《基础拓扑学试卷》

《基础拓扑学试卷》
试卷2
一、填空题（每小题2分，共20分）
1. 设A 为离散空间X 的子集, 那么()i A =_________________________.
2. 设A 为度量空间(,)X ρ的子集, 若,(,)0x X x A ρ∈>, 则准确表示x 与A 的关系的式子是x ∈__________________.
3. 拓扑空间X 的每一个有限集是闭集当且仅当X 是____________空间.
4. 设X 为拓扑空间,A 为X 的子集, x X ∈, 如果_________________________________, 则称x 是A 的凝聚点.
5. 点集拓扑学的中心任务是研究____________________________________________.
6. 对于拓扑空间(,)X τ的一个子空间(,)Y τ', τ与τ'满足: (________________)τ'=.
7. 设X 为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个x X ∈有一个的邻域基具有如下特点:_________________________________________.
8. 设12n X X X X =⨯⨯⨯为拓扑空间12,,,n X X X 的积空间, X φ≠, X 是紧拓扑空间, 则每一个j X 为_______________________空间.
9. 任何一族连通空间的积空间都是_________________________空间.
10. 一个拓扑空间的可分性定义为________________________________.
二、单项选择题 (每小题2分, 共20分)
11. 设:,,f X Y A B Y →⊂, 则下面不正确的命题是（ ）
A. 1(())A f f
A -= B. 111()()()f
A B f A f B ---= C. 111()()()f
A B f A f B ----=- D. 111()()
()f A B f A f B ---= 12. 设X 为拓扑空间, B A ⊂, 则下面不正确的命题是( ) A. d
d B A ⊂ B. 00B A ⊂
C. B A ''⊂
D. B A ⊂
13. 设X 为拓扑空间, {}n x 是X 中的收敛序列, 则下面正确的命题是( )
A. 对于任何拓扑空间X , {}n x 的极限唯一.
B. 若X 是Hausdorff 空间, 则{}n x 的极限唯一.
C. 若X 是第一可数的, 则{}n x 的极限唯一.
D. 若X 是正则空间, 则{}n x 的极限唯一.
14. 设集合{0,1,2}X =, 那么下面不是X 上的拓扑的集族是( )
A. {{1},{1,2},,}X φ
B. {{0},,}X φ
C. {{2},{2,0},{0,1},,}X φ
D. {{1},{1,2,0},{2,1},}φ
15. 设X 为拓扑空间, 下面不正确的命题是( )
A. 若X 是第二可数的, 则X 是第一可数的.
B. 若X 是第二可数的, 则X 是可分的.
C. 若X 是可分的度量空间, 则X 是Lindel öf 的.
D. 若X 是Lindel öf 的空间, 则X 是可分的.
16. 对任意集合,,X Y Z , 下面命题正确的是( )
A. 若card X ≤card Y, 则X 是Y 的子集.
B. 若X 是Y 的子集, 则card X ≤card Y .
C. 若X 是Y 的子集, 则card X <card Y .
D. 若X Y ≠, 则card X ≠card Y .
17. 设X 为拓扑空间, 下面正确的命题是( )
A. 若X 是正规空间, 则X 是1T 空间.
B. 若X 是0T 空间且正则, 则X 是1T 空间.
C. 若X 是正则空间, 则X 是1T 空间.
D. 若X 是完全正则空间, 则X 是1T 空间.
18. 设X 为拓扑空间, A 是X 的子集, 下面不正确的命题是( )
A. A 是列紧的当且仅当A 是序列紧的.
B. 若A 是序列紧的, 则A 是可数紧的.
C. 若A 是可数紧的, 则A 是列紧的.
D. 若A 是紧的, 则A 是列紧的.
19. 设1(,)X τ, 2(,)Y τ为拓扑空间, 关于X Y ⨯的积拓扑τ, 12,p p 分别是X Y ⨯到X 和Y 的投射, 则下面不正确的命题是( )
A. 12{:,}U V U V ττ⨯∈∈是积拓扑τ的一个基.
B. 12{:,}U V U V ττ⨯∈∈是积拓扑τ的一个子基.
C. 11
1122{():}{():}p U U p V V ττ--∈∈是积拓扑τ的一个基.
D. 111122{():}{():}p U U p V V ττ--∈∈是积拓扑τ的一个子基.
20. 设X 为拓扑空间, R 为实数空间, 则:f X →R 为连续映射的充分必要条件是( ) Ａ. 对任意实数,,{:()}a b x X b f x a ∈<<是X 的开集.
Ｂ. 对任意实数a , 集合{:()}x X f x a ∈≠是X 的开集.
Ｃ. 对任意实数a , 集合{:()}x X f x a ∈<是X 的开集.
Ｄ. 对任意实数,,{:()}a b x X b f x a ∈≤≤是X 的闭集.
三、简答题 (每小题5分, 共20分)
21. 证明n 维实数空间n R 的每一个子空间都是可分空间.
22. 证明:若X 是3T 空间, 则X 是2T 空间.
23. 证明:在一维实数空间R 的子空间[0,5)中, [0,2)是开集.
24. 叙述度量的定义.
四、反例论证题 (本题10分)
25. 举例说明存在这样的一个集合X 和X 上的两个拓扑1τ和2τ, 使得1
2ττ不是X 上的一个拓扑.
五、论证题 (每小题15分, 共30分)
26. 证明:若A 是2T 空间中的紧集, 则A 是闭集.
27. 设,X Y 为拓扑空间, 映射:f X Y →是一个满的连续开映射, X 满足第二可数性公理, 则Y 也满足第二可数性公理. 请证明.。