专题一讲义__平均数、等差数列与求和
专题一 数列求和的常用方法
专题一 数列的求和一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．能运用错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式． 二、教学重点：特殊数列求和的方法．三、教学过程：（一）主要知识：1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和；也可利用常见的求前n 项和的公式： （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S nn（切记：公比含字母时一定要讨论） （3）222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑例1：求和：1+a1+21a+ +na1例2：若实数a 、b 满足：02649422=+--+b a b a ，求99100232b a b a b a a ++++2. 分组求和法：若数列}{n a 的通项可转化为n n n c b a +=的形式,且数列}{n b 、}{n c 可求出前n 项和b S 、c S 则()()()()()cb n n n n nn S S c c c b b b c b c b c b a a a S +=+++++++=++++++=+++= 2121221121例3：求数列412、814、1616、 、1212++n n 、 的前n 项和n S例4：求数列 、、、、、、132322222212221221211-+++++++++++n 的前n 项和n S练习1：个n n S 111111111++++=练习2：22222)1()1()1(nnn xx xx xx S ++++++=练习3: 求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S3．错位相减法：比如{}{}.,}{,,2211的和即求等比等差n n n n n n b a b a b a b a b a +++∙ 例5．已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。
2024版中职教育数学《等差数列》课件
课件•课程介绍与教学目标•等差数列基本概念与性质•等差数列求和公式与方法•等差数列在生活中的应用举例目录•拓展内容：等比数列简介及与等差数列关系•课堂互动环节与练习题设计01课程介绍与教学目标《等差数列》是中职教育数学课程中的重要内容，对于提高学生的数学思维和计算能力具有重要意义。
掌握《等差数列》的知识和技能，有助于学生更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
中职教育数学课程是中等职业教育的重要组成部分，旨在培养学生的数学素养和解决实际问题的能力。
课程背景及意义教学目标与要求知识与技能目标01掌握等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识；能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题。
过程与方法目标02通过探究、归纳、推理等过程，培养学生的数学思维和解决问题的能力；通过小组合作、交流讨论等方式，提高学生的合作意识和表达能力。
情感态度与价值观目标03激发学生的学习兴趣和探究欲望，培养学生的数学素养和审美情趣；引导学生体会数学在解决实际问题中的应用价值，增强学生的数学应用意识。
教材分析与选用教材分析本课程选用中等职业教育数学教材，该教材注重基础性和实用性，符合学生的认知规律和学习特点。
教材内容包括等差数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识，以及相应的例题、习题和实践活动。
选用理由该教材注重基础性和实用性，能够帮助学生掌握等差数列的基本知识和技能；同时，该教材还注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，符合中等职业教育数学课程的教学要求。
02等差数列基本概念与性质等差数列定义及通项公式定义等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
通项公式an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差中项性质及应用等差中项性质在等差数列中，任意两项的算术平均数等于它们的等差中项。
应用利用等差中项性质可以求解等差数列中的未知项，也可以证明等差数列的相关性质。
等差数列前n项求和公式方法
等差数列前n项求和公式方法等差数列是数学中常见的一种数列。
其中，首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
要求等差数列前n项求和的公式，可以通过以下几种方法来推导。
一、首项与末项求和法首项与末项求和法是最常见的一种方法。
设首项为a₁，末项为aₙ，则数列的项数为n。
1.求首项与末项首项a₁为数列的第一项，末项aₙ为数列的第n项。
可以根据等差数列的通项公式推导得到，通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d其中，d表示公差。
2.求和公式根据等差数列的性质，首项与末项之和等于各项的平均数乘以项数，可以得到求和公式：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2其中，Sₙ表示前n项的和。
二、差法差法是一种较为简便的求和公式推导方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.推导公式将数列分为两组，一组从首项开始，另一组从末项开始。
则两组数列的和相等，可以得到以下等式：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁+aₙ)×(n/2)+(a₁+aₙ)×(n/2)化简可得：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁×n+aₙ×n)/2再次化简可得：(a₁+aₙ)×n=a₁×n+aₙ×n进一步化简可得：Sₙ=(a₁+aₙ)×(n/2)其中，Sₙ表示前n项的和。
三、差分法差分法是另一种可以用于推导等差数列前n项求和公式的方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.构造数列构造一个新数列b₁、b₂、b₃、..，其中，b₁为a₁，b₂为a₁+(a₁+d)，b₃为a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)，以此类推。
3.求和求这个新数列的和S₁，其中S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ。
4.推导公式可以得到以下等式：S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ=(n/2)×(2a₁+(n-1)d)将b₁展开，可以得到：S₁ = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d)再次化简可得：S₁ = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d) = (n / 2) × (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和。
专题6.4 等差、等比数列与数列求和(讲)(解析版)
专题6.4 等差、等比数列与数列求和1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。
知识点一 求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d ．②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝ (－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 知识点二 常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .考点一 分组转化求和 【典例1】(2019·天津高考)设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n k k n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N .（i ）求数列(){}221nna c-的通项公式；（ii ）求()2*1ni i i a c n =∈∑N . 【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】 (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩， 故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n nn b -=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32n n b =⨯.(Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-.所以，数列(){}221nna c -的通项公式为()221941nnn a c-=⨯-.(ii )()22111nni iiiii i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n niiii i a a c===+-∑∑()2212432n nn⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑()()2114143252914n n n n---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈.【方法技巧】分组法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比或等差数列，可采用分组法求和．【变式1】 (河南省焦作一中2019届模拟)已知{a n }为等差数列，且a 2＝3，{a n }前4项的和为16，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝88，且数列{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n －a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】(1)设{a n }的公差为d ， 因为a 2＝3，{a n }前4项的和为16， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋4×32d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 设{b n －a n }的公比为q ， 则b 4－a 4＝(b 1－a 1)q 3， 因为b 1＝4，b 4＝88， 所以q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝88－74－1＝27，解得q ＝3，所以b n －a n ＝(4－1)×3n －1＝3n . (2)由(1)得b n ＝3n ＋2n －1，所以S n ＝(3＋32＋33＋…＋3n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1) ＝3（1－3n ）1－3＋n （1＋2n －1）2＝32(3n －1)＋n 2＝3n ＋12＋n 2－32.考点二 错位相减求和 【典例2】（2019·天津高考）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c bn ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求()*112222n na c a c a c n N ++⋅⋅⋅+∈.【答案】（I ）3n a n=，3nn b =；（II ）22(21)369()2n n n n N +*-++∈【解析】（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩，故33(1)3n a n n=+-=，1333n nn b -=⨯=，所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n n b =；（II ）112222n na c a c a c ++⋅⋅⋅+135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅123(1)[36](6312318363)2n n n n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⨯⋅+⋅21236(13233)n n n ⋅=+⨯⨯+⨯++⨯⋅⋅，记 1213233nn T n ⋅=⨯+⨯++⨯⋅⋅ ① 则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯⋅⋅⋅ ②② － ①得，231233333n n n T n +⋅=-----+⨯⋅⋅113(13)(21)333132n n n n n ++--+=-+⨯=-，所以122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯⋅⋅⋅22(21)369()2n n n n N +*-++=∈.【方法技巧】(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．同时要注意等比数列的项数是多少．【变式2】（2017·山东高考）已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n .(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)·b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n 。
数列专题讲义
教师辅导讲义（2）讲义编号：学员编号 年 级 高三 课 时 数学员姓名辅导科目数学学 科 教 师戴老师课 题 数列专题授课时间： 教学目标教学内容备考策略：数列问题历来是江苏卷压轴题的必考内容，解答题中难度很大，填空题基本上为基础题，所以在今后的复习中需要关注以下几点：1．等差、等比数列的基本量的求解．2．等差、等比数列的性质如等差(比)中项． 3．多采取从特殊到一般研究问题的角度． 4．恒等问题和不等关系基本论证的训练．数列通项及求和 主干知识整合：1．数列通项求解的方法(1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：①叠加法；②叠乘法；③转化法．(3)不完全归纳法即从特殊到一般的归纳法；(4)用a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)求解．2．数列求和的基本方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法． ► 探究点 一 公式法如果所给数列满足等差或者等比数列的定义，则可以求出a 1，d 或q 后，直接代入公式求出a n 或S n .例1 (1)已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，若a 2＝4，则a n ＝________. ,(2)数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前n 项和S n ＝________.(1)2n (2)2n －1－12 【解析】 (1)由a p ＋q ＝a p ·a q ，a 2＝4，可得a 2＝a 21＝4⇒a 1＝2，所以a p ＋1＝a p ·a 1，即a p ＋1a p＝a 1＝2，即数列{a n }为等比数列，所以a n ＝a 1·q n －1＝2·2n －1＝2n .(2)设等比数列的公比为q ，由a n ＋a n ＋1＝6a n －1知，当n ＝2时，a 2＋a 3＝6a 1.再由数列{a n }为正项等比数列，a 2＝1，得1＋q ＝6q ，化简得q 2＋q －6＝0，解得q ＝－3或q ＝2.∵q >0，∴q ＝2，∴a 1＝12，∴S n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.【点评】 这两题都是由“a p ＋q ＝a p ·a q ”和“a n ＋a n ＋1＝6a n －1”推出其他条件来确定基本量，不过第(1)小问中首先要确定该数列的特征，而第(2)小问已经明确是等比数列，代入公式列方程求解即可． 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，前10项和S 10＝70，则其公差d ＝________.23 【解析】 方法一：因为S 10＝70，所以10(a 1＋a 10)2＝70，即a 1＋a 10＝14.又a 10＝10，所以a 1＝4，故9d ＝10－4＝6，所以d ＝23.方法二：由题意得⎩⎨⎧a 1＋9d ＝10，10a 1＋45d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝23. ► 探究点二 根据递推关系式求通项公式如果所给数列递推关系式，不可以用叠加法或叠乘法，在填空题中可以用不完全归纳法进行研究．例2 (1)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项的和为________．(2)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i ＋j ＝k ＋l时，都有a i ＋b j ＝a k ＋b l ，则12010∑=+20101i i i )b (a 的值是________．(1)200 (2)2012 【解析】 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N *)得a 2＝5×2－133×2－7＝3，a 3＝5×3－133×3－7＝1，a 4＝5×1－133×1－7＝2，则{a n }是周期为3的数列，所以S 100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200.(2)由题意得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5；b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，b 4＝5，b 5＝6.归纳得a n ＝n ，b n ＝n ＋1；设c n ＝a n ＋b n ，c n ＝a n ＋b n ＝n ＋n ＋1＝2n ＋1，则数列{c n }是首项为c 1＝3，公差为2的等差数列，问题转化为求数列{c n }的前2010项和的平均数．所以12010∑=+20101i i i )b (a ＝12010×2010×(3＋4021)2＝2012.【点评】 根据数列的递推关系求数列的通项，除了常规的方法外，还可以用不完全归纳法进行研究，如数列周期性的研究．► 探究点三 数阵问题数阵问题主要指的是不仅仅是将数排成一列的数列，而是既有行的排列也有列的排列的数字规律变换的研究．例3 所有正奇数如下数表排列(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)： 第一行 1 第二行 3 5第三行 7 9 11 13 ……则第6行中的第3个数是________．67 【解析】 先计算第六行第三个数为正奇数排列的第几个数，由1＋2＋4＋8＋16＋3＝34得所求的数为第34个，所以2×34－1＝67.【点评】 数阵问题中第m 行的第n 个数的研究，需要分两步研究，第一步研究每一行的数变换规律，第二步再研究列的变换规律．本题实为将一个等差数列分成了若干部分进行研究．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(a n ，b n ，c n )．(1)请写出c n 的一个表达式，c n ＝________；(2)若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10＝________.(用数字作答)c n ＝n ＋2n 2101 【解析】 由1,2,3,4,5，…猜想a n ＝n ；由2,4,8,16,32，…猜想b n ＝2n ；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想c n ＝n ＋2n .从而M 10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝10×(10＋1)2＋2(210－1)2－1＝2101.► 探究点四 数列的特殊求和方法数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握，其中通项公式{a n b n }的特征为{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．例4 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4,5a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n . 【解答】 (1)设{a n }公比为q ，由题意得q >0，且⎩⎨⎧ a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4，即⎩⎨⎧ a 1(q －2)＝3，2q 2－5q －3＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝3，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－65，q ＝－12(舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·3n －1＝3n ，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n ·3n . 所以S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，① 3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1.②②－①得，2S n ＝－3－(32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1 ＝－(3＋32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1，＝－3(1－3n )1－3＋n ·3n ＋1＝32(1－3n )＋n ·3n ＋1＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －123n ＋1.所以数列{a n b n }的前n 项和为S n ＝34＋2n －143n ＋1.【点评】 本题考查等差数列、等比数列的基础知识，第(1)问求数列的通项公式，主要是用解方程组的方法求出首项和公比，注意取舍；第(2)问，求数列的前n 项和，主要考查错位相减法．错位相减时要注意各项的位置要错开，还要注意2S n的左边的系数要处理后，才算求出S n，最后还需要用n＝1,2进行检验．规律技巧提炼1．数列通项公式的研究主要是研究相邻项之间的关系，江苏卷对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量的求解．2．数列求和问题中特殊求和方法在江苏卷的考查也不多，主要还是利用公式法求数列的前n项和，再论证和的性质，故不过多涉及求和的技巧以及项的变形．江苏真题剖析例 [2008·江苏卷] 将全体正整数排成一个三角形数阵：12 345 6789101112131415按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________【分析】本题考查了推理能力，但其本质为分组求和．数阵问题中的某一项的求解，需要先求行的规律，再求列的规律．【答案】n2－n＋62【解析】前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即n2－n2个，因此第n行第3个数是全体正整数中第n2－n2＋3个，即为n2－n＋62.[2010·江苏卷] 函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为a k＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.21【解析】本题考查了导数的几何意义，该知识点在高考考纲中为B级要求．函数y＝x2(x>0)在点(16,256)处的切线方程为y－256＝32(x－16)．令y＝0得a2＝8；同理函数y＝x2(x>0)在点(8,64)处的切线方程为y－64＝16(x－8)，令y＝0得a3＝4；依次同理求得a4＝2，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21.专题十四等差、等比数列的性质主干知识整合：2.证明数列是等差或等比数列的方法(1)等差数列①定义法：a n＋1－a n＝d(n∈N*)；②等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)．(2)等比数列①定义法：a n ＋1a n＝q (n ∈N *)；②等比中项：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)． 要点热点探究► 探究点一 等差、等比中项性质等差中项和等比中项不仅仅可以解决两项和(积)之间的等量关系，也可以进一步推广至若干项如，若m ＋n ＋p ＝r ＋s ＋t ，则等差数列有a m ＋a n ＋a p ＝a r ＋a s ＋a t ；等比数列有a m ·a n ·a p ＝a r ·a s ·a t .例1 (1)[2011·广东卷] 等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 1a 2…a 9＝________.(1)10 (2)5032 【解析】 (1)由S 9＝S 4，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，即5a 7＝0，所以a 7＝0，由a 7＝a 1＋6d 得d ＝－16，又a k ＋a 4＝0，即a 1＋(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋a 1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，即(k －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝－32，所以k －1＝9，所以k ＝10.(2)由等比数列的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 1a 2…a 9＝a 95＝(a 2a 8)9＝5032.【点评】 等差中项和等比中项的本质是整体思想运用，用来实现等量项之间的代换．这是在数列运用基本量研究外的一个重要的处理问题的手段．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.105 【解析】 由条件可知，a 2＝5，从而a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16，得a 1＝2，a 3＝8，公差为3，所以a 11＋a 12＋a 13＝6＋(10＋11＋12)×3＝105. ► 探究点二 数列单调性的研究数列的单调性研究方法有三种：一是用数列的单调性的定义，如a n ＋1>a n ；二是若数列是等差或等比数列可以观察其通项的系数特征；三是可以构造相应的函数，通过函数单调性得到对应数列的单调性．例2 有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为a mk (m ，k ＝1,2,3，…，n ，n ≥3)，公差为d m ，并且a 1n ，a 2n ，a 3n ，…，a nn 成等差数列．且d m ＝(2－m )d 1＋(m －1)d 2.(1)当d 1＝1，d 2＝3时，将数列{d m }分组如下：(d 1)，(d 2，d 3，d 4)，(d 5，d 6，d 7，d 8，d 9)，…(每组数的个数构成等差数列)． 设前m 组中所有数之和为(c m )4(c m >0)，求数列{2c n d n }的前n 项和S n ；(2)设N 是不超过20的正整数，当n >N 时，对于(1)中的S n ，求使得不等式150(S n －6)>d n 成立的所有N 的值．【解答】 (1)当d 1＝1，d 2＝3时，d m ＝2m －1(m ∈N *)．数列{d m }分组如下：(d 1)，(d 2，d 3，d 4)，(d 5，d 6，d 7，d 8，d 9)，… 按分组规律，第m 组中有(2m －1)个奇数，所以第1组到第m 组共有1＋3＋5＋…＋(2m －1)＝m 2个奇数． 注意到前k 个奇数的和为1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，所以前m 2个奇数的和为(m 2)2＝m 4.即前m 组中所有数之和为m 4，所以(c m )4＝m 4. 因为c m >0，所以c m ＝m ，从而2c m d m ＝(2m －1)·2m (m ∈N *)． 所以S n ＝1·2＋3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，2S n ＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，故－S n ＝2＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1 ＝2(2＋22＋23＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝2×2(2n －1)2－1－2－(2n －1)·2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6.所以S n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.(2)由(1)知d n ＝2n －1(n ∈N *)，S n ＝(2n －3)2n ＋1＋6(n ∈N *)．故不等式150(S n －6)>d n 就是(2n －3)2n ＋1>50(2n －1)．考虑函数f (n )＝(2n －3)2n ＋1－50(2n －1) ＝(2n －3)(2n ＋1－50)－100.当n ＝1,2,3,4,5时，都有f (n )<0， 即(2n －3)2n ＋1<50(2n －1)．而f (6)＝9(128－50)－100＝602>0，注意到当n ≥6时，f (n )单调递增，故有f (n )>0. 因此当n ≥6时，(2n －3)2n ＋1>50(2n －1)成立， 即150(S n －6)>d n 成立．所以，满足条件的所有正整数N ＝6,7， (20)【点评】 本题第二小问构造了函数f (n )＝(2n －3)(2n ＋1－50)－100，其中所构成的函数为一次函数与指数函数的乘积函数，由于g (n )＝2n －3，h (n )＝2n ＋1－50都是单调递增函数，但不是恒正，故只有当n ≥6时才能保证恒正，这样得到的函数f (n )才是单调递增函数，前五项的性质，可以代入后一一进行比较．(1)已知数列{a n }为等差数列，若a 5a 6<－1，则数列{|a n |}的最小项是第________项．(2)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．(1)6 (2)212 【解析】 (1)由a 5a 6<－1得，若a 6>0，则a 5<－a 6<0，此时等差数列为递增数列，|a 5|>|a 6|，此时{|a n |}中第6项最小；若a 6<0，则a 5>－a 6>0，此时等差数列为递减数列，|a 5|>|a 6|，仍然有{|a n |}中第6项最小．故{|a n |}中的最小项是第6项．(2)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33，所以a n n ＝n ＋33n －1，设函数f (x )＝x ＋33x －1，则f ′(x )＝1－33x 2，从而在(33，＋∞)上函数f (x )为增函数，在(0，33)上函数f (x )为减函数，因为n ∈N ＋，所以a n n 在33附近的整数取得最小值，由于a 55＝535，a 66＝212，所以当n ＝6时，a n n 有最小值为212. ► 探究点三 等差、等比数列的证明等差、等比数列的证明方法有两种：一是用数列的定义；二是等差中项或等比中项，但其本质都是根据条件寻求相邻两项或几项之间的关系．例3 已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋1－a n ，其中n ＝1,2,3，…. (1)若a 1＝1，b n ＝n ，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1b n －1＝b n (n ≥2)，且b 1＝1，b 2＝2.记c n ＝a 6n －1(n ≥1)，求证：数列{c n }为等差数列． 【解答】 (1)当n ≥2时，有a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝1＋(n －1)×n 2＝n 22－n2＋1.又因为a 1＝1也满足上式，所以数列{a n }的通项为a n ＝n 22－n2＋1.(2)因为对任意的n ∈N *有b n ＋6＝b n ＋5b n ＋4＝1b n ＋3＝b n ＋1b n ＋2＝b n，所以c n ＋1－c n ＝a 6n ＋5－a 6n －1＝b 6n －1＋b 6n ＋b 6n ＋1＋b 6n ＋2＋b 6n ＋3＋b 6n ＋4＝1＋2＋2＋1＋12＋12＝7(n ≥1)，所以数列{c n }为等差数列．【点评】 本题中{c n }是由{a n }构成，而数列{a n }又由数列{b n }构成，所以本题要证明数列{c n }是等差数列，其本质还是论证数列{b n }的特征，其中b n ＋6＝b n 是数列周期性的证明．规律技巧提炼1．等差、等比数列性质很多，在江苏卷的考查中以等差中项和等比中项的考查为主，在运用该技巧时，要注意该等式两边的项数必须相等即两项与两项互换，三项与三项互换．2．在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．3．由一个数列构造生成的新数列，再证明其是否是等差或等比数列时，如果已经有通项公式，则可以直接由通项公式的特征判断，如果只有递推关系，则需要用定义来证明． 江苏真题剖析：例 [2009·江苏卷] 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【答案】 －9【解析】 由条件知数列{a n }中连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由|q |>1，所以{a n }中连续四项可能为(1)－24，36，－54,81，q ＝－32，6q ＝－9；(2)18，－24,36，－54，(该数列不成等比数列，不合题意)；其他情形都不符合．三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是________．－2或－12 【解析】 设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d (d ≠0)，由于d ≠0，所以a －d ，a ，a ＋d 或a ＋d ，a ，a －d 不可能成等比数列； 若a －d ，a ＋d ，a 或a ，a ＋d ，a －d 成等比数列，则(a ＋d )2＝a (a －d )，即d ＝－3a ，此时q ＝a a －3a＝－12或q ＝a －3a a ＝－2；若a ，a －d ，a ＋d 或a ＋d ，a －d ，a 成等比数列，则(a －d )2＝a (a ＋d )，即d ＝3a ，此时q ＝a －3a a ＝－2或q ＝a －3a a ＋3a＝－12.故q ＝－2或－12.[2009·江苏卷] 设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解答】 (1)设公差为d ，则a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)． 因为d ≠0，所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.又S 7＝7得7a 1＋7×62d ＝7，解得a 1＝－5，d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，前n 项和S n ＝n 2－6n .(2)解法1：a m a m ＋1a m ＋2＝(2m －7)(2m －5)2m －3，设2m －3＝t ，则a m a m ＋1a m ＋2＝(t －4)(t －2)t ＝t ＋8t －6，所以t 为8的约数． 因为t 是奇数，所以t 可取的值为±1，当t ＝1，m ＝2时，t ＋8t －6＝3,2×5－7＝3，是数列{a n }中的项；当t ＝－1，m ＝1时，t ＋8t －6＝－15，数列{a n }中的最小项是－5，不符合．所以满足条件的正整数m ＝2.解法2：因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数，又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2.经检验，符合题意的正整数m 为2. 专题十五 数列中的等量关系。
《平均数》 讲义
《平均数》讲义一、什么是平均数在我们的日常生活和学习中，经常会听到“平均数”这个词。
那平均数到底是什么呢？简单来说，平均数就是一组数据的平均值。
它反映了这组数据的总体水平。
比如说，一个班级里有 10 个同学，他们的数学考试成绩分别是 80 分、90 分、70 分、85 分、95 分、88 分、75 分、82 分、92 分、86 分。
那么要了解这个班级数学成绩的大致情况，我们就可以通过计算平均数来得到。
将这 10 个成绩相加，然后除以 10，得到的结果就是平均数。
（80 ＋ 90 ＋ 70 ＋ 85 ＋ 95 ＋ 88 ＋ 75 ＋ 82 ＋ 92 ＋ 86）÷ 10 ＝843（分）所以，这个班级数学成绩的平均数是 843 分。
二、平均数的计算方法平均数的计算方法主要有两种：算术平均数和加权平均数。
1、算术平均数算术平均数是我们最常见、最常用的一种平均数计算方法。
它的计算方法就是将一组数据中所有数据的总和除以这组数据的个数。
比如前面提到的班级数学成绩，就是用算术平均数的方法计算出来的。
2、加权平均数加权平均数则是在计算平均数时，考虑每个数据的权重。
举个例子，期末考试中，小明的数学成绩平时成绩占 30%，期中考试成绩占 30%，期末考试成绩占 40%。
平时成绩是 85 分，期中考试成绩是 90 分，期末考试成绩是 88 分。
那么小明的期末总评成绩就是：85×03 ＋ 90×03 ＋ 88×04 ＝ 877（分）这里就是使用了加权平均数的计算方法。
三、平均数的特点1、平均数受极端值的影响平均数容易受到极端值（极大值或极小值）的影响。
比如一个班级里大部分同学的数学成绩都在 80 分到 90 分之间，但有一个同学考了 30 分，这个极低的分数就会拉低整个班级的平均数。
2、平均数具有代表性虽然平均数可能会受到极端值的影响，但在大多数情况下，它仍然能够在一定程度上代表一组数据的总体水平。
专题一 数列求和分组求和法 PPT
练习:已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
n(2 2n)
1 4
1
1 2n
2
1 1
2
n(n1)1 221 n1
(2)
an
(xn
1 xn
)2
x2n
1 x2n
2
S n ( x 2 x 1 2 2 ) ( x 4 x 1 4 2 ) L ( x 2 n x 1 2 n 2 )
(x 2 x 4 L x 2 n ) (x 1 2 x 1 4 L x 1 2 n ) 2 n
(1)求S20,S21
（2)求Sn
解:(1)S20= -1+3 + (-5)+7 +……+(-37)+39 =20
S21= -1+ 3+ (-5) + 7+(-9) +……+ 39+(-41)
=-1+(-2)×10=-21
(2)当n=2k(k∈Z)时, Sn=(1-3)+(5-7)+……+[(2n-3)-(2n-1)]=k×(-2)=-n、 当n=2k-1(k∈Z)时，
专题一:数列求与得方法 (1)
所谓特殊数列,指得就就是等差数列或等比数列;对于 特殊数列求与，采用公式直接求和即可。
初三数学教材数列与等差数列的求和与应用
初三数学教材数列与等差数列的求和与应用数列是数学中常见的概念，也是初三数学教材中重要的内容之一。
其中，等差数列作为最简单的数列形式，对于初三学生而言尤为重要。
本文将深入探讨数列与等差数列的求和方法以及在实际问题中的应用。
一、数列的定义与求和公式数列由一串有序的数所组成，其中每个数称为数列的项，用字母a1, a2, a3, ...表示。
数列通常会通过一个通项公式或者递推公式来进行定义。
对于数列而言，求和是一个常见的问题。
对于一般的数列，我们可以通过将所有项相加来求得总和。
然而，对于等差数列，有一种简便的求和公式。
等差数列是指数列中任意两个相邻项之差相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。
对于等差数列而言，我们可以通过求和公式来快速计算数列的总和。
等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。
二、等差数列求和的应用等差数列求和公式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 求连续整数和假设我们想求1到100之间所有整数的和。
由于这是一个等差数列，首项a1为1，公差d为1，末项an为100。
代入公式Sn = (a1 + an) * n / 2，即可得到结果。
2. 求平均数对于一组已知的数列，我们可以通过求和公式来快速计算它们的总和。
最后将总和除以项数，即可得到平均数。
3. 平均速度与时间间隔假设有一辆汽车以等差递增的速度行驶，开始时速度为v，每过一个小时速度增加d。
若行驶t小时后的速度为vt，那么我们可以将这些速度表示为等差数列。
通过求和公式，我们可以计算出汽车在t小时内总共行驶的距离。
4. 金融投资在金融投资领域，等差数列的求和公式可以用来计算复利的本息和。
假设我们每年将固定金额的资金投资，年利率为r。
那么经过n年后，我们的本息和可以通过等差数列求和公式来计算。
5. 几何问题等差数列的求和公式还可以应用于几何问题。
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平均数、等差数列例题精讲
一、公式汇总
1、等差数列与求和公式
通项公式：a a n 1=+(n-1)d
衍生公式：))a a d a a a a ÷÷1n n 1n 1=-(n-1)d
=(-(n-1)n =(-d +1
求和公式：a a ⨯÷n 1n S =(+)n 2
其中：a n 表示第n 项，a 1表示首项，n 是项数，d 是公差，n S 是前n 项和。
2、平均数公式
平均数=总数÷总份数
总数=平均数⨯总份数
总份数=总数÷平均数
二、例题讲解
1、已知等差数列3，7，11，…，207，这个等差数列第13项是_____，这个数列共有_____项.
2、在100到300之间，所有个位数字是4的倍数的自然数之和是多少？
3、求所有除以5余2的两位数的和是多少？
4、在42与68之间插入4个数，使得这6个数成等差数列，这六个数之和是多少？
5、一个大阶梯教室有10排座位，后一排比前一排多2个位置，最有一排是40个座位。
请问这个阶梯教室共（ ）座位。
6、刘明从甲地去乙地办事，他去的时候每分钟走60米，20分钟到乙地，然后按原路返回，每分钟走50米。
问刘明从往返一次平均每分钟走（ ）米。
三、考点分析
1、等差数列：求和考的比较频繁，是重点，要善于应用；同时通项与公差也可能会考。
2、平均数：平均数首要是把握公式，重点是要会注意补差思想与比例关系，可以简化计算。