概率论与数理统计期末复习题
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题(每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________。
答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P 。
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。
答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( )(A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）3311()()()()328168A B C D(3)),4,(~2μN X ),5,(~2μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p >(4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）⎰-=-adx x f a F 0)(1)( （B ）⎰-=-adx x f a F 0)(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F(5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记5011,50i i X X ==∑ 则 50211()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2,)50N (B) 2(,4)50N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)(1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=⋃B A P ,则___________)(=B A P(2) 设随机变量X 有密度⎩⎨⎧<<=其它010,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=>的常数a =(3) 设随机变量),2(~2σN X ，若3.0}40{=<<X P ,则=<}0{X P (4)设()221xx f x -+-=， 则EX = , DX =(5)设总体~(,9)X N μ，已知样本容量为25，样本均值x m =；记0.1u a =，0.05u b =；()0.124t c =，()0.125t d =；()0.0524t l =，()0.0525t k =，则μ的置信度为0.9的置信区间为三、解答题 （共60分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2、(10分)设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y求:随机变量Y X Z +=的概率密度函数.3、(10分)设随机变量X 服从参数2λ=的指数分布，证明：21XY e-=-服从()0,1上的均匀分布。
《概率论与数理统计（本科）》复习题
《概率论与数理统计（本科）》复习题《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题⼀、选择题1、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 全不发⽣的事件可以表⽰为( ). (A)ABC (B) A B C ?? (C) A B C ?? (D) A B C2、设A 和B 是任意两个事件，且A B ?，()0P B >，则下列结论必成⽴的是（）（A ）()()P A P A B < （B ）()()P A P A B >（C ）()()P A P A B ≤ （D ）()()P A P A B ≥3、设A 和B 相互独⽴，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.54、设A,B 为两随机事件，且B A ?，则下列式⼦正确的是（）（A ）()()P A B P A ?=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B - 5、以A 表⽰甲种产品畅销，⼄种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，⼄种产品畅销 (B) 甲、⼄产品均畅销 (C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或⼄产品畅销 6、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B ?=，则()P A B =（）。
(A) 0.2 (B) 0.45 (C) 0.6 (D) 0.75 7、设A B ?，则下⾯正确的等式是( )。
(A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=- (C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =8、设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A ）A 与B 不相容（B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -= 9、设(),(),()P A a P B b P A B c ==?=，则()P AB =( ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 10、对于任意两个事件,A B ，下列式⼦成⽴的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- (B) ()()()()P A B P A P B P AB -=-+ (C) ()()()P A B P A P AB -=- (D) ()()()P A B P A P AB -=+ 11、已知,()0.2,()0.3A B P A P B ?==，则()P BA =( ).(A) 0.3 (B) 0.2 (C) 0.1 (D) 0.4 12、设B A ,满⾜1)(=B A P ，则有（）。
《概率论与数理统计》期末考试题(附答案)
《概率论与数理统计》期末考试题一. 填空题（每小题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.1p(AB)0.3,)B (p ,5.0)A (p ===，则=)B -A (p 0.4 、=)B A (p 0.7 、=)B A (p 1/3 ,)(B A P ⋅= 0.3 。
2、一个袋子中有大小相同的红球4只黑球2只，(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 8/15 。
(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 4/9 。
(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 13/21 .3、设随机变量X 服从参数为6的泊松分布，则{}=≥1X p 1- 6-e4、设随机变量X 服从B （2，0. 6）的二项分布,则{}==2X p 0.36 , Y 服从B （8，0. 6）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则Y X +服从 B （10，0. 6） 分布，=+)(Y X E 6 。
5、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有则=a _0.3_，X 的数学期=)(X E ___0.5_______，Y X 与的相关系数=xy ρ___0.1_______。
第 1页共 4 页6、三个可靠性为p>0的电子元件独立工作，（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：3p ；（2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：3)1(1p --；7、（1）若随机变量X )3,1(~U ，则{}=20〈〈X p 0.5；=)(2X E _13/3， =+)12(X D 3/4 ．（2）若随机变量X ~)4 ,1(N 且8413.0)1(=Φ则=<<-}31{X P 0.6826 ，(~,12N Y X Y 则+= 3 ， 16 ）。
8、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)=1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=+)2(Y X E 5 ，=+)2(Y X D 17 。
概率论与数理统计期末考试试题库及答案
概率论与数理统计期末考试试题库及答案概率论与数理统计概率论试题一、填空题1.设 A、B、C是三个随机事件。
试用 A、B、C分别表示事件1)A、B、C 至少有一个发生 2)A、B、C 中恰有一个发生3)A、B、C不多于一个发生2.设 A、B为随机事件, ,,。
则=3.若事件A和事件B相互独立, ,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________________8. 设~,且,则 _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为_________10.若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+x+10有实根的概率是11.设,,则12.用()的联合分布函数F(x,y)表示13.用()的联合分布函数F(x,y)表示14.设平面区域D由y x , y 0 和 x 2 所围成,二维随机变量x,y在区域D上服从均匀分布,则(x,y)关于X的边缘概率密度在x 1 处的值为。
15.已知,则=16.设,且与相互独立,则17.设的概率密度为,则=18.设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]上服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为3的泊松分布,记YX1-2X2+3X3,则D(Y)19.设,则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有~ 或 ~ 。
特别是,当同为正态分布时,对于任意的,都精确有~ 或~.21.设是独立同分布的随机变量序列,且,那么依概率收敛于22.设是来自正态总体的样本,令则当时~。
23.设容量n 10 的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值,样本方差24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体的一个简单随机样本,则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件,且,则下列式子正确的是(A)P A+B P A; (B)(C) (D)2. 以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 (A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”;(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率论与数理统计期末考试复习题
概率论与数理统计复习题一、 填空题1． 事件A 、B 、C 中至少有一个发生可用A 、B 、C 表示为C B A ⋃⋃ 2． 若事件A 、B 满足)()|(B P A B P =，则称A 、B __相互独立 3．X 则=)(X E 0.61.已知P （A)=0.8,P(A —B ）=0。
5，且A 与B 独立，则P(B)= 3/8 ；2.设A ，B 是两个随机事件，P （A)=0.8，P(AB ）=0.4，则P （A-B ）= 0.4 ；3. 设事件A 与B 相互独立，P （A)=0.4，P （B ）=0.5，则P(A ∪B)= 0。
7 ； 4。
事件A 与B 满足P(A ）=0。
5，P(B ）=0。
6, P （B|A)=0。
8，则P （A ∪B)= 0。
7 ; 5。
袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 ; 6.某射手每次击中目标的概率为0。
28，今连续射击10次,其最可能击中的次数为 3 ; 8。
设随机变量X 服从［1，5]上的均匀分布，当5121<<<x x 时，=<<)(21x X x P 412-x10。
设随机变量X 的概率分布为 则=≥)1(2XP 0。
7 ;11。
设随机变量X 服从二项分布B(n ，p)，且E(X)=15,D(X ）=10,则n= 45 ;14。
设随机变量X ~N （1，4),,9332.0)5.1(,6915.0)5.0(==φφ则=>)2(X P 0。
3753 ；15.已知总体X ~N(0,1）,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，则21nii X=∑~)(2n χ16. 已知总体X ~n X X X N ,,),,(212σμ是来自总体X 的样本,要检验,:2020σσ=H 则采用的统计量为22)1(σS n -；17。
设T 服从自由度为n 的t 分布,若,)(αλ=>T P 则=<)(λT P 21α-18。
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概率与数理统计期末复习题一一、填空题1．设随机变量X的概率密度为，则数学期。
2．设随机变量X，Y相互独立，且服从正态分布N（-1，1），则Z=2X-Y的概率密度。
3．进行三次独立试验，在每次试验中事件A出现的概率相等，已知A至少出现一次的概率等于，则事件A在一次试验中出现的概率P(A)= .4.设X,Y是随机变量,D(X)=9,D(Y)=16,相关系数,则D(X+Y)= .5. 口袋中装有2个白球,3个红球,从中随机地一次取出3个球，则取出的3个球中至多有2个红球的概率为 .6. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且, .二、已知随机变量X的概率密度为.求Y= 3lnX的分布函数.三、玻璃杯成箱出售,每箱装有10只玻璃杯.假设各箱含0只,1只和2只次品的概率分别为,,0.04.一顾客要买一箱玻璃杯,售货员随意取出一箱,顾客开箱随机取出3只,若这3只都不是次品,则买下该箱杯子,否则退回.求(1)该顾客买下该箱玻璃杯的概率;(2)在顾客已买下的一箱中,确实没有次品的概率.四、设随机变量(X,Y)的概率密度为,求 ( 1)边缘密度 ; (2)协方差cov(X,Y),并问X 与Y 是否不相关?五、已知一批产品的某一数量指标X服从正态分布,问样本容量n为多少,才能使样本均值与总体均值的差的绝对值小于的概率达到. [ ，，]。
六、使用归工艺生产的机械零件,从中抽查25个,测量其直径,计算得直径的样本方差为.现改用新工艺生产, 从中抽查25个零件,测量其直径,计算得直径的样本方差为. 设两种工艺条件下生产的零件直径都服从正态分布,问新工艺生产的零件直径的方差是否比旧工艺生产的零件直径的方差显着地小()?七、设总体X的的概率密度为其中,是未知参数,是总体X的样本观察值.求(1) 的矩估计量;(2) 的极大似然估计量,并问是的无偏估计吗?八、设随机向量(X,Y)的概率密度为求 (1)条件概率密度;(2) Z=X+Y的概率密度.;概率与数理统计期末复习题二一、一、选择题1.设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为X 1 2 Y 1 21/3 2/3 1/3 2/3则下列命题正确的是。
(A)P(X=Y)=1/3 (B)P(X=Y)=2/3 (C)P(X=Y)=1 (D)P(X=Y)=5/9.2．设P(AB)=0,则下列命题正确的是 .(A)A与B不相容 (B)A与B独立 (C)P(A)=0或P(B)=0 (D)P(A-B)=P(A).3.在假设检验中,记H1为备择检验,称为犯第一类错误.(A) H1为真,接受H1 (B) H1不真,接受H1 (C) H1为真,拒绝H1 (D) H1不真,拒绝H1.?二、二、填空题1．设两两相互独立的三事件A，B，C满足ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知P(AUBUC)=12/25.则P(A)= .2. 随机变量X的概率密度为则X的分布函数F(x)= .3．设随机变量X与Y均服从正态分布N(-1,1),且相互独立，则Z=X-2Y的概率密度。
4. 设X1,X2,…,X6为来自正态总体N(0,1)的简单随机样本,而Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,试确定常数c= 使得随机变量cY服从?2分布.5. 设X1,X2,…,X n为n个相互独立同分布的随机变量,且E(X i)=?,D(X i)=8(i=1,2,….,n),对于,用切比雪夫不等式估计P{?-4<<?+4}.6. 设X1,X2,…,X n为来自正态总体N(?,?2)的一个样本,其中参数?,?>0未知,则?的置信水平为1-?(0<?<1)的置信区间长度L= ,数学期望E(L2)= .三、某种产品,每一批中都有2/3的合格品.验收每批产品时规定:从中任取一个,若为合格品,则放回,然后再任取一个,如果仍为合格品,则接受这批产品;否则,拒绝接收该批产品.求:(1)每批产品被拒绝接收的概率;(2) 检验三批产品,最多有一批被拒绝接收的概率.四、两台同样的自动记录仪,每台正常工作的时间服从参数为?=1/3的指数分布。
首先开动其中的一台，当其发生故障时停用，而另一台自动开动。
试求两台记录仪正常工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差。
五、设总体X服从参数为?的泊松分布，?>0未知，X1,X2,…,X n为来自总体X的一个样本观察值。
求?的极大似然估计量，并求其方差。
六、设的联合概率密度为:(1)边缘概率密度f X(x), f Y(y)和条件概率密度f Y(y|x);(2)证明X与Y不相关,但X与Y不独立.七、有两个相互独立工作的电子装置,其寿命服从同一指数分布,分布函数为(1) 若将这两个电子装置串联成整机,求整机的寿命的分布函数和数学期望;(2)若将这两个电子装置并联成整机,求整机的寿命的分布函数和数学期望.八、某种织物的强力指标的均值为?=21(kg).改进工艺后生产一批织物,今抽取25件,测得(kg),(kg).强力指标服从正态分布.问在显着水平?=条件下,新生产织物比过去的织物的强力是否要高?附表:概率与数理统计期末复习题三三、填空题1．设A与B是相互独立的随机事件，满足P(A)=, P()= ,则P(B)= .2. 随机变量X,随机变量Y服从参数的指数分布, 其概率密度为而且X与Y的相关系数为, 则= .3．设离散型随机变量X的分布函数为则随机变量X的分布律为。
4. 设随机变量X, 随机变量Y, 且X与Y是相互独立,令，则分布.5.设总体X服从参数为λ的泊松分布, 为未知参数。
是总体X中抽取的一个样本，则参数λ的矩估计量= .二、选择题1．在某大学任意选出一名学生。
令：A={选出的学生是男生}，B={选出的学生是三年级学生}，C={选出的学生是数学系的学生}，则当时，ABC=C成立。
（A）数学系的学生都是三年级的男生（B）三年级的学生都是数学系的男生（C）该学校的男生都是数学系三年级的学生（D）三年级的男生都是数学系的学生2．设袋中有a只黑球，b只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为（）（A）（B）（C）（D）3．设离散型随机变量X的分布律为其中为常数，则c=（）（A ） （B ） （C ） （D ）4． 设随机变量相互独立的且同分布，而且令，则对任意给定的，由切比雪夫不等式直接可得（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）5．设总体X,是从中抽取的一个简单随机样本，则的无偏估计量为（ ） （A ） （B ） （C ）（D ）三 设有两箱同种类零件,第一箱装有50件,其中10件为一等品;第二箱装有30件,其中18件为一等品,今从两箱中随意取出一箱,然从该箱取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样.求: (1) 第一次取出的零件为一等品的概率;(2) 在第一次取出的零件为一等品的条件下,第二次取出的也是一等品的概率.四.甲，乙两人进行比赛,规定若某人先赢得4局比赛的胜利得整场比赛的胜利. 设在每局比赛中,甲，乙两人获胜的概率都是,令X 表示所需比赛的局数,求:(1) X 的可能取值; （2）X 的分布律; （3）E(X).五.向平面区域内随机地投掷一点,即二维随机变量(X,Y)服从平面区域D 上的均匀分布. (1) 试求二维随机变量(X,Y)的联合密度函数; (2) 点(X,Y)到轴距离的概率密度函数;(3) 设(X,Y)D,过点(X,Y)作y 轴的平行线,设S 为此平行线与轴、轴以及曲线所围成的曲边梯形的面积,求E(S). 六.设随机变量X 与Y 的分布律分别为0 1 0 1 1- 1- 其中证明:如果X 与Y 不相关,则X 与Y 相互独立.七.假设一条自动生产线生产的产品的合格率为,试用中心极限定理计算,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件? (已知其中是正态分布的分布函数)八.设总体X 服从区间上的均匀分布,其中为未知参数. 是从该总体中抽取的一个样本. (1)求未知参数的极大似然估计 (2)求的概率密度函数;(3)判断是否为未知参数的无偏估计.九.某厂在所生产的汽车蓄电池的说明书上写明：使用寿命的标准差不超过年,现随机地抽取了10只蓄电池, 测得样本的标准差为年,假定使用寿命服从正态分布,取显着性水平,试检验概率论与数理统计期末复习题四一. 单项选择题1.现有5个灯泡的寿命i ξ. ()5,4,3,2,1=i独立同分布,且a E i =ξ b D i =ξ ()5,4,3,2,1=i .则5个灯泡的平均寿命η的方差=ηD ( )(A) 5b (B) b (C) (D) 2. 0=ξD 是1}{==C P ξ(C 是常数)的( )(A) 充分条件,但不是必要条件 (B) 必要条件,但不是充分条件 (C) 充分条件又是必要条件 (D) 既非充要条件又非必要条件3. 离散型随机变量ξ的概率分布为k b k P λξ==)(),2,1(K =k 的充分必要条件是( )(A) 0>b 且10<<λ (B) λ-=1b 且10<<λ(C) 11-=λb且1<λ (D) b+=11λ且0>b 二．填空题1．某柜台有4个服务员,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时每人需用台秤的概率为41,则4人中最多1人需用台秤的概率为 .2. 从1,2,…,10共十个数字中任取一个,然后放回,先后取出5个数字,则所得5个数字全不相同的事件的概率等于3. 设A , B 是两个相互独立的随机事件,且41)(=A P 31)(=B P 则=-)(B A P 4. 设A , B 是两个随机事件,且0)(>B P .则由乘法公式知=)(AB P三.设21,ξξ是相互独立的,均服从(0-1)分布,且6.0)1()1(21====ξξP P .求},min{21ξξη=的概率分布.四. 已知随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤-+≥+=其他,012,)2(0,1)(2x x b x x ax f .已知43}1{=≤X P . 求: (1) 常数a ,b 的值. (2) X 的分布函数F (x ). (3)Y =X 3的概率密度函数.五. 对同一目标进行三次射击,第一,二,三次射击的命中概率分别为,,.试求至少有一次击中目标的概率.六. 在次品率为61的一大批产品中,任意抽取300件,试计算在抽取的产品中次品件数在40到60之间的概率.已知标准正态分布函数)(x Φ的值:9394.0)55.1(=Φ 8849.0)2.1(=Φ七 设二维随机变量),(ηξ的概率分布为1-=η 0=η 1=η1-=ξ8181810=ξ81 0 811=ξ8181 81问ξ与η是否相互独立?八. 一种设备使用到2000小时不能正常工作的概率为,使用到3000小时不能正常工作的概率为,求已经工作了2000小时的设备能继续工作到3000小时的概率.九． 设某种电子管的寿命X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>=10,10,10)(2x x x x ϕ.问150小时内,上述三只电子管没有一只损坏的概率是多少?三只电子管全损坏的概率又是多少?概率论与数理统计 期末复习题(五)一. 已知21)(=A P , 31)(=B P , 按下列条件,试求)(B A P ⋃的值. (1) 0)|(=B A P (2) )()|(A P B A P = (3))()|(B P B A P =二. 设X ?)2,10(2N ,10-=X Y ,2)210(-=X W ,求)(W Y D -三、在20件电子元件中,有一等品10件,二等品6件,三等品4件,已知一、二、三等品的寿命(单位:h)分别服从参数4001=θ ，2002=θ ，1003=θ的指数分布.(1) 从20件电子元件中任取一只元件使用,求寿命超过400小时的概率.(2) 从20件电子元件中有放回地任取4件使用,求至少有一间寿命超过400小时地概率. (37.01=-e,保留小数点后两位小数位)四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤<=+-其他,031,1,)(22x Bx Ae x f xx . 其中A ,B 为大于零的常数,且已知41}2523{=<<X P .求: (1) A ,B 的值.(2)随机变量X 的分布函数)(x F .要求: 所求结果用)(x Φ表示,其中()dt ex t x2221-∞-⎰=πΦ五、设二维随机变量(X ,Y)的联合密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,00,10,),(3x y x ax y x f(1) 求a ;(2) 求X 和Y 的边缘概率密度)(x f X ,)(y f Y .并判断X 与Y 是否相互独立?(3) 求E(X), E(Y), 并判断X 与Y 是否相关？ (4) 求P{Y>X/2}; (5) 求Y X Z+=的概率密度)(z f Z六. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=+-ax ax bx a b a x f b b ,0,),,()1(.其中参数0>a 已知,0>b 未知.n x x x ,,,21K 为来自总体X 的样本.求未知参数b 的最大似然估计和矩估计.七. 某厂用填装机将香水装入同一规格的瓶内,每瓶内香水的装量X ?)5,(2μN (单位:ml).现研制一种新的装速较快的填装机,已知它装入每瓶内的香水量服从正态分布),(2σμN .现从新机器所装的香水中任取20瓶,测得香水量为201,,x x Λ.经计算得75.221)(2201=-∑=x x i i ,其中x 为样本均值.试问用新的机器投入生产,每瓶香水量得标准差较原来得标准差是否有显着得差异(显着水平05.0=α).附表:086.2)20(025.0=t 725.1)20(05.0=t 852.32)19(2025.0=χ170.34)20(2025.0=χ 117.10)19(205.0=χ 907.8)19(2975.0=χ591.9)20(2975.0=χ 851.10)20(295.0=χ 410.31)20(205.0=χ9909.0)36.2(=Φ八. 设总体X ?)2,0(2N ,1021,,,X X X K 为来自总体X 的样本.令∑∑==+=1062512)()(j j i i X X Y试确定常数C ,使CY 服从2χ分布,并指出其自由度.概率论与数理统计期末复习题六一 选择题1. 对于任意的两个随机变量ξ和η,若)()()(ηξξηE E E =,则有( )(A) )()()(ηξξηD D D = (B) )()()()(ηξηξD D D D +=+(C) ξ和η独立 (D) ξ和η不独立 2. 对于任意事件A 和B ,若1)(0<<B P ,则有( )(A) 1)|()|(=+B A P B A P (B) 1)|()|(=+B A P B A P (C) 1)|()|(=+B A P B A P (D) 1)|()|(=+B A P B A P3. 设a B A P =⋃)( b A P =)( c B P =)( 则)(B A P 等于( )(A) c c a )(+ (B) 1-+c a (C) c b a -+ (D) c b )1(- 4. 设随机变量X 的密度函数为)(x f 是连续的偶函数(即)()(x f x f -=),而)(x F 是X 的分布函数,则对任意的实数a 有( )(A) )()(a F a F -= (B) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)((C) ⎰-=-a dx x f a F 0)(21)( (D) )()(a F a F -=-二. 填空题1. 对目标进行独立射击,每次命中的概率均为25.0=p ,重复进行射击直至命中目标为止,设ξ表示射中的次数,则=ξE2. 设41)()(==B P A P , 21)(=C P , 0)(=AB P , 81)()(==BC P AC P , 则C B A ,,三者都不发生的概率=)(C B A P3. 袋中装有5个白球.3个黑球,4个红球.从中一次取出三个球,则三个球是同色的概率为4. 设随机变量ξ和η相互独立, 且0==ηξE E , 1==ηξD D ,则=+])[(2ηξE三. 一批零件中有9个正品与3个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出的废品不再放回而再另取一个零件,直到取得正品为止,求在取得正品以前已取出废品数X 的分布律.四、 已知二维随机变量(X ,Y )联合密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,0,0,),()1(y x cx y x f y x求: (1) c 的值. (2) X ,Y 的边缘密度)(),(y f x f Y X ,并判断X 与Y 是否相互独立?五. 设随机变量X 服从参数为θ的指数分布)0(>θ,求随机变量2313+=X Y 的概率密度. 六. 随机地掷6颗骰子,试用切比雪夫不等式估计:6颗骰子出现的点数总和不小于9点且不超过33点的概率. 七. 甲乙二人独立地投篮,已知甲投中地概率为8.01=p , 乙投中地概率为5.02=p . 现两人各投三次,求两人投中次数相等的概率.八. 3各相互独立的元件串联成一个系统,若3个元件的使用寿命)3,2,1(=k X k 都服从同一参数为)0(>θθ的指数分布. 试求该系统的寿命Y 的分布函数和概率密度函数.九. 保险公司新增一个保险品种:每个被保险人年交纳报费为100元,每个被保险人若出事赔付金额为2万元.根据统计,这类被保险人年出事概率为.这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用.在忽略其他费用的情况下,一年内至少需要多少人参保,才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%? (901.0)29.1(=Φ 950.0)65.1(=Φ 9990.0)09.3(=Φ 9999.0)72.3(=Φ 99999.0)27.4(=Φ )十．已知某厂生产的某种灯泡的寿命(单位:kh)服从正态分布),(2σμN ,并要求灯泡的寿命的标准差1.2≤σ.现从产品中任取5个灯泡进行试验,得结果为试在显着水平10.0=α下,检验该厂这一天生产得灯泡得寿命的标准差是否符合要求.。