第四章趋势模型预测法
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第四章曲线趋势预测法
常用的有二次曲线模型和三次曲线模型：
二次曲线模型：yˆt b0 b1t b2t2 三次曲线模型：yˆt b0 b1t b2t2 b3t3
多项式曲线模型识别
二次曲线模型的特点：二阶差分为一个 常数。
三次曲线模型的特点：三阶差分为一个 常数。
识别方法：差分分析法。 预测模型的参数估计：最小二乘法。
t 2
a Y bt
修改时间变量t的取值，估计式可简化为:
b
tyt t 2
a y
折扣最小二乘法
最小二乘法存在一个缺陷：对近期误差 与远期误差同等看待。实际上，近期误 差比远期误差对预测的影响更大。
折扣最小二乘法对误差平方进行折扣加 权，使其总和达到最小。
n
Q nt ( yt yˆt )2 min t 1
皮尔曲线模型的参数估计
三段和为
S1
n t 1
1 yt
S2
2n t n1
1 yt
S3
3n t 2n1
1 yt
皮尔曲线模型的参数估计
参数估计方程为：
b n
S3 S2 S2 S1
a
(S2
S1 )
b 1 b(bn 1)2
k
1 n
(S1
ab
bn 1) b 1
其对数的一阶差分的环比为一个常数。
龚珀慈曲线模型的参数估计
1.增长上限k已知时：
a
eeY bt ntyt y
b e n t2 ( t)2
龚珀慈曲线模型的参数估计(续)
2.增长上限k未知时：
三段和为
n
S1 ln yt t 1 2n
S2 ln yt t n1 3n
S3 ln yt t 2n1
二次曲线模型：yˆt b0 b1t b2t2 三次曲线模型：yˆt b0 b1t b2t2 b3t3
多项式曲线模型识别
二次曲线模型的特点：二阶差分为一个 常数。
三次曲线模型的特点：三阶差分为一个 常数。
识别方法：差分分析法。 预测模型的参数估计：最小二乘法。
t 2
a Y bt
修改时间变量t的取值，估计式可简化为:
b
tyt t 2
a y
折扣最小二乘法
最小二乘法存在一个缺陷：对近期误差 与远期误差同等看待。实际上，近期误 差比远期误差对预测的影响更大。
折扣最小二乘法对误差平方进行折扣加 权，使其总和达到最小。
n
Q nt ( yt yˆt )2 min t 1
皮尔曲线模型的参数估计
三段和为
S1
n t 1
1 yt
S2
2n t n1
1 yt
S3
3n t 2n1
1 yt
皮尔曲线模型的参数估计
参数估计方程为：
b n
S3 S2 S2 S1
a
(S2
S1 )
b 1 b(bn 1)2
k
1 n
(S1
ab
bn 1) b 1
其对数的一阶差分的环比为一个常数。
龚珀慈曲线模型的参数估计
1.增长上限k已知时：
a
eeY bt ntyt y
b e n t2 ( t)2
龚珀慈曲线模型的参数估计(续)
2.增长上限k未知时：
三段和为
n
S1 ln yt t 1 2n
S2 ln yt t n1 3n
S3 ln yt t 2n1
第四章趋势模型预测法
a
（212
.4
178
.0）（0.05.55556563
1 1）2
22.254
K
1 3
178.0
(22.254)
0.55563 1 0.5556 1
73.163
修正指数曲线
(例题分析)
产品销售量的修正指数曲线方程 Yˆt 73.163 22.254(0.5556)t
2001年产品销售量的预测值
(a 和 b 的求解方程)
1. 根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为
Y na bt tY at bt 2
解得：b
ntY tY
nt 2 t2
a Y bt
2. 预测误差可用估计标准误差来衡量
sY
n
(Yi Yˆi )2
i 1
nm
m为趋势方程中未知常数的个数
线性模型法
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
1
b 2.9254 2.7388 3 0.7782 2.7388 2.3429
log a (2.7388 2.3429) 0.7782 1 0.3141 (0.77823 1)2
线
为未知常数
≠ 0a，bt0 < b ≠
1
3. 用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降 低，最终则以K为增长极限
修正指数曲线
(求解k，a，b 的三和法)
1. 趋势值K无法事先确定时采用
2. 将时间序列观察值等分为三个部分，每部 分有m个时期
3. 令趋势值的三个局部总和分别等于原序列 观察值的三个局部总和
经济预测与决策第四章趋势外推法
2．拟合直线法的原理
这种方法是基于最小二乘法原理，通过对时间序列数据拟 合得出一条直线，使得该直线上的预测值与实际观察值之 间的离差平方和为最小。
3．拟合直线方程法的数学模型
4．加权拟合直线法的数学模型
在拟合直线法中，计算离差平方和时对近期误差和远期误差 赋予的权重是一样的。实际中，近期数据对预测结果的影响 更有意义，也就是说，对于预测精确度而言，近期误差比远 期误差更为重要。因此，在计算离差平方和时，对离差平方 项按照近大远小的原则赋予不同权值，即离差平方项对应的 时间点距离现在越近，其赋权值越大。对加权离差平方和再 按照最小二乘法原理，使离差平方和达到最小，进而求出加 权拟合直线方程。这种方法称为加权拟合直线法。
4.2.2 线性趋势外推预测法的应用举例
【实例4-1】
已知A公司1998~2008年销售利润，详见表4-1。试预测该公 司2009年的销售利润。
【实例4-2】
仍以表4-1对应的数据来说明加权拟合直线方程法的应用。 表4-4给出了各期对应的权值。
【解】 首先，基于表4-1中数据绘制趋势图，如图4-1所示。 从图4-1可知，公司销售利润呈现直线上升趋势。因此采 取线性趋势外推预测法进行预测。 其次，基于表4-1中数据计算线性趋势外推预测法模型的 参数a、b。
4.4 生长曲线预测法 4.4.1 生长曲线预测法基本原理 4.4.2 生长曲线预测法的应用举例
4.5 习题
本章学习目标
4.1 趋势外推预测法概述
4.1.1 趋势外推预测法含义 4.1.2 常用趋势外推预测法简介
4.1.1 趋势外推预测法含义
趋势外推预测法（Trend extra polation）是根据事物过 去和现在的发展趋势推断未来发展趋势的一类方法的总称 。这类方法的基本假设是事物的未来发展趋势系过去和现 在连续发展的结果。
物流运作管理第四章-需求预测
第四章 需求预测
4.3 需求预测的定量方法 4.3.1 移动平均法
加权移动平均法
加权移动平均法就是根据同一个移动 段内不同时间的数据对预测值的影响 程度，分别给予不同的权数，然后再 进行平均移动以预测未来值。
加权移动平均法的计算公式
第四章 需求预测
4.3 需求预测的定量方法 4.3.2 指数平滑法
预测步骤
第四步，将参与预测的有关人员分类，由于预测参加者对市场了解的程度以 及经验等因素不同，因而他们每个人的预测结果对最终预测结果的影响作用 有可能不同
第五步，确定最终值
第四章 需求预测
4.2 需求预测的定性方法 4.2.3 德尔菲法
步骤
概念
德尔菲法是依据系统的程序，采用匿名发表 意见的方式，即专家之间不得相互讨论，不 发生横向联系，只能与调查人员有联系，通 过多轮次调查专家对问卷所提问题的看法， 经过反复征询、归纳、修改，最后汇总成专 家基本一致的看法，以此作为预测的结果。
第四章 需求预测
4.3 需求预测的定量方法 4.3.3 线性趋势线
线性趋势线 的基本方程 季节性调整
第四章 需求预测
4.3 需求预测的定量方法 4.3.4 回归法
回归法通过建立两个或多个变量之间的数学关系模型进行预测，重点是辨别变量和需求之间的关系。
线性回归
线性回归是建立一个自变量与一个因变量之间的线性关系方程，分析两者 之间的关系和数学技术。
一般指数平滑法
指数平滑法是在移动平均法基 础上发展起来的一种时间序列 分析预测法，它是通过计算指 数值，配合一定的实际序列预 测模型对现象的未来进行预测
指数平滑法的计算公式
第四章 需求预测
4.3 需求预测的定量方法 4.3.2 指数平滑法
4-曲线趋势预测法
例4.2 某地税局1998-2005年的税收总收入 如表4.6所示,试预测2006年和2007年的税收总收 入。
Page 19
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解：绘制散点图（参见图4.6）
预测与决策概论
Page 20
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预测与决策概论
Page 21
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预测与决策概论
将有关数据代入正规方程组，可以得：
y19 615.641 205.667(0.9172)19 575.832
Page 41
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4.3.2 龚珀兹曲线预测模型
1）模型的形式
yˆt Kabt
预测与决策概论
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2）模型的识别
预测与决策概论
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预测与决策概论
第四章 曲线趋势预测法
直线趋势模型预测法 可线性化的曲线趋势模型预测法 有增长上限的曲线趋势模型预测法
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趋势曲线模型的选择
预测与决策概论
（一）图形识别法：
该法是通过绘制时序图来进行的，即将时间序
列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为
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预测与决策概论
4.3 有增长上限的曲线趋势模型预测
法
修正指数曲线预测模型
yˆt K abt
龚珀兹曲线预测模型
yˆt Kabt
逻辑曲线预测模型
具有增长上限的这三种曲线趋势模型的参数估 计可以使用本书介绍的三和值法进行计算。
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第四章：需求预测：时间序列分解法和趋势外推法(旅游地理学(PPT))
4.6 曲 线 拟 合 优 度 分 析
一、曲线的拟合优度分析
如前所述，实际的预测对象往往无法 通过图形直观确认某种模型，而是与几种 模型接近。这时，一般先初选几个模型， 待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用 哪一种模型。
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拟合优度指标： 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为优度好坏的指标：
解这个四元一次方程就可求得参数。
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4.4 指 数 曲 线 趋 势 外 推 法
一、指数曲线模型及其应用 指数曲线预测模型为：
yt = aebt
(a > 0)
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t = aebt 做线性变换得： 对函数模型 y
ln yt = ln a + bt
令
Yt = ln yt , A = ln a
进行预测将会取得较好的效果。
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二、三次多项式曲线预测模型及其应用 三次多项式曲线预测模型为：
yt = b0 + b1t + b2t + b3t
2
3
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y 设有一组统计数据 y1 ，y2 ，…， n ，令
Q(b0 , b1 , b2 , b3 ) = ∑ ( yt yt ) = ∑ ( yt b0 b1t b2t 2 b3t 3 ) 2 = 最小值
（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展， 其条件是不变或变化不大。
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二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型： 一次（线性）预测模型：
y t = b 0 + b1t
y t = b 0 + b1 t + b 2 t 2 二次（二次抛物线）预测模型：
第四章专家判断预测法(教材第四章)
2 、 预测的一般程序
• 第一步：确定预测问题，提出要求，明 确预测目标，用书面（问卷调查表）通 知被选定的专家、专门人员。 • 这里选择专家是关键，专家一般指掌握 某一特定领域知识和技能的人。人数不 宜过多，一般在8—20人左右为宜。要 求每一位专家讲明有什么特别资料可用 来分析这些问题以及这些资料的使用方 法。同时，也向专家提供有关资料，并 请专家提出进一步需要哪些资料。
定性预测的特点
• (1)着重对事物发展的性质进行预测， 主要凭借人的经验以及分析判断能力。 它是一种十分实用的预测方法，特别 是对预测对象所掌握的历史统计资料 不多，或影响因素复杂难以分清主次， 或对主要影响因素难以定量分析等情 况下，定性分析方法将是适用性很强 的方法；
(2)着重对事物发展的趋势、方 向和重大转折点进行预测。
甲 乙 丙
∑ Pi
续（一） 、趋势判断的基本原理 • 3、权的确定： • （1）市场占有率
• （2）企业的规模（大小）
• 4 、举例: P41
表４.2
Wi 增加 不变 减少 (+) (=) (-) 2 3 2 1 1.6 2 3 1 1 2 3 4 ∑ Wi(+) Wi(=) 6 2×3 2×2 6 3.2 4.8 9 1×2 3 21 11.2 P1 0.37 11.8 P2 0.38 Wi(-) 2×1 1.6 4 7.6 P3 0.25
增加（+） 减少（-）的百 的百分数 分数 l11, l12,… ,l1h m11, m12,…, m1n
l21, l22,… ,l2k m21, m22,…, m1g l31, l32,… ,l3q m11, m12,…, m1p
四、PERT预测法
• 1 、特点： • 短期预测； • 凭经验判断估计预测量。 、 • 2 、方法：由熟悉业务的专业人员的经 验判断，对预测问题作出三点估计，再 加以综合分析得出预测结果。 • 3 、举例：P46举例学习
第4章 预测分析课后答案
第四章预测分析同步练习题答案一、思考题1.管理会计中的预测分析主要指经营预测，是指对未来经济活动可能产生的经济效益及其发展趋势，进行预计和估算的过程。
预测分析的基本程序包括确定预测目标、收集和整理资料、选择预测方法、进行分析判断或分析计算、评价验证结果、修正误差和预测报告。
2.定量分析方法要求企业能够收集充分、真实的历史数据，信息反映比较全面。
否则，不足以反映其内在的客观规律性。
同时，定量分析往往需要建立数学模型进行计算，但实际生活中并非所有因素都可以量化，比如国家政治形势的变动、员工情绪的波动、经营方针的改变等。
这些因素所起到的作用也不能忽视，因此仅采用定量分析法会带来一定的片面性。
但是，定量分析方法因精确的计算而广泛应用于很多领域。
而定性分析法通常适用于企业没有充分的历史数据，信息反映不太全面的情况。
它主要依赖相关人员的经验进行预测。
由于预测人员学识水平及实际经验不同，会使预测结果带有一定的主观性，其准确性也会受到一定的影响。
3.销售百分比法是基于两个重要的假设：一是假设未来的销售预测已经完成；二是假设部分资产和部分负债的销售百分比保持不变。
4.销售预测的方法有：定量分析法（趋势分析法、因果分析法）、定性分析法（综合判断法、专家判断法）；成本预测的方法有：高低点法、加权平均法、回归分析法；利润预测的方法有：直接预测法、本量利分析法；资金需要量预测的方法有：销售百分比法、回归直线法。
二、单项选择题1-5 DBADB 6-10AABBD三、多项选择题1-5 ABCD ABC CD ABD(第四题题目删除”不”) AC6-10 BCD ABCD AD ABCD AD四、判断题1-5×√×√√ 6-10 √×√××五、案例分析题1.预测2014年床垫商品的销售量＝∑(xw)=200×0.1+240×0.1+300×0.2+330×0.3+400×0.3=323 (元）2.（将 2009年床垫产量220万张修改为120万张。
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lg Y n lg a lg bt t lg Y lg at lg bt 2
求出lga和lgb 后，再取其反对数，即得算术形式的a 和b
指数曲线
(例题分析)
指数曲线
(例题分析)
【例】根据社会总需求量数据，确定指数曲线方程， 计算出各期的趋势值，预测1998年的社会总需求量，
lg a 35.05
a
（212
.4
178
.0）（0.05.55556563
1 1）2
22.254
K
1 3
178.0
(22.254)
0.55563 1 0.5556 1
73.163
修正指数曲线
(例题分析)
产品销售量的修正指数曲线方程 Yˆt 73.163 22.254(0.5556)t
2001年产品销售量的预测值
1
6
0.96522 1
1 12034 6416.7932 936.2011
6
Logistic 曲线
(例题分析)
人口总数的Logistic曲线方程
Yˆt
107
936.20111166.293 0.96522t
2000年人口总数的预测值
Yˆ2000
107
936.20111166.293 0.9652221
6706.9158
趋势线的选择
1. 观察散点图 2. 根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线
– 一次差大体相同，配合直线 – 二次差大体相同，配合二次曲线 – 对数的一次差大体相同，配合指数曲线 – 一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线 – 对数一次差的环比值大体相同，配合 Gompertz
曲线 – 倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲
为未知常数
≠ 0a，bt0 < b ≠
1
3. 用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降 低，最终则以K为增长极限
修正指数曲线
(求解k，a，b 的三和法)
1. 趋势值K无法事先确定时采用
2. 将时间序列观察值等分为三个部分，每部 分有m个时期
3. 令趋势值的三个局部总和分别等于原序列 观察值的三个局部总和
2000年布产量的预测值
Yˆ 153.38 6.9898 15 258.227 2000
4.2 非线性趋势预测
二次曲线
(second degree curve)
1. 现象的发展趋势为抛物线形态
2. 一般形式为 Yˆt a bt ct 2
3. 根据最小二乘法求 a，b，c的标准方程
Y na bt ct 2 tY at bt 2 ct 3 t 2Y at 2 bt 3 ct 4
lg b 3.57
指数曲线方程
Yˆ t
99.48(1.65)t
：
1998年社会总需求量的预测值
Yˆ 99.48(1.65)10 14879.05 1998
修正指数曲线
(modified exponential curve)
1. 在一般指数曲线的方程上增加一个常数项K 2. 一般形式为
KKY，ˆ>t a0，，Kba
修正指数曲线
(求解k，a，b 的三和法)
1. 设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3
m1
2 m1
3 m1
S 1
Y t
,
S 2
Y t
,
S 3
Y t
t 0
tm
t 2 m
2. 根据三和法求得
b
S 3
S 2
S 2
S 1
1
m
a
S 2
S 1
b
b m
1
12
K
1 m
S 1
abm 1
b 1
4. 两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y 0
Gompertz 曲线
(求解K，a，b 的三和法)
1. 将其改写为对数形式： lg Yˆt lg K (lg a)bt
2. 仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出 lga、lgK、b
3. 取 lga、lgK 的反对数求得 a 和 K
令： S 1
Gompertz 曲线
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
1
b 2.9254 2.7388 3 0.7782 2.7388 2.3429
log a (2.7388 2.3429) 0.7782 1 0.3141 (0.77823 1)2
线性模型法
(例题分析)
【例】根据上表布产量数据，用最小二乘法确定直线趋 势方程，计算出各期的趋势值，并预测2000年的布产量
b 14 23199.7 105 2881.27 6.9898 a 2881.27 6.9898105 153.38
141015 (105)2
14
14
线性趋势方程 Yˆ 153.38 6.9898t t
(例题分析)
Logistic 曲线
(例题分析)
1
b 981310806 6 0.96522 10806 12034
a 10806 12034
0.96522 1 0.965226 1 2
1228 0.94975 1166.293
K
1
12034 1166.293
0.96522 6
罗吉斯蒂曲线
(Logistic curve)
1. 1838年比利时数学家 Verhulmpertz曲线类似
3. 其曲线方程为
Yˆt
K
1 abt
K，a，b 为未知常数 K > 0，a > 0，0 < b ≠1
Logistic 曲线
(求解k，a，b 的三和法)
m1
lg
Y t
,
2 m1
S 2
lg
Y t
,
3 m1
S 3
lg
Y t
t 0
tm
t 2 m
则有：
b
S 3
S 2
S 2
S 1
1
m
lg a
S 2
S 1
b
b m
1
12
lg K
1 m
S 1
bm 1 • lg a
b 1
【例】某公司
1989—1997 年的某产品实 际销售额数据 如表。试确定 修正指数曲线 方程，计算出 各期的趋势值 ， 预 测 2000 年的糖产量
第四章 趋势模型预测法
4.1 直线趋势预测法 4.2 非线性趋势预测预测法
4.1 直线趋势预测法
直线趋势预测法是根据预测对象具有线性变 动趋势的历史数据，你合成一条直线，通过 建立直线模型进行预测的方法。
线性模型法
(线性趋势方程)
• 线性方程的形式为
Yˆt a bt
Yˆt —时间序列的趋势值 t —时间标号 a—趋势线在Y 轴上的截距 b—趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个
单位时观察值的平均变动数量
线性模型法
(a 和 b 的最小二乘估计)
1. 趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二乘法 求得
根据回归分析中的最小二乘法原理 使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小 最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线
2. 根据趋势线计算出各个时期的趋势值
线性模型法
指数曲线
(exponential curve)
1. 用于描述以几何级数递增或递减的现象 2. 一般形式为
Yˆt abt
a，b为未知常数 若b>1，增长率随着时间t的增加而增加 若b<1，增长率随着时间t的增加而降低 若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限
指数曲线
(a，b 的求解方法)
1. 采取“线性化”手段将其化为对数直线形式 2. 根据最小二乘法，得到求解 lga、lgb 的标准方程为
线
二次曲线
(例题分析)
二次曲线
(例题分析)
【例】根据产品销售量数据 ，计算出各期的趋势 值和预测误差，并预测2001年的能源生产总量
a=35.05
b=3.57 c=－0.69
二次曲线方程： Yˆt 35.05 3.57t 0.69t 2
2001年产品销售量的预测值
Yˆ 35.05 3.57 5 0.69 52 35.65 2001
Yˆ2001 73.163 22.2540.55569 73.05
Gompertz 曲线
(Gompertz curve)
1.以英国统计学家和数学家 B·Gompertz 的名字而命名 2.一般形式为
Yˆt Kabt
K，a，b为未知常数 K > 0，0 < a ≠ 1，0 < b ≠ 1
3. 描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定 程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线
log
K
1 3
2.3429
0.77823 1
0.7782 1
0.3141
1.0306
Gompertz 曲线
(例题分析)
产品销售额的Gompertz曲线方程
Yˆt 10.73 0.48520.7782t
2000年产品销售额的预测值
Yˆ 10.73 0.4852 0.778211 10.35 2000
1. 取观察值Yt的倒数Yt-1 当Yt-1 很小时，可乘以 10 的适当次方
2. a，b，K 的求解方程为
b
S 3
S 2
S 2
S 1
1
m
a
S 2
求出lga和lgb 后，再取其反对数，即得算术形式的a 和b
指数曲线
(例题分析)
指数曲线
(例题分析)
【例】根据社会总需求量数据，确定指数曲线方程， 计算出各期的趋势值，预测1998年的社会总需求量，
lg a 35.05
a
（212
.4
178
.0）（0.05.55556563
1 1）2
22.254
K
1 3
178.0
(22.254)
0.55563 1 0.5556 1
73.163
修正指数曲线
(例题分析)
产品销售量的修正指数曲线方程 Yˆt 73.163 22.254(0.5556)t
2001年产品销售量的预测值
1
6
0.96522 1
1 12034 6416.7932 936.2011
6
Logistic 曲线
(例题分析)
人口总数的Logistic曲线方程
Yˆt
107
936.20111166.293 0.96522t
2000年人口总数的预测值
Yˆ2000
107
936.20111166.293 0.9652221
6706.9158
趋势线的选择
1. 观察散点图 2. 根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线
– 一次差大体相同，配合直线 – 二次差大体相同，配合二次曲线 – 对数的一次差大体相同，配合指数曲线 – 一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线 – 对数一次差的环比值大体相同，配合 Gompertz
曲线 – 倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲
为未知常数
≠ 0a，bt0 < b ≠
1
3. 用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降 低，最终则以K为增长极限
修正指数曲线
(求解k，a，b 的三和法)
1. 趋势值K无法事先确定时采用
2. 将时间序列观察值等分为三个部分，每部 分有m个时期
3. 令趋势值的三个局部总和分别等于原序列 观察值的三个局部总和
2000年布产量的预测值
Yˆ 153.38 6.9898 15 258.227 2000
4.2 非线性趋势预测
二次曲线
(second degree curve)
1. 现象的发展趋势为抛物线形态
2. 一般形式为 Yˆt a bt ct 2
3. 根据最小二乘法求 a，b，c的标准方程
Y na bt ct 2 tY at bt 2 ct 3 t 2Y at 2 bt 3 ct 4
lg b 3.57
指数曲线方程
Yˆ t
99.48(1.65)t
：
1998年社会总需求量的预测值
Yˆ 99.48(1.65)10 14879.05 1998
修正指数曲线
(modified exponential curve)
1. 在一般指数曲线的方程上增加一个常数项K 2. 一般形式为
KKY，ˆ>t a0，，Kba
修正指数曲线
(求解k，a，b 的三和法)
1. 设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3
m1
2 m1
3 m1
S 1
Y t
,
S 2
Y t
,
S 3
Y t
t 0
tm
t 2 m
2. 根据三和法求得
b
S 3
S 2
S 2
S 1
1
m
a
S 2
S 1
b
b m
1
12
K
1 m
S 1
abm 1
b 1
4. 两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y 0
Gompertz 曲线
(求解K，a，b 的三和法)
1. 将其改写为对数形式： lg Yˆt lg K (lg a)bt
2. 仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出 lga、lgK、b
3. 取 lga、lgK 的反对数求得 a 和 K
令： S 1
Gompertz 曲线
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
1
b 2.9254 2.7388 3 0.7782 2.7388 2.3429
log a (2.7388 2.3429) 0.7782 1 0.3141 (0.77823 1)2
线性模型法
(例题分析)
【例】根据上表布产量数据，用最小二乘法确定直线趋 势方程，计算出各期的趋势值，并预测2000年的布产量
b 14 23199.7 105 2881.27 6.9898 a 2881.27 6.9898105 153.38
141015 (105)2
14
14
线性趋势方程 Yˆ 153.38 6.9898t t
(例题分析)
Logistic 曲线
(例题分析)
1
b 981310806 6 0.96522 10806 12034
a 10806 12034
0.96522 1 0.965226 1 2
1228 0.94975 1166.293
K
1
12034 1166.293
0.96522 6
罗吉斯蒂曲线
(Logistic curve)
1. 1838年比利时数学家 Verhulmpertz曲线类似
3. 其曲线方程为
Yˆt
K
1 abt
K，a，b 为未知常数 K > 0，a > 0，0 < b ≠1
Logistic 曲线
(求解k，a，b 的三和法)
m1
lg
Y t
,
2 m1
S 2
lg
Y t
,
3 m1
S 3
lg
Y t
t 0
tm
t 2 m
则有：
b
S 3
S 2
S 2
S 1
1
m
lg a
S 2
S 1
b
b m
1
12
lg K
1 m
S 1
bm 1 • lg a
b 1
【例】某公司
1989—1997 年的某产品实 际销售额数据 如表。试确定 修正指数曲线 方程，计算出 各期的趋势值 ， 预 测 2000 年的糖产量
第四章 趋势模型预测法
4.1 直线趋势预测法 4.2 非线性趋势预测预测法
4.1 直线趋势预测法
直线趋势预测法是根据预测对象具有线性变 动趋势的历史数据，你合成一条直线，通过 建立直线模型进行预测的方法。
线性模型法
(线性趋势方程)
• 线性方程的形式为
Yˆt a bt
Yˆt —时间序列的趋势值 t —时间标号 a—趋势线在Y 轴上的截距 b—趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个
单位时观察值的平均变动数量
线性模型法
(a 和 b 的最小二乘估计)
1. 趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二乘法 求得
根据回归分析中的最小二乘法原理 使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小 最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线
2. 根据趋势线计算出各个时期的趋势值
线性模型法
指数曲线
(exponential curve)
1. 用于描述以几何级数递增或递减的现象 2. 一般形式为
Yˆt abt
a，b为未知常数 若b>1，增长率随着时间t的增加而增加 若b<1，增长率随着时间t的增加而降低 若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限
指数曲线
(a，b 的求解方法)
1. 采取“线性化”手段将其化为对数直线形式 2. 根据最小二乘法，得到求解 lga、lgb 的标准方程为
线
二次曲线
(例题分析)
二次曲线
(例题分析)
【例】根据产品销售量数据 ，计算出各期的趋势 值和预测误差，并预测2001年的能源生产总量
a=35.05
b=3.57 c=－0.69
二次曲线方程： Yˆt 35.05 3.57t 0.69t 2
2001年产品销售量的预测值
Yˆ 35.05 3.57 5 0.69 52 35.65 2001
Yˆ2001 73.163 22.2540.55569 73.05
Gompertz 曲线
(Gompertz curve)
1.以英国统计学家和数学家 B·Gompertz 的名字而命名 2.一般形式为
Yˆt Kabt
K，a，b为未知常数 K > 0，0 < a ≠ 1，0 < b ≠ 1
3. 描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定 程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线
log
K
1 3
2.3429
0.77823 1
0.7782 1
0.3141
1.0306
Gompertz 曲线
(例题分析)
产品销售额的Gompertz曲线方程
Yˆt 10.73 0.48520.7782t
2000年产品销售额的预测值
Yˆ 10.73 0.4852 0.778211 10.35 2000
1. 取观察值Yt的倒数Yt-1 当Yt-1 很小时，可乘以 10 的适当次方
2. a，b，K 的求解方程为
b
S 3
S 2
S 2
S 1
1
m
a
S 2