答案 拓扑学基础B

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校
课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： B 考试形式：闭卷
授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2011年 5月26日 试卷：共 3 页
一、填空题：（每空2分，共30分）
1. 数字30的连通分支的个数是 2 ，数字9的连通分支的个数是 1 。

2．数字8的割点的个数是 1 。

数字6的割点的个数是 无穷 。

3． 汉字“土” 的指数为1的点的个数为 5 ，指数为2的点的个数为 无穷 ，指数为3的点的个数为 1 ，指数为4的点的个数为 1 。

4．给实数集赋予欧式拓扑，则区间[0,1]的内部是 (0,1) ，导集是 [0,1] ，闭包是 [0,1] 。

5．设{1,2}X =，写出所有拓扑 平凡拓扑 ， 离散拓扑 ，
{,,{1}}X ∅ ， {,,{2}}X ∅ 。

二、问答题：（共30分）
1. 分别给出既开又闭既不开又不闭的集合的例子。

（5分）
答：双曲线中每个连通分支都是既开又闭的集合。

（2分） {1,2,3}X =，取拓扑为{,,{1}}X ∅，则{2}是既不开又不闭的集合。

（5分） 注：例子不唯一，正确即可。

2. 叙述同胚映射的定义并给出一个不是同胚映射连续的满开映射。

（5分）
答：定义：拓扑空间之间的一个连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也 是连续的。

（3分） 商映射在不是一一对应时是一个不是同胚映射连续的满开映射。

（5分） 注：例子不唯一，正确即可。

3. 叙述0T 空间、
1T 空间、2T 空间的定义并给出不是0T 空间的例子以及不是2T 空间的1T 空间的例子。

（10分）
答：设X 是拓扑空间，若对其中任意两点都存在其中一点的开邻域不包含另外一点，则称其为0T 空间； （2分） 若对其中任意两点都存在每一点的开邻域不包含另外一点，则称其为1T 空间；（4分） 若对其中任意两点都存在各自的开邻域使得这两个开邻域不相交，则称其为2T 空间；
（6分）
不少于两点的平凡空间不是0T 空间； （8分） 给实数集赋予余有限拓扑，则它是1T 空间，不是2T 空间。

（10分） 注：例子不唯一，正确即可。

装
订
线
装 订 线 内 不 要 答 题
学 号
姓 名
班 级
4.简述克莱因瓶的定义。

（5分）
答：在单位正方形22{(,)|0,1}I x y E x y =∈≤≤上定义等价关系： [0,1]x ∀∈，（x, 0）与（x, 1）等价
[0,1]y ∀∈，（0, y ）与（1, 1-y ）等价 则商空间称为克莱因瓶。

5. 谈谈你对拓扑学中商空间的思想的认识。

（5分）
注：无唯一标准答案。

三、证明题：（任选4个小题，每小题10分，共40分）
1. 设X 是一个拓扑空间， W X ⊂， 求证W 是开集当且仅当它是它的每个点的邻域。

证明：“⇒”由邻域的定义，这是显然的。

（2分） “⇐”x W ∀∈，因为W 是x 的邻域，由邻域的定义，
存在开集x O W ⊂，使得x x O ∈。

（5分）
所以{}x W
x W
x W x O W ∈∈=⊂
⊂。

所以x W
x W O ∈=
（8分）
因为开集的任意并集是开集，所以W 是开集。

（10分）
2.证明第二可数空间是可分空间。

证明：设X 是第二可数空间。

T 为一组可数基。

（2分） B T ∀∅≠∈，取b B ∈，则这些b 构成可数集合D 。

x X ∀∈及x 的每一邻域U ，由于U 包含非空开集，从而包含T 中成员。

（5分） 所以U
D ≠∅。

这说明x D ∈。

（8分） 从而X D = （10分）
装
订
线
装 订 线 内 不 要 答 题
学 号
姓 名
班 级
3. 设:f X Y →是紧空间X 到2T 空间Y 之间的连续满射，证明f 是商映射。

证明：由已知，X 是紧空间，Y 是2T 空间，:f X Y →是连续满射。

A X ∀⊂，A 是闭集。

由X 是紧空间，而紧空间的闭子集是紧的，从而
A 是紧的。

（3分） 因为紧空间在连续映射下的像是紧的，所以()f A 是紧的。

（5分） 又Y 是2T 空间，而2T 空间的紧子集是闭的，所以()f A 是闭的。

（8分）
这说明f 是闭映射。

从而是商映射。

（10分） 4. 证明2T 空间的紧子集是闭集。

证明：设X 是2T 空间，A 是紧子集。

现证明c A 是开集。

（2分） c
x A ∀∈，a A ∈，由于X 是2T 空间，所以分别存在x 与a 的不相交的开邻域a U 与a V 。

（4分） 由{V |a A}a ∈是A 的开覆盖，A 是紧子集，所以有有限的子覆盖 1{,,}n a a V V （6分）
记1i n
i a U U ==
，1i
n
i a V V ==
，则
U 是x 的开邻域，V U =∅，V A ⊃。

（8分） 所以c c U V A ⊂⊂。

这说明c A 是开集。

（10分）
5. 证明有连通的稠密子集的拓扑空间是连通的。

证明：设X 是拓扑空间，Y 是稠密子集，A 是X 的既开又闭的非空子集。

则有 A Y ≠∅。

（4分） 又A Y 是Y 的既开又闭的非空子集，Y 连通，
所以A Y Y =。

(7分) 所以A Y ⊃
所以X Y A A =⊂=。

（9分） 这说明X 连通。

（10分）
6. 证明若拓扑空间连通则它无既开又闭的非空真子集。

证明：设X 是连通空间。

设A X ⊂既开又闭且非空。

设A X ≠。

（2分） 则X A -既开又闭，且X A X -≠，()A X A X -=。

（4分） 因为()A X A -=∅，()A X A -=∅， （7分） 所以X 不是连通空间。

矛盾。

所以A X =。

（10分）
装
订
线
装 订 线 内 不 要 答 题
学 号
姓 名
班 级。