全国第八届青年数学教师优质课教学设计：任意角的三角函数4 含答案
全国第八届青年数学教师优质课教学设计：任意角的三角函数3 含答案
“任意角的三角函数”第一课时教学设计一、教学内容解析1、本节课是人教A版《数学4》第一章“三角函数”中的“任意角的三角函数（第一课时）”，其重点内容是任意角的三角函数概念的建构.通过引入直角坐标系，实现用锐角终边上点的坐标表示锐角的三角函数值（坐标化）；随着单位圆的引入（形式优化），进而引导学生注意到在单位圆中，锐角 和单位圆上的点有对应关系，因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，从而发现锐角的弧度数和单位圆上点的坐标之间形成函数关系（函数化）；最终形成任意角的三角函数的概念（一般化）.之后，通过例题闯关，应用了概念，加强了对概念的理解（概念理解强化）.2、任意角的三角函数是三角学内容的基础，是后续内容学习的思维起点，是整个三角学认知结构的生长点.它的学习既是学科系统内部知识发展的需要，又是坐标思想、数形结合思想的载体，更是对函数概念理解和认识的一次升华.学习过程中的认知冲突，容易激发学生思维的积极性，有助于探究、创新能力的培养.由锐角三角函数的定义到任意角三角函数的定义是学生认识上的突破，也是体会特殊到一般思想的良好素材.二、教学目标设置1、知识与技能：①借助单位圆让学生认识和理解任意角的三角函数的定义②让学生能根据定义判定三角函数的符号③让学生知道公式一，并由此体会三角函数的周期性特点.2、过程与方法：①通过回忆初中的锐角三角函数定义，发现角概念推广后其局限性，必须寻找其它方式定义；②在形成新的锐角三角函数定义的过程中领悟坐标法的优越性，加深对函数概念的理解；③由特殊到一般的思想推广到任意角的三角函数定义；④通过探究任意角正弦函数定义，类比得到任意角的余弦函数和正切函数，培养学生类比分析的能力；⑤通过对三角函数值在各个象限符号的确定，培养学生利用规律解决问题的意识；⑥通过对公式一的学习，培养学生数形结合的意识，让学生体会三角函数的周期性.3、情感态度与价值观：①培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；②通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂，培养学生团队合作的意识；③通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思维的能力.三、教学重点1、对任意角的三角函数定义的理解；2、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内符号的确定；3、三角函数的周期性特点（公式一）.四、教学难点任意角的三角函数概念的建构过程.五、学生学情分析学生在初中学习的锐角三角函数是以锐角为自变量，以边的比值为函数值的函数，以及高中学习过的函数的定义和任意角及弧度制，这些是学生学习任意角的三角函数知识的基础和依据.本节课从研究锐角三角函数的概念出发，更容易激发学生学习的热情，从而催生学生创造性思维.在概念建构的过程中，学生必需经历由特殊到一般的认识过程以及把新的概念纳入到一般函数的结构之中，这是认知过程的一道坎，又是认知的一次升华.六、教学策略分析本课采用“引”“探”相结合的方式，将问题以问题串的形式展现，让学生在愤悱中形成认知冲突，体会、感悟数学研究的一般思路和方法. 课堂中以学生为主体，将学生分成若干小组，使学生全员参与课堂，通过学生之间合作交流，教师间或参与学生的讨论，对有困惑的小组或者个别学生进行帮助和引导，培养学生主动探究新知识的能力.此外，为了提高教学效果，使课堂教学更生动形象，利用多媒体课件进行教学.七、教学过程（一）创设情境，导入新课（问题1到问题2是温故知新化过程）问题1 初中我们在直角三角形中学习过锐角三角函数，你能回忆出初中锐角的正弦、余弦、正切函数是怎样定义的吗？你能说出它们的自变量是什么，又以什么为函数值呢？自变量的范围是什么？设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然.问题2 在高中，随着角的概念的推广和弧度制的引入，角的范围变成了全体实数R ，那么对于任意角α，比如当α为钝角时，角α 的“斜边”这种说法还存在吗？那么任意角的三角函数该如何定义呢？设计意图：利用角α的变化作为思维的切入点，打破学生已有的认知结构的平衡，感受学习新知识的必要性，即角的范围扩大了，初中锐角三角函数的定义也应该与时俱进，这有利于将探究的主动权交给学生.（二）提出问题，探求新知（问题3到问题5是定义坐标化过程）问题3 中国有句古话说的好，“工欲善其事，必先利其器”.随着角的概念推广和弧度制的引入，我们一般借助什么工具来研究角？设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠定研究的基础.问题4 我们先研究哪种角呢？是直接研究任意角的情形还是先研究锐角的情形呢？设计意图：以锐角三角函数的研究为本节课知识的“生长点”，这样的研究符合学生的认知规律，学生有思考的落脚点，更能够激发学生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本节课任意角三角函数概念的建构这一教学难点.问题5 对于任意角α都有始边和终边.在直角坐标系中，如何放置锐角α可以方便研究？在锐角α的终边上任取一点(,)P a b ，它与原点O 的距离为r ，你能用点P 的坐标及r 来表示锐角α的三角函数吗？设计意图：把锐角α放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一目了然的，这样可以把复习的初中的锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标关系，为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫.提及“始边”、“终边”也是为了概念一般化做铺垫.（问题6到问题7是表达式形式优化过程）问题6 当锐角α确定，如果改变α的终边上的P 点位置，角α的正弦值会发生改变吗？ 设计意图：问正弦值这一种情况，方便师生研究.余弦值和正切值可以类比得到，更方便学生理解（下面有类似问法也是同样考虑）;由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三角函数值. 这是为单位圆定义的提出做好铺垫.问题7 数学追求“简洁美”，既然这三个比值与终边上点P 的位置无关，那么当P 点选在何处时，sin cos αα和的形式最简单？设计意图：通过问题的形式过渡，自然得出单位圆的概念.由此便可顺势得出sin cos αα和的简化形式，体现了数学的“简洁美”.同时也明确在单位圆的背景下，锐角和单位圆上P 点有对应关系.（问题8到问题10是函数化过程）问题8 当锐角α发生变化时，P点的坐标会发生相应的改变吗？（追问）当锐角α确定了，P点的坐标是否唯一确定？（配合动画演示）（教师板书：任意锐角α（实数）→唯一实数b；任意锐角α（实数）→唯一实数a.）设计意图：初中学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内涵，突出了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要环节，是准确理解三角函数概念的关键.问题9 你能给这个函数（任意锐角α（实数）→唯一实数b）命名吗？设计意图：只单问一个函数，可以方便学生思考，也方便师生共同总结，还可以让学生在自行总结任意角的三角函数概念时有参照对象.问题10 既然是函数，你能说出锐角α正弦函数的自变量吗？以什么为函数值呢？设计意图：让学生能更好的理解锐角三角函数的定义，同时为总结任意角三角函数定义打好基础.（问题11到问题12是特殊到一般化过程）问题11 我们现在得到的锐角三角函数的定义和初中所学锐角三角函数定义有什么区别？设计意图：加强学生对新的定义方式的理解，让学生意识到任意角没有“斜边”，但是有“始边”、“终边”，从而发现对于任意角，如果始边放在x轴非负半轴上，其终边定与单位圆有唯一交点，从而能形成函数关系.为归纳任意角三角函数概念扫清心理障碍.问题12 由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗？（教师在与学生交流中，板书定义）设计意图：利用类比、迁移的认知规律，学生容易给出任意角的三角函数定义.学生可以意识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角三角函数是锐角三角函数的自然延伸. （三）分析思考，加深理解（下列问题是概念理解强化过程）问题13 既然它们是函数，就要注意其定义域，它是函数的“生命之域”，那么正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么？设计意图：因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数，强调了其函数属性.问题14 当α为锐角时，sin,cos,tanααα的值都是正数，当α的终边落在各个象限时，它们分别取什么符号？设计意图：对比锐角三角函数，让学生再次回忆任意角三角函数的定义，培养学生利用规律解决问题的意识.设置一个阅读环节，让学生阅读“三角函数名称由来简史”.设计意图：通过三角知识简史的阅读，让学生有新奇感，同时提高课堂的数学文化感，让学生感知数学是源于生活的.以此，进一步激发学生的学习热情.（四）强化训练，巩固双基第一关求53π的正弦、余弦和正切的值.设计意图：将例题以闯关的形式呈现，和综艺节目设置相似，寓教于乐，能激发学生的学习热情；明确已知角的终边，要求其三角函数值，可以先求终边与单位圆的交点坐标，通过运用概念，巩固对概念的理解.问题15 （追问）求113π的正弦、余弦和正切的值.设计意图：引起学生发现这两个角的终边是重合的，所以它们与单位圆的交点坐标相同，由任意角三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值是相等的.让学生体验到公式一的作用和三角函数的周期性.第二关 确定下列三角函数值的符号：（1）cos 260o ； （2）sin()4π-； （3）tan(700)-o ； （4）tan3π.第三关 求下列三角函数值：(1)sin(1050)-o ； 9(2)cos 4π； 11(3)tan()6π-. 设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本节课的教学目标之一，引导学生抓住定义、数形结合判断三角函数值的正负符号，同时应用终边相同的角的同一三角函数值是相等的这一结论.第四关 已知角α的终边经过点0(3,4),P --求角α的正弦，余弦和正切值. 0(3,4)(0),P a a a --≠情况又如何？设计意图：该点不在单位圆上，与例题1的解法对比；为课后探究“角α终边上任一点(,)Q x y ，求角α的正弦、余弦和正切的值.”这一问题作铺垫；增加了一个问题，加强了学生对任意角三角函数定义的理解，同时渗透了分类讨论的思想.（五）课堂小结,升华提高知识与技能：任意角三角函数的定义（单位圆）；能根据定义判定三角函数的符号；公式一（终边相同的角的同一三角函数值相等）即三角函数的周期性特点.思想与方法：坐标法、特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论.设计意图：让学生自己总结，教师补充，并且提醒学生知识重要，探究的思想与方法更重要，体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念.（六）作业布置：1、课本15页练习2、3、5.2、假设角α的顶点是直角坐标系的原点，始边与x 轴的非负半轴重合，已知角α终边上任一点(,)Q x y ，求角α的正弦、余弦和正切函数值.3、通过本节课学习，你对任意角三角函数有哪些新的认识？利用定义你能解决哪些问题？你还有哪些不明白的地方？请把它写下来.设计意图：体现作业的多样性，鼓励学有余力的同学课后探究，因材施教，多元发展. 教师和学生同唱励志歌曲《奔跑》，课堂在歌声中结束.设计意图：拉近师生关系，也鼓励学生不畏艰难，在学习过程中保持奔跑的态度.在数学课堂也可以渗透品德教育.。
数学人教A版必修4教学设计：1.2.1任意角的三角函数 Word版含解析
教学设计1．2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．3．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．4．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时教学过程第1课时作者：范福太，上杭县明强中学教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖一、复习引入、回想再认(情景1)我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数．请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？图1学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：sinα＝对边斜边，cosα＝邻边斜边，tanα＝对边邻边设计意图学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程(类似于从有理数到实数的扩展)．温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少．二、引申铺垫、创设情景(情景2)我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对个别学生作启发引导．能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答．用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到(否则教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数．设计意图从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程．教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！师生共做(学生口述，教师板书图形和比值)：把锐角α安装(如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合)在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，构造一个Rt △OMP ，则∠MOP ＝α(锐角)，设P (x ，y )(x ＞0、y ＞0)，α的邻边OM ＝x ，对边MP ＝y ，斜边长|OP |＝r .图2根据锐角三角函数定义用x 、y 、r 列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数的比值：sin α＝斜边对边＝r y ，cos α＝斜边邻边＝r x ，tan α＝邻边对边＝xy . ？＝y r ？＝x r ？＝y x 设计意图此处做法简单，思想重要．为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形．初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数的定义．这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识，能够形成迁移能力，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础．(情景3)思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长r ＝1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin α＝MP OP＝y ； cos α＝OM OP＝x ； tan α＝MP OM ＝y x. 思考上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利于推广到任意角呢？本节课就研究这个问题——任意角的三角函数.先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化．图3三、探究新知1．探究：结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了．所以，我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？如图4，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图4(1)y 叫做α的正弦(sine)，记做sin α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α，即cos α＝x ；(3)y x 叫做α的正切(tangent)，记做tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同(指出对边，邻边，斜边所在)；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P (x ，y )，从而就必然能够最终算出三角函数值．设计意图初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键．这样做能够使学生有效地增强函数观念．四、探索定义域(情景4)1.函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域．正弦函数sin α的对应法则是什么？正弦函数sin α的对应法则，实质上就是sin α的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y r 与之对应，即α→y r＝sin α. 2．布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，填写下表：如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围．关于sin α＝y r 、cos α＝x r ，对于任意角α(弧度数)，r ＞0，y r 、x r恒有意义，定义域都是实数集R .对于tan α＝y x ，α＝k π＋π2时x ＝0，y x 无意义，tan α的定义域是{α|α∈R ，且α≠k π＋π2}…… 教师指出：sin α、cos α、tan α的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟． 设计意图定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域．指导学生根据定义自主探索确定三角函数的定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握．五、符号判断、形象识记(情景5)能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数的定义来分析，r ＞0，三角函数值的符号决定于x 、y 值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：图5sin α＝y r ：上正下负横为0；cos α＝x r：左负右正纵为0； tan α＝y x：交叉正负．设计意图判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求．要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键．六、例题讲解、理解记忆1．自学例1：求5π3的正弦、余弦和正切值． 2．例2：角α的终边经过点P (－3，－4)，求α的正弦，余弦及正切值．活动：教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答．明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数，但用单位圆上点的坐标来定义，既不失一般性，又简单，更容易看清对应关系．教师要点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意α角的任意性．如图6，设α是一个任意角，P (x ，y )是α终边上任意一点，点P 与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0，那么：图6①y r 叫做α的正弦，即sin α＝y r； ②x r 叫做α的余弦，即cos α＝x r； ③y x 叫做α的正切，即tan α＝y x(x ≠0)． 这样定义三角函数，突出了点P 的任意性，说明任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P 在角的终边上的位置无关，教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点．3．例3：求下列三角函数值：(1)sin390°；(2)cos 19π6；(3)tan(－330°)． 活动：引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点，终边相同的角相差2π的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系？为什么？引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论，然后再用三角函数的定义证明．由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)：0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．这个公式称为三角函数的“诱导公式一”．解：(1)sin390°＝sin(360°＋30°)＝sin30°＝12； (2)cos 19π6＝cos(2π＋7π6)＝cos 7π6＝－32； (3)tan(－330°)＝tan(－360°＋30°)＝tan30°＝33. 点评：本题主要是对诱导公式一的考查，利用公式一将任意角都转化到0～2π范围内求三角函数的值．七、课堂练习课本本节练习题1、2,3.处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义．强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π2、π、3π2等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值．设计意图及时安排例题讲解，自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终．八、回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？(建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合……在终边上任意取定一点P ……)．2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？(根据定义……)3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？(根据定义，想象坐标位置……)设计意图遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策．此处以问题的形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力．布置课外作业1．书面作业：习题1.2A组第1、2题．2．认真阅读本节“阅读与思考：三角学与天文学”，了解三角学在天文学中的重要作用．教学反思新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意角三角函数》的教案，主要围绕这一点来设计．到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢？让学生提出自己的想法，同时让学生去辩证这个想法是否是科学的？因为一个概念是严谨的，科学的，不能随心所欲地编造，必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突．在这个立—破的过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成的，在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思．这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解．再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的．培养数形结合的思想．第2课时作者：孟丽华教学背景1．教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学．借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图象和性质，可以说，三角函数线是研究三角函数的有利工具．2．学生学情分析：学习本节前，学生已经掌握任意角三角函数的定义，三角函数值在各象限的符号，以及诱导公式一，为三角函数线的寻找做好了知识准备．高一上学期研究指、对数函数图象时，已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验．教学目标1．知识目标：使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．2．能力目标：借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展探究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力．3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．教学重点难点1．重点：三角函数线的作法及其简单应用．2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来．教学方法与教学手段1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学．2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展．3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验；借助网络论坛交流各自的观点，展示自己的才能．教学过程一、设置疑问，实验探索(17分钟)，O为起点，M绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值；与坐标轴反向，取负值．如：OM续表当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关二、作法总结，变式演练(13分钟)三、思维拓展，论坛交流(10分钟)1．让计算机软件和网络真正走入数学课堂，发挥它们的辅助作用．“让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号，但是如何真正让多媒体在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题．本节课有较广的延展面，是培养学生发现、探索、创新能力的很好素材，但是要在一节课45分钟时间内实现构想，对课的安排提出了非常高的要求．几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学实验，探讨数学问题；网络论坛可以让他们充分交流，相互学习．为此，我把授课地点放在多媒体网络教室，充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高．2．不仅要让学生掌握数学的基础知识，更要让他们领悟科学的研究方法．课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂，独立学习，所以不仅要让学生掌握数学的基础知识，更要让他们领悟科学的研究方法．本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路，让学生逐步领悟这种科学的研究方法，有利于他们今后能够独立地开展科研活动．3．使学生始终保持学习兴趣，快乐学数学．苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者．”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！附 1.2.1 任意角的三角函数第1课时作者：苏飞文，南安侨光中学教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖整体设计教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用．学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣．我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍有太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味．所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索．如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义．第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象)，解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函数内容处理上的一个突出特点．根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号．设计理念本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图象，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣．并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程中的强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力．教学目标1．借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好地理解任意角的三角函数的定义．2．从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．教学重点与难点1．教学重点：任意角三角函数的定义．2．教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域．教学过程第一部分——情景引入问题1：如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？图1设计意图高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解．这个数学模型很好地融合了初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，揭示函数的本质．第二部分——复习回顾锐角三角函数让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”分析：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知∠AOP ＝30°，作PH 垂直地面交OA 于M ，又知MH ＝h 0，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM .图2要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数． 问题2：锐角α的正弦函数如何定义？ 学生自主探究：学生很容易得到图3sin α＝|MP ||OP |＝|MP |R⇒|MP |＝R sin α⇒|PH |＝h 0＋R sin α⇒h ＝h 0＋R sin α，所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒，你离地面的高度h 为多少”．h 1＝h 0＋R sin30°；h 2＝h 0＋R sin45°.教师总结：t °在锐角的范围中，h ＝h 0＋R sin t °. 第三部分——引入新课问题3：请问t 的范围为多少？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想h ＝h 0＋R sin t °？分析：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦．今天我们就要来学习任意角的三角函数．问题4：如图4建立直角坐标系，设点P (x P ，y P )，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)?图4学生自主探究：sin α＝|MP ||OP |＝y PR，。
高中数学_任意角的三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思
《任意角的三角函数》教学设计本节课作为高三一轮复习的一节复习课，将角的概念推广与任意角的三角函数合并为一节，重点是任意角的三角函数。
本教学设计主要就三角函数部分做设计说明。
总体来说，由旧及新,由易及难，逐步加强，逐步推进，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识，拓展、完善定义。
先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义，过渡到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义。
（一）创设情境——揭示课题问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？【设计意图】学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）。
温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。
问题2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？问题3：若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。
能表示吗？怎样表示？针对刚才的问题点名让学生回答。
用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数。
【设计意图】从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程。
教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）。
问题4：对于确定的角α，这三个比值是否与P在α的终边上的位置有关？为什么？先让学生想象思考，作出主观判断，再引导学生观察右图，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。
全国第八届青年数学教师优质课教学设计：函数的概念1Word版含答案
1.2.1函数的概念教学设计一、教材分析：本节内容为《1.2.1函数的概念》，是人教A版高中《数学》必修一《1.2函数及其表示》的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一，在初中，学生已经学习过函数的概念，它是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式.后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究.例如：1当X是有理数时，f （x）=」Q,当X是无理数时.对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出X的物理意义是什么•但用集合、对应的观点来解释，就十分自然.函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一、而函数概念是函数思想的基础，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具.函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法.二、学情分析：在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数比较抽象，但是函数现象大量存在于学生的周围，教科书选用了运动、自然界、经济生活中的实际例子进行分析，从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念，对学生的抽象、归纳能力要求比较高，能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解.三、教学目标：（一）知识与技能理解函数的定义，能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素.（二）过程与方法通过三个实例共性的分析到函数概念的形成，再对三个实例进行拓展，让学生对函数概念进行辨析，体现从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，渗透了归纳推理，实现了感性认识到理性认识的升华.（三）情感、态度与价值观通过从实际问题中抽象概括函数的概念，培养学生的抽象概括能力，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，感受数学的抽象性和简洁美.四、教学重点与难点：（一）教学重点体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并能用集合与对应的语言来刻画函数•(二)教学难点函数概念的理解及符号“ y二f(x) ”的含义.五、教学策略：首先，通过魔术表演，体现函数在实际生活中的运用，激发学生进一步学习函数的积极性；其次，在学生习惯用解析式表示函数的基础上借助教科书实例，从解析法、图象法、列表法等不同的方式，结合函数的数与形两个方面给学生充分的认识，为学生用集合与对应的语言刻画函数打下感性基础；再次，分析讲解函数概念中的关键点时，对于对应关系f函数关系中多对一的情况、值域是集合B的子集等较为抽象问题的理解采取放乒乓球的实验，让抽象问题具体化；最后，通过对三个实例进行拓展让学生抛开物理运动背景，用集合与对应的语言来分析函数并强调函数关系中对应关系的方向六、教学基本流程:七、教学情景设计:教学流程教学内容设计意图师生活动教学流程教学内容设计意图师生活动。
任意角的三角函数及弧度制教案及练习(含答案)
第一章：三角函数第一课时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广1.回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2.讲解：“旋转”形成角突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角α或α∠可以简记成α4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒³2=720︒） 3周（360︒³3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒ 390︒-330︒是第Ⅰ象限角， 300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒ 1180︒是第Ⅲ象限角，-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)k∈个周角的和(Zk390︒=30︒+360︒)1k(=-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0³360︒ )0(=k 1470︒=30︒+4³360︒ )4(=k -1770︒=30︒-5³360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 五、小结： 1︒ 角的概念的推广， 用“旋转”定义角，角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角”第二课时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。
【教学设计】任意角的三角函数
【教学设计】任意角的三角函数一、教材分析（一）教材地位和作用本节课是关于任意角的三角函数的概念课．在初中，学生已学过锐角三角函数，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，本节课自然地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数．紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质.任意角三角函数的定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.（二）教学目标1、知识与技能了解任意角三角函数定义产生的背景和应用，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；会求特殊角的三角函数值，能够判断三角函数值的符号.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想、数形结合思想,以及类比的学习方法，培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力.3、情感态度与价值观通过教师指导下的学生交流探索活动，使学生经历数学概念发生、发展、应用的过程，让学生感受从中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神.（三）教学重点和难点重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.难点：任意角的三角函数概念的构建过程.二、教学方法（一）教法与学法问题探究式-----教师启发引导、学生合作探究.即采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，同时突出学生的主体地位．（二）教学准备多媒体、投影仪、三角板、圆规.三、教学过程四．设计思路1．突出单位圆的作用。
具体表现在三个方面：第一是将锐角三角函数坐标化，引入单位圆；第二是利用单位圆写出任意角的三角函数；第三是利用单位圆探究三角函数的定义域三角函数在各象限的符号和诱导公式一；第四是在练习1的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。
高中数学人教A版必修四教学案任意角的三角函数含答案
y 12 [尝试解答] (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝ 52＋（－12）2＝13，则 sin α＝ ＝－ ，
r 13
x5
y 12
cos α＝ ＝ ，tan α＝ ＝－ .
r 13
x5
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，
3
1
3)，则 r＝ （－1）2＋（ 3）2＝2，所以 sin α＝ ，cos α＝－ ，tan α＝－ 3；在第
3 (3)∵(－3，a)为 α 终边上的一点，cos α＝－ ，
5
－3
3
∴
＝－ ，∴a2＝16.
（－3）2＋a2 5
4 又∵α 为第二象限角，∴a＞0，即 a＝4.∴sin α＝ .
5 34 答案：(1)D (2)－ (3) 25
讲一讲
cos α
2．(1)若 sin αtan
α＜0，且 tan
α＜0，则角 α 是( )
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点 P(x，y)在终边上的位置
无关，只与角 α 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
(2)若角 α 与 β 的终边相同，根据三角函数的定义，你认为 sin α与 sin β，cos α与 cos
β，tan α与 tan β之间有什么关系？
2
第三象限角．所以 α 是第一或第三象限角．又因为 cos α＜0，所以 α 为第三象限角．
(2)①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，∴sin 105°＞0，cos 230°＜0.
于是 sin 105°·cos 230°＜0.
( ) π
2π
2π
②∵ 2 ＜3＜π，∴3 是第二象限角，∴cos 3＜0，又－ 3 是第三象限角，∴tan － 3
全国第八届青年数学教师优质课教学设计：任意角的三角函数1 Word版含答案
任意角的三角函数教学设计福建师大附中张春晓一、教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张.引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程.二、教学目标知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用.情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，感悟数学概念的严谨性与科学性.重点:任意角三角函数的定义.难点：任意角三角函数概念的建构过程.三、教学流程1．复习通过对任意角的概念的学习，你认为它与初中角的概念有什么区别？设计意图对任意角概念的理解是学习本节课的基础.2．创设情境、引出主题h,它的直径为2r，逆时针方向做匀速转动，转问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点A出发，求相对于地面的高度h与时间t的函数关系式.师生：开始高度h设计意图的“周期性”特点.师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？让我们先从特殊情形入手.例如，过了20s生：00sin20h h r =+.师：你能对这个式子做一解释吗？生：0h 表示水平位置OA 距离地面的高度，0sin 20r 表示P 距离水平位置OA 的高度，即0|MP|h h =+.师：如果过了40s 呢？对上面式子做怎样修改？师生：将020换成040，即：00sin40h h r =+.一般地，过了t 秒呢？猜想: 0sin h h r t =+ 师：这样猜想合情，但合理吗？随着摩天轮的转动，POA ∠从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角α，sin α该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数.设计意图 为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，让学生感受到接下来学习新知识的必要性. 3．概念生成师：当P 在水平但位置OA 上方时，0|MP|h h =+；当P 在水平位置OA 下方时，0-|MP|h h =，即：0|MP|h h =±与0sin h h r t =+相比较，要想两者和谐统一，必须有：sin |MP|r t =±，即：MPsin rt =±. 师生小结：当点P 在圆周上运动时，POA ∠随之变化，任一个POA ∠，对应着唯一点P ，进而有唯一||MP ，得到：MPsin rt =±. 师：不过这样表述|MP|±时，还是不够简洁,M P 何时取正值，何时取负值？能否用一个量去代替MP ±，使上述表示形式更简单？它的绝对值与M P 的长度相等，符号在OA 上方表示正的，OA 下方表示负的.生:引入直角坐标系，用点P 的纵坐标y 来替代||MP 或-||MP .设计意图 让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的.师：接下来，我们把角α放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为r 做圆，与角α的终边交于点P ，假设点P 坐标为(,)x y ，利用我们刚才对上述问题的分析，这里，sin =y rα. 师：当α是锐角时，此规定与初中规定是否吻合？生：吻合，利用初中对锐角三角函数定义，|MP|sin =|OP|α，|MP|即y ，|OP|即r . 师：三角函数只有这一个吗？ 生：还有余弦，正切.师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？ 生：cos x r α=，tan y xα= 师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？生：是的，任意给定角α，其终边唯一确定，终边与圆的交点P 就唯一确定，比值随之唯一确定.师：比值会随着点P 在终边上的变化而变化吗？ 生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的.师：很好，任意给定α→唯一确定比值.那如果α是任意角呢，我们不妨假设此时α终边落在第二象限，终边与圆的交点仍然是P ，坐标为(,)x y 显然，我们已经不能把α终边唯一确定，其与圆的交点P 唯一确定，仍然符合函数的定义. 师：这种比值形式能进一步简化吗？生：另=1r ，则sin =y α，cos x α=，tan y xα= 师：此时点P 具有什么特点？ 生：点P 即是角终边与单位圆的交点. 师：它们是函数吗？生：是的，当α给定时，点P 即定，函数值唯一确定. 师：既然是函数，则有三要素，它们的定义域是什么？生：sin y α=，cos y α=的定义域均为R ，tan y α=的定义域是{|k +,k Z}2πααπ≠∈师：很好，我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实，我们可以发现，任意角的三角函数是以角作为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，即从角的集合到实数集的一种对应关系.设计意图 这里采用概念同化的学习方式，让学生理解定义的合理性，理解概念的背景和生成过程.4．概念运用例1.（口算）求下列三角函数值：(1)0sin 270; (2)cos3π; (3)3tan()4π-.变式：若已知cos 1θ=-,你能写出θ的一个角吗？ 例2.角α的终边经过点1(,2P ，求它的三角函数值. 设计意图 让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤.. 例3.设sin 0θ<且tan 0θ>,确定θ是第几象限的角.设计意图 通过定义的应用，让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想. 例4.不求值，判断下列三角函数值的符号. (1) 0sin(1060)-; (2) 16cos()5π; (3)0tan556. 设计意图 引出公式一sin(2)sin k απα+⋅=，cos(2)cos k απα+⋅=，tan(2)tan k απα+⋅=，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.5．探究发现在如图所示的单位圆中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为OP ，则有向线段,,,,,MP OM AT BS OT OS 分别称为角α的正弦线，余弦线，正切线，余切线，正割线和余割线.图中的正弦线M P ，余弦线OM 均为圆O 上的弦的一段.如M P 是圆O 的弦上'PP 的一段，OM 是圆O 的弦'AA上的一段.图中正切线AT ,余切线BS 均为圆O 上的切线段.图中正割线OT ,余割线OS 均为圆O 上的割线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释，并说明理由？设计意图 也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔. 6．小结反思通过本节课的学习，谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？ 设计意图 让学生回顾所学内容，体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以角为自变量，以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的应用.。
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1．2．1任意角的三角函数【教学内容解析】三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，是对函数模型的丰富，是对函数概念，性质，图像变换及函数应用的进一步深化，是函数概念的下位知识。
三角函数在物理学、天文学、地理学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学及其他学科的基础，因此，通过本章的学习可以培养学生的数学应用能力。
本节之前学生学习了函数的概念，指数函数、对数函数、幂函数和任意角弧度制，本节之后还要接着研究三角函数的图像和性质，并应用性质解决一些简单的具有周期现象的实际问题。
而本节内容是研究三角函数图像和性质的基础。
因此本节内容具有承上启下的作用。
任意角三角函数概念的重点是借助单位圆上点的圆周运动理解任意角的正弦、余弦的定义，它们是本节，乃至本章的基本概念，解决这一重点的关键是在直角坐标系中，借助单位圆、象限角等知识，抽象概括出三角函数，在这一过程中，学生可以感受到数形结合、运动变化、对应等数学思想方法．【教学目标设置】1、通过大量实例，认识到定义任意角三角函数的必要性；2、借助单位圆上的圆周运动，抽象概括出任意角正弦、余弦定义，并体会命名的合理性；能根据定义求特殊角的三角函数值。
3、在抽象概括三角函模型的过程中，体会数形结合等数学思想。
【学生学情分析】初中学习了函数的初步概念，研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，进入高中后从集合与对应的观点重新刻画了函数的概念，研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质。
学生已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。
本节课之前的任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度数与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。
三角函数是“从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系，所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前学过的特殊函数困难些，这是教学的一个难点，所以需要借助单位圆上的圆周运动以直观的几何方式给出定义，通过合理的设计问题串突破该难点。
教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是角的集合（或它的子集），需要“把角的集合转化为实数集”．回顾前一节的弧度制学生可以自行解决该难点，并也体现了引入弧度制的必要性。
【教学重点、难点】重点：借助单位圆上点的圆周运动生成理解任意角的正弦、余弦的定义；能根据定义求特殊角的三角函数值。
难点：从单位圆上点的圆周运动这一模型中寻找变量并抽象概括出函数。
【教学策略分析】“任意角三角函数的概念”是“函数概念”的下位概念，学生的学习是下位学习（一般函数概念下的具体函数），为了更好地突出“任意角三角函数的函数性”和“三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质”，并能根据定义进行简单求值，所以在教学策略上，我以“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”为指导思想，以圆周运动这一数学模型为教学起点，调动象限角、弧度制、单位圆、锐角三角函数等相关知识，从该模型中寻找变量抽象概括出任意角三角函数的概念。
故在本课时中我对人教A版的教材及相关材料做如下处理。
内容上：第一课时只讲解正弦、余弦函数的定义。
（因为正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，）结构上：通过实例体现“函数是描述客观世界变化规律的数学模型”并发现函数模型不够用了，进而利用单位圆上的圆周运动，由老师适当引导，学生寻找变量并抽象概括出任意角正弦、余弦的定义，而不是利用以直角三角形为载体的锐角三角函数定义来引课。
理由如下：（1）锐角三角函数以比值为函数值，是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的；任意角三角函数以坐标分量为函数值，是研究现实生活中的周期现象而发展起来的，他们研究的对象不同，表现的性质也不同。
所以我们不能简单地认为任意角三角函数是锐角三角函数的推广（或一般化）又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”。
（2）在任意角三角函数的概念形成之前，如果通过回顾初中的三角形中的锐角三角函数定义，之后坐标化、长度单位化、角的任意化，最后给出定义，这样处理容易给学生造成定义任意角三角函数离不开锐角三角函数的错觉，冲淡任意角正弦、余弦的函数性，可能导致学生无法把任意角的三角函数纳入到函数的概念中。
这样处理可以让学生直观地理解三角函的概念，体会把三角函数称作“圆函数”的原因，并为后续的性质、图像的学习带来方便，也可以让学生更好地体会数形结合、运动变化、对应等数学思想。
基于以上及结合学生知识水平,年龄特点，教师首先展示大量实例，体会引入新函数模型的必要性；通过几何画板演示圆周运动，教师问题串引导，以学生活动为主线,给学生留下思考的空间，自主发现，抽象概括出任意角的正弦、余弦的定义，并让学生探究该命名的合理性（数学中新的概念或法则的引进，我们总是希望其与原有的概念或法则是相容的），使学生的学习过程成为在教师的指导下的“再创造”过程，体现学生的主体地位。
【教学流程】一、情境引入、提出问题1、师：必修一我们学习了函数，通过学习我们知道函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型。
（列举大量实例，利用ppt师生互动）如：（1）铅球如何能掷的更远、投篮如何更准，那我们就要研究抛物运动，抛物运动用什么函数模型来刻画？…（2）必修一学习的指数函数，对数函数，他们分别是刻画那些具有“指数爆炸”“对数增长”现象的数学模型。
2、师：在现实世界中还有这样一类现象，同学们请看。
（ppt展示图片）师生总结出昼夜更替，四季变化，潮汐变化，月相变化等。
师：这类现象有什么样的共同特点？生：都具有周而复始的特点。
师：很好，这种现象我们叫做周期现象。
周期现象在现实生活中大量存在，时刻影响着我们的生活，为了使我们的生活更加美好、看清现象的本质。
我们很有必要研究周期现象，同学们思考，已有的这些函数模型能否刻画这种周期性现象呢？师：函数模型不够用了，这节课我们就寻找新的函数模型来刻画现实生活中的周期现象。
【设计意图】用数学的观点，函数的视角看待自然现象和客观世界运行规律，体现函数的重要性，定义新函数的必要性。
二、构建模型、寻找函数（一）准备工作（引进圆周运动，坐标系，圆的单位化）师：刚才我们所举的周期现象的例子，是如何引起的？生A ：（可能略作思考）由旋转引起的。
师：是一种什么运动？生A ：圆周运动老师表述：在“周而复始”现象中，最典型的是圆周运动【圆上的点P 的每转一周（2π弧度）就回到原来的位置】。
数学中，研究一类现象，我们往往从简单而本质的情形入手。
因此，本节课我们就从圆周运动中抽象概括出刻画周期现象的函数模型。
师：要从圆周运动中抽象概括出函数代数表达式，我们还缺什么工具？【几何画板展示、引出坐标系，体现数形结合思想】师：平面直角坐标系是联系几何与代数的桥梁，是实现数形结合思想的关键。
坐标系放在什么位置合适？【建立恰当直角坐标系】师：在研究点P 的周期特性时，了研究方便，我们不妨取圆的半径op=1，我们把以原点为圆心，单位长为半径的圆叫单位圆【将圆单位化】(板书单位圆）（二）寻找变量，构建函数师：要用函数刻画周期现象，就离不开变量。
在坐标系中，哪些变量能刻画单位圆上点P 的变化规律呢？（学生可能回答坐标，弧长，时间等，根据情况具体讨论）生: P 点的坐标师：坐标可以很好的刻画点p 的位置，请同学们思考，能否用变量 x 和y 建立一个函数关系式刻画点P 在单位圆上的变化规律？（学生可能说用122=+y x 刻画，可问学生其是函数么？能体P 点运动的现周期特性么？） 师：x ，y 之间不能构成函数，所以要构造函数我们还缺少变量。
请同学们思考，还有什么变量能刻画p 点运动的周期特性呢？各小组讨论，并说说合理性。
生：可以用角来描述p 点运动的周期特性。
师：什么样的角？生：射线OP 旋转所成的角，就是上一节课的任意角。
师：这时点P 可以看成角α终边与单位圆的交点，这个角α是如何体现P 点运动的周期特性呢？生：α终边旋转2π弧度又回到原来位置，可以周而复始的旋转下去。
师：给予表扬，请坐（结合几何画板总结）α终边每旋转π2弧度，P 点就回到原来位置体现了周期性。
逆时针旋转可以用正角刻画，顺时针旋转可以用负角刻画，不旋转用零角刻画，并且P 点可以无限地旋转下去，所以我们可以用任意角α去刻画P 点的周期变化规律。
（三）联系变量，构造函数师：接下来请同学们思考，角α与坐标分量x ，y 分别有什么样的对应关系呢？能否构造出函数？请各小组讨论，最后给出成果。
生：角α和变量x ，y 有两个对应关系对于任意一个角α都有唯一确定的横坐标x 与之对应；对于任意一个角α都有唯一确定的纵坐标y 与之对应.师：（板书并问） ,x 唯一任一→α ① y 唯一任一→α ②以谁为自变量，以谁为函数值的函数？生：角α是自变量，坐标分量为函数值的两个函数！师：（不妨记为)(αf x =；)(αg y =）老师有个疑问？角α是实数么？生：是，他的弧度数是个实数。
师：很好，请坐。
弧度制下，任意角的集合就是实数集R,看来引入弧度制是很有必要的。
单位圆上的坐标分量x ，y 取值集合是什么？ 答[-1,1],师：哪位同学从集合与对应的角度来描述一下这两个函数？生：对于R 中的任意一个实数α，都有[-1,1]中唯一确定的数x 与之对应；同理…师：（表扬）上述对应满足函数的定义，即是以角α的弧度数为自变量，以角α的终边与单位圆的交点的坐标分量为函数值的函数。
【设计意图】1、这部分是本节课的重点也是难点，结合函数概念、象限角、弧度制等知识，通过几何画板的直观演示，达到突出重点突破难点的目的。
2、利用单位圆上的圆周运动寻找任意角三角函数概念，在概念的形成过程中，体会函数思想，数形结合思想。
三、生成概念、恰当命名师：上述两个函数密切配，很好地刻画了做圆周运动的点P 的周期特性，这么重要的函数同学们考虑给他们起个具体的名字吧，并给一个记号。
【小组讨论。
】生：x 叫做α的余弦，记作αcos =x ；y 叫做α的正弦，记作αsin =y .合理性：（学生阐述）老师说明：这样命名前后一致，具有合理性。
一般地，在数学中，当我们引进一个新的概念或法则时，我们总是希望它与已有的概念或法则相容。
因为角α是任意角，所以这节课我们学习的内容是（板书标题）我们给出任意角的三角函数的完整定义。
（板书）老师总结：至此，利用圆周运动同学们构建了任意角的正弦函数和余弦函数，α每隔2π弧度，P 点坐重复出现，所以这两个函数是刻画周期现象最有表现力的函数，因为起源于圆周运动，我们也称他俩也被称为圆函数。
【设计意图】1、定义的合理性。
2、通过积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，体会合情猜测的重要性，并从中感悟数学概念的严谨性与科学性；四、例题分析，巩固提高练习1： 完成下列表格:例1.求 的正弦、余弦值.总结：求任意角α的正余弦值关键是要求其终边与单圆的交点坐标。