同角三角函数的基本关系-PPT课件
合集下载
高中数学《同角三角函数的基本关系》课件
一 同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解 由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一 同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以 看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数 的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一 同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于 点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一 同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解 由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25
同角三角函数的基本关系式课件
利用同角三角函数的基本关系式， 可以将复杂的三角函数表达式进
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
同角三角函数的基本关系(用).ppt
A.
B.
1,3 3,1,3
D.
化简 (1) cos tan
2 cos2 1 (2) 1 2 sin 2
例3 求证
cos x 1 sin x 1 sin x cos x
恒等式证明常用方法?
1 2 3 4 5 左→右 右→左 左右同时证 作差 作商
练习
(3) tan 2
?
不存在
练习:
4 已知 cos ，且 为第三象限角， 5
求 sin , tan的值
3 例1 已知 sin ,求 cos , tan 的值. 5 解:因为 sin 0, sin 1 , 所以 是第三或第四象限角.
是否存在同时满足下列三个条件的角
?
3 (1) sin 5 5 (2) cos 13
(3) tan 2
复习任意角的三角函数
α的终边
P(x,y) M O T A(1,0) x y
（1）y叫做 的正弦，记作
sin y =MP
sin ，即
x （2） 叫做 的余弦，记作
作业布置：
P21
A组10 （1）（2）（3）； 13（1）（2）；
课堂作业： 作业三
祝同学们 学习进步
求证 (1) sin 4 cos4 sin 2 cos2
(2) sin 4 sin 2 cos2 cos2 1
小结:
1.同角三角函数的基本关系
2.同角三角函数的基本关系的应用 (1)已知角 的某一三角函数值,求它的其它三角
函数值;
(2)公式的变形、化简、恒等式的证明.
练 习
5 已知 cos 求 sin , tan 的值. 13
B.
1,3 3,1,3
D.
化简 (1) cos tan
2 cos2 1 (2) 1 2 sin 2
例3 求证
cos x 1 sin x 1 sin x cos x
恒等式证明常用方法?
1 2 3 4 5 左→右 右→左 左右同时证 作差 作商
练习
(3) tan 2
?
不存在
练习:
4 已知 cos ，且 为第三象限角， 5
求 sin , tan的值
3 例1 已知 sin ,求 cos , tan 的值. 5 解:因为 sin 0, sin 1 , 所以 是第三或第四象限角.
是否存在同时满足下列三个条件的角
?
3 (1) sin 5 5 (2) cos 13
(3) tan 2
复习任意角的三角函数
α的终边
P(x,y) M O T A(1,0) x y
（1）y叫做 的正弦，记作
sin y =MP
sin ，即
x （2） 叫做 的余弦，记作
作业布置：
P21
A组10 （1）（2）（3）； 13（1）（2）；
课堂作业： 作业三
祝同学们 学习进步
求证 (1) sin 4 cos4 sin 2 cos2
(2) sin 4 sin 2 cos2 cos2 1
小结:
1.同角三角函数的基本关系
2.同角三角函数的基本关系的应用 (1)已知角 的某一三角函数值,求它的其它三角
函数值;
(2)公式的变形、化简、恒等式的证明.
练 习
5 已知 cos 求 sin , tan 的值. 13
同角三角函数的基本关系ppt课件
5.2.2同角三角函数 的基本关系
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
探索新知
(1)首先我们知道三个三角函数的值都是由角的终 边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,这说明它们 定义的背景统一,所以它们之间一定有内在联系。
探索新知
(2)可以利用公式一,把这些终边相同角的三角函数值转化 为同一个角的三角函数值,这时就可以将这个问题进一步 转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1:函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
探索新知
(1)首先我们知道三个三角函数的值都是由角的终 边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,这说明它们 定义的背景统一,所以它们之间一定有内在联系。
探索新知
(2)可以利用公式一,把这些终边相同角的三角函数值转化 为同一个角的三角函数值,这时就可以将这个问题进一步 转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1:函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?
第五章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件共51张PPT
(3)∵sin α＝45 且 α 为锐角∴cos α＝ 1－sin2α ＝
4
∴tanα＝csoins
α α
＝52
＝43
，故 AB 正确．
5
∴sin α＋cos α＝45
＋35
＝75
8 ≠5
，
sin α－cos α＝45 －35 ＝15 ≠－15 ，故 CD 错误．]
1－452 ＝35 ，
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数 值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在 的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
所以 f－253π
＝cos
－253π
＝cos
π 3
＝12
.
答案：
1 2
同角三角函数基本关系式
角度一 公式的直接应用
(1)已知角
α
是第二象限角，且满足
sin
5π (2
＋α)＋3cos (α－π)＝1，
则 tan (π＋α)等于( )
A． 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．－1
(2)(2020·北京市适应性测试)已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－34 ，则 sin
解析： (1)因为 f(2 020)＝sin π2 ×2 020＋α ＋1＝sin (1 010π＋α)＋1
＝sin α＋1＝2，
所以 sin α＝1，cos α＝0.
所以 f(2 021)＝sin
5.2.2同角三角函数的基本关系 课件
3 5
，且
是第三象限角，
求 cos, tan 的值。
解：因为 sin 2 cos2 1 ，所以
cos2
1
s in 2
1
3
2
16
5 25
因为 第三象限角，所以
cos 4
5
tan sin 3 cos 4
变式1.已知sin 3 ,求cos, tan的值.
5
先定象限,后定值 解 :sin 3 0且sin 1
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中 k z
同角三角函数的基本关系：
如图，设 是一个任意角，它的
终边与单位圆交于点P(x,y)，则
的终边 y
P(x,y) 1
sin y cos x
-1 M o
1x
tan y (x 0)
x
-1
△OMP直角三角形，而且OP=1。
由勾股定理有 OM2+MP2=1。
因此，x2+y2=1，即 sin2 cos2 1。
由三角函数定义有
tan
sin cos
(
2
k , k
Z )。
同角的三角函数的基本关系:
1.平方关系 2.商数关系
sin2 cos2 1
当 k ,(k Z )时
商数关系: tan sin ( k , k Z )
cos
2
(二)基本关系式的应用:
(1)求值 先定象限,后定值 (2)化简 (1)重视对“1”变形 (3)证明 (2)弦切互化
例析
例1.已知 tan 2，求 sin cos . sin cos
思考1：对于本题，你能想到哪一些解决的思路? 思路一：
同角三角函数的基本关系 课件
3t－t3
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
同角三角函数的基本关系课件
cosθ＝±75.
[错因分析] 该解法忽略了角 θ 的取值范围．根据 0<θ<π
这一条件，可以确定 sinθ－cosθ 的符号．
[思路分析] 在已知 sinθcosθ 的值求 sinθ＋cosθ 或 sinθ－ cosθ 的值时需开方，因此要根据角的范围确定正负号的选择．
[正解]
∵
sinθ
＋
cosθ
tanα·cosα，cosα＝tsainnαα；1±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.
忽略角的取值范围，造成增根或丢根 已知 sinθ＋cosθ＝15，且 0<θ<π，求 sinθ－cosθ 的值．
[错解]
∵
sinθ
＋
cosθ
＝
1 5
，
∴
(sinθ
＋
cosθ)2
＝
1 25
，
解
得
sinθcosθ＝－1225.∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4295，故 sinθ－
＝
1 5
，
∴
(sinθ
＋
cosθ)2
＝
1 25
，
解
得
sinθcosθ＝－1225.∴(sinθ－cosθ)2＝1 sinθcosθ<0，∴sinθ>0，cosθ<0，
∴sinθ－cosθ>0，∴sinθ－cosθ＝75.
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系
(1)关系式： ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1 .
②商关系： sinα ＝ cosα
tanα
(α≠kπ＋π，k∈Z)． 2
(2)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的 平方和等于 1，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) 1 sin2
(3) 1 cos 1 cos (α为第四象限角). 1 cos 1 cos
Company Logo
三、数学应用:化简
2 cos 2 1
(4) 1 2sin2 1换为sin2 cos2
解：2cos2 1 1 2sin2
2cos2 (sin2 cos2 ) (sin2 cos2 ) 2sin2
称为平方关系
sin2 cos2 1 直接可以用单位圆得到.
sin tan cos
称为商数关系
可以证明吗？
角α 是否可以为任意角？
Company Logo
判一判 判断下列式子是否成立?
(1).sin 2 33 cos2 47 1
(2).sin2 2 cos2 2 1
(3).若是第二象限角，则tan sin . cos
cos2 sin2 cos2 sin2 1
Company Logo
规律归纳 化简三角函数式的一般要求： ①函数种类最少； ②项数最少； ③函数次数最低； ④能求值的求出值； ⑤尽量使分母不含三角函数； ⑥尽量使分母不含根式．
Company Logo
练习:
(1) 1 sin2 440 cos 800
2sin2 3cos2 (2) 4sin2 9 cos2
(3) 1
sin cos
（5）1 -
1 sin a
+1 1 + sin a
(4) sin2 2sin cos 4 cos2
(1) 1
(2) 5
7
(3) 5 2
(4) 4 5
Company ogo
练习：
1、已知sin cos -7，求sin cos的值. sin cos
sin2 cos2 1
1 2sin x cos x 1 tan x
cos2
x sin2
x
1 tan x
分析：1 2sin xcosx
sin2 x cos2 x 2sin x cosx
(sin x cos x)2
cos2 x sin 2 x (cosx sin x)(cosx sin x) Company Logo
84
2
求cos sin的 值.
Company Logo
练习：
如果角α满足条件sin
cos
k 3, k 5 4 2k
,
则α是(
B
)
A.第二象限角
k 5
B.第二或第四象限角
C.第四象限角
D.第一或第三象限角
Company Logo
题型四:化简
例5.化简
（1）sin cos 1 tan 1 cos2
三、数学应用:求值
例1 已知sin 4 ,且是第二象限角，求cos, tan的值.
5
解：Q sin2 cos2 1
先定象限,后定值
cos2 1 sin2 1 ( 4)2 9
5 25
又是第二象限角，cos 0
cos 3 ,
54
tan
sin cos
5 3
4 3
5
Company Logo
一、创境设问：填一填
sin
cos
tan sin2 cos2
sin cos
30 1
3
3
2
2
3
1
3 3
45 2
2
2
2
1
1
1
60 3
1
3
1
3
2
2
150 1 2
3 2
3 3
1
3 3
sin2 cos2 1
tan sin cos
二、结论
请根据以上结果讨论,当角α确定后, α的正弦、 余弦、正切值也随之确定，它们之间有何关系？
(2) 1 sin2 4
cos 4
(3) 1 2sin 2 cos 2
sin 2 cos 2
1 2sin10 cos10 (4)
sin10 1 sin2 10
1
Company Logo
题型五:证明
求证：sin4 cos4 sin2 cos2 恒等式证明常用方法?
分析：由左往右证
2、已知tan 1 ，求1 2sin cos的值.
2
Company Logo
题型三: sinα+cosα，sinα-cosα，
sinαcosα的互相转化
1 1、已知0<α<π,sinα+cosα= 5 .
求:(1)sinαcosα; (2) sinα－cosα.
（3）tan α
2、 已 知sin cos 1 ， 且 ,
证明三角恒等式的基本思路：由繁到简
一般方法：（1）左边 右边 （2）右边 左边 （3）左边 中间式 右边
（4）转化①A=B A – B = 0
②A B A 1(B 0)
B
③ A C AD BC
BD
Company Logo
小结：
(一)同角三角函数的基本关系式:
平方关系: sin 2 cos2 1
(1) 1换为sin2 cos2 (2)切化弦：tan sin
cos (3)1 2sin x cos x (sin x cos x)2
(4) (1 sin x)(1 sin x) 1 sin2 x cos2 x
Company Logo
欢迎你的提问！
商数关系: sin tan (二)公式的应用: cos
知一求二:由一个角的某一三角函数值 求出其它的两个三角函数值；
(三)数学思想方法: ①分类讨论； ②方程(组)的思想．
Company Logo
小结：
1.证明方法
（1）由左往右证 （2）由右往左证
由复杂的一端向 简单的一端化简
（3）两面夹
2.技巧
证明：左边 sin4 cos4
(sin 2 cos2 )(sin 2 cos2 )
sin2 cos2 1
sin2 cos2 右边
原式成立
Company Logo
例.证明：
cos 1 sin 1 sin cos
Company Logo
求证：sin4 sin2 cos2 cos2 1.
(4).sin 2 cos 2 1
Company Logo
Company Logo
简单应用
下列四个命题中可能成立的一个是（ B ）
A.sin 1 且 cos 1
2
2
B.sin 0且 cos 1
C.tan 1且 cos 1
D.在第二象限时, tan sin cos
Company Logo
若是第一象限角，则cos 5 , tan 12，sin 12
13
5
13
若是第三象限角，则cos 5 , tan 12，sin 12
13
5
13
小结：(1)注意方程思想的运用； (2)分类讨论的数学Com思pany想Log．o
题型二:齐次式求值
已知tan α=2,求:
(1) 2sin 3cos 4sin 9 cos
三、数学应用:求值
例2 已知tan 12 ,求sin, cos的值.
5
解：由 sin tan 12 ,
cos
5
可得sin 12 cos
5
又sin2 cos2 1，故（12）2 cos2 cos2 1
解得cos2 25 。
169
5
先定象限,后定值
又由tan 0,知是第一或第三象限角。
(3) 1 cos 1 cos (α为第四象限角). 1 cos 1 cos
Company Logo
三、数学应用:化简
2 cos 2 1
(4) 1 2sin2 1换为sin2 cos2
解：2cos2 1 1 2sin2
2cos2 (sin2 cos2 ) (sin2 cos2 ) 2sin2
称为平方关系
sin2 cos2 1 直接可以用单位圆得到.
sin tan cos
称为商数关系
可以证明吗？
角α 是否可以为任意角？
Company Logo
判一判 判断下列式子是否成立?
(1).sin 2 33 cos2 47 1
(2).sin2 2 cos2 2 1
(3).若是第二象限角，则tan sin . cos
cos2 sin2 cos2 sin2 1
Company Logo
规律归纳 化简三角函数式的一般要求： ①函数种类最少； ②项数最少； ③函数次数最低； ④能求值的求出值； ⑤尽量使分母不含三角函数； ⑥尽量使分母不含根式．
Company Logo
练习:
(1) 1 sin2 440 cos 800
2sin2 3cos2 (2) 4sin2 9 cos2
(3) 1
sin cos
（5）1 -
1 sin a
+1 1 + sin a
(4) sin2 2sin cos 4 cos2
(1) 1
(2) 5
7
(3) 5 2
(4) 4 5
Company ogo
练习：
1、已知sin cos -7，求sin cos的值. sin cos
sin2 cos2 1
1 2sin x cos x 1 tan x
cos2
x sin2
x
1 tan x
分析：1 2sin xcosx
sin2 x cos2 x 2sin x cosx
(sin x cos x)2
cos2 x sin 2 x (cosx sin x)(cosx sin x) Company Logo
84
2
求cos sin的 值.
Company Logo
练习：
如果角α满足条件sin
cos
k 3, k 5 4 2k
,
则α是(
B
)
A.第二象限角
k 5
B.第二或第四象限角
C.第四象限角
D.第一或第三象限角
Company Logo
题型四:化简
例5.化简
（1）sin cos 1 tan 1 cos2
三、数学应用:求值
例1 已知sin 4 ,且是第二象限角，求cos, tan的值.
5
解：Q sin2 cos2 1
先定象限,后定值
cos2 1 sin2 1 ( 4)2 9
5 25
又是第二象限角，cos 0
cos 3 ,
54
tan
sin cos
5 3
4 3
5
Company Logo
一、创境设问：填一填
sin
cos
tan sin2 cos2
sin cos
30 1
3
3
2
2
3
1
3 3
45 2
2
2
2
1
1
1
60 3
1
3
1
3
2
2
150 1 2
3 2
3 3
1
3 3
sin2 cos2 1
tan sin cos
二、结论
请根据以上结果讨论,当角α确定后, α的正弦、 余弦、正切值也随之确定，它们之间有何关系？
(2) 1 sin2 4
cos 4
(3) 1 2sin 2 cos 2
sin 2 cos 2
1 2sin10 cos10 (4)
sin10 1 sin2 10
1
Company Logo
题型五:证明
求证：sin4 cos4 sin2 cos2 恒等式证明常用方法?
分析：由左往右证
2、已知tan 1 ，求1 2sin cos的值.
2
Company Logo
题型三: sinα+cosα，sinα-cosα，
sinαcosα的互相转化
1 1、已知0<α<π,sinα+cosα= 5 .
求:(1)sinαcosα; (2) sinα－cosα.
（3）tan α
2、 已 知sin cos 1 ， 且 ,
证明三角恒等式的基本思路：由繁到简
一般方法：（1）左边 右边 （2）右边 左边 （3）左边 中间式 右边
（4）转化①A=B A – B = 0
②A B A 1(B 0)
B
③ A C AD BC
BD
Company Logo
小结：
(一)同角三角函数的基本关系式:
平方关系: sin 2 cos2 1
(1) 1换为sin2 cos2 (2)切化弦：tan sin
cos (3)1 2sin x cos x (sin x cos x)2
(4) (1 sin x)(1 sin x) 1 sin2 x cos2 x
Company Logo
欢迎你的提问！
商数关系: sin tan (二)公式的应用: cos
知一求二:由一个角的某一三角函数值 求出其它的两个三角函数值；
(三)数学思想方法: ①分类讨论； ②方程(组)的思想．
Company Logo
小结：
1.证明方法
（1）由左往右证 （2）由右往左证
由复杂的一端向 简单的一端化简
（3）两面夹
2.技巧
证明：左边 sin4 cos4
(sin 2 cos2 )(sin 2 cos2 )
sin2 cos2 1
sin2 cos2 右边
原式成立
Company Logo
例.证明：
cos 1 sin 1 sin cos
Company Logo
求证：sin4 sin2 cos2 cos2 1.
(4).sin 2 cos 2 1
Company Logo
Company Logo
简单应用
下列四个命题中可能成立的一个是（ B ）
A.sin 1 且 cos 1
2
2
B.sin 0且 cos 1
C.tan 1且 cos 1
D.在第二象限时, tan sin cos
Company Logo
若是第一象限角，则cos 5 , tan 12，sin 12
13
5
13
若是第三象限角，则cos 5 , tan 12，sin 12
13
5
13
小结：(1)注意方程思想的运用； (2)分类讨论的数学Com思pany想Log．o
题型二:齐次式求值
已知tan α=2,求:
(1) 2sin 3cos 4sin 9 cos
三、数学应用:求值
例2 已知tan 12 ,求sin, cos的值.
5
解：由 sin tan 12 ,
cos
5
可得sin 12 cos
5
又sin2 cos2 1，故（12）2 cos2 cos2 1
解得cos2 25 。
169
5
先定象限,后定值
又由tan 0,知是第一或第三象限角。