偏微分方程期末考试试题(06)

黑龙江科技学院考试试题第一套课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.二、（10分）求一维波动方程()()()()()22222,,0,0,,0t u u a x t t xu x x u x x ϕψ⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩的通解. 三、（15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解()()()2,0,,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x xu x x ⎧=>-∞<<+∞⎪=⎨⎪=⎩ 四、（10分）计算积分()32x J x dx -⎰. 五、（15分）设1,1≥≥n m ，证明()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ⎰⎰--=++11111六、（15分）用分离变量法求解()()()()()20,0,0,00,,00,0,,0tt xx t u a u x l t u x u x xu t u l t ⎧-=<<>⎪==⎨⎪==⎩ 七、（10分）解固有值问题()()()''0,''0y y l x l y l y l λ+=-<<⎧⎪⎨-==⎪⎩ 八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理.黑龙江科技学院考试试题答案第一套课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页一、解：波动方程：()222,u a u f t x t∂=∆+∂热传导方程：()2,ua u f t x t∂=∆+∂ 位势方程：()u f x ∆= ……………………….5分 其中()12,,,n x x x x =，a 为常数，(),f t x 及()f x 为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量()12,,,n x x x x =的函数，在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量()12,,,n x x x x =的函数，而与时间t 无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。

……………………….15分二、解：首先判别方程的类型，20a ∆=> ………………………2分即此方程在整个全平面上都是双曲型的。

特征方程为：()()2220dx a dt -=()()22200dx a dt dx adt -=⇒=特征曲线为12x at c x at c -=⎧⎨+=⎩ ………………………6分做变量替换，令x atx at ξη=-⎧⎨=+⎩，由链式法则得 0u ξη=通解()()()()u f g f x at g x at ξη=+=-++ ……………………….10分三、解：()()()[]()⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξφϕϕ2121, ……………………….5分()()()[]⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξcos 21sin sin 21,()()[]at x at x a at x --++=sin sin 21cos sin ……………………….10分at x aat x sin cos 1cos sin += ……………………….15分四、解：由分部积分法及微分关系()1'v v v v x J x J -=，有()()()()341413122114x J x dx x x J dx x x J x x J dx -------==-⎰⎰⎰3232111044'x J x J dx x J x J dx ---=-=--⎰⎰ ……………………….5分 3210048x J x J xJ dx =--+⎰ ……………………….8分 ()()()321084x x J x x J x C =-+-+……………………….10分五、证明：()()()11100''m m n n n n x p x dx x xp x p x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ……………………….5分 ()()()()()111111010101m mmm n n n n xp x m x p x dx x p x mx p x dx +---=-+-+⎰⎰……….10分()()()111101mm n n m x p x dx m x p x dx --=-++⎰⎰……….15分移项有 ()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ⎰⎰--=++111101六、解： 设()()()t T x X t x u =,分离变量λ-=''=''X X T a T 2代入方程组得()()⎪⎩⎪⎨⎧=+''===+''00002T a T l X X X X λλ………..3分解固有值问题()()⎩⎨⎧===+''000l X X X X λ得 2][l n n πλ= 3,2,1=n ； ()x ln x X n πsin =………..6分 将2][ln n πλ=代入02=+''T a T λ得 ()t lan D t l a n C t T n n n ππsin cos +=………..9分所以()x ln t l a n D t l a n C t x u n n n πππsin ]sin cos [,+= 叠加得原解()()x ln t l a n D t l a n C t x u t x u n n n n n πππsin ]sin cos[,,11+==∑∑∞=∞= 代入初值条件()()()0221sin0,0,11=+==∑∑∞=∞=x ln C x u x u n n n n π()x x l n D l a n x u n n t ==∑∞=ππsin 0,1得系数 0=n C()an l xdx l n x l a n lD n l n 2221021sin 2πππ+-=⋅=⎰………..13分所以得原问题的解()()x ln t l a n an l t x u n n πππsin sin21,12221∑∞=+-=………..2分 七、解：题中方程是斯-刘方程，其中()()()1,0,1k x q x x ρ≡≡≡，又题中两端边界条件都是第二类，故0λ≥，而且有零固有值0λ=，相应固有函数为()1y x ≡。

当0λ>时，设()20λμμ=>，方程的通解为()cos sin y x A x B x μμ=+……….3分将此式代入边界条件，并消去公因子μ，得sin cos 0sin cos 0A l B l A l B l μμμμ+=⎫⎬-+=⎭（1）为使A,B 不全为0，必须系数行列式sin cos sin 20sin cos lll l lμμμμμ==-故()22,,1,2,22n n n n n n l l ππμλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭……….7分把n μ代入（1）有sincos 022n n A B ππ+= 这个方程的一个非零解是 cos sin 22n n A B ππ==-，与n λ相应固有函数为()()coscos sin sin 2222cos2n n n x n n xy x l ln x l lπππππ=-+=……….10分八、Sturm-Liouville 定理：若()()(),,k x q x x ρ满足：在[],a b 上()()(),',k x k x x ρ连续；当(),x a b ∈时，()()()0,0,0k x x q x ρ>>≥，而,a b 至多是()()k x x ρ及的一级零点；()q x 在(),a b 上连续，而在端点至多有一级极点。

则S-L 固有值问题()()()()0,,d dy k x q x y x y a x b dx dx a b λρ⎧⎡⎤-+=<<⎪⎢⎥⎣⎦⎨⎪⎩两端点加五种边界条件之任一……….2分的固有值和固有函数有下列重要性质：1、可数性：存在可数无穷多个固有值12n λλλ，lim n n λ→∞=+∞。

与每一个固有值相应的线性无关的固有函数有且只有一个。

……….4分2、非负性：0n λ≥，有零固有值的充要条件是：()0q x ≡，且,a b 两端都不取第一、三类边界条件，这时相应的固有函数为常数。

………6分3、正交性：设m n λλ≠是任意两个不同固有值，则相应的固有函数()m y x 和()n y x 在[],a b 上带权()x ρ正交，即有()()()0bmnax y x y x dx ρ=⎰……….8分4、固有函数系(){}n y x 是完备的。

……….10分。