第二章《平面向量》复习
• 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量
第二单元：向量的线性运算
1、向量的加法 • 向量加法的概念 • 向量加法的法则： 三角形法则
平行四边形法则
• 向量加法的运算律： 交换律 结合律
2、向量的减法
• 向量减法的概念
3、向量的数乘
• 向量的数乘：实数与向量相乘
• 向量数乘满足的运算律： • 向量共线定理：
第三单元：向量的坐标表示
• 平面向量基本定理
• 平面向量的坐标表示 • 平面向量的坐标运算
第四单元：向量的数量积
• 平面向量的数量积的定义 • 平面向量的数量积的运算律 • 平面向量的数量积的坐标表示
第五单元：向量的应用
第二章《平面向量》 复习
本章的主要内容
• • • • • 第一单元：向量的概念及表示； 第二单元：向量的线性运算； 第三单元：向量的坐标表示； 第四单元：向量的数量积； 第五单元：向量的应用
第一单元：向量的概念及表示
• • • • 向量：既有大小又有方向的量 向量的长度的向量
高一数学必修四第二章平面向量复习学案.
第二章平面向量复习学案一.知识回顾 （一）向量的基本概念：1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向 量的_____.2.零向量: 模为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量方向任意。
3.单位向量: 模等于______________的向量叫做单位向量. 与AB u u u r共线的单位向量是____. （二）向量之间的关系：共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量.规定:_______与任意向量共线.其中模相等方向相同的向量叫做____________;模相等且方 向相反的向量叫做___________;（四）两个定理：1.向量共线定理:向量与非零向量共线⇔有且只有一个实数λ,使得____________. 推论：平面上三点A,B,C 共线⇔对于平面内任意一点O ,存在实数λ,μ, 使μλ+=其中λ+μ=____.2.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数21,λλ,使a =_______________. （五）向量的坐标表示及运算1. 平面向量的正交分解及其坐标表示: ),(y x j y i x a =+=ρρρ.2. 平面向量的坐标运算: 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则+=_____________; -=______________ ;λ=__________. 3. 向量平行的坐标表示: b a // ⇔_____________________ .4. 向量模的公式: 设=(x,y),=____________________5. 若已知点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) , 则向量AB =____________;若M(x O ,y O )是线段AB 的中点，则有中点坐标公式⎩⎨⎧==____________________00y x（六）平面向量的数量积1.平面向量数量积的定义:两个非零向量,,其夹角为θ,a b ⋅r r=________叫做和的数量积.其中_____________叫做向量在方向上的投影. 2.数量积的坐标运算:设=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),a b ⋅r r=________________; 3.两个向量垂直的等价条件:设两个非零向量b a ,,则有向量式: a ⊥b ⇔__________； 坐标式：a ⊥b ⇔ ___________ 4.几个重要性质:①22a a a a =⋅=r r r r ；②若与同向，则a b ⋅r r =_____;若与反向，则a b ⋅r r =______;③两个非零向量,,其夹角为θ,则θcos =___________.④ a b a b ⋅≤⋅r r r r（七）向量中一些常用的结论：在ABC ∆中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为__________②0PA PB PC P ++=⇔u u u r u u u r u u u r r为ABC ∆的_____心；③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r为ABC ∆的______心；④||||||==(或222==)⇔O 是ABC ∆的_____心；⑤向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的______心.二.典例剖析题型一：平面向量及其线性运算例 1.如图所示，OADB 是以向量b OB a OA ρρ==,为邻边的平行四边形，又31,31==，试用b a ρρ, 表示.,,MN ON OM题型二：平面向量的坐标运算()()().,//211,3.2是坐标原点的坐标的试求满足，，，已知例O =+⊥-==题型三：平面向量的数量积的应用 （一）与长度，距离有关的问题例3.已知向量r r a 与b 的夹角为60o，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,求向量a r 的模.（二）与垂直有关的问题例4.已知,1||,2||==b a ϖϖa ϖ与b ϖ的夹角为3π,若向量b k a ϖϖ+2与b a ϖϖ+垂直, 求k .（三）与夹角有关的问题例5.三角形ABC 中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)， 求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)cos ∠ABC 的值.（四）与最值有关的问题B D例6.已知()()ββααsin cos sin cos ，，，==b a ρρ且()03>-=+k b k a b a k ρρρρ. （1）用k 表示数量积b a ρρ•；（2）求b a ρρ•的最小值，并求出此时a ρ与b ρ的夹角θ的大小.当堂检测:1．下列命题正确的是 （ ）A ．单位向量都相等B ．若，，c b b a ρρρρ////则c a ρρ//.C ．||||b a b a ρρρρ-=+，则0a b ⋅=r rD ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=rr2．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）A ．3,5a b ==-B ．10a b -+=C ．23a b -=D ．20a b -= 3.O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足 +=OA OP+λ，[)+∞∈,0λ, 则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知向量()()()，，，，，，143221=-==c b a ρρρ若用a ρ和b ρ表示c ρ，则=→c _____________.5．若)3,2(=a ρ，)7,4(-=b ρ，则a ρ在b ρ上的投影为________________.6．已知)2,1(=→a ，),1(m b =→，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则m 的取值范围是_________7．已知)1,2(=a ρ与)2,1(=b ρ，要使b t a ρρ+最小，则实数t 的值为___________.8.已知(1,2)a =r,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b +r r 与3a b -r r垂直？（2）ka +rb 与3a -r 平行？平行时它们是同向还是反向？。
第二章平面向量复习(一)
一、知识要点：
1. 实数与向量的积的运算律：
一、知识要点：
1.
实数与向量的积的运算律：
(1) (a) ()a
(2) (3)
((ab)a)
a a
a b
一、知识要点：
1.
实数与向量的积的运算律：
(1) (a) ()a
(2) (3)
((ab)a)
a a
a b
2. 平面向量数量积的运算律:
一、知识要点：
3. 向量运算及平行与垂直的判定:
设a ( x1, y1), b ( x2 , y2 ), (b 0).
则 a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b x1 x2 y1 y2 a // b x1 y2 x2 y1 0.
NF, 下底是上底的2倍, 若AB a,
BC b, 求AM.
D
C
E MN F
A
B
《习案》P.180第3题
课堂小结
掌握向量的相关知识.
课后作业
《习案》作业二十七.
则
一、知识要点：
3. 向量运算及平行与垂直的判定:
设a ( x1, y1), b ( x2 , y2 ), (b 0).
则 a b ( x1 x2 , y1 y2 )
一、知识要点：
3. 向量运算及平行与垂直的判定:
设a ( x1, y1), b ( x2 , y2 ), (b 0).
一、知识要点：
1.
实数与向量的积的运算律：
(1) (a) ()a
(2) (3)
((ab)a)
a a
a b
2. 平面向量 数量积的运算律:
必修四第二章平面向量复习分解
例6. 已知平行四边形ABCD的三顶点 A(－1, －3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四个顶点D和 中心M的坐标 D(1，－2) M (2, 1)
2
例7. 已知a=(1，1)，b=(－4，5)，分别求a，b 的单位向量。
a0 (
2, 2
2) 2
b0
(
4 41 41
,
5 41) 41
|a|
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上
6.相反向量 (a) a,a (a) 0
题型一: 向量的基本概念
1、判断下列命题的真假；
（1）直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量；× （2）向量 AB 与 DC 是共线向量，则 A,B,C,D 必在同一直线上。× × （3） a与b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线。 （4）四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB DC . √ （5） a =b 当且仅当| a |=|b |且 a //b ； ×
a xi y j (x, y)
a OA (x, y) 点A(x, y)
a MN (xN xM , yN yM )
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
向量加法的运算律(交换律、结合律）
3.向量减法的三角形法则
第二章平面向量小结复习课
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
一.基本概念
7.两个非零向量 a与b 的夹角
A
[0, ]
B C
注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点
二.基本运算（向量途径） 1.向量加法的三角形法则
a b AB BC AC
首尾相接
四.一个基本定理
2.平面向量基本定理
如果e1、 e 2 是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e 2 把不共线的向量 e1、 e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
2.向量加法的平行四边形法则 共起点
ABCD中， a b AB AD AC
向量加法的运算律(交换律、结合律）
3.向量减法的三角形法则
a b AB AD DB
共起点
在同一个平行四边形中把握： a , b , a b , a b 及其模的关系 D
a b，（a b) (a b)， a (b c)，(a+b)2
(3)已知向量a=(1，2)，b=(－3，4)，求a在b方向上的投影
(4) 已知向量a=(2,1),b=(3,x) , 若(2a-b)和b共线,则x= ； 若(2a-b)和b垂直,则x= .
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量
高中数学 第二章《平面向量》单元复习学案 新人教A版必修4
第二章《平面向量》单元复习一、 知识点梳理本章，我们主要学习了向量的概念、表示及运算，平面向量的基本定理，向量共线、垂直的条件，向量在几何和物理问题中的简单应用.二、 学法指导1.学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比.而一维情形下向量的共线条件，到二维的情形下平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比.2.在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形，与几何、代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性.3.向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题.同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段.因此，数形结合是本章最重要的数学思想方法. 三、 单元自测一、填空题(每小题5分，共70分)：1．已知平面向量(21,3),(,2)a m b m =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 ． 2．已知：D 为△ABC 的边BC 上的中点，E 是AD 上的一点，且AE =3ED ，若AD a =，则EA +EB +EC =_____________．(用a 表示)3．若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ．4．若平面内不共线的四点,,,O A B C 满足1233OB OA OC =+，则||||AB BC =_______． OAPQBab5．已知 |a |=7，|b |=4，|a +b |=9，则|a -b |=____________．6．设a =(-2，3)，则求与a 垂直的单位向量的坐标为______________________．7．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =， 则P 点坐标_____． 8．已知b a a b a λ+==与且),1,1(),2,1(的夹角为锐角，则实数λ的取值范围 ．9．已知ABC V 和点M 满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r .若存在实数m 使得AB AC mAM +=uu u r uu u r uuu r 成立，则m = ．10. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ．11．在ABC ∆中，有命题：①BC AC AB =-； ②0AB BC CA ++=；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形； ④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是 ．(把你认为正确的命题序号都填上)12．已知非零向量AB →和AC →满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC⋅=，则△ABC 形状为 .13．如图所示，在△ABC 中，0120,2,1,BAC AB AC D ∠===是边BC 上一点(包括端点)，则AD BC ⋅的取值范围是_ _______．14．已知,a b 是平面内两个单位向量，且夹角为60，若向量a c -与b c -的夹角为120，则c 的最大值是_________. 二、解答题(共90分)：15.(本小题14分)已知(1,0),(2,1).a b == (1)求|3|a b +；(2)当k 为何实数时, k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？ 16．(本小题14分)已知向量a =(6，2)，b =(-3，k )，k 为何值时 (1)a //b ；BACODE(2)a ⊥b ；(3)a ，b 的夹角为钝角？17．(本小题14分)已知A 、B 、C 的坐标分别是A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α). (1)若AC BC =，求角α的值；(2)若1,AC BC ⋅=- 求22sin 2sin cos 1tan αααα++的值． 18．(本小题16分)如图，已知△OAB 中，点C 是点B 关于A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的 三等分点，DC 和OA 交于E ，设AB ＝a ，AO ＝b(1)用向量a 与b 表示向量OC 、CD ； (2)若,OE OA λ= 求实数λ的值．19．(本小题16分)已知(3,1)a =-，13(,)22b =，且存在实数k 和t ，使得2(3)x a t b =+-，y ka tb =-+，且x y ⊥，试求2k t t+的最小值． 20．(本小题16分)已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径．（1）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （2）求BP CQ ⋅的最大值．AB CP Q。
【课件】必修4第二章《平面向量》复习课(共81张PPT)
35 35 of 22
3
第23课 第（6）题
P123
36 36 of 22
7
第23课 第（7）题
P123
37 37 of 22
B
第23课 第（7）题
P123
38 38 of 22
= 5
第23课 第（8）题
P123
39 39 of 22
23
第23课 第（8）题
P123
40 40 of 22
平面向量总复习
1 1 of 22
一张图学透
一张图学透 平面向量的
数量积
2 2 of 22
一张图学透
一张图学透 三角函数 的图像与
性质
3 3 of 22
一张图学透
一张图学透 三角函数 的图像与
性质
4 4 of 22
一张图学透
一张图学透 三角函数 的图像与
性质
5 5 of 22
四组题讲透
①②③④⑤⑥
23
第23课 第（8）题
P123
41 41 of 22
方法便笺
求向量的模或其范围的方法
第23课 方法便笺
P122
42 42 of 22
方法便笺
求向量的模或其范围的方法
提示： ①求形如 ma nb的向量的模，可通过平方，转化为数量 的运算. ②用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个 变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模 的范围时，注意数形结合的思想，长利用三角不等式进行 最值的求解.
第23课 方法便笺
P122
43 43 of 22
2 2
第23课 第（9）题
P123
44 44 of 22
高中数学第二章平面向量章末复习课课件北师大版必修
D.与菱形的边长有关
解析 如图，设对角线 AC 与 BD 交于点 O，∴A→B＝A→O＋O→B.
∴C→A·A→B＝C→A·(A→O＋O→B) ＝－2＋0＝－2.
12345
解析 答案
2.设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4.若点 M，N 满足B→M＝3M→C， D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于
解答
类型三 向量坐标法在平面几何中的应用 例 3 已 知 在 等 腰 △ABC 中 ， BB′ ， CC′ 是 两 腰 上 的 中 线 ， 且 BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.
解答
反思与感悟
把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标， 这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方 法具有普遍性.
∴m＝ 3.
12345
解析 答案
4.若向量 O→A ＝(1，－3)，| O→A |＝|O→B|，O→A·O→B＝0，则|A→B|＝_2__5__. 解析 由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形， 且腰长|O→A|＝|O→B|＝ 10，由勾股定理得|A→B|＝ 20＝2 5.
12345
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 .
跟踪训练2 已知向量 O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C＝(5－m，－(3＋m)).
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
∵O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)， O→C＝(5－m，－(3＋m))， ∴A→B＝(3，1)，B→C＝(－m－1，－m).
平面向量复习2
解B若D:AA、B,BBC、,DDC三三D点点共共(线线e1,，3求可e2k设)的A值(2B.e1eB2)D
e1
4e2
2e1 ke2 (e1 4e2 ) e1 4e2
{ 2 k 8 k 4
二.典型例题：
例4.
已知 a
2,
b
3,
a与b的夹角为
3
,c
5a
3b,
d=3a+kb,当实数k为何值时,
必修4第二章 平面向量复习(二)
例题讲解
例1 化简 下列 各式
(1) AB AC DB; (2) AB BC AD DB.
解 : (1)AB AC DB CB BD CD
(2) AB BC AD DB AC AB BC
例2已知P、Q是△ABC的边BC上 两点，且BP=QC,
例8 如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,E,F分 别是腰AD,BC的中点,M,N是线段EF上的两个 点.且EM=MN=NF,下底是上底的2倍,
若 AB a, BC b , 求 AM .
D
C
E M .N F
A
B
(1) c与d平行;
(2) c与d垂直.
解 : ((12))方法a 同b 例2 Nhomakorabea,请3自1已 做3 .
c
d
(5a
3b)
2 (3a
kb)
15a
2
(9
5k
)a
b
2 3k b
60 (9 5k) 3 3k 9 42k 87 0 k 29 14
二.典型例 题：
例5 已知|a | 1,| b |2,
a与b的夹角为
3
，
求向量 3a 2b与a 3b的夹角的余弦值.
高中数学 第二章 平面向量单元复习课件 新人教B版必修4
平行向量基本定理:若 = ,则 ∥ ;若 ∥ ,且 ≠ 0,
则存在唯一∈R,使 =
平面向量基本定理:如果1 ,2 是一平面内的两个不平行的向
量,那么该平面内的任一向量,存
在唯一的一对实数1 ,2 ,使 = 1 1 + 2 2
向量的分解与坐标运算
坐标表示:单位正交基底
5
6
+
3
3 1
× =- ,故选 A.
4
6
2
专题一
专题二
专题三
专题四
应用2若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值
为
.
解析:∵|a|=|a+2b|,
∴|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b.
设向量a,b的夹角为θ,
∴4|a||b|cos θ+4|b|2=0.
)+a-b=(a-c)+(c-b)=0,而与为不共线向量,则
a-c=c-b=0,得 a=b=c.故选 A.
答案:A
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 3 已知△ABC 所在的平面内有一点 P,满足 + +
= ,则△PBC 与△ABC 的面积之比是(
1
A.3
1
2
B.2
)
3
C.3
D.4
解析:因为 + + = ,
所以 + + = − ,
所以=-2=2,
2
即 P 是 AC 边的一个三等分点,且 PC=3AC.
由三角形的面积公式,可知
第二章平面向量小结复习课
a
C 一定满足（ ）
r r rr
rr r r r r r
A、b c, B、b • c 0, C、（b+c）(b c),D、b c 0
林老师网络编辑整理
9
五.典例讲解 考查向量共线、垂直
uuur r
uuur r
uuur
例1.已知AB=a=(1,2),BC=b=(-3,2),CD=(6,4)
(2) a b a b ,则四边形是什么图形?
林老师网络编辑整理
4
二.基本运算
2.数乘运算：实数与向量的积 a 仍是向量
a是一个与a共线的向量
林老师网络编辑整理
5
二.基本运算
rr 3.两个非零向量 a与b 的数量积
1、平面非零向量数量积的定义：a b | a | | b | cos
uuur
例2、平面内有向量OA (1, 7),OB (5,1),OP (2,1)
点Q为直线OP上一动点
uuur uuur 1）求QA • QB取最小值时，点Q的坐标
Q（4，2）
2）当点Q满足1）的条件时求cosAQB的值
4 17 17
林老师网络编辑整理
11
五.典例讲解 向量与三角函数综合题
a b x1x2 y1 y2
2、数量积是一个数，它的正负取决于夹角的余弦值
3、零向量与任何向量的数量积为零
林老师网络编辑整理
6
二r.基本运算 r
若a r
( r
x1,
y1 ),
b
(
x2
,
y2
),
则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 ) rr