率v 1=2.0 m ⋅ s –1作半径为r 1 = 0.5m 的圆周运动；然后将手缓慢下移，直至小球运动半径变为r 2=0.1m 。
此时小球的运动速率为 。
解：答案为：10 m ⋅ s –1简要提示：由角动量守恒定律得：2211r m r m v v =，2112/r r v v =7. 哈雷彗星在椭圆轨道上绕日运行，其近日点距离太阳8.9⨯1010m ，远日点距离太阳 5.3⨯1012m ，则哈雷彗星在近日点时的速率与远日点时的速率之比为 。
解：答案为：595.5简要提示：角动量守恒定律三 计算题1. 一位高尔夫球运动员打击高尔夫球，给球以大小为50m ⋅ s –1、方向与水平面成30︒ 向上的初速度，设球的质量为0.025 kg ，棒与球接触时间为0.01s ，试求棒、球各受到的冲量大小，球受到的平均冲力大小。
解：以球为对象，由动量原理，球受到的冲量大小为I = m v - 0= m v = 0.025 ⨯ 50 = 1.25 (N.S)S N 25.1 ⋅==-=I I ′，大小仍为′棒受到的冲量是I IN)(12501.025.1 ==∆=t I F 为：球受到的平均冲力大小 2. 一股水流从水管中喷射到墙上，若水的速率为5 m ⋅ s –1，水管每秒喷出的水为3⨯10-4m 3，若水不溅散开来，其密度ρ为103 kg ⋅ m –3，试求水作用于墙上的平均冲力。
解：以质量为∆m 的水流为对象，有 00)(v v v m m t F ∆-=-∆=∆00v v tV t m F ∆∆-=∆∆-=ρ 由牛顿第三定律，墙受到的冲力大小N)(5.15110310430=⨯⨯⨯=∆∆=-=-v t V F F ρ′方向与水流速同向。
3. 一辆质量为M 的铁路平板车静止于一条无摩擦的水平直线轨道上，车上站有n 个质量均为m 的人，为使车获得向前的速度，一是n 个人均以相对车为u 的速率一起向后跳下，另一种是n 个人依次以相对车为u 的速率先后跳下车，求证依次跳比一起跳使车获得的速度更大。
解：取平板车和n 个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒。
选平板车运动方向为正方向，则有0)(=-+u nm M v v所以n 个人同时跳下时，平板车的速度为u nmM nm +=v 若一个人、一个人依次跳下，情况就不同了。
第一个人跳下时，有动量守恒定律 0)(])1([11=-+-+u m m n M v v第二个人跳下时有122])1([)(])2([v v v m n M u m m n M -+=-+-+ mN M mu )1(12-+=-v v 以次类推，得到当第n 个人跳下时，有1)()(-+=-+n n n m M u m M v v v ， mM mu n n +=--1v v 联立解得： )1211(nm M m M m M mu n ++++++= v 因为nm M m M m M +>>+>+1211 ，所以v v =+>nmM n mu n 。
4．三物体A 、B 、C 的质量均为m ，连接如图，开始时B 和C 紧依靠，两者之间有长为0.5m 的绳相连，忽略绳和滑轮质量，不计所有摩擦。
求：（1）A 、B 开始运动后经多少时间C 也开始运动？（2）B 和C 拉紧后C 开始运动时的速度大小。
解：（1）以A ，B 为对象，由牛顿第二定律得mg - T = maT = ma 计算题4图 AC B解得 g a 21= 得由221at s =s 45.042===g S a s t ( 2 ) 以 A ，B ，C 系统内力远大于外力，动量守恒v v v '=+m m m 3， 其中1s m 2.221-⋅===gt at v 所以 1s m 47.132-⋅==v v ′ 5．质量为M 的人，手握一质量为m 的物体，此人沿与地面成α角的方向以初速率v 0跳出，当他到达最高点时，将m 以相对速率u 水平向后抛出，试求其跳出距离的增加量。
解：在最高点，抛物瞬间人和物体在水平方向上无外力作用，由水平方向的系统动量守恒αc o s )(0v v v M m M m +=+′ 其中 u -=v v ′代入求得人到达最高点时的速率 u Mm m ++=αc o s 0v v 人的水平速度增量 u mM m +=-=∆αcos 0v v v 由运动学可求出人从最高点到落地的跳跃时间 g g H t αs i n 20v == 故增加距离 αsin )(0gM m mu t x +=∆=∆v v 6. 将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数归零。
然后从高出盒底4.9米处，将小石子流以每秒100个的速率注入盒中。
假设每一石子的质量为20克，都从同一高度落下，且落入盒内就停止运动，求石子从开始注入到10秒时秤的读数解：单位时间内石子对盒子的平均冲力为：其中v t m F ∆∆= 其中gh 2=v 所以10秒时秤的读数为盒内石子的重量与该平均冲力的和，即：N)(6.2151966.19=+=∆∆+∆∆=+=tg tm t m Mg F F 2gh 7. 一质量为6000 kg 的火箭竖直发射，设喷气速率为1000m ⋅ s –1，试问要产生克服火箭重力所需推力和要使火箭获得最初向上的加速度20m ⋅ s –2，这两种情况下火箭每秒应分别喷出多少气体？解：在气体d m 喷出前后，系统的动量变化为m u m m u m m m p d d ))(d ()d )(d (d +=---+++=v v v v v考虑到重力作用， t mg t F d d -=由系统的动量定理，p t F d d =，得到：m u m t mg d d d +=-v ，即mg tm u t m --=d d d d v 要产生克服火箭重力所需的最小推力(无向上加速度)，可由0d d =tv 求出 )s kg (8.5810008.96000d d 1-⋅-=⨯-=-=u mg t m 要使火箭获得最初向上的加速度a ，可由a t=d d v 求出 ma mg tm u =--d d )s kg (4.1761000)208.9(6000)(d d 1-⋅-=+⨯-=+-=u a g m t m 8. 求半圆形均匀薄板的质心，薄板的半径为R 。