高一数学教案课题：几何概型(1)(Geometric Probability).doc

课题：几何概型（1）（Geometric Probability ）

教学目标：

1.了解几何概型的定义

2.会求简单的几何概型的概率问题

3.会用比较类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力

教学重点

关于几何概型的概率计算教学难点：

准确确定几何区域D 和与事件A 对应的区域d

教学过程：一、创设情景，引入新课

玩一个转盘游戏提问：在转盘游戏中，当指针停止时，为什么指针指向代号为B 的区域的可能性大？

（因为代号为B 的区域的面积大，

所以指针落在代号为B 的区域可能性大。）

二、学生活动（分组讨论）问题1．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？

问题2．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛

靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ，运动员在70m 外射。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的

概率有多大？

分析1:在问题1中,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点. 如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于1m ”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段落的长度等于绳子长的31,于是事件A 发生的概率P(A)= 3

1 分析2:在问题2中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点.

如图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为21224

1??π的大圆内,而当中靶点落在面积为22.124

1??π的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率为P(B)=01.01224

12.12412

=????ππ 归纳:在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在着,但是显然不能用古典概型的方法求解.那怎样处理呢?

m 3m N

三、数学建构

几何概型定义1.从上面的分析和解题可知,对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.

古典概型的本质特征：

1、样本空间中样本点个数有限，

2、每一个样本点都是等可能发生的。将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。

几何概型的本质特征：

1、有一个可度量的几何图形S

2、试验E 看成在S 中随机地投掷一点

3、事件A 就是所投掷的点落在S 中的可度量图形A 中

2、几何概型的计算一般地,在几何区域D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区

域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率为:的测度

的测度D d A P =)(指出:D 的测度不能为0,其中“测度”的意义依D 确定.当D 分别为线段,平面图形,立体图形时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等.

四、数学应用

例1、一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。

略解：S=)5,0[，A=[2，3]，L(S)=5-0=5,L(A)=3-2=1

例2.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图),落入圆内的概率.

分析:由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任意一点都是机会均等的,解:记“豆子落入圆内”为事件A,则

答:豆子落入圆内的概率为

π 例3.在1L 高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?分析:病种子在这1L 种子中的分布可以看做是随机的,取得10mL 种子可视作区d,所有种子可视作区域D.解:取出10mL 种子,其中“含有病种子”这一事件高为A,则

100110001)(===所有种子的体积取出种子的体积A P 答:含有麦锈病种子的概率为0.01五、回顾反思

本节课我们首先从游戏中提出问题，然后由特殊到一般去分析问题，再解决问题。我们还学习了几何概型的定义及关于几何概型问题的概率计算公式：一般地,在几何区域D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A,则

事件A 发生的概率为:的测度

的测度D d A P =)(

几何测度--------指长度、面积或体积

六、作业布置

1、P95练习1、

2、3

2、思考：一个随机事件的概率经过计算等于e –2 ，这可能是古典概率问题还是一个几何概率问题？

概率论习题全部

习题一 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A 表示“点数之和为7”；（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A 表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A 表示“寿命在2 000到2 500小时之间”. 2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间；（2）试写出下列事件所包含的样本点：A ={至少出现一个正面}，B ={出现一正、二反}，C ={出现不多于一个正面}；（3）如记i A ={第i 枚硬币出现正面}（i =1，2，3），试用123,,A A A 表示事件A ，B ，C . 3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A ＝{取得球的号码是偶数}，B ＝{取得球的号码是奇数}，C ={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：（1）A B U ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）C A ；（6）B C U ；（7）A C -. 4. 在区间上任取一数，记112A x x ??=<≤????，1 34 2B x x ??=≤≤????，求下列事件的表达式：（1）A B U ；（2）AB ；（3）AB ，（4）A B U . 5. 用事件A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件：（1）A 出现，B ，C 都不出现；（2）A ，B 都出现，C 不出现；（3）所有三个事件都出现；（4）三个事件中至少有一个出现；（5）三个事件都不出现；（6）不多于一个事件出现；（7）不多于二个事件出现；（8）三个事件中至少有二个出现. 6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表示事件“第次抽到废品”，试用的运算表示下列各个事件：（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；（2）只有第一次抽到废品；（3）三次都抽到废品；（4）至少有一次抽到合格品；（5）只有两次抽到废品. 7. 接连进行三次射击，设={第i 次射击命中}（i ＝1，2，3），试用表示下述事件：（1）A ={前两次至少有一次击中目标}；（2）B ={三次射击恰好命中两次}； ]2,0[i A i i A i A 321,,A A A

几何概型教学设计

几何概型(第一课时) 设计者:福建龙岩二中郭小峰一.教学内容分析: 本课时教材选自人教A版数学必修3第三章概率部分第3．3节的内容．几何概型是概率必修章节的收尾篇，共有两个课时，本节课为第一课时,它是继古典概型之后学习的另一类等可能概型；是教材新增加的内容，对它的要求仅限于初步体会几何概型的意义．几何概型的研究，是古典概型的拓广，将古典概型试验结果有限个拓广到无限个；课本介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用随机的观念去观察、分析、研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法．二.学生学习情况分析: 学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型,初步学会了用古典概型公式解决概率题,大多数学生对于概率的学习以及概率试验产生了浓厚的兴趣,逐渐会把一些问题模型化．但是学生在探究问题的能力，应用数学的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强．三.设计思想: 建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构．基于以上理论，本节课遵循引导发现、循序渐进的思路，采用问题探究式教学，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型公式，运用实物、多媒体、投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式．具体流程如下: →→→ 四.教学目标: 知识与技能目标:通过实例，让学生了解几何概型的概念以及几何概型与古典概型的区别．会计算简单的几何概型事件，并解决实际问题．过程与方法目标:让学生经历概念的建构这一过程，进一步体会从特殊到一般的思想；通过实际应用，培养学生数形结合的能力，以及把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识．情感与态度目标:通过创设情境激发学生学习数学的情趣，培养其积极探索的精神．通过实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值,增强了学生学习数学的自信心．五.教学重点与难点:

苏教版高一数学必修1综合复习试题

高一数学必修1综合复习试题一、填空题 1．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(?R B )＝． 2．已知函数20()10x x f x x x ?=?->?，≤，，，若1()2f a =，则实数a = ． 3．方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为． 4．函数23 )(-=x x f 的定义域为． 5．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则0x <时，函数()f x 的表达式为()f x = ． 6．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为． 7．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足),()2(x f x f -=+则)6(f =_________. 8．若2()2(1)2f x ax a x =+-+在(3,3)-为单调函数，则a 的取值范围是． 9 ．函数y 的单调递减区间为． 10．函数)86lg()(2++-=a ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是． 11．若关于x 的方程a a x -+= 523)43(有负实数解，则实数a 的取值范围为． 12．如果函数()223f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3，最小值2，则m 的范围是．

13．已知定义域为()(),00,-∞+∞U 的偶函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()0x f x ?>的解集为． 14．不等式012 ≥+-ax x 对所有]2,1[∈x 都成立，则实数a 的取值范围．二、解答题 15．设集合{}2|lg(2)A x y x x ==--，集合{}|3||B y y x ==-． ⑴ 求B A ?和A B U ； ⑵ 若{}|40C x x p =+<，C A ?，求实数p 的取值范围． 16．计算下列各式的值：（1）3212833)21() 32(??? ??--+-- ； (2) 2lg 2lg3111lg 0.36lg823 +++．

几何概型教学设计

3.3.1 几何概型济宁市实验中学陈秀伟

【课题】 3.3.1 几何概型【教材】普通高中课程标准实验教科书数学3 必修人民教育出版社A版【授课教师】陈秀伟【教材分析】本节课是高中数学人教A版必修三第三章第三节第一课时几何概型，是新课程改革后新增的内容，是在学习了随机事件的概率及古典概型之后，引入的另一类等可能模型，在概率论中占有相当重要的地位. 学好几何概型有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些现象. 【学情分析】学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但还不是很成熟.学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也需要特别重视，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题. 【教学目标】知识与技能：初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率．过程与方法：通过试验，与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法. 情感态度与价值观：感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理解世界，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的随机现象，学会用科学的方法去观察世界和认识世界. 【重点难点】教学重点: 几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率. 教学难点: 如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量. 【教法学法】本节课教师采用层层设疑、启发引导学生自主探究的教学模式；使用多媒体来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识. 【教学基本流程】创设情境 ↓ 探究生成 ↓ 形成概念 ↓ 巩固深化 ↓ 课堂梳理 ↓ 布置作业

常州市西夏墅中学高二数学教学案几何概型1

几何概型1 一、学习目标（1）能识别实际问题中概率模型是否为几何概型；（2）会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。二．过程导航二、认识事物的特征 1.材料：有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌面上，现从中任意抽取一张,可能出现的每一个基本结果称为基本事件。（1）请你说说这些基本事件的特征。（2）你能求出抽到的牌为红心的概率吗？三、如何计算下列问题中的概率：问题1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ，（运动员在70m 外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的）那么射中黄心的概率有多大？（1）试验中的基本事件是什么？（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（ 3）随机事件"射中黄心 "的取点区域有多大? 问题2:取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？问题：能用古典概型计算该事件的概率吗？为什么？（1）试验中的基本事件是什么？（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）随机事件"剪得两段的长都不小于1m"的取点区域在哪里? 问题3：在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？ 3m

问题：能用古典概型计算该事件的概率吗？为什么？（1）试验中的基本事件是什么？（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）随机事件"在2ml 水中发现草履虫"的取点区域有多大？三.理解几何概型的模型及其概率的算法 1.我们知道，在上述的三个问题中，基本事件都是在某个几何区域D 内随机的取点。 2.这个几何区域D 可以是哪些？ 3.上述的随机事件均是从某个几何区域D 内随机的取点。随机事件A 的发生则理解为恰好取到几何区域D 内的某个指定区域d 中的点.这时，随机事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 的形状和位置无关。我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型. 4. 几何概型的概率计算公式：事件A 发生的概率 P （A ）= 的测度的测度D d (d 、D 可表示长度，面积，体积) 四.尝试用几何概型解决问题例题1：如图所示,在等腰直角三角形ABC 中,在斜边AB 上随机地取一点M,求AM 小于AC 的概率. 1）这是什么概型，为什么？ 2）在斜边AB 上任取一点M 的区域有多大？ 3）满足AM 小于AC 的M 的区域有多大？例2：在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？例3.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率. 五.小结与延伸问题一:几种概率模型怎样构建? 问题二:今天我们所学的几何概型的计算公式是什么? 课后作业一、填空题

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题 (含答案) [例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图15||≤-y x 时可相见，即阴影部分167 6045602 22=-=P [例2] 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率。解：R AC AB 2||||= =. ∴ 2 1 2== = ? R R BCD P ππ圆周 [例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过 2 1 的概率。解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为y x --1，则基本事件组所对应的几何区域可表示为 }10,10,10|),{(<+<<<<<=Ωy x y x y x ，即图中黄色区域，此区域面积为 2 1。事件“三段的长度都不超过 21 ”所对应的几何区域可表示为 Ω∈=),(|),{(y x y x A ，}2 1 1,21,21<--<

下午3：00张三在基地正东30km 内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km 内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。解：设y x ,为张三、李四与基地的距离]30,0[∈x ，]40,0[∈y ，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对),(y x ，表示区域总面积为1200，可以交谈即2522≤+y x 故192 251200 25 41 2 π π= =P [例5] 在区间]1,1[-上任取两数b a ,，运用随机模拟方法求二次方程02 =++b ax x 两根均为正数的概率。 ??? ??>=?>-=+≥-=?000 42 1212b x x a x x b a 解：（1）利用计算器产生 0至1区间两组随机数11,b a （2）变换 121-*=a a ，121-*=b b （3）从中数出满足条件 2 4 1a b ≤且0b 的数m （4）n m P = （n 为总组数） [例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A 、B 、C ，求?ABC 是锐角三角形的概率。解法1：记?ABC 的三内角分别为αβ,，παβ--，事件A 表示“?ABC 是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合 Ω=<<<+<{(,)|,,}αβαβπαβπ00。因为?ABC 是锐角三角形的条件是 02 << αβπ ,且αβπ +> 2 所以事件A 构成集合 A =+> << {(,)|,,}αβαβπ αβπ 2 02 由图2可知，所求概率为 P A A ()=的面积的面积 Ω==12212 1 422() ππ。解法2：如图3所示建立平面直角坐标系，A 、B 、C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，当?ABC 为锐角三角形，记为事件A 。则当C 点在劣弧C C 12上运动时，?ABC 即为锐角三