第三章 趋势曲线模型预测法
曲线预测模型
曲线预测模型
曲线预测模型是一种用于预测随时间变化的曲线或趋势的模型，通常用于分析时间序列数据。
这种模型可以根据历史数据中的模式和趋势来预测未来的数值。
常用的曲线预测模型包括：
1. 线性回归模型：基于线性关系，通过拟合数据点来预测未来的数值。
适用于数据具有线性趋势的情况。
2. 多项式回归模型：在线性回归模型的基础上，引入多项式项，可以更好地拟合非线性趋势。
3. 指数平滑模型：适用于数据存在季节性变化的情况，通过加权计算过去一段时间的平均值来预测未来。
4. ARIMA模型：自回归积分移动平均模型，是一种基于时间
序列分析的预测模型，考虑了数据的自相关和不稳定性。
5. 长短期记忆（LSTM）模型：一种基于循环神经网络的深度
学习模型，可以捕捉长期依赖关系和非线性趋势。
这些模型根据具体的问题和数据特点选择，可以采用统计学方法、机器学习方法或深度学习方法进行建模和预测。
交通规划-第三章-社会经济预测
第三章人口经济预测主题一概述二、定性预测⏹概念：预测者凭借自身的实践经验和业务水平，根据调查分析，对人口经济发展前景和趋势做出综合判断，并提出粗略的数量估计。
⏹优点：需要数据少，能考虑无法定量因素。
⏹缺点：预测精度受预测者主观因素影响大，结果比较粗略。
⏹常见方法：专家评估法（Delphi法），类比分析法，市场调查法，主观概率法等。
法，三、定量预测⏹概念：运用数学模型，对人口经济发展前景和趋势进行预测。
⏹优点：受主观因素影响小，预测结果客观。
⏹缺点：不能考虑非定量因素影响；受调查资料、统计方法的制约；数据要求稳定。
⏹常见模型：单位生成率法；回归分析法；时间序列平滑法(移动平均法；指数曲线法；趋势外推法；灰色理论法）；神经网络法等.3、定性和定量结合⏹类型1：根据定性分析，指导数学建模，最后通过定性分析加以判断。
⏹类型2：首先采用定量方法预测，然后采用定性分析方法对定量预测结果进行分析、判断和调整。
主题二人口预测模型1、简单线性增长模型设每年人口增长量为常数，则第n年的人口数量为：P n=P0+na式中，P n——预测年份的人口数量；P0——基年的人口数量；a ——年人口增长数量（人／年）；n——预测的年份数；2、指数增长模型⏹假设预测区内的人口以基年人口数量为基数，呈指数增长趋势。
⏹设人口增长率为r，择第n年的人口数量为：P n=P0(1+r)n式中，P n——预测年份的人口数量；P0——基年的人口数量；r ——年人口增长率；n——预测的年份数；⏹因此， Logistic模型曲线是一条S曲线，且对于拐点是对称的。
其最大值1／k，与Y轴的交点值为1/（k+a），曲线的拐点位于纵坐标最大值的1／2处。
⏹Logistic模型曲线用于描述某些事物开始增长缓慢，随后增长加快，达到一定规模后，增长率又放慢，最后饱和的情形。
问题预测1990年人口数量⏹求解步骤：•(1／y t)*107→差分→环比→∑1, ∑2, ∑3•由于1／y t的差分的环比大体接近常数，可以采用Logistics（罗吉斯）曲线预测。
管理数量方法与分析第三章_时间序列分析二
消费价格指数
110
80
消费价格指数 3 期移动平均预测 5期移动平均预测
50
86
88
90
92
94
96
98
00 20
年份
19
19
19
19
19
19
消费价格指数移动平均趋势
19
例题3.3.3
书上P92 例题3.7;
3.3.2
数学模型法
数学模型法 在对原有时间序列进行分析的基 础上,根据其发展变动的特点,寻找一个与之相匹配 的趋势曲线方程,并以此来测定长期趋势变动规律 的方法. 常用的趋势线数学模型 线性趋势与非线性趋势
年份 价格指数 1986 1987 1988 1989 118 1990 103.1 1991 103.4 1992 1993
106.3 107.3 118.8
106.4 114.7
年份
价格指数
1994
1995
1996
1997
102.8
1998
99.2
1999
98.6
2000
100.4
124.1 117.1 108.3
首先将移动平均数作为长期趋势值加以剔除， 再测定季节变动的方法.
具体方法如下
(1)计算移动平均趋势值 T(季度数据采用4项移动 平均 ,月份数据采用 12项移动平均 ),并将其结果进 行“中心化”处理.即将移动平均的结果再进行一 次二项的移动平均,即得出“中心化移动平均 值”(CMA) (2)计算移动平均的比值Y/T=SI，也称为修匀比率
具体做法
Y1 bt1 Y2 bt 2
Y1 Y2 b t1 t 2
Y1 , Y2 分别代表原时间序列实际观察中各部分 的平均数.
第三章趋势外推预测法
❖ 初始平滑值的确定：
（1）当原数列的数值个数较多时 （n>15），由于经过多次平滑运算，初 始值对指数平滑值影响逐步减弱到极小 的程度，可以忽略不计，所以可以选用 第一期观察值作为初始平滑值S0=Y1
❖ （2）当原序列的数值个数较少时， n<15，可以选用最初几期的平均数作为 初始平滑值,一般是前3-5个数据的算术 平均数。
Ft+T=at+btT
T为预测的长度。 N为移动项数。
注意：输出区域此时的选择
❖ 建立预测方程： F11+T=202.75+8.5T
3、指数平滑预测法
指数平滑法是用过去的时间序列的加权平均数 作为预测值，是加权移动平均法的一种特殊 形式，由美国经济学家布朗（Robert G.Brown）于1959年在其著作《库存管理的 统计预测》中提出来的。
❖ 例：假定1993-2008年产品C销售情况如表所 示，试用指数平滑法预测2009年的产品销售 量。
❖ 方法1： ❖ 直接计算：先计算指数平滑再进行预测。
❖ 假定初始平滑值S0=97，以平滑系数=0.3为例。
❖ 方法2: ❖ Excel实现： ❖ 工具—数据分析——指数平滑
注意： （1）默认的初始平滑值是原始数据的第一项。 （2）阻尼系数=1-a （3）最后一期平滑值需要再重新计算一下。 （4）注意输出区域的选择。
指数平滑公式：St(1) =aYt+(1-a)St-1
St(1) ：t时期的一次指数平滑值。a平滑系数
（0< a<1)；Yt为t时期的观察值。 ❖ 预测公式： St=Ft+1：第t 期的指数平滑值作
为第t+1期的预测值。
因此，上式可写成：Ft+1= aYt+(1-a)Ft T=1,2,3,4….n。
《趋势曲线模型预测》课件
数据分析
学习如何处理不同类型的数据，并使用Excel、 SPSS等软件进行数据分析和处理。
模型预测
了解如何构建趋势曲线模型，学习如何通过SAS、 MATLAB等工具进行趋势曲线模型预测。
结果分析
掌握比较、评估预测结果的方法，有效判断预测 结果的准确性和优劣。
总结和展望
本课程总结
对本课程所学知识进行总结，并对下一步学习工作 进行规划。
知识总结
对本节课程所学知识进行总 结，并建议有什么可以再深 入思考的问题。
趋势曲线模型介绍
什么是趋势曲线模型
深入了解趋势曲线模型的定义及其作用，掌握常用 趋势曲线模型的构造方法。
相关概念，如拐点、 波动、周期等等。
常见趋势曲线模型介绍
学会如何正确选择适合的趋势曲线模型，以及不同 趋势曲线的特点和应用场景。
趋势曲线模型预测应用展望
探究趋势曲线模型预测在实际应用领域的潜力，为 未来的科研和工作提供有益的参考。
参考文献
相关论文
整理趋势曲线模型预测方面的相关论文和经典案例，为学员深入研究提供素材。
参考书籍
推荐一些关于趋势曲线模型预测方面的参考书籍，以供学员参考。
网络资源
搜集趋势曲线模型预测相关的互联网资源，包括模型预测工具、数据分析软件等等。
趋势曲线模型预测原理
1
基本原理
了解趋势曲线的形成机制，掌握预测的基本原理。
2
预测方法
介绍趋势曲线模型预测的方法和策略，以及如何处理不同类型的数据。
3
误差分析
揭示趋势曲线模型预测存在的误差来源，为预测结果的可靠性提供保障。
趋势曲线模型预测实例
实例介绍
选取一个实际案例，通过演示整个趋势曲线模型 预测的流程，为学生提供一个完整的实践平台。
经济预测与决策-长期趋势变动预测法
•
省钱就是挣钱。。2022年3月23日下午 3时36 分22.3.2 322.3.2 3
•
人在世上练，刀在石上磨。。2022年3 月23日 星期三 下午3 时36分2 2秒15: 36:2222 .3.23
•
属于自己的，不要放弃；别人得到的 ，切莫 妒忌。 。2022 年3月下 午3时3 6分22. 3.2315: 36March 23, 2022
年份 t 1992 -4 1993 -3 1994 -2 1995 -1 1996 0
1997 1
1998 2
1999 3
2000 4
0
计算表
计算Yt、tYt、t2
分别计算Yt、tYt、t2，计算过程见表 5-2。 Yt =3636 tYt=2092 t2=60
表5-2
年份 t 1992 -4 1993 -3 1994 -2 1995 -1 1996 0 1997 1 1998 2 1999 3 2000 4
预测
2004年时，t=8，预测2004年的销售量为：
Yˆ 8 404 34.87 8 682.93(吨)
第二节 二次曲线模型预测法
一、二次曲线预测模型 二、二次曲线模型的建立
一、二次曲线预测模型
二次曲线预测模型为：
Yˆ t aˆ bˆ t cˆ t 2
(5 - 8)
模型的特点
该模型的特点是二阶差分为常数。 当时间序列的二阶差分2Yt近似为 常数时，或其散点图近似上凸或下 凹的曲线时，可利用二次曲线模型 来预测。
分析时间序列的环比发展速度，可 见各环比发展速度值大体相等，因 此采用指数曲线模型进行预测。
经过计算得到：
t2=572， lgYt=17.01， t lgYt=35.67。
经济发展趋势的趋势预测模型
经济发展趋势的趋势预测模型随着全球经济的不断发展，经济领域的预测越来越重要。
通过预测经济发展趋势，政府、企业以及个人能够做出更明智的决策。
因此，建立一个有效的经济趋势预测模型是非常重要的。
本文将探讨几种常用的经济发展趋势的趋势预测模型。
一、时间序列模型时间序列模型是一种通过对历史数据进行分析和建模来预测未来经济趋势的方法。
这种模型主要基于时间上的相关性和趋势性，通过分析过去一段时间的数据来预测未来一段时间的情况。
二、回归模型回归模型是一种通过建立经济变量之间的数学关系来预测经济趋势的方法。
该模型通过对多个变量的观察和分析，建立一个数学模型，通过改变自变量来预测因变量的变化。
三、灰色预测模型灰色预测模型是一种通过分析原始数据中的趋势和规律来预测未来经济趋势的方法。
与传统的统计方法不同，灰色预测模型主要基于数据内部的动态演化，通过对数据的累加、累减和相关度分析，来推算未来的变化。
四、神经网络模型神经网络模型是一种通过模拟人脑神经细胞之间的相互连接来预测经济趋势的方法。
该模型通过大量数据的训练和学习，能够自动寻找到经济变量之间的关系，并通过该关系来预测未来的经济趋势。
五、随机森林模型随机森林模型是一种通过构建多个决策树模型来预测经济趋势的方法。
该模型通过将多个决策树进行集成，来减少模型的过拟合和提高预测的精度。
六、灵敏度分析灵敏度分析是一种通过改变模型中的参数或输入数据，来评估不同因素对经济预测结果的影响程度的方法。
通过灵敏度分析，可以找出对经济预测结果最敏感的因素，并进行相应的调整。
七、模型组合模型组合是一种通过将多个不同的预测模型进行组合，以提高模型预测精度的方法。
通过将不同的模型进行加权平均或者进行模型投票的方式，可以得到更可靠和准确的预测结果。
八、交叉验证交叉验证是一种通过将数据集分成多个子集，然后利用其中的一部分数据进行训练模型，再用剩余的数据进行验证和模型评估的方法。
通过交叉验证，可以评估模型的稳定性和泛化能力，并选择最优的预测模型。
时间序列预测方法
81
12.1
-24.2
4
48.4
16
13.1
-13.1
1
13.1
1
14.3
0
0
0
0
14.4
14.4
1
14.4
1
14.8
29.6
4
59.2
16
15.0
45.0
9
135.0
81
12.3
49.2
16
196.8
256
11.2
56.0
25
280.0
625
9.4
56.4
36
338.4
1296
8.9
62.3
49
436.1
16 零 售 12 量
（亿件）8
4
零售量
趋势值
0
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
针织内衣零售量二次曲线趋势
（年份）
（二）指数曲线(Exponential curve) 用于描述以几何级数递增或递减的现象 1、一般形式为
Yˆt abt
▪ a、b为未知常数 ▪ 若b>1，增长率随着时间t的增加而增加 ▪ 若b<1，增长率随着时间t的增加而降低 ▪ 若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限
47.50
49
57.00
64
66.50
81
76.00
100
85.50
121
95.00
144
104.51
169
114.01
196
123.51
225
133.01
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1981 4 370 5 0.3277 121.249 484.996 1.3108 5.2432 369.60
1982 5 405 4 0.4096 165.888 829.44 2.048 10.24 404.20
1983 6 443 3 0.512 226.816 1360.89 3.072 18.432 438.80
1984 7 474 2 0.64 303.36 2123.52 4.48 31.36 473.41
1985 8 508 1
0.8 406.4 3251.20 6.4
51.2 508.01
1986 9 541 0
1
541 4869
9
81 542.61
总计 — 3636 — 4.3289 1958.74 13349.9 727.684 200.840 3637.8
第三章 趋势外推模型预测法
第一节 直线模型预测法 第二节 多项式曲线模型预测法 第三节 指数曲线模型预测法 第四节 修正指数曲线模型预测法 第五节 成长曲线预测模型
应用趋势延伸法有两个假设前提：
（1）决定过去预测目标发展的因素，在很 大程度上仍将决定其未来的发展；
（2）预测目标发展过程一般是渐进变化， 而不是跳跃式变化。
某市化纤零售量及其一阶差分 单位：万米
年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
零售量 265 297 333 370 405 443 474 508 541
一阶差分 —— 32 36 37 35 38 31 34 33
解：1、选择预测模型 计算序列的一阶差分，列于表中，从计算结果
wy t
54.5 128.2 229.2 92.3 221.4 396.6 156.8 367.2 642
—
yˆ t
54.962 64.743 77.436 93.043 111.563 132.995 157.341 184.600 214.771
—
( yt yˆt )2
0.21344 0.41345 1.07330 0.55205 0.74477 0.63203 0.29268 1.0000 0.59444 5.51616
t 1
t 1
n
t1 n
n xt2 ( xt )2
(xt x)2
t 1
t 1
t 1
1 n
1n
1n
a
n
t 1
yt
b n
t 1
xt
n
t 1
yt
y
n
n
n
n
n xt yt ( xt )( yt )
xt yt
b t1 n
t 1
t 1
n
t1 n
n xt2 ( xt )2
xt2
由于三个参数需三个方程估算，故将历史数据分解成三组：
2500 2000
销售额 销售额 二次趋势线
1500
1000
550000
0 11999966 11999977 11999988 11999999 22000000 22000011 22000022 22000033 22000044 22000055 22000066
准方程组为：
n
t 1 n
t 1
nt yt nt tyt
n
n
a nt b ntt
t 1
t 1
n
n
a ntt b ntt
t 1
t 1
2
例2 根据前面给出的某市化纤零售量的统计资料， 试用折扣最小平方法预测1987年化纤零售量。
yˆ （α=0.8）
年份 t 零售量 n--t nt
求得的三点坐标必须满足这模型。因此
五项加权平均时有：
R
a
11b 3
(11) 3
2
c
S
a
3n 6
7
b
(3n 6
7)2c
T
a
(n
4 )b 3
(n
4)2c 3
解方程组得 参数估计值为：
cˆ
2(R T 2S) (n 5)2
bˆ
T n
R 5
3n 3
7
cˆ
aˆ
R
11 3
bˆ
121 cˆ 9
平方的权数为 nt。由于 0 1,... nt ... n1
是越来越小的权数，这说明对最近期的误差平
方不打折扣，而对远期的误差平方，越远打的
折扣越大。所以称为折扣最小平方法。
用折扣最小平方法来估计直线预测模型的参
n
数a、b，使
Q nt ( yt a bt)2
对此
t 1
式求偏导数，便得求参数a、b估计值的标
（２）线性预测模型中的时间变量取值不同。
（３）模型适应市场的灵活性不同。
（４）随时间推进，建模型参数的简便性不同。
直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡的预测对 象的近期、中期预测；平滑技术建立的线性模型 更适合趋势发展中有波动的预测目标的短期、近 期预测。
第二节 多项式曲线模型预测法
多项式曲线预测模型的一般形式为：
2、建立二次抛物线预测模型。列表计算有关数据。
年份
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 总计
年次t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 —
收购量yt 权数w 54.5 1 64.1 2 76.4 3 92.3 1 110.7 2 132.2 3 156.8 1 183.6 2 214.0 3 ——
一、最小平方法 最小平方法就是使误差平方和 Q ( yt yˆt )2 即Q ( yt a bt)2达到最小来估计a和b的方法。
a
1 n
n t 1
yt
b 1 n
n t 1
xt
y bx
n
n
n
n
n xt yt ( xt )( yt )
(xt x)( yt y)
b t1 n
解：列表计算有关数据。将计算的结果代入公式
得： 1958.7402 4.3289 27.6843b 13349.9187 27.6843a 200.8407b
解此方程组得： aˆ 231 .1832 , bˆ 34.6034
所求将直线各预年测的模t值型代为入：预yˆ测t 模 型23，1 .可18得32各年3的4.追60溯34 t
预测值
yˆ1987 231 .1832 34.6034 10 577 .22(万米)
直线趋势延伸预测模型与运用平滑技术建立直 线预测模型进行预测的比较
相同点：都遵循事物发展连续原则，预测目标时 间序列资料呈现有单位时间增（减）量大体相同 的长期趋势变动为适用条件。
区别为：
（１）预测模型的参数计算方法不同。
零售量为：
yˆ1987 404 34.87 5 578 .35(万米)
二、折扣最小平方法
折扣最小平方法就是对误差平方进行指数折扣加权后，使其总和达 Nhomakorabea最小的方法。
n
其数学表达式为： Q nt ( yt yˆt )2
最近期的误差平方
( yn
yˆ
t n
)12
的权数为
0，最
远期的误差平方的权数为 n1 。第t期的误差
4 473.74 0.26 0.0676
9 508.61 -0.61 0.3721
16 543.48 -2.48 6.1504
60 3636 —— 32.934
bˆ 2092 34.87 60
所求直线预测模型为： yˆt 404 34.87t 3、预测 以t0 5 代入预测模型，则可预测1987年化纤
同理，三项加权平均时， 参数估计值为：
cˆ
2(R T 2S) (n 3)2
bˆ
T n
R 3
3n 3
5
cˆ
aˆ
R
7 3
bˆ
49 9
cˆ
例4 某市1978~1986年某水产品收购量如表所示。试预 测1987年某水产品收购量。
某市某水产品收购量及其差分
年份 1978 1979 1980 1981 1982 收购量 54.5 64.1 76.4 92.3 110.7 一阶差分 __ 9.6 12.3 15.9 18.4 二阶差分 __ __ 2.7 3.6 2.5
a nt yt nt tyt
nt t
t nt 2
t
1978 1 265 8 0.1678 44.467 44.467 0.1678 0.1678 265.79
1979 2 297 7 0.2097 62.2809 124.561 0.4194 0.8388 300.39
1980 3 333 6 0.2621 87.2793 261.837 0.7863 2.3589 334.99
yˆt a bt ct 2 dt 3 et 4
二次抛物线预测模型为：yˆt a bt ct 2
二次抛物线预测模型的特点是二阶差分为一 常数： 2 yˆ yˆt yˆt1 2c
2、用三点法确定待定系数
其原理：其理论值与实际值的离差代数和为零，即 ( yi yi ) 0
t 1
t 1
t 1
x 的编号的影响： 对预测结果没有影响
对斜率b没有影响 对截距a有影响
如果时间序列有偶数项，则对称编号方 式：…，-5，-3，-1，1，3，5，…
如果时间序列有奇数项，则对称编号方 式：…，-2，-1，0，1，2，…
例1 某市1978—1986年化纤零售量如表所示， 试预测1987年化纤零售量。