Minitab单因素方差分析

方差分析
Minitab
当我们要问温度对得率到底有无确切的影响 时，由于上述多种误差原因的存在，就不能 随意回答.
方差分析
Minitab
方差分析的功能：分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，确定实验中 的自变量是否对因变量有重要影响。 方差分析的方法：检验各总体的均值是 否相等来判断分类型自变量（因素）对数值 型因变量是否有影响。
• 方差分析有单因素与多因素的区分。
单因素方差分析理论基础
单因素方差分析单因子试验的一般概述（记号）
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在一个试验中只考察一个因子A及其r个水平A1，A2，… ，Ar．
在水平Ai下重复mi次试验，总试验次数n= m1+m2 +…+ mr． 记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，这里 i ——水平号，j ——重复号．
经过随机化后，所得的n个试验结果列于下表．
单因子试验的数据：
因子 A 的水平
A1 A2
Ar
数据
y11 y12 y1m1
y21 y22 y2m2
yr1 yr 2 yrmr
和
均值
T1 y11 y12 y1m1 T2 y21 y22 y2m2
y1 T1 / m1 y2 T2 / m2
…
Tr yr1 yr 2 yrmr
…
yr Tr / mr
单因素方差分析单因子试验的三项基本假定
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自正A1态.正总态体性N。(在i ,水i2)平的Ａ一i下个的样数本据，yii=1, 1y,i22,……,,ry．imi是来
A2.方差齐性。r个正态总体的方差相等，即
1 22 2 r 22．
方差分析
MMiniintiatbab
方差分析 (analysis of variance 简称ANOVA).
实际工作中这样的问题：几种不同的原料对 产品质量有无显著影响 这里考察的对象：原料称为因素 把因素所对应的状态称为水平 当考察的因素只有一个时，称为单因素问题。
方差分析
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• 例 考察温度对某一化工产品的得率的影响， 选了五种不同的温度，同一温度作了三次试 验，测得的结果如下：
比值 F 不会过大．当原假设 H0 不成立时，分子的均方和 MS A
mi
yij
j 1
1 n
r
mi yi
i1
， yi
1 mi
mi
yij ．
j 1
总偏差平方和 ST ：
r mi
ST
( yij y)2，
i1 j1
fT n 1．
可把 ST 分解为如下两个平方和
r mi
ST
( j yi ) ( yi y) 2
i1 j1
r mi
r
( yij yi )2 mi ( yi y)2 .
方差分析
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• 方差分析与回归分析的区别：当研究的是 两个数值型变量的关系时是回归分析.
• 回归分析沿水平轴的自变量是数值型变量， 而方差分析中是分类变量。
方差分析
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• 在因素只有一个时不一定要采用方差分 析，可以采用t-检验和 z-检验
• t-检验和 z-检验不能用于多于 2 个样 本的数据. 此时就要采方差分析。
mi i
E(y) ．
单因子方差分析 F检验
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可以证明：在原假设 H 0 成立下，两个均方和之比服从 F
分布，即
F MS A ~ F (r 1, n r) ． MS e
此 F 是用来检验原假设 H 0 成立与否的检验统计量．
当原假设 H0 成立时，两个均方和都是 2 的无偏估计，其
温度 60 65 70 75 80
90 97 96 84 84 得率 92 93 96 83 86
88 92 93 88 82 平均 90 94 95 85 84 得率
方差分析
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• 要分析不同的温度对得率的影响，考虑如 下的问题：同一温度下的得率不一样，差 异原因称为试验误差；
• 温度的不同引起的得率的差异称为条件误 差。
平方和除以自己的自由度称为均方和，亦可称均方，记为
MS．误差的均方和与因子 A 的均方和分别为
MSe
Se ， nr
MSA
SA ． r 1
定理 在单因子方差分析的三个基本假定下，有
E(Se ) (n r) 2 ，
r
E(S A) (r 1) 2 mi (i )2 ． i 1
其中
1 n
r i 1
其中第一个平方和
r mi
( yij yi )2
i1 j1
称为组内平方和 S内 ，又称为误差平方和 Se ，其自由度
f e n r ．第二个平方和
r
mi ( yi y)2.
i 1
称为组间平方和 S间 ，又称为因子 A 的平方和 S A ，其自由度 fA r 1．
单因子方差分析 均方和
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H1 : 诸i 不全相等 ．
若在显著性水平 上拒绝 H 0 ，则称因子 A 在水平 上是显著的，简称因子 A 显著．否则称因子 A 不显著．
检验上述假设的关键在于总平方和的分解．
单因子方差分析 总平方和的分解公式
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单因子试验共有 n m1 m2 mr 个数据，总平均值:
y 1 r n i1
i1 j1
i 1
单因子方差分析
r mi
ST
( yij y ) 2
i1 j 1
( yij yi ) ( yi y ) 2
Minitab
r mi
r mi
( yij yi ) 2
( yi y)2
i1 j 1
i1 j 1
ST SESA
单因子方差分析 总平方和的分解公式 Minitab
i 是因子A的第i个水平的均值，是待估参数；
ij 是因子A的第i个水平下第j次试验误差，它们是相
互独立同分布 N(0,2)的随机变量．
由此可知：yij ~N(i,2)
单因子方差分析
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单因子方差分析问题就是在方差相等情况下对多个 正态均值是否彼此相等的一个假设检验问题．
H 0 : 1 2 ... r ，
A3.随机性。所有数据yij都相互独立．
单因子试验所涉及的多个正态总体
单因素方差分析 单因子试验的统计模型
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单因子试验的三项基本假定用到试验数据yij上去， 可得到如下统计模型：
y i j i i ， j i 1 , 2 , , r ， j 1 , 2 , , m i
其中 y ij 是因子A的第i个水平下第j次试验结果；