5.3角动量例题
5.3质点系对质心的角动量定理和守恒定理
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第五章 角动量 关于对称性
§5.3质点系对质心的 角动量定理和守恒定律
§5.3 1 质心系中的角动量定理
角动量定理和角动量守恒定律只在惯性系中成立. 以质心C为参考点，建质心坐标系，各坐标 轴与基本参考系平行. 由于质心具有加速度，所以 要计入相应的惯性力力矩.
M外 M惯 d L' dt
r 2 rc r2
m1 m2
m1 m2 m 1 r12 m1 m2
m 2 r12
m1 r1
O
r1 rc r2 rc rc m2 r2
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第五章 角动量 关于对称性 故两质点相对于它们质心的角动量为
dL M外 dt
——质点系对质心的角动量定理.
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第五章 角动量 关于对称性
质点系对质心的角动量的时间变化率等于外力
相对质心的力矩的矢量和.
在质心系中角动量定理同样适用.
§5.3 2 质点系对质心的角动量守恒定律
当
M 外 0时， L ' 恒矢量
v1 m2 m1 m2 u
v2
m1 m1 m2
u
v1 v 2 v1 v 2 其中 u v 12
p '1 m 1 v '1
m 1m 2 m1 m2
u u
p m 2v 2 2
如跳水运动员等在空中翻筋斗.
同样
M i 外 z 0， L z 常量
大学物理学第五章角动量角动量守恒定律习题
第5章角动量角动量守恒定律一、本章总结1.请总结角动量、角动量守恒定律一章的知识点。
2.请画出本章的知识脉络框图。
二、填空题1. 如图所示，圆盘绕着与盘面垂直且过圆心O 的轴旋转，轴固定且光滑，转动角速度为ω。
这时，一对力偶沿着盘面作用在圆盘上（每个力大小为F ），圆盘的角速度ω 。
（填增大、减小或不能确定）2. 一个立方体放在粗糙的水平地面上，其质量分布均匀，为50 kg ，边长为1m 。
现用一水平拉力F 作用于立方体的定边中点。
如果地面摩擦力足够大，立方体不会滑动，那么要使该立方体翻转90︒，拉力F 至少为 。
3.一长为L 、质量为M 的均匀细棒，放在水平面上。
通过棒的端点O 有一垂直于水平面的光滑固定转轴，如图所示。
一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内垂直射向细棒，随后以速率v 21穿出，这时细棒的角速度 。
4. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。
5. 气候变暖造成地球两极的冰山融化，海平面因此上升。
这种情况将使地球的转动惯量 ，自转角速度 ，角动量 ，自转动能 。
（填变大、变小或不变）三、推导题6.试推导质量为m ，半径为R 的实心球体的转动惯量？（答：252mR ）四、计算和证明题7.如图所示，一个质量均匀分布的梯子靠墙放置，和地面成θ角，下端A 处连接一个弹性系数为k 的弹簧。
已知梯子的长度为l ，重量为W ，靠墙竖直放置时弹簧处于自然伸长，所有接触面均光滑。
如果梯子处于平衡状态，求地面、墙面对梯子的作用力，以及W 、k 、l 和θ满足的关系。
（答：W ；kl cos θ；OF Fω O v 21v 俯视图θsin 2kl W =）8. 半径为r = 1.5 m 的飞轮，初角速度ω0= 10 rad ⋅s -1，角加速度α= -5 rad ⋅s -2。
试问经过多长时间飞轮的角位移再次回到初始位置？此时飞轮边缘上的线速度为多少？（答：4s ；-15m ⋅s -1）9.质量分别为m 和2m 的两物体(都可视为质点)，用一长为l 的刚性细杆（质量为M ）相连，系统绕通过杆且与杆垂直的竖直固定轴O 转动。
角动量守恒定理及其应用
角动量守恒定理及其应用摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。
角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。
关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用Angular momentum conservation theorems and theirapplicationAbstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts.Key words:Angular momentum;Torque;Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application.引言在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。
例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。
角动量例题
理学院 物理系 陈强
[例] 试利用角动量守恒定律 证明关于行星运动的开普 例 试利用角动量守恒定律,证明关于行星运动的开普 勒第二定律:任一行星和太阳之间的联线, 勒第二定律:任一行星和太阳之间的联线,在相等的 时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变. 时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变. [证明] 证明] 行星对太阳O的角动量 行星对太阳 的角动量 的大小为
L = r × p = r m v sin θ
之间的夹角. 其中θ 是径矢 r与行星的动量 p或速度v之间的夹角. 内行星所走过的弧长, 用 s表示时间 t内行星所走过的弧长,则有 s L = lim ( r m sin θ ) t → 0 t
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
考试题:如图所示,一个小物体, 考试题:如图所示,一个小物体,位于光滑的水平桌 面上,与一绳的一端相连结, 面上,与一绳的一端相连结,绳的另一端穿过桌面中 心的小孔O. 该物体原以角速度ω在半径为 在半径为R的园周上 心的小孔 该物体原以角速度 在半径为 的园周上 旋转.今将绳从小孔缓慢往下拉 绕O旋转 今将绳从小孔缓慢往下拉,则物体 旋转 今将绳从小孔缓慢往下拉, (A)动能不变 动量改变. (A)动能不变,动量改变. 动能不变, (B) 动量不变,动能改变 动量不变,动能改变. (C) 角动量不变,动量不变 角动量不变,动量不变. (D) 角动量改变,动量改变 角动量改变,动量改变. (E) 角动量不变,动能,动量都改变 角
�
表示从O到速度矢 若用 r⊥表示从 到速度矢 的垂直距离, 量v 的垂直距离,则有
r sin θ s = r⊥ s = 2 S
牛顿力学中的角动量守恒练习题及
牛顿力学中的角动量守恒练习题及解答牛顿力学中的角动量守恒练习题及解答在牛顿力学中，角动量守恒是一个重要的概念。
它指的是如果一个物体受到的合外力矩为零，则该物体的角动量将保持不变。
本文将介绍一些关于角动量守恒的练习题，并提供解答。
练习题一：一个半径为r的质点以速度v绕一个定点做匀速圆周运动。
求该质点的角动量。
解答一：根据角动量的定义：L = r × p其中，r为质点与定点的距离，p为质点的动量。
由于质点做匀速圆周运动，所以其速度和角动量的方向是沿着圆周平面的法向量。
而质点的动量则是质量和速度的乘积，即p = mv。
所以，角动量的大小为L = r × mv = mvr角动量的方向与速度方向垂直，并由右手法则确定。
对于这道题目，要求的只是角动量的大小，所以最终答案为L = mvr。
练习题二：一个竖直绕一个定点转动的细长杆长L，质量为m。
当杆的角速度为ω时，求杆的角动量。
解答二：根据角动量的定义：L = r × p其中，r为质点与定点的距离，p为质点的动量。
对于细长杆，可以将其看作是质点，且该质点的动量为质量乘以质点的速度，即p = mLω（ω为角速度）。
而关于杆的角速度，根据直线运动的关系可得：v = ωr（v为线速度，r为质点与定点的距离）。
将v代入p = mv中，得到：p = mLωr将以上结果代入角动量的定义中，可得到：L = r × p = r × (mLωr) = mL²ω所以杆的角动量大小为L = mL²ω。
练习题三：一个质量为m的质点，以速度v沿一条与水平方向夹角θ的斜面下滑，质点的轨迹是一条半径为R的圆弧，求质点的角动量。
解答三：首先需要计算质点的速度与轨迹的关系。
根据斜面的性质和牛顿力学的知识，可以得到：mgsinθ = mv²/R其中，g为重力加速度。
将以上结果代入角动量的定义中，可得到：L = r × p = mRsinθ × mv = m²R²sinθ所以质点的角动量大小为L = m²R²sinθ。
质点系角动量守恒定律
dL τ ，再考虑诸质点所受惯性力的力矩，即得 dt
dL τ i外 ri (mi ac ) dt 式中惯性力矩又可写作 mi ri dL ( mi ri) ac ( ) mac τ i外 m dt
此即质点系对质心的角动量定理，与惯性系中角动量定理具有完 全相同的形式。是表明质心系特殊和重要性的又一个例子。
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
当τ iz 0时,
Lz 常量.
§5.4 质点系对质心的角动量定理和 守 恒 定 律
前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系 而言，现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图 （a），C xyz 即质心参考系。C 为质心，x ' , y ' 和 z 坐标轴
与惯性参考系 O xyz 的 x, y 和 z 轴总保持平行，而质心具有 加速度 ac 。 z
四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅）
§5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定 律
一、质点系角动量定理
设质点系由 N 个质点组成，对选定的某固定参考点，第 i 个 质 点的角动量定理的表达式为τ dLi
角动量复习题
角动量复习题角动量复习题角动量是物体运动的一个重要物理量，它描述了物体围绕某一轴心旋转的性质。
在物理学中，角动量的计算涉及到物体的质量、速度以及旋转半径等因素。
下面将介绍一些与角动量相关的复习题，帮助大家巩固对角动量的理解。
1. 一个半径为2米的旋转木马上，有一个质量为100kg的小孩坐在边缘处。
如果旋转木马以每秒2π弧度的角速度旋转，求小孩的角动量。
解析：角动量的计算公式为L = Iω，其中L为角动量，I为转动惯量，ω为角速度。
在此题中，旋转木马上的小孩可以视为一个质点，其转动惯量可以近似为mR^2，其中m为小孩的质量，R为旋转木马的半径。
代入数值计算可得L = 100kg × (2m)^2 × 2π rad/s = 800π kg·m^2/s。
2. 一个质量为2kg的物体以每秒4π弧度的角速度绕着一个半径为1米的圆周运动，求其角动量。
解析：同样利用角动量的计算公式L = Iω，其中I为转动惯量，ω为角速度。
在此题中，物体可以视为一个质点，转动惯量I = mR^2，其中m为物体质量，R为圆周半径。
代入数值计算可得L = 2kg × (1m)^2 × 4π rad/s = 8π kg·m^2/s。
3. 一个半径为3米的风车叶片以每秒3π弧度的角速度旋转，其转动惯量为10kg·m^2，求其角动量。
解析：根据角动量的计算公式L = Iω，其中L为角动量，I为转动惯量，ω为角速度。
代入数值计算可得L = 10kg·m^2 × 3π rad/s = 30π kg·m^2/s。
4. 一个质量为1kg的小球以每秒2π弧度的角速度绕着一个半径为2米的圆周运动，求其角动量。
解析：同样利用角动量的计算公式L = Iω，其中I为转动惯量，ω为角速度。
在此题中，小球可以视为一个质点，转动惯量I = mR^2，其中m为小球质量，R为圆周半径。
角动量例题
1 mL2
o
L
3
（2）如图所示，以过中点垂直于棒的oo 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在
棒上取长度元 dx ，则由转动惯量的定义有:
o
x dx B x
A
dm
L
L
2o2
J端点
x2dm
m
L 2 L 2
x2
m L
dx
1 12
mL2
2.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.
解法二 利用动能定理求解.
对于物体m 利用质点的动能定理有
mgh
Th
1 2
mv
2
1 2
mv
2 0
其中 v0 和 v 是物体的初速度和末速度.
对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有
TR
1 J 2
2
1 2
J
2 0
其中 是在拉力矩TR 的作用下滑轮转 过的角度，0和 是滑轮的初末角速度.
a2 GM
T2R T1R
M阻
J
1 2
mR
2
据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动， 所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的 加速度相等，即
a a1 a2 a R
联立以上三个方程，得
(M m)g M阻
a
R M m m
2
(2M m)mg mM阻
解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R2dm m
2R 0
R2
第5讲 质点的角动量角动量守恒定律
5.1 质点的角动量定理 5.2 质点系的角动量定理 5.3 角动量守恒定律
Law of Conservation of Angular Momentum
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj f ij
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
第五章动量角动量守恒
Lr p
大小： r F rF sin Fd
方向：服从右手定则 力矩
F
dL r F dt
质点角动量的时间变化率等于 质点所受合力的力矩 二、力矩
o
r
d
m
1. 对参考点的力矩： M r F
大小： Fd Frsin 方向： 垂直于r 和F组成的平面 , 服从右手定则。
例：
F
o
F
F
o
F
F 0 Mo 0
F 0 Mo 0
三、质点系角动量的时间变化率 对Ｎ个质点 m1 , m2 , , m N 组成的质点系，由
dL 可得 M r F d t
dL1 M 1外 M 1内 dt dL2 M 2外 M 2内 dt dLN M N外 M N内 dt
i
L
L自 旋
L轨 道
3.定轴转动刚体的角动量 转轴
z
角速度
z
转动 平面
刚体上任一质点 m i 转轴与其转动平面交点Ｏ
m i 绕Ｏ 圆周运动半径为 ri
m i 对Ｏ的角动量： Lio ri mi vi
r o i
mi
vi
大小：Lio ri mi v i mi ri2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。
[例] 质量为 m ，长为 L 的细杆在水平粗糙桌面上 绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正 比，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。
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5.3角动量例题
例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆
的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。
然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。
开始时，轻杆静止，一质量为m 的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．
例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。
两质点
以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。
试求以
O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌
面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可
伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A、B之间的距离为
L/2，A、B间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A一个冲
击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时
的速度
例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？
例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半
径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A 的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有
一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的
中点B处用一细线悬于天花板A点。
突然剪断DF，求剪断
后瞬间，CE、AB上的张力分别是多少？。