偏微分方程期末考试试题(06)

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页

一、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点.

二、（10分）求一维波动方程()()()()()22

222

,,0,0,,0t u u a x t t x

u x x u x x ?ψ???=-∞<<+∞>?????==?

的通解. 三、（15分）写出达朗贝尔公式并利用公式求解

()()()2,0,,0sin ,0cos tt xx t u a u t x u x x

u x x ?=>-∞<<+∞?

=??

=? 四、（10分）计算积分()32x J x dx -?. 五、（15分）设1,1≥≥n m ，证明

()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ??--=++1

111

1

六、（15分）用分离变量法求解

()()()()()20,0,0,00,,00,0,,0

tt xx t u a u x l t u x u x x

u t u l t ?-=<<>?

==??

==? 七、（10分）解固有值问题()()()''0,''0

y y l x l y l y l λ+=-<

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页

一、解：波动方程：()22

2,u a u f t x t

?=?+?

热传导方程：

()2,u

a u f t x t

?=?+? 位势方程：()u f x ?= ……………………….5分

其中()12,,,n x x x x = ，a 为常数，(),f t x 及()f x 为已知函数，在波动方程及

热传导方程中，未知函数u 是时间变量t 和空间坐标变量()12,,,n x x x x = 的函数，在位势方程中，未知函数u 是空间坐标变量()12,,,n x x x x = 的函数，而与时间t 无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。……………………….15分

二、解：首先判别方程的类型，

20a ?=> ………………………2分

即此方程在整个全平面上都是双曲型的。 特征方程为：()()2

2

20dx a dt -=

()

()2

2

200dx a dt dx adt -=?=

特征曲线为1

2

x at c x at c -=??+=? ………………………6分

做变量替换，令x at

x at ξη=-??=+?，

由链式法则得 0u ξη=

通解()()()()u f g f x at g x at ξη=+=-++ ……………………….10分

三、解：()()()[]()?+-+-++=

at x at x d a at x at x t x u ξξφ??2121

, ……………………….5分 ()()()[]?+-+-++=at

x at

x d a at x at x t x u ξξcos 21sin sin 21,

()()[]at x at x a at x --++=sin sin 21

cos sin ……………………….10分 at x a

at x sin cos 1

cos sin += ……………………….15分

四、解：由分部积分法及微分关系()1'v v v v x J x J -=，有

()()()()3

4

1

41312

2114x J x dx x x

J dx x x J x x J dx -------==-???

3232111044'x J x J dx x J x J dx ---=-=--?? ……………………….5分 3210048x J x J xJ dx =--+? ……………………….8分 ()()()321084x x J x x J x C =-+-+……………………….10分

五、证明：

()()()11

100

''m

m n n n n x p x dx x xp x p x dx -=-?????? ……………………….5分 ()()()()()11

1

111

01010

1m m m m n n n n x

p x m x p x dx x p x mx p x dx +---=-+-+??

……….10分 ()

()()1

1

110

1m m n n m x p x dx m x p x dx --=-++?

?……….15分

移项有 ()()()dx x p x m dx x p x n m n m n m ??--=++1

1110

1

六、解： 设()()()t T x X t x u =,

分离变量λ-=''=''X X T a T 2代入方程组得()()??

?

??=+''===+''0

000

2T a T l X X X X λλ………..3分 解固有值问题()()???===+''000

l X X X X λ

得 2][

l n n πλ= 3,2,1=n ； ()x l

n x X n π

s i n =………..6分

将2

][

l

n n πλ=代入02=+''T a T λ得 ()t l

a

n D t l a n C t T n n n ππsin cos +=………..9分

所以()x l

n t l a n D t l a n C t x u n n n π

ππsin ]sin cos [,+= 叠加得原解

()()x l

n t l a n D t l a n C t x u t x u n n n n n π

ππsin ]sin cos

[,,1

1

+==∑∑∞=∞

= 代入初值条件()()()0221sin

0,0,1

1

=+==∑∑∞

=∞

=x l

n C x u x u n n n n π

()x x l

n D l a n x u n n

t ==∑∞=π

πsin 0,1 得系数 0=n C

()a

n l xdx l n x l a n l

D n l n 222

1

021sin 2πππ+-=?=?………..13分

所以得原问题的解

()()x l

n t l a n a

n l t x u n n πππsin sin

21,1

222

1∑∞

=+-=

………..2分 七、解：题中方程是斯-刘方程，其中()()()1,0,1k x q x x ρ≡≡≡，又题中两端边界条件都是第二类，故0λ≥，而且有零固有值0λ=，相应固有函数为()1y x ≡。

当0λ>时，设()20λμμ=>，方程的通解为

()cos sin y x A x B x μμ=+……….3分

将此式代入边界条件，并消去公因子μ，得

sin cos 0sin cos 0A l B l A l B l μμμμ+=?

?-+=?

（1）

为使A,B 不全为0，必须系数行列式

sin cos sin 20sin cos l l

l l l

μμμμμ==-

故

()2

2

,,1,2,22n n n n n n l l ππμλμ??==== ???

……….7分

把n μ代入（1）有

sin

cos 022n n A B ππ

+= 这个方程的一个非零解是 c o s s i n 22

n n A B ππ

==-，

与n λ相应固有函数为

()()cos

cos sin sin 2222cos

2n n n x n n x

y x l l

n x l l

πππππ=-+=……….10分

八、Sturm-Liouville 定理：若()()(),,k x q x x ρ满足：在[],a b 上()()(),',k x k x x ρ连续；

当(),x a b ∈时，()()()0,0,0k x x q x ρ>>≥，而,a b 至多是()()k x x ρ及的一级零点；()q x 在(),a b 上连续，而在端点至多有一级极点。则S-L 固有值问题

()()()()

0,,d dy k x q x y x y a x b dx dx a b λρ???

-+=<

????

两端点加五种边界条件之任一……….2分

的固有值和固有函数有下列重要性质：

1、可数性：存在可数无穷多个固有值12n λλλ ，lim n n λ→∞

=+∞。与每一个

固有值相应的线性无关的固有函数有且只有一个。……….4分

2、非负性：0n λ≥，有零固有值的充要条件是：()0q x ≡，且,a b 两端都不取第一、三

类边界条件，这时相应的固有函数为常数。………6分

3、正交性：设m n λλ≠是任意两个不同固有值，则相应的固有函数()m y x 和()n y x 在

[],a b 上带权()x ρ正交，即有

()()()0b

m

n

a

x y x y x dx ρ=?……….8分

4、固有函数系(){}n y x 是完备的。……….10分