6自动控制原理 传递函数汇总
自动控制原理传递函数知识点总结
自动控制原理传递函数知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统中信号传递、处理、转换等基本理论和方法的学科。
传递函数是描述线性时不变系统的数学模型，它对于分析和设计控制系统起着重要的作用。
下面将对自动控制原理中关于传递函数的知识点进行总结。
一、传递函数的定义传递函数是用来描述线性时不变系统输入-输出关系的数学函数。
对于连续时间系统，传递函数可以表示为：G(s) = Y(s) / X(s)其中，G(s)为传递函数，Y(s)为系统的输出信号，X(s)为系统的输入信号，s为复变量。
对于离散时间系统，传递函数可以表示为：G(z) = Y(z) / X(z)其中，G(z)为传递函数，Y(z)为系统的输出信号，X(z)为系统的输入信号，z为复变量。
二、传递函数的性质1. 时域特性：传递函数可以通过拉氏变换将时域的微分、积分方程转换为频域的代数方程，从而简化系统的分析和设计。
2. 稳定性：传递函数的稳定性与其极点位置有关。
当所有极点均位于左半平面时，传递函数是稳定的；当存在极点位于右半平面时，传递函数是不稳定的。
3. 零点和极点：传递函数的零点是使得传递函数为零的点，极点是使得传递函数无穷大的点。
零点和极点的位置对系统的动态性能和稳定性有重要影响。
4. 频率响应：传递函数的频率响应是指系统对不同频率输入信号的响应特性。
频率响应可以通过传递函数的频域分析获得，包括幅频特性和相频特性。
三、传递函数的常见形式1. 一阶系统传递函数：一阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s + a)其中，K为传递函数的增益，a为系统的时间常数。
2. 二阶系统传递函数：二阶系统的传递函数形式为：G(s) = K / (s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2)其中，K为传递函数的增益，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
3. 传递函数的因果性：因果系统的传递函数在复平面上的极点全部位于左半平面，即Re(s) < 0。
非因果系统的传递函数在复平面上的极点存在于右半平面，即Re(s) > 0。
自动控制原理--传递函数的定义及性质和表示形式
传 递 函 数的表示形式
3.时间常数形式（尾1型 ）
G(s)
bm (1s 1)( 2s2
an (T1s 1)(T2s2
22s 1)( is 1) 2T2s 1)(Tjs 1)
m
K bm K * am
(zi )
1 n
称 G(s)的开环增益。
传递函数
传递函数的定义及性质 传 递 函 数的表示形式
传 递 函 数的定义
对于n阶系统，线性微分方程的一般形式为：
a d n c(t) a d n1 c(t) a d c(t) a c(t)
0 dt n
dt1 n1
dt n1
n
b d m r(t) b d m1 r(t) b d r(t) b r(t)
另外实际系统总有惯性，因此实际系统中有n>＝m，n称 为系统的阶数
传递函数的性质
7）传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换。
定义 g(t) 为系统单位脉冲作用下的系统输出：
当 r(t) (t) 时，系统的输出c(t)称为 g(t)
此时，L[r(t)] L[ (t)] 1 所以：
C(s) G(s)R(s) G(s) c(t) g(t) L1[C(s)] L1[G(s)R(s)] L1[G(s)]
( p j )
1
i ,Tj 称时间常数。
传递函数的性质
G(s)
C(s) R(s)
b0sm a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s an1s
bm an
5）传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。
若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一
自动控制原理 传递函数计算
• 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分
子，分母的阶次是： n m。
一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之 对应。这将在第四章根轨迹中详述。
C R=1
北京航空航天大学
L1
L2
P11 P22
L3 L4 L2 L4
L3 L4
②两两互不相关的回路2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
L3 L4 = (G4 )(G2G3 H2 )
３. ①求前向通路1
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
P1 = G1G2G3 1 = 1
3. ②求前向通路2
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
= 1 P2 = G4 2
G1G2 H1 G2G3 H 2
G4
R
G1
G2
G3
C
H2 H1
P2 = G1G4
2 = 1
前向通路数：n = 2
求解步骤之三：求总传递函数
C
R
=
1
G1G2G3
G1G2G3 G1G4 G1G2 H1 G2G3 H2
G1G4
G4 H2
例3：对例2做简单的修改
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
①求反馈回路1
G4
R
C
G1
G2
自动控制原理公式汇总松鼠学长
自动控制原理公式汇总松鼠学长
自动控制原理涉及到很多公式，下面是一些常见的公式汇总：1.开环传递函数：G(s) = Y(s)/U(s)
- G(s)表示系统的传递函数
- Y(s)表示输出信号的Laplace变换
- U(s)表示输入信号的Laplace变换
2.闭环传递函数：T(s) = Y(s)/R(s)
- T(s)表示闭环系统的传递函数
- Y(s)表示输出信号的Laplace变换
- R(s)表示参考输入信号的Laplace变换
3.系统的单位反馈闭环传递函数：T(s) = G(s)/(1 + G(s)H(s)) - T(s)表示闭环系统的传递函数
- G(s)表示开环系统的传递函数
- H(s)表示单位反馈的传递函数
4.闭环系统的稳定性判据：若开环传递函数G(s)的所有极点的实部都小于零，则闭环系统是稳定的。
5. PID控制器输出信号：u(t) = Kp*e(t) + Ki*∫[0,t] e(τ) dτ + Kd*de(t)/dt
- u(t)表示PID控制器的输出信号
- Kp是比例增益
- Ki是积分增益
- Kd是微分增益
- e(t)是误差信号，等于参考输入信号与实际输出信号之差
这些公式只是自动控制原理中的一小部分，实际上自动控制原理是一个庞大的学科，涉及到许多不同的理论和方法。
它还包括了传感器和执行器的动态特性、控制器的设计和调节、系统的鲁棒性等方面的内容。
在实际应用中，根据具体问题的要求，可能还需要考虑动态特性的影响、非线性系统的建模和控制、多变量系统的控制等更高级的内容。
因此，适当拓展自动控制原理的公式是必要的。
自动控制原理 梅森公式求系统传递函数
表达式为：
1 n
P k1 Pk k
式中： P 总传递函数；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
1 La LbLc Ld LeLf ...
2
流图特征式
1 n
P k1 Pk k
G2 G1 2G1G2 1 G2 G1 3G1G2
10
2.3.5 闭环控制系统的传递函数
N(s)
R(s) E(s)
-
G1(s)
C(s)
G2(s)
H(s)
控制系统在工作过程中受到各种外作用形式，一种为控制输 入信号，另一种为扰动信号。
输入作用下，系统的闭环传递函数及输出:
(s) C(s) G1(s)G2 (s) R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
(s)
N
(s)
根据线性叠加原理，系统总输出 ：
C(s)
C(s)
CN
(s)
G2 (s)[G1(s)R(s) N (s)] 1 G1(s)G2(s)H (s)
12
闭环系统的误差传递函数：
R(s) E(s)
-
G1(s)
N(s)
C(s)
G2(s)
H(s)
输入作用下，系统误差传递函数:
e (s)
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
3
[几个术语]：
N
R1
E
G1
P
1 G2
Q
பைடு நூலகம்
1C
H
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。
自动控制原理第6章习题解——邵世凡
习 题 66-1 设控制系统的开环传递函数为：()()()s s s s G 1.015.0110++= 绘出系统的Bode 图并求出相角裕量和幅值裕量。
若采用传递函数为(1+0.23s)/(1+0.023s)的串联校正装置，试求校正后系统的幅值和相角裕度，并讨论校正后系统的性能有何改进。
6—2设控制系统的开环频率特性为()()()()ωωωωωj j j j H j G 25.01625.011++= ①绘出系统的Bode 图，并确定系统的相角裕度和幅值裕度以及系统的稳定性； ②如引入传递函数()()()0125.025.005.0++=s s s G c 的相位滞后校正装置，试绘出校正后系统的Bode 图，并确定校正后系统的相角裕度和幅值裕度。
6 3设单位反馈系统的开环传递函数为()()()8210++=s s s s G 设计一校正装置，使静态速度误差系数K v =80，并使闭环主导极点位于s=-2±j23。
6-4设单位反馈系统的开环传递函数为()()()93++=s s s K s G ①如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超凋量σ =20％，试确定K 值；②根据所确定的K 值，求出系统在单位阶跃输入下的调节时间t s 。
，以及静态速度误差系数； ③设计一串联校正装置，使系统K v ≥20，σ≤25％，t s 减少两倍以上。
6 5 已知单位反馈系统开环传递函数为()()()12.011.0++=s s s K s G 设计校正网络，使K v ≥30，γ≥40º，ωn ≥2.5，K g ≥8dB 。
6-6 由实验测得单位反馈二阶系统的单位阶跃响应如图6-38所示．要求①绘制系统的方框图，并标出参数值；②系统单位阶跃响应的超调量σ =20％，峰值时间t p =0.5s ，设计适当的校正环节并画出校正后系统的方框图。
6-7设原系统的开环传递函数为()()()15.012.010++=s s s s G 要求校正后系统的相角裕度γ=65º。
自动控制原理传递函数
自动控制原理传递函数
自动控制原理中，传递函数是一个非常重要的概念。
传递函数描述了控制系统
输入和输出之间的关系，是分析和设计控制系统的重要工具。
本文将介绍传递函数的基本概念、性质和应用。
传递函数是描述线性时不变系统输入和输出之间关系的数学函数。
对于一个线
性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数通常用G(s)表示，其中s是复变量。
传递函数的形式可以是分子多项式除以分母多项式的比值，也可
以是一些特定形式的函数。
传递函数的性质包括，稳定性、因果性、实数性等。
稳定性是指系统在输入有
界的情况下，输出也是有界的。
因果性是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。
实数性是指系统的传递函数在实轴上的取值都是实数。
传递函数在控制系统分析和设计中有着广泛的应用。
通过传递函数，可以方便
地分析系统的频率响应特性，如幅频特性、相频特性等。
同时，传递函数也可以用于控制系统的设计，例如根据要求设计控制器的参数，使系统的性能满足特定的要求。
在实际工程中，传递函数也经常用于建立系统的数学模型。
通过测量系统的输
入和输出，可以辨识出系统的传递函数，从而对系统进行建模和仿真。
这对于系统的分析和预测具有重要意义。
总之，传递函数是自动控制原理中一个非常重要的概念。
通过传递函数，可以
方便地描述和分析控制系统的性能，并且可以用于控制系统的设计和建模。
因此，对传递函数的理解和掌握是控制工程师必备的基本能力之一。
希望本文对传递函数的基本概念、性质和应用有所帮助。
自动控制原理,传递函数共35页
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零） ( a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 ) Y ( s ) ( b m s m b m 1 s m 1 b 1 s b 0 ) X ( s ) G (s)Y X ((s s))b a m n s sm n a b n m 1 1 s sn m 1 1 a b 1 1 ss a b 0 0 称为环节的传递函数
R 1 R 2(R 1 C 1 s ) R 2 R 1 C s R 1 R 2
(R1 R2 R2R1Cs1)
(R1
R2 R2
R1 R2 )(R2R1C
s1)
111TTss
R2
R1 R2
1 Cs
R1
R2
uO
T R1R2C R1 R2
R1 R2
R2
10/2/2019
ui
齿轮组
'
' k ui
t
0 kui(t)dt
可见， ' ~ ui 为比例环节，
~ ui 为积分环节。
10/2/2019
22
惯性环节
（三）惯性环节
时域方程：T'(y t)y(t)k(tx)t,0
传递函数：G(s)Y(s) k
X(s) Ts1
当输入为单位阶跃函数时,有 Ty'(t)y(t)k，可解得：
其他函数可以查阅相关表格获得。
10/2/2019
10
用复数阻抗法求电网络的传递函数
复数阻抗：电气元件两端的电压相量与流 过元件的电流相量之比，称为该元件的复 数阻抗。
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G(s) ? Uo(s) ? 1 ? 1 Ui (s) RCs ? 1 Ts ? 1
电路的 时间常数
T ? RC
例3
如图RLC 电路， 试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s). i(t) R L
ur (t)
C uc(t)
LC
d 2uc(t) dt 2
?
RC
duc (t) dt
?
uc (t)
Xo(s) Xi(s)
Xo(s)? Xi(s)G(s)
输入信号经系统 (或环节 )传递 [ 乘以 G(s)]，得到输出信号。
Xi(s) G(s) Xo(s) 称G(s)为传递函数
传递函数分母中的最高阶次，等于输出量最高阶导数的阶次。 如果 s 的最高阶次等于n，则称这种系统为 n 阶系统。
例题1 已知系统微分方程，求其传递函数。
得到系统（或环节）传递函数的一般形式
G(s) ?
Xo (s) ? Xi (s)
bmsm ? bm?1sm?1 ? ? ? b1s ? b0 ansn ? an?1sn?1 ? ? ? a1s ? a0
由此可知，只要知道系统微分方程，就可求出其传递函数。
即
G(s)
?
LL??xxoi((tt))???
C
i1
R1
ui
i2
R2
uO
1 C
? i 1 dt
?
R i1 1 ?
R 1i2 ?
0
R 1i 2 ? R 1i1 ? R 2 i 2 ? u i
R 2i2 ? u O
1
( Cs
? R1)I1(s) ? R1I2 (s) ? 0
? R1I1 (s) ? (R1 ? R 2 )I 2 (s) ? U i (s)
设线性定常系统（或环节）由下述n阶线性常微分方程描述
an
dn xo (t) dt n
?
an?1
d n?1xo (t) dt n?1
?
????
a1
dxo (t) dt
?
a0 xo (t)
?
bm
dm xi (t) dt m
?
bm ? 1
d m?1xi (t) dt m?1
?
????
b1
dxi (t) dt
L[ ?f?(t)] ? s2F (s) ? sf (0) ? f?(0)
L[ f (n) (t)] ? sn F (s) ? sn?1 f (0) ? sn? 2 f?(0) ? ... ? f (n?1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[ ?f (t)dt ] ?
F (s) s
? ⑷时滞定理：L[ f (t ? T )] ? ? e? st f (t ? T )dt ? e?sT f (s) 0
?
b0 xi (t)
式中，n≥m。
当初始条件全为零，即： xi(t)和xo(t)及其各阶导数在 t=0 的值均为零时，对上式进行拉氏变换
? ? an sn ? an?1sn?1 ? ???? a1s ? a0 X o (s)
? ? ? bmsm ? bm?1sm?1 ? ???? b1s ? b0 X i (s)
例题2 求图示简单阻容电路的传递函数。
解：电路方程为
R
耗能元件
1
? ui (t) ? R ?i(t) ? C i(t) ?dt
? uo (t)
?
1 C
i(t) ?dt
ui (t)
RC
经拉氏变换后
duo (t ) dt
?
uo (t)
?
ui (t )
C uo(t) i(t)
阻容电路 储能元件
RCsU o (s) ? Uo (s) ? Ui (s)
R2I2(s) ? U O (s)
G ( s ) ? U 0 ( s ) ? 1 1 ? ? Ts U i ( s ) ? 1 ? Ts
⑸初值定理：lim f (t) ? lim sF (s)
t? 0
s? ?
11/1/2018 2:37:49 AM
4
⑹终值定理：lim f (t) ? lim sF (s)
t? ?
s? 0
? ⑺卷积定理：L[
t 0
f1(t ? ? ) f2 (? )d? ] ?
F1(s)F2 (s)
③常用函数的拉氏变换：
单位阶跃函数：f (t) ? 1(t), F (s) ? 1
s
单位脉冲函数：F (s) ? L[? (t)] ? 1
单位斜坡函数：f (t) ? t, 单位抛物线函数：f (t) ?
F (s) 1 t2,
? F
1 s2 (s)
?
2
1 s3
正弦函数：f (t) ?
sin ? t, F (s) ?
s2
? ??
?
ur (t)
解: 零初始条件下取拉氏变换：
LCs 2U c (s) ? RCsU c (s) ? U c (s) ? U r (s)
(LCs 2 ? RCs ? 1)Uc (s) ? U r (s)
传递函数：
G(s) ?
Uc (s) ? Ur (s)
1 LCs 2 ? RCs ? 1
[ 例4] 求下图的传递函数
2
其他函数可以查阅相关表格获得。
11/1/2018 2:37:50 AM
复习拉氏变换
5
1. 传递函数的定义与性质
定义： 线性定常系统 的传递函数为零初始条件下，系统输 出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。
所谓零初始条件是指 1）输入量在t>0时才作用在系统上，即在 t ? 0 ? 时系统输 入及各项导数均为零； 2）输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在 t ? 0?时系统 输出及其所有导数项为零。
m
d2 x0 (t) dt 2
?
D
dx0 (t) dt
?
kx0
(t )
?
fi (t)
解：在零初始条件下，对上式两边取拉普拉斯变换，得
ms2 X o (s) ? DsX o (s) ? kX o (s) ? Fi (s)
整理得到描述系统的传递函数
G(s) ?
Xo (s) ? Fi (s)
1 ms2 ? Ds ? k
2. t>=0时，f(t)分段连续；
? 3.
? f (t)e? st dt ? ?
0
11/1/2018 2:37:49 AM
3
复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[ ? f1(t) ? ? f2 (t)] ? ? F1(s) ? ? F2 (s)
⑵微分定理：L[ f?(t)] ? sF (s) ? f (0)
传递函数
1
? 主要内容： ? 1. 传递函数的定义与性质 ? 2.求法
11/1/2018 2:37:49 AM
2
复习拉氏变换
? F ( s ) ? ? f (t )e ? st dt 0
F ( s ) ? L[ f (t )]
一个函数可以进行拉普拉斯变换的充分条件是：
1. t<0时，f(t)=0(因果系统）；