【数学】3.3《导数的应用》课件(新人教B版选修1-1)
情感态度、价值观：
逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方 程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
一、知识点
1．导数应用的知识网络结构图： ．导数应用的知识网络结构图：
重点导析：
一、曲线的切线及函数的单调性 曲线的切线及函数的单调性
1.设函数 则
y = f ( x)
在某个区间内可导，若
(0 ≤ x ≤ 100).
400+ x2 唯一解x=15. 唯一解 所以,当 点选在距A点 千米时 千米时,总运 所以 当x=15(km),即D点选在距 点15千米时 总运 即 点选在距 费最省. 费最省 注:可以进一步讨论 当AB的距离大于 千米时,要找的 可以进一步讨论,当 的距离大于15千米时 要找的 可以进一步讨论 的距离大于 千米时 最优点总在距A点 千米的 点处;当 之间的距离 千米的D点处 最优点总在距 点15千米的 点处 当AB之间的距离 不超过15千米时 所选D点与 点重合. 千米时,所选 点与B点重合 不超过 千米时 所选 点与 点重合 练习:已知圆锥的底面半径为 高为H,求内接于这个圆 已知圆锥的底面半径为R,高为 练习 已知圆锥的底面半径为 高为 求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h. 锥体并且体积最大的圆柱体的高 设圆柱底面半径为r,可得 易得当h=H/3 答:设圆柱底面半径为 可得 设圆柱底面半径为 可得r=R(H-h)/H.易得当 易得当 圆柱体的体积最大. 时, 圆柱体的体积最大 2.与数学中其它分支的结合与应用 与数学中其它分支的结合与应用. 与数学中其它分支的结合与应用
导 数 的 应 用
知识与技能:
1. 利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值 以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值； 2．利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。
过程与方法:
1. 通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及 函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学 思维能力； 2. 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学 生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
题型三 ：求函数的极值与最值
例3 设函数
f ( x) = ax3 +bx2 +cx 在 x =1或 x =−1
处有极值且 f (1) =−1. 求 a, b, c. 并求其极值.
分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的 步骤来求. 但要注意极值点与导数之间的关系（ 极值点为
f ′( x) = 0 的根）.
练习2:已知函数 练习 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都 已知函数 在 与 处都 取得极值. 取得极值 (1)求a、b的值 的值; 求 、 的值 恒成立,求 的取 (2)若x∈[-1,2]时,不等式 不等式f(x)<c2恒成立 求c的取 若 ∈ 时 不等式 值范围. 值范围 答案:(1)a=-1/2,b=-2. 答案 (2)利用 利用f(x)max<c2,解得 解得c<-1或c>2. 利用 解得 或 练习3:若函数f(x)=x +cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 若函数 增函数,而在 而在(0,2)上是减函数 求此函数在 上是减函数,求此函数在 增函数 而在 上是减函数 求此函数在[-1,4]上 上 的值域. 的值域 可求得c=0,b=-3,从而 从而f(x)= 答:由已知得 f ′(0) = f ′(2) = 0,可求得 由已知得 从而 x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数 所以函数f(x) 又 所以函数 上的值域是 在[-1,4]上的值域是 上的值域是[-4,16].
:设DA=xkm,那么 那么DB=(100-x)km,CD= 解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 + x 2 = 400 + x 2 km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元 则公路上每吨千 又设铁路上每吨千米的运费为 元,则公路上每吨千 米的运费为5t元 这样 每吨原料从供应站B运到工厂 这样,每吨原料从供应站 米的运费为 元.这样 每吨原料从供应站 运到工厂 C的总运费为 的总运费为 y = 5t ⋅ CD + 3t ⋅ BD = 5t 400 + x 2 + 3t (100 − x )
( x) 的定义区间分成若干个小区间；
④ 确定 f ′( x) 在各个小开区间内的符号，根据 f ′( x) 的符号判定函数 f ( x) 在每个小开区间内的增减性。
题型一： 利用导数求切线斜率、 题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度
例1 求垂直于直线2x −6y +1= 0
，且与曲线
y = x +3x −1 相切的直线方程.
令y′ = t (
5x
− 3) = 0 ,在 0 ≤ x ≤ 100 的范围内有 在
已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线 曲线y=f(x)过点 过点P(-1,2), 例3:已知函数 已知函数 曲线 过点 且在点P处的切线恰好与直线 处的切线恰好与直线x-3y=0垂直 垂直. 且在点 处的切线恰好与直线 垂直 (1)求a、b的值； 的值； 求 、 的值 (2)若f(x)在区间 若 在区间[m,m+1]上单调递增 求m的取值 上单调递增,求 的取值 在区间 上单调递增 范围. 范围 2 解:(1) f ′( x ) = 3ax + 2bx , f ( −1) = 2 −a+b= 2 a = 1 . ⇒ ⇒ 由题意得: 由题意得 f ′( −1) = −3 3a − 2b = −3 b = 3 f ′( x) = 3x2 + 6x = 3x( x + 2) > 0 ,解得 (2) 解得x>0或x<-2. 解得 或 故f(x)的单调递增为 ∞,-2]和[0,+∞). 的单调递增为(-∞ 和 ∞ 的单调递增为
1 1 ′( x ) < 0 得 − < x < 1 . 由 f ′( x ) > 0 得x < − 或x > 1;由 f 由 3 3
故函数f(x)的单调递增区间是 ∞,-1/3)和(1,+∞),单 的单调递增区间是(-∞ 故函数 的单调递增区间是 和 ∞ 单 调递减区间是(-1/3,1). 调递减区间是
乙 甲 如图 A
C 如图,铁路线上 例2:如图 铁路线上 段长 如图 铁路线上AB段长 100km,工厂 到铁路的 工厂C到铁路的 工厂 距离CA=20km.现在要 距离 现在要 在AB上某一处 向C修 上某一处D,向 修 上某一处 B D A 一条公路.已知铁路每吨 一条公路 已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 千米与公路每吨千米的运费之比为 为了使原料 从供应站B运到工厂 的运费最省,D应修在何处 运到工厂C的运费最省 应修在何处? 从供应站 运到工厂 的运费最省 应修在何处
y = f ( x)
在该区间上是增函数；若
′( x) < 0 ，则 f
f ′( x) > 0 ，
y = f ( x) 为减函数。
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
① 确定函数 f ( x) 的定义域区间； ② 求 f ′( x) ，令 f ′( x) ＝０，解此方程，求出它在 定义域区间内的一切实根； ③ 把函数 f ( x) 的间断点（即 f ( x) 的无定义点） 的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后 用这些点把函数 f
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 的最小值，f ( b) 为函数的最大值；若函数 y = f ( x) 在[a，b] 上单调递减，则 最小值. 2. 若函数 y = f ( x)在[a，b]上单调递增，则 f ( a) 为函数的
f ( a) 为函数的最大值， f ( b) 为函数的
例４ 函数
∴ [ m , m + 1] ⊂ ( −∞ , − 2 ]或 [ m , m + 1] ⊂ [ 0 , +∞ ).
即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0. 或 故 或
练习1:已知函数 的极大值为6,极小 练习 已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为 极小 已知函数 的极大值为 值为2. 值为 (1)试确定常数 、b的值 试确定常数a、 的值 的值; 试确定常数 (2)求函数的单调递增区间 求函数的单调递增区间. 求函数的单调递增区间 答案:(1)a=1,b=4. 答案 (2)单调递增区间为 ∞,-1)和(1,+∞). 单调递增区间为(-∞ 单调递增区间为 和 ∞
难点突破：
在（a，b）内， f ′( x) ≥ 0 （或 f ′( x) ≤ 0），（其中有有限个 x 使 f ′( x) = 0 ），则 y = f ( x) 在（a，b）内仍是增函数（或减 但 y = f ( x) 在（-∞, +∞）内递增；
1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若
y = f ( x)
三、函数的最大值与最小值 1. 设 y = f ( x) 是定义在区间[a，b]上的函数，y = f ( x) 在 （a，b）内有导数，求函数 y = f ( x) 在[a，b]上的最大值与 最小值，可分两步进行： ① 求 y = f ( x) 在（a，b）内的极值； ② 将 y = f ( x) 在各极值点的极值与 f ( a) , f ( b) 比较，
x0 附近的所有的点 x都有 f ( x) < f ( x0 ) （或 f ( x) > f ( x0 )
则称
( x)
在点
x0附近有定义，且对
f ( x0 ) 为函数的一个极大（小）值，称
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高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
第三章 §3.1 导 数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
人教B版高中数学选修1-1课件 3.3.3导数的实际应用课件1
令 f '( x) k(d 2 3x2 ) 0.
解方程d2-3x2=0，得两个根x
3 d, 3
其中负根没有意
义，舍去，所以在区间(0，d)只有一个极大值点x 3 d .
3
所以f(x)在x
3d 3
时取最大值.这时
h d2 x2 6 d. 3
即当宽为 3 d ，高为 6 d 时，横梁的强度最大.
6
例2 矩形横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成
正比.要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的
宽度和高度应是多少？
解：如图所示，设断面宽为x，高为h，则
h2 d 2 x2 .
横梁的强度函数为 f ( x) kxh2 ,
所以 f ( x) kx(d 2 x2 )(0 x d ).
当r (0,2)时, f (r) 0;当r (2,6)时, f (r) 0
从图中，你 还能看出什
么吗？
y
f
(r)
0.8
r3 (
r2)
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0， 2、当半径为6cm时，利润最大.
优化问题
优化问题 的答案
用函数表示的 数学问题
用导数解决 数学问题
从而|AB|= 4x-x2，
|BC|=2(2-x).
x
故矩形ABCD的面积为:
S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
令 SS(x()x) 0，0 得x1x1 2 22 23333, x, 2x22 22 23333. .
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用课件 新人教B版选修1-1
令 y′＝0，得 v＝16，
所以当 v0≥16，
即 v＝16 km/h 时全程燃料费最省，
ymin＝32 000(元)；
当 v0＜16，即 v∈(8，v0]时，y′＜0， 即 y 在(8，v0]上为减函数， 所以当 v＝v0 时，ymin＝1v00－00v820(元)． 综上，当 v0≥16 时， 即 v＝16 km/h 时全程燃料费最省，为 32 000 元； 当 v0＜16，即 v＝v0 时全程燃料费最省，为1v000－0v820元．
如图，四边形 ABCD 是一块边 长为 4 km 的正方形地域，地域内有一条河流 MD，其经过的路线是以 AB 的中点 M 为顶点 且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准 备投资建一个大型矩形游乐园 PQCN，问如何施工才能使 游乐园的面积最大？并求出最大面积．
解：以 M 为原点，AB 所在直线为 y 轴建 立直角坐标系， 则 D(4，2)． 设抛物线方程为 y2＝2px. 因为点 D 在抛物线上， 所以 22＝8p， 解得 p＝12.
解：(1)由题意， 60x－x∈(0，5]，x＞0， 所以 0＜x≤50， 所以技改投入 x 的取值范围是(0，50]． (2)设 f(x)＝(60－x)x2，x∈(0，50]， 则 f′(x)＝－3x(x－40)， 0＜x＜40 时，f′(x)＞0；40＜x≤50 时， f′(x)＜0， 所以 x＝40 时，函数取得极大值，也是最大值，即最大值 为 32 000 万元．
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
所以抛物线方程为 y2＝x(0≤x≤4)． 设 P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线 MD 上任一点，则|PQ|＝2＋y， |PN|＝4－y2. 所以矩形游乐园的面积为 S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4－y2) ＝8－y3－2y2＋4y. S′＝－3y2－4y＋4，令 S′＝0， 得 3y2＋4y－4＝0，
高中数学 323导数的四则运算法则课件 新人教B版选修1
(2)∵y＝x－sin2x·cos2x＝x－12sinx，
• [说∴明y′] ＝在1－可12能co的sx.情况下，求导时应尽量少用甚至不用 乘法的求导法则，所以在求导之前，应利用代数、三角 恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运 算量．
求下列函数的导数： (1)y＝x(x2＋1x＋x13)； (2)y＝( x＋1)( 1x－1)． [解析] (1)∵y＝x(x2＋1x＋x13)＝x3＋1＋x12， ∴y′＝3x2－x23；
()
• A．4a3＋10ax2－x6
• B．4a3＋10a2x－6x5
• C．10a2x－6x5
• D．以上都不对
• [答案] C
• [解析] f′(x)＝(a4)′＋(5a2x2)′－(x6)′＝－6x5＋10a2x.
• 2．函数y＝2sinxcosx的导数为
()
• A．y′＝cosx
• B．y′＝2cos2x
• (2009·宁夏、海南文，13)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处 的切线方程为________．
• [答案] y＝3x＋1 • [解析] 本题考查导数的相关知识． • y′＝ex＋xex＋2， • ∴y′|x＝0＝3， • ∴切线方程为y－1＝3x，即：y＝3x＋1.
[例 4] 若函数 f(x)＝exx在 x＝x0 处的导数值与函数值互为
• 1．知识与技能
• 能利用导数的四则运算法则和导数公式，求简单函数的 导数．
• 2．过程与方法
• 经历导数的四则运算法则的推理过程，进一步体会极限 思想方法，通过求函数的导数过程，掌握运用法则求导 数的方法．
• 3．情感、态度与价值观
• 通过用导数的定义证明四则运算法则的过程，学会一些 变形技巧，提高逻辑推理论证能力，进一步体会数学的 应ห้องสมุดไป่ตู้价值，提高学习数学的兴趣．
高二人教B版数学选修1-1课件3-3-3导数的实际应用 40张
第十页，编辑于星期一：点 四十九分。
[例1] 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的 正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子， 箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
第十一页，编辑于星期一：点 四十九分。
[解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得 箱子容积V是x的函数，
∴y′＝－3a＋
5ax x2＋402 .
令 y′＝0，解得 x＝30.
第三十八页，编辑于星期一：点 四十九分。
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最 省．
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x [答案] B
D．y＝x3＋6x2－9x
第二十九页，编辑于星期一：点 四十九分。
[解析] 设函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， ∵函数图象过原点，∴d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意得，ff′ ′((13))＝ ＝00 ，即32a7＋ a＋2b6＋ b＋c＝c＝00 ，
第三十七页，编辑于星期一：点 四十九分。
[解析] 根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适
当位置，才能使总费用最省，设 C 点距 D 点 xkm，则
∵BD＝40，AC＝50－x，
∴BC＝ CD2＋BD2＝ x2＋402.
又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y＝3a(50－x)＋
5a x2＋40(0<x<50)．
第三页，编辑于星期一：点 四十九分。
第四页，编辑于星期一：点 四十九分。
高中数学第三单元导数及其应用3.3.3导数的实际应用课件新人教B版选修1_1
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.
解答
反思与感悟
平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形， 主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后 求导数，求极值，从而求最值.
跟踪训练1
如图所示，在二次函数 f(x)＝4x－x2 的图象与 x轴所围成图
解答
f′(x)
f(x)
－
↘
0
极小值
＋
↗
0
极大值
－
↘
故当x＝12时，f(x)取得极大值.
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.
1 2 3 4 5
规律与方法
1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实 际问题中变量之间的函数关系y＝f(x). (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
当堂训练
1.已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函 1 3 数关系式为 y＝－3x ＋81x－234， 则使该生产厂家获取最大年利润的年 产量为 A.13 万件
答案 解析
B.11 万件
C.9 万件 √
D.7 万件
∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)， 令y′＝0，解得x＝9，又当x∈(0,9)时，y′>0， x∈(9，＋∞)时，y′<0， ∴当x＝9时函数取最大值，故选C.
解答
(2)若广告商要求包装盒容积 V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值.
解答
包装盒容积为 V＝2x2· 2(30－x) ＝－2 2x3＋60 2x2(0<x<30)， 所以 V′＝－6 2x ＋120 2x＝－6 2x(x－20).
高中数学新人教b版选修1-1课件：第三章导数及其应用本章整合(23张)
解析:∵ lim
Δ ������ →0
������y ������x
=
������������������
x→x0
������(���������)���--������������0(������0)=f'(x0),
∴ lim
������→������0
[������(������)]���2���--[���������0���(������0)]2=������l→im������0
答案:B
真题放送
6(安徽高考)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+���1���������+b(a>0).
(1)求 f(x)的最小值;
(2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=32x,求 a,b 的值.
解: (1)f(x)的导数 f'(x)=a-������1������2 = ������2������������������22-1,
专题一 专题二 专题三
综合应用
3.求函数最值的步骤: (1)求函数f(x)在[a,b]上的极值; (2)极值与f(a),f(b)相比较,最大的为最大值,最小的为最小值.
专题一 专题二 专题三
综合应用
应用 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x) 是奇函数.
������2-1
������
������ >
≤ 0,
0,
解得 x∈(0,1].因此函数 y=12x2-ln x 的单调递减区间为(0,1].故选 B.
答案:B
2(陕西高考)设函数 f(x)=2������+ln x,则( A.x=12为 f(x)的极大值点 C.x=2 为 f(x)的极大值点
人教B数学选修1-1课件：第3章3.33.3.3导数的实际应用
第三章导数及其应用3. 3 导数的应用3. 3. 3 导数的实际应用1^嘗L知匚新知初探口生活中的优化问题⑴生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问颍通常称为一优化问题(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.(3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建熨程2.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为召'+8匕一234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A. 13万件B. 11万件C. 9万件D. 7万件C [定义域为(0, +°°),令F 二一”+81 = —匕+9)(%—9)=0得%=9或%二一9(舍), 当xG(0,9)时，»>0；当xE(9, +呵时，»<0, ・X=9为函数的极大值点也是最大值点，・：该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.]3.要做-个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3,其底面两邻边长之比为1 ： 2,则它的长为_____ ,宽为________ , 高为______ 时，可使表面积最小.6 cm 3 cm 4 cm [设底面宽为x,则长为2x,高为护=”(° <i<6),・：S表面积=4*+专，令&二8(x 27)=0得兀二3,XI 兀丿当圧(0,3)时，S' <0；当圧(3,6)时，S' >0,・"=3为函数的极小值点也是最小值点，・：长为6 cm,宽为3 cm,高为4 cm时可使表面积最小.]F严严护、类型1用料最省（成本最低）问题【例1】一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千、类型1用料最省（成本最低）问题米所需的费用总和为最小?列岀燃确定料费与—►参数速度关系k［思路探究］用定W 费确讦总►［解］设速度为每小时0千米的燃料费为每小时卩元，由题意得卩二局其中k为比例常数，当0=10, p=6,解得k二寻=0.006.于是有卩=0.006沪.设当速度为每小时。
人教B版高中数学【选修1-1】第3章-3.3-3.3.3导数的实际应用-课件
x 2 100－x2 4＋π 2 25 ∴S＝π2π ＋ ＝ 16π x － 2 x＋625(0＜x＜100)． 4
4＋π 25 又 S′＝ x－ ， 8π 2 100π 令 S′＝0，则 x＝ . 4＋π 100π ∵S 是关于 x 的二次函数，由其性质可知当 x＝ cm 时， 4＋π 面积之和最小．
课 标 解 读
1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路．(重点) 2．灵活运用导数解决实际生活中的优化问题，提高分 析问题、解决问题的能力．(难点)
导数在实际问题中的应用
【问题导思】 优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略， 而实际问题中的利 润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函 数的什么性质联系密切？
1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几 何特征， 根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数， 然后再用 导数求最值． 2．实际问题中函数定义域确定的方法： (1)根据图形确定定义域．如本例中长方体的长、宽、高都大 于零． (2)根据问题的实际意义确定定义域．如人数必须为整数，销 售单价大于成本价、销售量大于零等．
2．过程与方法 让学生参与问题分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌 握用导数法解决优化问题的方法． 3．情感、态度与价值观 形成数学建模思想， 培养学生应用数学意识， 进一步体会导数 作为解决函数问题的工具性． 激发学生学习热情， 培养学生解决问 题的能力和创新能力．
●重点、难点 重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握．
令 V′(x)＝0，得 x＝10 或 x＝36(舍去)． 当 0＜x＜10 时，V′(x)＞0，即 V(x)是增加的； 当 10＜x＜24 时，V′(x)＜0，即 V(x)是减少的． 因此，在定义域(0,24)内，函数 V(x)只有当 x＝10 时取得最大 值，其最大值为 V(10)＝19 600(cm3)． 因此当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3.
4＋π 25 又 S′＝ x－ ， 8π 2 100π 令 S′＝0，则 x＝ . 4＋π 100π ∵S 是关于 x 的二次函数，由其性质可知当 x＝ cm 时， 4＋π 面积之和最小．
课 标 解 读
1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路．(重点) 2．灵活运用导数解决实际生活中的优化问题，提高分 析问题、解决问题的能力．(难点)
导数在实际问题中的应用
【问题导思】 优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略， 而实际问题中的利 润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函 数的什么性质联系密切？
1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几 何特征， 根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数， 然后再用 导数求最值． 2．实际问题中函数定义域确定的方法： (1)根据图形确定定义域．如本例中长方体的长、宽、高都大 于零． (2)根据问题的实际意义确定定义域．如人数必须为整数，销 售单价大于成本价、销售量大于零等．
2．过程与方法 让学生参与问题分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌 握用导数法解决优化问题的方法． 3．情感、态度与价值观 形成数学建模思想， 培养学生应用数学意识， 进一步体会导数 作为解决函数问题的工具性． 激发学生学习热情， 培养学生解决问 题的能力和创新能力．
●重点、难点 重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握．
令 V′(x)＝0，得 x＝10 或 x＝36(舍去)． 当 0＜x＜10 时，V′(x)＞0，即 V(x)是增加的； 当 10＜x＜24 时，V′(x)＜0，即 V(x)是减少的． 因此，在定义域(0,24)内，函数 V(x)只有当 x＝10 时取得最大 值，其最大值为 V(10)＝19 600(cm3)． 因此当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3.
高中数学人教B版选修1-1利用导数判断函数的单调性课件
1，1
f x ax3 3x 1
a
(2)
当a
0
时，
f
x
的单调递减区间为
a a
，a a
，
所以区间 1，1
为
解得0 a 1.
a a
，a a
的子区间，即
1
a， a
综合(1)、(2)知：a 的取值范围为 a ，1 .
1，1
f x ax3 3x 1
a
解：方法2：由题意可知，f x 3ax2 3 0 对任意 x 1，1 恒成立. (1)当a 0 时，f x 3ax2 3 0 显然恒成立，所以
f x x3 3x 1 f x
解： f x 3x2 3，
令 3x2 3 0，
解此不等式，得 x 1 或 x 1 .
因此，f x在区间 , 1 和 1，+ 内是增函数.
f x x3 3x 1 f x
解： f x 3x2 3，
令 3x2 3 0，
解此不等式，得 1 x 1 .
a
a
所以
f
x
的递增区间为
，
a
a
和
a a
，
.
(3)当a
0
时，f
x
3ax2
3
3a
x
a a
x
a a
，
令 f x 0，解得 a x a ，
a
a
所以
f
x
的递减区间为
a a
，a a
.
综上所述：
(1) 当a 0 时， f x 在 ， 上单调递减.
(2)
当a
0
时，
f
x
的单调递增区间为