趋势曲线模型预测
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曲线预测模型
曲线预测模型
曲线预测模型是一种用于预测随时间变化的曲线或趋势的模型，通常用于分析时间序列数据。
这种模型可以根据历史数据中的模式和趋势来预测未来的数值。
常用的曲线预测模型包括：
1. 线性回归模型：基于线性关系，通过拟合数据点来预测未来的数值。
适用于数据具有线性趋势的情况。
2. 多项式回归模型：在线性回归模型的基础上，引入多项式项，可以更好地拟合非线性趋势。
3. 指数平滑模型：适用于数据存在季节性变化的情况，通过加权计算过去一段时间的平均值来预测未来。
4. ARIMA模型：自回归积分移动平均模型，是一种基于时间
序列分析的预测模型，考虑了数据的自相关和不稳定性。
5. 长短期记忆（LSTM）模型：一种基于循环神经网络的深度
学习模型，可以捕捉长期依赖关系和非线性趋势。
这些模型根据具体的问题和数据特点选择，可以采用统计学方法、机器学习方法或深度学习方法进行建模和预测。
趋势曲线模型预测法
1981 4 370 5 0.3277 121.249 484.996 1.3108 5.2432 369.60
1982 5 405 4 0.4096 165.888 829.44 2.048 10.24 404.20
1983 6 443 3 0.512 226.816 1360.89 3.072 18.432 438.80
bˆ 194.333368.653951.45655.4112
93
3
aˆ 68.6575.4112491.456548.0941
区别为：
（１）预测模型的参数计算方法不同。
（２）线性预测模型中的时间变量取值不同。
（３）模型适应市场的灵活性不同。
（４）随时间推进，建模型参数的简便性不同。
直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡的预测对 象的近期、中期预测；平滑技术建立的线性模型 更适合趋势发展中有波动的预测目标的短期、近 期预测。
wy t
54.5 128.2 229.2 92.3 221.4 396.6 156.8 367.2 642
—
yˆ t
54.962 64.743 77.436 93.043 111.563 132.995 157.341 184.600 214.771
—
(yt yˆt )2
0.21344 0.41345 1.07330 0.55205 0.74477 0.63203 0.29268 1.0000 0.59444 5.51616
t1
t1
n
t1 n
n xt2 ( xt )2
(xt x)2
t1
t1
t1
a
1 n
n t 1
yt
b 1 n
逻辑斯蒂增长曲线预测在农业经济领域中的应用
逻辑斯蒂增长曲线预测在农业经济领域中的应用一、逻辑斯蒂（Logistic）趋势预测模型增长曲线模型用于描述经济变量随时间变化的规律，从已经发生的经济活动中寻找这种规律，并且用于未来的经济预测。
增长曲线模型不属于因果关系模型，因为时间并不是经济活动变化的原因。
常见的增长曲线主要包括以下形式：多项式增长曲线模型、指数增长曲线模型、逻辑斯蒂（logistic）模型等。
逻辑斯蒂模型是经济预测中广泛应用的增长曲线模型，是一条连续的、单调递增的、以参数L为上渐近线的曲线，其变化速度一开始增长较慢，中间段增长速度加快，以后增长速度下降并且趋于稳定。
本文正是以逻辑斯蒂曲线来对湖北省的财政支农情况进行分析与预测。
逻辑斯蒂曲线模型预测法(method of logistic curve model forecasting) 又称推力曲线模型预测法，是根据预测对象具有逻辑曲线变动趋势的历史数据，拟合成一条逻辑斯蒂曲线，通过建立逻辑斯蒂曲线模型进行预测的方法。
逻辑斯蒂曲线是1938年比利时数学家P. F. Verhulst首先提出的一种特殊曲线，后来，近代生物学家R. Pearl和L. J. Reed 两人把此曲线应用于研究人口生长规律。
所以，逻辑曲线又通常称为皮尔生长曲线( Pearl-Reed Growth Curve)，简称皮尔曲线( Pearl-Reed Curve)。
逻辑斯蒂增长模型的常见形式为：,其中，为因变量；为参数，为时间。
他是通过对由下面的增长率模型积分而来：,式中，L为饱和水平，b为增长速度因子。
其一,二阶导数为：令，可得惟一拐点：。
从以上公式可看出逻辑斯蒂曲线的增长趋势以及增长速度的变化情况，当，时，，即刚开始时yt值较小，随着时间的推移，增长速度变得越来越快，当yt 达到饱和水平的一半（）时，增长速度达到最大；当时，，即增长速度变得越来越慢，yt逐渐趋于饱和水平。
由于逻辑斯蒂曲线不可化为简单的线性表达式，所以求解分为两步。
第四章趋势模型预测法
a
（212
.4
178
.0）（0.05.55556563
1 1）2
22.254
K
1 3
178.0
(22.254)
0.55563 1 0.5556 1
73.163
修正指数曲线
(例题分析)
产品销售量的修正指数曲线方程 Yˆt 73.163 22.254(0.5556)t
2001年产品销售量的预测值
(a 和 b 的求解方程)
1. 根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为
Y na bt tY at bt 2
解得：b
ntY tY
nt 2 t2
a Y bt
2. 预测误差可用估计标准误差来衡量
sY
n
(Yi Yˆi )2
i 1
nm
m为趋势方程中未知常数的个数
线性模型法
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
1
b 2.9254 2.7388 3 0.7782 2.7388 2.3429
log a (2.7388 2.3429) 0.7782 1 0.3141 (0.77823 1)2
线
为未知常数
≠ 0a，bt0 < b ≠
1
3. 用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降 低，最终则以K为增长极限
修正指数曲线
(求解k，a，b 的三和法)
1. 趋势值K无法事先确定时采用
2. 将时间序列观察值等分为三个部分，每部 分有m个时期
3. 令趋势值的三个局部总和分别等于原序列 观察值的三个局部总和
趋势曲线预测模型
经济预测与决策方法
第六章 趋势曲线预测模型
一、趋势曲线模型的基本类型 二、趋势曲线的参数估计 三、趋势曲线模型的识别方法 四、应用实例
经济预测与决策方法
一、趋势曲线模型的基本类型
1、多项式趋势曲线
增量特征
图形特征
（1）yt a bt
Δ t yt yt-1 常数
(2) yt a bt ct 2
Δ2 yt 2c
常数
(3) yt a bt ct 2 dt3 Δ3 yt 6d
常数
2、指数趋势曲线
yt abt
yt b yt 1
常数
或 yt 常数 yt 1
3、修正指数 4、Gompertz趋势线 5、Logistic趋势线
yt k abt 2
yt kabt
K
1 n
Ⅰ
yt
a(
bn 1 b 1
)
经济预测与决策方法
(4) yˆt Kabt
ln yt ln K bt ln a
b Ⅲ ln yt Ⅱ ln yt Ⅲ ln yt Ⅰln yt
ln a (
Ⅱ ln yt
Ⅰ
ln
)
b-1 (b n -1 )2
K
1 n
ⅠYt a(bbn--11)
tyt at bt2 ct3 dt4
t 2 yt
at2
bt3
ct4
dt5
t3 yt
at3
bt4
第六章 趋势曲线预测模型
一、趋势曲线模型的基本类型 二、趋势曲线的参数估计 三、趋势曲线模型的识别方法 四、应用实例
经济预测与决策方法
一、趋势曲线模型的基本类型
1、多项式趋势曲线
增量特征
图形特征
（1）yt a bt
Δ t yt yt-1 常数
(2) yt a bt ct 2
Δ2 yt 2c
常数
(3) yt a bt ct 2 dt3 Δ3 yt 6d
常数
2、指数趋势曲线
yt abt
yt b yt 1
常数
或 yt 常数 yt 1
3、修正指数 4、Gompertz趋势线 5、Logistic趋势线
yt k abt 2
yt kabt
K
1 n
Ⅰ
yt
a(
bn 1 b 1
)
经济预测与决策方法
(4) yˆt Kabt
ln yt ln K bt ln a
b Ⅲ ln yt Ⅱ ln yt Ⅲ ln yt Ⅰln yt
ln a (
Ⅱ ln yt
Ⅰ
ln
)
b-1 (b n -1 )2
K
1 n
ⅠYt a(bbn--11)
tyt at bt2 ct3 dt4
t 2 yt
at2
bt3
ct4
dt5
t3 yt
at3
bt4
趋势预测法
(2)以观察期的每月平均值作为预测期对应月份 的预测值。
当时间序列资料在年度内变动显著，或呈季节性变化 时，如果用上一种方法求得预测值，其精确度难以保证。
例：假设某商品最近四年的每月销售量如表5.1 所示，在95%的可靠程度下,预测2008年的每月 销售量。
①如果以2007年的每月平均值作为2008年的每 月预测值；
零售量为：
y ˆ19 84 7 034 .8 4 7 5 5.7 3(万 8 5) 米
直线趋势延伸法的特点
• （1）直线趋势预测法仅适用于预测目标时间序列 呈现直线长期趋势变动情况。
• （2）它对时间序列资料一律同等看待，在拟合中 消除了季节、不规则、循环三类变动因素的影响
• （3）反映时间序列资料长期趋势的平均变动水平 。
②以四年的每月平均值335.7干元作为2008年的 每月预测值，标准差为：
Sx1
B 2.78 41
B （ 33 .4 3 33 .7 ） 25 （ 33 .5 6 33 .7 ） 25 （ 33 .7 3 33 .7 ） 25 （ 33 .2 9 33 .7 ） 25 2.1 38
在95％的可靠程度下，2008年每 月预测值区间为335.7土1.96x2.78， 即在330.25—341.15千元之间。
❖ 然后，计算某种可靠程度要求时的预测区间。
x tSx
①以2007年的月平均值339.2千元作为2008年 的每月预测值，标准差为：
Sx1
A 121
31.96181.703 11
在95%的可靠程度下，2008年每月预测区 间为339.2±1.96x17.03，即305.8—375.52千 元之间。
算术平均法，就是以观察期数据之和除以 求和时使用的数据个数(或资料期数)，求得 平均数。
当时间序列资料在年度内变动显著，或呈季节性变化 时，如果用上一种方法求得预测值，其精确度难以保证。
例：假设某商品最近四年的每月销售量如表5.1 所示，在95%的可靠程度下,预测2008年的每月 销售量。
①如果以2007年的每月平均值作为2008年的每 月预测值；
零售量为：
y ˆ19 84 7 034 .8 4 7 5 5.7 3(万 8 5) 米
直线趋势延伸法的特点
• （1）直线趋势预测法仅适用于预测目标时间序列 呈现直线长期趋势变动情况。
• （2）它对时间序列资料一律同等看待，在拟合中 消除了季节、不规则、循环三类变动因素的影响
• （3）反映时间序列资料长期趋势的平均变动水平 。
②以四年的每月平均值335.7干元作为2008年的 每月预测值，标准差为：
Sx1
B 2.78 41
B （ 33 .4 3 33 .7 ） 25 （ 33 .5 6 33 .7 ） 25 （ 33 .7 3 33 .7 ） 25 （ 33 .2 9 33 .7 ） 25 2.1 38
在95％的可靠程度下，2008年每 月预测值区间为335.7土1.96x2.78， 即在330.25—341.15千元之间。
❖ 然后，计算某种可靠程度要求时的预测区间。
x tSx
①以2007年的月平均值339.2千元作为2008年 的每月预测值，标准差为：
Sx1
A 121
31.96181.703 11
在95%的可靠程度下，2008年每月预测区 间为339.2±1.96x17.03，即305.8—375.52千 元之间。
算术平均法，就是以观察期数据之和除以 求和时使用的数据个数(或资料期数)，求得 平均数。
4-曲线趋势预测法
例4.2 某地税局1998-2005年的税收总收入 如表4.6所示,试预测2006年和2007年的税收总收 入。
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解：绘制散点图（参见图4.6）
预测与决策概论
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预测与决策概论
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预测与决策概论
将有关数据代入正规方程组，可以得：
y19 615.641 205.667(0.9172)19 575.832
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4.3.2 龚珀兹曲线预测模型
1）模型的形式
yˆt Kabt
预测与决策概论
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2）模型的识别
预测与决策概论
Page 43
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预测与决策概论
第四章 曲线趋势预测法
直线趋势模型预测法 可线性化的曲线趋势模型预测法 有增长上限的曲线趋势模型预测法
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趋势曲线模型的选择
预测与决策概论
（一）图形识别法：
该法是通过绘制时序图来进行的，即将时间序
列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为
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预测与决策概论
4.3 有增长上限的曲线趋势模型预测
法
修正指数曲线预测模型
yˆt K abt
龚珀兹曲线预测模型
yˆt Kabt
逻辑曲线预测模型
具有增长上限的这三种曲线趋势模型的参数估 计可以使用本书介绍的三和值法进行计算。
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趋势外推预测方法
y=0
(1) lga<0 0<b<1
y=0
(2) lga<0 b>1
图7.3.1（1）中的渐近线（k）意味着市场对某类产品的需
求已逐渐接近饱和状态；
图7.3.1（2）中的渐近线（k）意味着市场对某类产品的需
求已由饱和状态开始下降；
X=k
X=k
图7.3.1 龚珀兹 曲线一般形状
y=0
y=0
(3) lga>0 0<b<1
• lg
a
（6）查 或反对lg数k 表 ，1n 求•出 参 数2 k、2 a、b，并将k、a、b
代入公式 yˆ kabt ，即得龚珀兹预测模型。
第1节 指数曲线法
指数曲线模型
yˆtabet (a0)
（7.1.1）
对式（7.1.1）两端取对数，得 lnyt lnabt
令
令 Ytlnyt,Aln a, yˆyt
则 Yt Abt
这样就把指数曲线
a
模型转化为直线模型
0
t
表7.1.1 指数曲线模型差分计算表
时序(t)
1 2 3 4
t-1 t
yt aebt
趋势外推预测方法
➢趋势外推法
趋势外推预测方法是根据事物的历史和现实数据，寻求事物随 时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一种常用的 预测方法。
➢原理
当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋向，且无明显 的季节波动时，若能找到—条合适的函数曲线反映这种变化趋势，
就可用时间t为自变量，时序数值y为因变量建立趋势模型：
y＝f(t)
（7.0.1）
如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在式（7.0.1）中赋 予变量t在未来时刻的一个具体数值，可以得到相应时刻的时间序 列未来值。
第10章 趋势预测法
t2
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324
趋势值 0.00 9.50 19.00 28.50 38.00 47.50 57.00 66.50 76.00 85.50 95.00 104.51 114.01 123.51 133.01 142.51 152.01 161.51
合计
171
1453.58
Hale Waihona Puke 21091453.58
第十章 趋势预测法(19)
18 18411.96 171 1453.58 b 9.5004 2 18 2109 171 a 1453.58 9.5004 171 9.4995 18 18
第十章 趋势预测法(11)
平均发展速度为：
x6 9490 111.95% 4820
2012年趋势值为:
X t i X t ( x)i
X .95% 10624 (万元) 2012 X 2011 111
则2012年的销售利润为10624(万元)
第十章 趋势预测法(12)
2
3 4 5
98
110 89 96
1.5
2 3 3.5
147
220 267 336
6
∑
105
4.5
15.5
472.5
1542.5
x
xf f
=100(台)
第十章 趋势预测法(7)
三、平均增长量预测法
原理：通过对时间数列各期增长量计算平均数以预测未
来现象发展趋势。
公式：
x x n
相等的状况。
趋势曲线模型预测法
正中项:
2 d n 1
趋势曲线模型预测法是长期趋势预测的主 要方法,它是根据时间序列的发展趋势,配 合合适的曲线模型,外推预测未来的趋势 值
直线模型预测法
直线预测模型为:
ˆt a bt y
式中: t为时间, 代表年次等 , a, b为参数, a代表t 0 ˆ t 代表预测值 时的预测值 , b代表逐期增长量 .y
44.467
n t t n t t 2
yt
0.1678 44.467
0.1678 0.1678 265.79
297
333 370 405 443
7
6 5 4 3
0.2097 62.281
0.2621 87.279 0.3277 121.249 0.4096 165.888 0.512 226.816
474
508 541
2
1 0
0.64
0.8 1
303.36
406.4 541
2123.52 4.48
3251.20 6.4 4869 9
31.36
51.2 81
473.41
508.01 542.61
Σ
3636
4.33
1958.74
13349.9 27.68
200.84 3637.8
1958 .74 4.33a 27.68b 13349 .9 27.68a 200.84b
ˆt 231.18 34.6t y
多项式曲线模型预测法
预测模型
ˆt = a + bt + ct + dt + et + ... y
二次抛物线预测模型
2
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当预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模
拟时，利用一元非线性回归技术，来作出模拟
并用于预测。
n
设实际值为（xi,yi）,为i1 方便多项式次数测定，
数据选取xi－xi－1 = ∆x = C，模型模拟值为yˆ i
(xi,yˆ i 就有
)
2
m
= f(x) = a0 + a1x + a2x +……+ amx.
83.09
1.9464
-0.9013
0.0893
= -0.9107 410.74
0.5100
-0.0536
0.0893 2458.38
-0.0536
0.006
7.1602 精品课件
1980:x = 9
y9 = 7.1602 + 0.4447×9 + 0.0480×92
= 15.0505
1981:x = 10:
由拐点定义，若出现一个拐点，至少应用3次 多项式拟合；
若出现k个拐点，至少应用k+2次多项式拟合。
精品课件
2.差分判断法 ①差分定义：当自变量呈等距分布时，即
xi = xi-1 + △x 则 ▽yi = yi – yi-1 =f(xi)- f(xi-1) 称为当 x 从xi-1变到xi时,yi 的一阶差分。
16a+4b+c 25a+5b+c
一 阶差分 a+b
3a+b
7a+b
9a+b
5a+b
二阶差分
2a
2a
2a
2a
三阶差分
0
0
0
由此可得出判据
若一批自变量为等距分布的数据，经 n次差分之后， 形成常数或差分后在某一定值上下波动，则可用n次多 项式拟合此批数据变动精趋品势课件。
第二节 成长曲线预测模型
一. Gompertz曲线 成长曲线主要应用两个原则：相似性原则
记为矩阵式：
s0 s1 s2 …… sm
a0
u0
×=
s1
s2
s3 …… sm+1
a1
u2
sm
记为 U
sm+1
记为S
s0 … s2m
精品课件
am
um
记为 A
二、案例
某地1972---1979工业产值统计资料如表，企业
多项式模型，并预测1980、1981年工业产值
年
1972 1973 1974 1975 1976 1977
所有更高阶的差分由进一步的差分得到: 二阶差分
y ▽2 i =▽(▽yi ) =▽(yi – yi-1) =▽yi - y ▽ i-1 = (yi – yi-1) - (yi-1 – yi-2 ) = yi -2 yi-1 + yi-2
精品课件
可类推至 yi 的k阶差分
▽k yi =▽(▽k-1 yi )
1978 1979
序号
6
7
8
产值
7.54 8.76 8.23 9.92 10.65
11.65 12.56 13.78
解：（1）描点，观察，做趋势图。
2
由图所示，用二次曲线描述精合品课理件。
（2）由正规方程组U = SA，求A = S(-1) U
∵Sk =∑Xik i = 1,2,………,8.
K = 0,1,2,3,4.
S0 = 0∑xi =8; S1 1= ∑xi =36; 2S2 = ∑xi
=204; 3
4
S3 = ∑xi =1296; S4 = ∑xi =8772
8
36
204
∴ S = 36
204
1296
8772
204
精品课件
1296
n
u k y ix ik,i 1 ,2 ..8 .,k0 ,1 ,2 i 1
=………
= k
j0
k! (1)j (kj)!
yikj
②差分对多项式判断中的应用
例：含线性趋势确定性时间序列数据（yt=2t)
t
0
1
2
4
5
yt
0
2
4
8
10
一阶差分
2
2
2
2
二阶差分
精品课件 0
0
3 6
2
例:二次曲线 y = ax2 + bx + c
x0
1
2
3
4
5
yt c a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c
其中 k = 0,1,2,3,……,m
因为ei = yi－yi = yi－ a0－ a1x － ……akxik……amxim
所以有：n ∑(yi－ a0－ a1x1-- ……amxim)(-xik)=
0
n
i 1
得i 1
yi xik
=a0 ∑xik +a1精∑品课件xi(k+1)+……am∑xik+m
与延续性原则 ① 决定过去技术发展的因素，很大程度
的也将决定未来的发展，条件是不变的或变化不大的； ② 发展过程属于渐进的，影响过程的规
律不发生突变； ③ 增长曲线即生命周期与生物生长过程
显然，这是一个m次多项式，同时假定已知数 据为n组：(xi,yi) i = 1,2,……n.
假定y与x是相关的，对应任意的yi，都有yi
且ei = yyˆii－ 由回归分析，最佳拟合为 Q = ∑ei2 = Q min
利用最小二乘法，对系数求偏导数，有
(Q/ak)’ = 0 →2∑ei(ei)’ak = 0
y10 = 7.1602 + 0.4447×10 + 0.0480×102
= 16.4072 绝对误差 相对误差
与实际值比较:1980年为14.77 0。2809
–
1。9%
7672
1981年为15.64 0。 -4。9% 精品课件
三、 拟合多项式的次数确定 1、作图法 利用实际数据，选择合适坐标，采用图上打点， 观察打点曲线，并选择一条比较合用的多项式 趋势线。 若趋势线出现拐点：
8
8
8
u0 yixi0 83.09u1 yixi1 41.074u2 yixi2 245.388
i1
i1
i1
83 .09
U
410 .74
2458 .38
精品课件
204 -1 83.09
8
36
A = S(-1)U = 410.74
36 204
1296
2458.38
204 1296 8772
令
n
uk
yi xi k ,
i 1
sk
yt K abt
n
xik
i 1
精品课件
可建立m+1个方程组成的正规方程组：
s0a0+s1a1+……+smam = u0 (k = 0)
s1a0+s2a1+………+sm+1am = u1 (k = 1)
:
:
:
:
sma0+sm+1a1+……..+s2mam = um (k = m)
趋势曲线模型预测
第一节 多次式曲线模型预测 法
第三章所谈及的回归分析， 是在已知统计资料基础上，利用线性或 非线性回归技术进行模拟，利用趋势外 推进行预测，而模型的项数均为常数项 加一次项或非线性构成。事实上，若采 用多项式进行模拟，也是一种行之有效 的方法。
一．正规方程组
所谓多项式回归，就是已知统计资料给出，