数理统计作业 3
概率论与数理统计(专升本)阶段性作业3
概率论与数理统计(专升本)阶段性作业3单选题1. 设随机变量～，服从参数的指数分布，则 __ _____(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：A2. 设随机变量～，～，且相关系数，则_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D3. 和独立，其方差分别为6和3，则 _______(4分)(A) :9(B) :15(C) :21(D) :27参考答案：D4. 设随机变量的方差存在，为常数），则_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：C5. 有一批钢球，质量为10克、15克、20克的钢球分别占55%，20%，25%。
现从中任取一个钢球，质量的期望为_______(4分)(A) :12.1克(B) :13.5克(C) :14.8克(D) :17.6克参考答案：B6. 将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数等于_______(4分)(A) :－1(B) :0(C) :(D) :1参考答案：A7. 设是随机变量，，则对任意常数，必有_______ (4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D8. 设随机变量的分布函数为，则 _______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B9. 设随机变量～，，则～_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：A10. 设随机变量～，且，则其参数满足_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B11. 设随机变量的方差存在，则_______(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D12. 设随机变量，…相互独立，且都服从参数为的指数分布，则_____ __(4分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：A13. 如果和满足, 则必有_______(4分)(A) :和不独立(B) :和的相关系数不为零(C) :和独立(D) :和的相关系数为零参考答案：D14. 根据德莫弗－拉普拉斯定理可知_______(4分)(A) : 二项分布是正态分布的极限分布(B) : 正态分布是二项分布的极限分布(C) : 二项分布是指数分布的极限分布(D) : 二项分布与正态分布没有关系参考答案：B15. 的分布函数为，其中为标准正态分布的分布函数，则 _______(4分)(A) :0(B) :0.3(C) :0.7(D) :1参考答案：C填空题16. 设随机变量的概率密度为，则___(1)_ __ ，___(2)___ .(4分)(1).参考答案:1(2).参考答案:1/217. 设服从参数为的泊松分布，则___(3)___ .(4分)(1).参考答案:118. 设服从参数为的泊松分布，且已知，则___(4)___ . (4分)(1).参考答案:119. 若是两个相互独立的随机变量，且则___ (5)___ .(4分)(1).参考答案:14320. 设随机变量的期望存在，则___(6)___ .(4分)(1).参考答案:021. 设随机变量和的相关系数为0.9,若,则与的相关系数为___ (7)___ .(4分)(1).参考答案:十分之九22. 设，，则的期望___(8)___ .(4分) (1).参考答案:1123. 设的期望与方差都存在，且，并且，则___(9)__ _ .(4分)(1).参考答案:024. 已知，的相关系数，则___(10) ___ .(4分)(1).参考答案:1325. 设，，则___(11)___ .(4分)(1).参考答案:35。
概率论与数理统计阶段性作业31
中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院概率论与数理统计 课程作业3（共 4 次作业）学习层次：专升本 涉及章节：第4章1．若随机变量X 的概率分布为求E （X ）和D （X ）。
2．某射手每次命中目标的概率为0.8，连续射击30次，求击中目标次数X 的期望和方差。
3. 设离散型随机变量X 仅取两个可能的值2121x x x x <，而且和, X 取1x 的概率为0.6, 又已知,24.0)(,4.1)(1==X D X E , 则X 的分布律为（ ）。
.0.40.6 (D) ,0.40.61 (C) ,0.40.621 (B) ,4.06.010 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b an n A ）（4.对于任意两个随机变量()()()X Y E XY E X E Y =、，若，则（ ）。
() ()()(). () ()()(). () . () .A D XY D X D YB D X Y D X D YC X YD X Y =+=+与独立与不独立5．若随机变量X 的分布律为求E （X ）、E （X 2）、E （3X 2＋5）。
6．盒中有3个白球和两个黑球，从中任取两球，求取到的白球数X 的期望。
7．设随机变量X 的分布密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,,0;0,)(x x Axe x f x （1）求系数A ；（2）求随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）求随机变量X 的分布函数；（4）求随机变量X 的数学期望与方差。
8．设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其它 ,010 ,101 ,1)(x x x x x f ，求)(),(X D X E 。
9．若随机变量X 服从参数为θ1的指数分布，求E （X ）和D （X ）．10．设市场对某商品的需求量X (单位：吨)是一个服从[2，4]上的均匀分布的随机变量，每销售一吨商品可赚3万元，但若销售不出去，每吨浪费1万元，问应组织多少货源，才能取得最大收益？参考答案1．若随机变量X 的概率分布为求E （X ）和D （X ）。
19秋《概率论与数理统计》作业3答卷
B.0.7996
C.0.5547
D.0.3114
答案:A
4.在区间（2,8）上服从均匀分布的随机变量的数学期望为（ ）
A.8
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ7
C.6
D.5
答案:D
5.设随机变量X与Y相互独立，方差分别为6和3，则D(2X-Y)=( )
A.9
B.27
C.21
D.13
答案:B
6.从1, 2,…,10 共10个数中任取7个数，取后放回，每次取一个，则数字10恰好出现2次的概率（ ）
A.0.4560
B.0.2340
C.0.1240
D.0.0870
答案:C
7.已知随机变量Z服从区间[0,2π] 上的均匀分布，且X＝sinZ,Y=sin(Z+k),k为常数，则X与Y的相关系数为（ ）
X －5 2 3 4
P 0.4 0.3 0.1 0.2
则它的方差为（ ）。
A.25.64
B.14.36
C.15.21
D.46.15
答案:C
3.测量轴的直径之长度不会引起系统误差，而直径长度的偶然误差这一随机变量X服从均方差σ=10毫米的正态分布。则测量轴的直径的长度发生的偏差绝对值不超过15毫米的概率为（ ）
19秋《概率论与数理统计》作业3
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 10 道试题,共 100 分)
1.一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为
A.7/45
大学概率论与数理统计习题及参考答案
Ω 0 ,1,2. Ω 10,11,12.
（４）
3
五、电话号码由7个数字组成，每个数字可以是0、1、2、…、9中的任一个 （但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 解:
9 P96 P ( A) 0.0605. 6 9 10
六、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。 解:
P( AB) 0.4; P( A B) 0.7.
5. 设 P( AB) P( AB), 且 P ( A) p, 则 P( B) 1 p.
8
二、
设P (A) > 0， P (B) > 0 ，将下列四个数： P (A) 、P (AB) 、P (A∪B) 、P (A) + P (B) 用“≤”连接它们，并指出在什么情况下等号成立.
解
P A B P( A) P( B) P( AB)
P A B P( A) P( B)
AB A ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B) P ( A) P ( B)
十一、两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个 邮筒内只有一封信的概率. 解: 设事件 A 表示“前两个邮筒内没有信”，设事件 B 表示“及第一个邮筒 内只有一封信”，则
22 P ( A) 2 0.25; 4 1 1 C2 C3 P( B) 0.375. 2 4
P( AB) P( BC ) 0， 则：
（1）A、B、C中至少有一个发生的概率为 0.625 （2）A、B、C中都发生的概率为 0 ； 。 （3）A、B、C都不发生的概率为 0.375 ；
应用数理统计作业题及参考答案(第三章)
第三章 假设检验P1313.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。
现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。
已知该种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。
解：本题需检验0H ：0μμ≥，1H ：0μμ<.元件寿命服从正态分布，0σ已知，∴当0H成立时，选取统计量X u μ-=，其拒绝域为{}V u u α=<.其中950X =，01000μ=，25n =，0100σ=.则 2.5u ==-.查表得0.05 1.645u =-，得0.05u u <，落在拒绝域中，拒绝0H ，即认为这批元件不合格。
3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()2N μσ，，其中40σ=（kg / cm 2）。
现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20（kg / cm 2）。
设总体方差不变，问在0.01α=下能否认为这批钢索质量有显著提高？解：本题需检验0H ：0μμ=，1H ：0μμ>.钢索的断裂强度服从正态分布，0σ已知，∴当0H成立时，选取统计量u =，其拒绝域为{}1V u u α-=>.其中040σ=，9n =，020X μ-=，0.01α=.则 1.5u ==.查表得10.990.01 2.33u u u u αα-==-=-=，得0.99u u <，未落在拒绝域中，接受0H ，即认为这批钢索质量没有显著提高。
3.5 测定某种溶液中的水分。
它的10个测定值给出0.452%X =，0.035%S =。
设总体为正态分布()2N μσ，，试在水平5%检验假设：（i ）0H ：0.5%μ>； 1H ：0.5%μ<. （ii ）0H ：0.04%σ≥； 1H ：0.04%σ<. 解：（i ）总体服从正态分布，0σ未知，当0H成立时，选取统计量t =(){}1V t t n α=<-.查表得()()0.050.9599 1.8331t t =-=-.而()4.114 1.83311t t n α==-<-=-.落在拒绝域中，拒绝0H .（ii ）总体服从正态分布，μ未知， 当0H 成立时，选取统计量222nSχσ=，其拒绝域为(){}221V n αχχ=<-.查表得()20.059 3.325χ=.而()()()2222100.035%7.65610.04%n αχχ⨯==>-.未落在拒绝域中，接受0H .3.6 使用A （电学法）与B （混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是－0.72℃的冰块，下列数据是每克冰从－0.72℃变成0℃水的过程中的吸热量（卡 / 克）：方法A ：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97，80.05，80.03，80.02，80.00，80.02方法B ：80.02，79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，且它们的方差相等。
概率论与数理统计 作业
10、设甲船在 24 小时内随机到达码头，并停留 2 小时；乙船也在 24 小时内独立地随机到达，并停 留 1 小时，试求：（1）甲船先到达的概率 p1;（2）两船相遇的概率 P2. 解：（1）
p1 = P {X < Y } = 0.5
（2）阴影部分的面积除以总面积
p2 = P {X < Y < X + 2} ∪ P {Y < X < Y + 1} = P {X − 1 < Y < X + 2}
f (X, Y ) = 0, 其他
试求：（1）常数 C ;（2）P {0 < x ≤ 1/2} ; （3）P {X = Y 2};
解：（1）
（2）
1
=
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
f (X, Y
)dxdy
=
∫1
−1
∫ 1−x2 dx
0
C (x2
+
y)dy
=
∫1
−1
C [x2 y
+
y2 2
]10−x2
dx
=
解：（1）p1
=
4 16
=
1 4
（2）p2
=
10 16
=
5 8
12、设二维随机变量 (X, Y ) ∼ N (0, 1; 0, 1; 0),，计算概率 P {X2 + Y 2 < r}, r > 0
解：
φ(x, y) =
1 e , −
x2
+y2 2
2π
∫ 2π
∫
√ r
P {X2 + Y 2 < r} =
数理统计作业答案
数理统计作业答案1、设总体X 服从正态分布),(2σµN ，其中µ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ D ）。
（A ）∑=-ni i X n122)(µσ是统计量（B ）∑=ni i X n122σ是统计量（C ）∑=--ni iX n 122)(1µσ是统计量（D ）∑=ni iX n12µ是统计量2、设两独⽴随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从（ C ）。
服从（ C ）。
4、设n X X ,,1 是来⾃总体X 的样本，且µ=EX ，则下列是µ的⽆偏估计的是（ A ）. 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ B ）.（A ）3/X σ；（B ）414ii X=∑；（C ）σ-1X ；（D ）4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σµN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ C ）.7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X 是来⾃总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ C ） ( A ) . 12X X +( B ) {}max,15i X i ≤≤( C ) 52X p + ( D ) ()251X X -8、设1,,n X X 为来⾃正态总体2(,)N µσ的⼀个样本，µ，2σ未知。
则2σ的最⼤似然估计量为（ B ）。
（A ）∑=-n i i X n 12)(1µ （B ）()211∑=-n i i X X n （C ）∑=--n i i X n 12)(11µ（D ）()∑=--n i i（ D ）分布.10、设1,,n X X 为来⾃正态总体2 (,)N µσ的⼀个样本，µ，2σ未知。
概率论与数理统计03-第三章作业及答案
概率论与数理统计03-第三章作业及答案习题3-1⽽且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律.解由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, ⽽121{0}{0}04P X P X =?==≠, 所以X 1和X 2不独⽴.2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为(,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<其它求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-= , 所以 18k =. (2) 31201,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--??1322011(6)d 82y x x y =--321113()d 828y y =-=?. (3) 1.51.5 { 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==??4 1.521d (6)d 8y x y x --=22011(6)d 82y x x y =--?421633()d 882y y =-? 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下⽅区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)?的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =??44201d (6)d 8x y x y x -=--??4422011(6)d 82xy x x y -=--?42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----? 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-? 423211(4)(4)86y y =----?23=. 图3-8 第4题积分区域3. ⼆维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =≤≤≤≤其它.试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤. 解由2111401(,)d d d (1)d 26xk k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-??,解得6=k .因⽽ 2112401{(,)}d 6d 3()d 4x xP X Y G x xy y x x x x ∈==-=. 4. 设⼆维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=??≤≤≤≤其它求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因⽽, 有24.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=其它.其它. 124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,yY y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=其它.其它.5. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,1,U X U --=>-??若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>??若≤若试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2){P X Y +≤1}.解 (1) 见本章第三节三(4).(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分布律;(2) {22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=. ⽽{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设⼆维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<其它求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===?;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=??当02()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=其它 (2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;当0z f x y x y -=≤2x12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =?+24z z =-.故 1,02,()20,.()其它Z zzz f z F z -<<'== (3) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===. 3. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三⾓形区域, ⼆维随机变量(,)X Y 在G 上服从⼆维均匀分布.求: (1) (X , Y )的联合概率密度；(2) {1}P Y X -≤；(3) 关于X 的边缘概率密度.解 (1)由于三⾓形区域G 的⾯积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=??. 其中0G S 为G 0的⾯积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=?. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-?. 当1x 时, 0)(=x f X .因此∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独⽴, 且分布律分别为下表:求⼆维随机变量(,)X Y 的分布律.解由于X 与Y 相互独⽴, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =?====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得⼆维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独⽴? 解由于边缘分布满⾜23111,1i j i j p p ??====∑∑, ⼜X , Y 相互独⽴的等价条件为p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).故可得⽅程组 21,3111().939αβα++==?+解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i .p .j 成⽴. 因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独⽴..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=?<<>?其它 (1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独⽴？解 (1) 由11()101(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-?,得 111e b -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=?1e ,01,1e 0,xx --<<=-??其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=?e ,0,0,y y ->=其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =?，所以X 与Y 相互独⽴.4. 设X 和Y 是两个相互独⽴的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()20Y yy f y y ->=，≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的⼆次⽅程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=??其它， 21e ,0,()20,.yY y f y ->=其它因X 和Y 相互独⽴, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==其它 (2) ⽅程有实根的充要条件是判别式⼤于等于零. 即244X Y ?=-≥20X ?≥Y .因此事件{⽅程有实根}2{X =≥}Y .下⾯计算2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈?.图3-3 第6题积分区域习题3-41. 设⼆维随机变量(X ,Y )的概率分布为YX 0 10 0.4 a 1 b 0.1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独⽴, 求常数a , b .解⾸先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,{0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,即(0.4)0.5a a =+?. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独⽴的随机变量X ,Y 的分布律分别为求随机变量Z = X + Y 的分布律.解随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=?=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===?+?=,28.04.07.0}4,3{}7{=?=====Y X P Z P ,或写为3. 设X 和Y 是两个相互独⽴的随机变量, 且X 服从正态分布N (µ, σ2 ), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()x X f x µσ--=,),(+∞-∞∈x ;-?-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独⽴, 所以22()21()()()d d 2z y a Z X Y f z f z y f y y y a µσ---+∞=1[()()]2z µa z µa ΦΦa σσ-+---. 4. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正⽅形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==≤≤21[42(2)]412u =-?- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解⾸先(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==??1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=??取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=??取其它值.当10<,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独⽴, 下表列出⼆维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填⼊表中空⽩处 .解⾸先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==, 所以有24P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利⽤X 和Y 的独⽴性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利⽤X 和Y 的独⽴性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======. 于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利⽤X 和Y 的独⽴性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======?=; 2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======?=; 1313111{,}{}{}43123.(34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=?>>??其它(1) 求常数k ；(2) 求(X ,Y )的分布函数；(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ；(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独⽴?解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=??.当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ;当,0>>y x 时,34340(,)12e d e d (1e )(1e )x即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.其它x y x y F x y --?-->>=??(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.(4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞>==所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -?>=??类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -?>=?显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈??=, 故X 与Y 相互独⽴. 4.解已知),(Y X 的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , ⽽0}1,1{===Y X P ,可见P{X=1, Y=1}≠P{X=1}P{Y=1}. 因此X与Y不相互独⽴.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P , }1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P 3 112161121=++=, 3(3) V =21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 2 1}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P .即min{,}U X Y =的分布律为(5) W U =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,。
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P120（25题）
在某细沙机上进行断头率测定，试验锭子总数为440个，测得各锭子的断头次数记录如下: 每锭断头数： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 实测锭数： 263 112 38 19 3 1 1 0 3
试检验各锭子的断头数是否服从泊松分布（α=0.05）假设H0，各锭子的断头数服从泊松分布即P(x=i)=λie-λ/i!其中λ未知，而λ的极大似然估计为
故自由度数
P121（28题）
做检验
由此图形可大致认为其为母体及正态分布下面用 检验法作检验
查表可知无论 为何值，总有 故接受
即认为母体服从正态分布
2,16==k l ∑==-=16
122
069.3)(i i
i i np np m χα069.3)13(2>α
χ0
H )13()1216(2
2ααχχ=--2
χ
认为机器之间的差异可以忽略操作工之间的差异显著交互作用的影响显著。
α=0.05查表F0.05(1,3)=10.13
F1=F2=0.1446<F0.05(1,3)=10.13
F4=0.9036<F0.05(1,3)=10.13
F7=0<F0.05(1,3)=10.13
故可接受退火温度、退火时间、原料产地、轧程四种因素对铁损没有影响225页11题
11.在某项钢材的新型规范实验中，研究含碳量（x1）和回火温度（x2）对它的伸长率（Y）
的关系。
15批生产试样结果如下：
含碳量（x1）57 64 69 58 58 58 58 58 58 57 64 69 59 64 69 回火温度（x2）535 535 535 460 460 460 490 490 490 460 435 460 490 467 490 伸长率（Y）19.25 17.50 18.25 16.25 17.00 16.75 17.00 16.75 17.25 16.75 14.75 12.00 17.75 15.50 15.50
根据经验，Y关于x1、x2有二元线性回归关系Y=β0+β1x1+β2x2+ε其中ε~N(0,σ2)。
（1）求β0、β1、β2的最小二乘估计，写出经验回归平面方程；
（2）检验线性回归是否显著（α=5%）
（3）检验β2是否显著为零（α=5%）
（4）当x1=70，x2=540时对Y作区间估计（1-α=95%）
11解：（1） 2p = 15n =
采用线性回归模型 ()()
1122Y x x x x μββε=+-+-+
15
1248.25i
i y
==∑ 16.55y =
15
2
1
4148.3125i
i y
==∑
15
1
1920i i x
==∑
15
21
1
56734i i x
==∑
161.33x =
15
2
1
7257i i x
==∑ 2483.8x =
15
22
13524489i i x
==∑
15
12
1445366i i i x
x ==∑
15
11
15170i i
i x
y ==∑
15
2
1
12063925i i i x
y ==∑
2
15
152
11111115673456426.66307.3415i i i i L x x ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∑∑
2
15
152
22221
1135244893510936.613552.415i i i i L x x ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∑∑
15
151512211212111144536644509627015i i i i i i i L L x x x x ===⎛⎫⎛⎫
==-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑
15
15151111
11115170152265615y i i i i i i i L x y x y ===⎛⎫⎛⎫
=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑
15
15152221
111120639.25120103.2553615y i i i i i i i L x y x y ===⎛⎫⎛⎫
=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑
于是 16.55y μ∧
== 307.3427027013552.4L ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
1256536y y L L ⎡⎤-⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
可得 11256536L ββ∧-∧⎡⎤-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以 1210.5040.2160.04y x x =-+。