作业16 温度和气体动理论
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第四章气体动理论总结
第四章⽓体动理论总结第四章⽓体动理论单个分⼦的运动具有⽆序性布朗运动⼤量分⼦的运动具有规律性伽尔顿板热平衡定律(热⼒学第零定律)实验表明：若 A 与C 热平衡 B 与C 热平衡则 A 与B 热平衡意义：互为热平衡的物体必然存在⼀个相同的特征--- 它们的温度相同定义温度：处于同⼀热平衡态下的热⼒学系统所具有的共同的宏观性质,称为温度。
⼀切处于同⼀热平衡态的系统有相同的温度。
理想⽓体状态⽅程: 形式1:mol M PV =RT =νRTM形式2:222111T V p T V p ＝形式3: nkT P =n ----分⼦数密度(单位体积中的分⼦数) k = R/NA = 1.38*10 –23 J/K----玻⽿兹曼常数在通常的压强与温度下,各种实际⽓体都服从理想⽓体状态⽅程。
§4-2 ⽓体动理论的压强公式VNV N n ==d d 1）分⼦按位置的分布是均匀的2）分⼦各⽅向运动概率均等、速度各种平均值相等kj i iz iy ix iv v v v ++=分⼦运动速度单个分⼦碰撞器壁的作⽤⼒是不连续的、偶然的、不均匀的。
从总的效果上来看，⼀个持续的平均作⽤⼒。
2213212()323p nmvp n mv n ω===v----摩尔数R--普适⽓体恒量描述⽓体状态三个物理量： P,V T 压强公式122ω=mv理想⽓体的压强公式揭⽰了宏观量与微观量统计平均值之间的关系,说明压强具有统计意义；压强公式指出:有两个途径可以增加压强 1)增加分⼦数密度n 即增加碰壁的个数2)增加分⼦运动的平均平动能即增加每次碰壁的强度思考题：对于⼀定量的⽓体来说，当温度不变时，⽓体的压强随体积的减⼩⽽增⼤（玻意⽿定律）；当体积不变时，压强随温度的升⾼⽽增⼤（查理定律）。
从宏观来看，这两种变化同样使压强增⼤，从微观（分⼦运动）来看，它们有什么区别？对⼀定量的⽓体，在温度不变时，体积减⼩使单位体积内的分⼦数增多，则单位时间内与器壁碰撞的分⼦数增多，器壁所受的平均冲⼒增⼤，因⽽压强增⼤。
第5章气体动理论作业答案
9. 一定量某种理想气体，温度为T1与T2时分子最
可几速率分别为VP1和VP2，分子速率分布函数最
大值分别为f(VP1)和f(VP2) 若T1＞T2,则
A. VP1＞VP2，f(VP1)＞f(VP2)
f ( ) T2
B. VP1＞VP2，f(VP1)＜f(VP2)
T1
C. VP1＜VP2，f(VP1)＞f(VP2)
3.27×104 K。
10．在大气中，随着高度的增加，氮气分子数密度与 氧气分子数密度的比值 增加 。（填增加或减少）
三、计算题
1．设某系统由 N 个粒子组成，粒子速率分布 如图所示．求
（1）分布函数 f ( ) 表达式；
（2）常数
a
以
0
表示式；
（3）速率0~ 0之间、1.50 ~ 20 之间的粒子数；
1 3
N
1．设某系统由 N 个粒子组成，粒子速率分布 如图所示．求
（4）速率在0~
0
之间粒子的平均速率。
0
0
dN
0 dN 0
0 0
Nf
(
)d
0 0
Nf
(
)d
0 0
a
N 0
d
0 0
a
N
d
2
30
0
2．某气体的温度T＝273K，压强P=1.00×103Pa 密度ρ＝1.24×10-2kg•m-3。 (1) 求气体的摩尔质量； (2) 求气体分子的方均根速率； (3) 容器单位体积内分子的总平动动能。
（4）速率在0~
0
之间粒子的平均速率。
解（1）由速率分布图可知，在 0 0
Nf k
0, Nf a
a k
温度、气体动理论
N
N N
20 0.2
50 0.5
30 0.3
单位速率区间内分子数占总分子数的百分率：N v ～
N v
v
速率分布函数： f (v) （几率密度） v 0
lim
N v 1 dN v Nv N dv
f (v) 物理意义：
速率在 v附近，单位速率区间 内分子数占总分子数的百分率。
dN v f (v)dv N
3
3
1
M 28 10 26 m 4.65 10 kg 23 N A 6.022 10
P0 1.013 10 25 3 n 2.7 10 m 23 kT0 1.38 10 273.15
5
n N v f (v)dv n N m e 2 kT
结论： 温度标志着物体内部分子热运动的剧 烈程度，它是大量分子热运动的平均平动 动能的 t 的量度。
1 2 3 t mv kT 2 2
3kT 方均根速率： v m kN A k R m mN A M
2
方均根速率：
3kT 3RT v m M
2
例题、两瓶不同种类的气体，其分子平均平动动能 相等，但分子密度数不同。问：它们的温度是否相 同？压强是否相同？ 解：
归一化条件：
0
f (v)dv 1
麦克斯韦速率分布函数：
m 32 f (v ) 4 ( ) v e 2 kT
dN v f (v)dv N
在平衡态下， 气体分子速率在v到 v+dv区间内的分子 数占总分子数的百 分比。 dv
mv2 2 2 kT
f(v)
v
气体动理论
单位： Pa （Nm-2） atm 标准大气压 帕斯卡 cmHg 厘米汞柱
1atm = 76 cmHg =1.013×105Pa
2. 体积： 分子活动的空间 （并非分子大小的总和） 3. 温度： 物体冷热程度的量度
（反映分子热运动剧烈程度的量）
热力学温标： T= t +273.15 K
3
概念
平衡态： 一个孤立系统，宏观状态参量都不随时间 变化的状态。 （热动平衡）
宏观上各量均不变，而微观上分子热运动永不停息。
平衡过程： 在过程进行的每一时刻，系统都无限的 接近平衡态。 （准静态过程）
1 2 1 2
4
说明
(1) 平衡（准静态）过程是一个无摩擦 的、无限缓慢进行的理想化过程； (2) 除一些进行得极快的过程（如 爆炸过程）外，大多数情况下 都可以把实际过程看成是准静 态过程； (3) 准静态过程在状态图上可用一 条曲线表示, 如图： 图中每一个点代表一个平衡态， 一条曲线代表一个平衡过程。
15
§9-5 麦克斯韦速率分布律
一、速率分布
ห้องสมุดไป่ตู้
宏观上足够小 ——不计偏差，此区间内粒子速率均为 微观上足够大 ——区间内仍包含大量分子
速率 v1 ～ v2 ΔN1 ΔN1/N v2 ～ v3 ΔN2 ΔN2/N
… …
vi ～ vi +Δv ΔNi ΔNi/N
… …
分子数按速率 的分布 分子数比率 按速率的分布
结论 (1) 统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律 (2) 统计规律和涨落现象是分不开的。
11
§9-4 理想气体的压强公式
一、理想气体的模型
宏观模型： 在任何情况下严格符合气体三个实验定律。
1atm = 76 cmHg =1.013×105Pa
2. 体积： 分子活动的空间 （并非分子大小的总和） 3. 温度： 物体冷热程度的量度
（反映分子热运动剧烈程度的量）
热力学温标： T= t +273.15 K
3
概念
平衡态： 一个孤立系统，宏观状态参量都不随时间 变化的状态。 （热动平衡）
宏观上各量均不变，而微观上分子热运动永不停息。
平衡过程： 在过程进行的每一时刻，系统都无限的 接近平衡态。 （准静态过程）
1 2 1 2
4
说明
(1) 平衡（准静态）过程是一个无摩擦 的、无限缓慢进行的理想化过程； (2) 除一些进行得极快的过程（如 爆炸过程）外，大多数情况下 都可以把实际过程看成是准静 态过程； (3) 准静态过程在状态图上可用一 条曲线表示, 如图： 图中每一个点代表一个平衡态， 一条曲线代表一个平衡过程。
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§9-5 麦克斯韦速率分布律
一、速率分布
ห้องสมุดไป่ตู้
宏观上足够小 ——不计偏差，此区间内粒子速率均为 微观上足够大 ——区间内仍包含大量分子
速率 v1 ～ v2 ΔN1 ΔN1/N v2 ～ v3 ΔN2 ΔN2/N
… …
vi ～ vi +Δv ΔNi ΔNi/N
… …
分子数按速率 的分布 分子数比率 按速率的分布
结论 (1) 统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律 (2) 统计规律和涨落现象是分不开的。
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§9-4 理想气体的压强公式
一、理想气体的模型
宏观模型： 在任何情况下严格符合气体三个实验定律。
大学物理-气体动理论
为漏气,经过若干时间后,压力降到原来的 5 8 ,温度降到 270c。
求: (1) 容器的容积,
(2) 漏去了多少氧气?
解: (1)
pv M RT
VM P RT8.21(升)
(2) 设漏气后的压力、温度、质量分别为 p' T' M'
p'V M' RT'
M' p'V0.06K 7 g
RT'
M 0 .1 0 0 .0 6 0 .0 7 K 3 3 g
平衡态: 在不受外界影响的条件下,一个系统的宏观性质不随时间
改变的状态。热动平衡
平衡过程:气体从一个状态变化到另一个状态,其间所经历的
过渡方式称为状态变化的过程.
如果过程所经历的所有中间状态都无限接近平衡状态,
该过程称为平衡过程.
2020/5/2
2
二、状态参量:
1、气体所占的体积 V: m 3
2、压强 P:
总的分子数密度为
n
n i
i
设 dA 法向为 x 轴
dA
一次碰撞单分子动量变化
vi dt
2 mvix
x 在 dt 时间内与dA碰撞的分子数
2020/5/2
ni vix dt dA 斜柱体体15积
dt 时间内传给 dA 的冲量为
dI = 2 mnivix2 dt dA
(vix>0)vx2= Nhomakorabeai
ni
vxi2
第三章 气体动理论
理想气体状态方程
麦克斯韦速率分布律
气体动理论的压强公式 玻耳兹曼分布律
气体动理论的温度公式
能量均分定理
2020/5/2
1
求: (1) 容器的容积,
(2) 漏去了多少氧气?
解: (1)
pv M RT
VM P RT8.21(升)
(2) 设漏气后的压力、温度、质量分别为 p' T' M'
p'V M' RT'
M' p'V0.06K 7 g
RT'
M 0 .1 0 0 .0 6 0 .0 7 K 3 3 g
平衡态: 在不受外界影响的条件下,一个系统的宏观性质不随时间
改变的状态。热动平衡
平衡过程:气体从一个状态变化到另一个状态,其间所经历的
过渡方式称为状态变化的过程.
如果过程所经历的所有中间状态都无限接近平衡状态,
该过程称为平衡过程.
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二、状态参量:
1、气体所占的体积 V: m 3
2、压强 P:
总的分子数密度为
n
n i
i
设 dA 法向为 x 轴
dA
一次碰撞单分子动量变化
vi dt
2 mvix
x 在 dt 时间内与dA碰撞的分子数
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ni vix dt dA 斜柱体体15积
dt 时间内传给 dA 的冲量为
dI = 2 mnivix2 dt dA
(vix>0)vx2= Nhomakorabeai
ni
vxi2
第三章 气体动理论
理想气体状态方程
麦克斯韦速率分布律
气体动理论的压强公式 玻耳兹曼分布律
气体动理论的温度公式
能量均分定理
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1
气体动理论
压强是大量分子对器壁冲量的统计平均效果，单个 分子的压强没有意义。
17
§2.1.3理想气体的温度
1.宏观意义：冷热程度，是决定某一系统 与另一系统是否处于热平衡的宏观标志。
2.微观意义：由状态方程可得
pV = N RT NA
状态方程：
p=
N V
R NA
T = nkBT
波尔兹曼常数：
kB
=
R NA
= 1.38 10-23 J
K -1
18
温度的统计意义
p = 2 nω 3
p = nkT
ω = 3 kT 2
此式称为理想气体分子温度公式. 温度的统计意义：
（1）温度是分子平均平动动能的量度，反映无 规则热运动的剧烈程度；
（2）温度是大量分子集体表现，对个别分子 温度没有意义。
相等。
2.气体分子沿各方向运动的概率相等 即分子速度在各方向上分量的各种平均值相
等。
在直角坐标系中有： vx2 = vy2 = vz2
vx2 + vy2 + vz2 = v2
vx2
=
vy2
=
vz2
=
1 v2 3
11
§2.1.2理想气体的压强
1.产生
固体、液体的 ：重力原因 气体压强：大量分子不断碰撞的结果。
单个分子碰撞器壁的作用力是不 连续的、偶然的、不均匀的。从 总的效果上来看，分子碰撞对器 壁产生一个持续的平均作用力。
PA=F/SA
12
2 .理想气体压强公式的导出
公式导出 见图：
PA=F/SA
长方形容器内分子总数为N。
设分子质量为m，速率为vx、vy、vz；
17
§2.1.3理想气体的温度
1.宏观意义：冷热程度，是决定某一系统 与另一系统是否处于热平衡的宏观标志。
2.微观意义：由状态方程可得
pV = N RT NA
状态方程：
p=
N V
R NA
T = nkBT
波尔兹曼常数：
kB
=
R NA
= 1.38 10-23 J
K -1
18
温度的统计意义
p = 2 nω 3
p = nkT
ω = 3 kT 2
此式称为理想气体分子温度公式. 温度的统计意义：
（1）温度是分子平均平动动能的量度，反映无 规则热运动的剧烈程度；
（2）温度是大量分子集体表现，对个别分子 温度没有意义。
相等。
2.气体分子沿各方向运动的概率相等 即分子速度在各方向上分量的各种平均值相
等。
在直角坐标系中有： vx2 = vy2 = vz2
vx2 + vy2 + vz2 = v2
vx2
=
vy2
=
vz2
=
1 v2 3
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§2.1.2理想气体的压强
1.产生
固体、液体的 ：重力原因 气体压强：大量分子不断碰撞的结果。
单个分子碰撞器壁的作用力是不 连续的、偶然的、不均匀的。从 总的效果上来看，分子碰撞对器 壁产生一个持续的平均作用力。
PA=F/SA
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2 .理想气体压强公式的导出
公式导出 见图：
PA=F/SA
长方形容器内分子总数为N。
设分子质量为m，速率为vx、vy、vz；
气体动理论
pV = ν ⋅ RT
2 p = nε 3
t
p = nkT
分子的平均平动动能
热力学温度公式
2 T= εt 3k
3 平均平动动能公式 ε t = kT 2
§ 能量均分定理
一、自由度数 i
自由度数：确定一个物体的空间位置所需要的独立 坐标的数目，称为该物体的自由度数。 一个质点的自由度 t = 3 (x,y,z) 共计 3 个自由度
= 8.31(J
mol⋅ K
)
N 若写成 ν = NA
N为气体分子总数 阿伏伽德罗常量
N A = 6.023 × 10 23 / mol
令
μN R pV = RT = N T μNA NA R = 1.38 × 10 − 23 J k≡ 玻耳兹曼常数 K NA
pV = NkT
N p = kT = nkT V
p 1.33 × 10−5 ( 2) n = ＝ m −3 = 3.21 × 1015 m −3 kT 1.38 × 10−23 × 300
热 学
气体动理论 (Kinetic Theory of Gases)
理想气体的压强∗∗ 温度的微观意义∗∗ 能量均分定理∗∗ 麦克斯韦速率分布律∗∗
§ 理想气体的压强
温 度
1 l=10-3 m3
§ 温度 理想气体温标
一、热平衡
A B
绝热板 A、B两体系互 不影响，各自 达到平衡态。
A B
导热板 两体系的平衡态有联 系，达到共同的热平 衡状态 (热平衡)。 绝热板 导热板
二、热力学第零定律
设 A 和 C、B 和 C 分别热平 衡，则 A 和 B 一定热平衡。 A C
温度的微观意义：温度是气体分子平均平动动能的量度。
大学物理《气体动理论(5学时)》课件
特
(1)单一性(各处都有自己的P、V、T )；
p,V ,T
征 (2)状态性质稳定性(与时间无关)；
(3)热动平衡(不同与静力平衡)。 ( p ,V ,T )
p
否则为非平衡态系统。
oV
6/63
【A3.1.2】系统 平衡态 态参量
1 压强 p ： 力学描述
单位: 1 Pa 1 N m2
标准大气压: 45纬度海平面处, 0C 时的 大气压. 1atm 1.01105 Pa
掌 握 麦 克 斯 韦 速 率 分 布律及三种统计速率 了解波尔兹曼分布
氢气分子
vrms 1.93103 m s1
氧气分子
vrms 483m s1
22/63
【A3.11.1】麦克斯韦速率分布律
1 兰媚尔实验 实验装置
接抽气泵
2
l v vl
A
Hg
金属蒸汽 狭 缝
23/63
BC D
显 示
热学研究两种方法
研究对象 物理量 出发点
方法
优点 缺点 二者关系
宏观理论
(热力学)
热现象
宏观量 观察和实验
总结归纳 逻辑推理 普遍, 可靠 不深刻
微观理论
(统计物理学) 热现象
微观量 微观粒子
统计平均方法 力学规律 揭露本质
无法自我验证
热力学验证统计物理学, 统计物理学揭示热力学 本质
1/63
统计规律
(v)dv
3kT
N
N
m
v2 vrms
3kT m
3RT 1.73 kT
m
或
kt
1 2
mv2
3 2
kT ,
v2 3kT / m
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解：一个氧分子每秒对器壁的冲量：
I 0 2m x 2m cos
M I NI0 2 Nm cos 2 N cos NA I 冲力为： F I ( t 1) t F 2 NM cos p S N AS
2 1023 32 10 3 500cos 30 4 2 . 30 10 Pa 23 4 6.023 10 2 10
的分子数为：
N RT NkT 解：由状态方程：pV vRT NA pV N kT
16-5、质量相同的氢气和氦气，温度相同，则氢气和氦气的内 10 5 3 ；氢分子与氦分子的平均动能之比为 3 能之比为 ； 氢分子与氦分子的平均平动动能之比为
1
。
（1）E i vRT i m RT i mRT ,
m ( 2) p V RT ' M 0.26 8.31 ( 273 23) V 0.50 1.013 105 32 10 3 333升
' '
V求 V V 333 10 323升
'
16-11、设想每秒有1023个氧分子以500m/s的速度沿着与器壁法线成 30o角的方向撞在面积为210-4m2的器壁上，求这群分子作用在器壁 上的压强。
作业16 温度和气体动理论
16-1 麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A，B 两部分面积相等， f ( ) 则该图表示[D ] （A）0 为最概然速率 A B （B）0 为平均速率 （C）0 为方均根速率 0 （D）速率大于和小于v0的分子数各占一半
O
16-2 、 在P-V图上的一点代表系统 一个平衡态
N个氧分子每秒对器壁的冲量：
16-12、一绝热密封容器体积为0.01m3，以100m/s的速度匀速直 线运动，容器中有200g的氢气，当容器突然停止时，氢气的温 度、压强各增加多少？
解：运动突然停止时，动能变化导致内能变化： 1 i 5 m E vRT RT m 2 2 2M 2
100
Nf ( )d
速率大于100m/s的分子数目占分子总数的百分比的表达 式为 ：
100
f ( )d
速率大于100 m/s的分子的平均速率的表达式
f ( ) d
100
100
f ( ) d
16-8、试指出下列各量的物理意义
（1）k T/2 ； （2）3kT/2 ; (3) ikT/2
2 2M M 2 E1 10 5 mRT 3 mRT E1 , E2 , 2 2 4 2 E2 3
i （ 2） k kT , 2
k1 5 k2 3
3 （ 3） t kT , 2
t1 1 t2
16-6、容器内有一摩尔的双原子分子理想气体，气体 的摩尔质量为，内能为E，则气体的温度T= 分子的最可积速率 vp= ， ，分子的平均速率
32
m 2 2 kT
2m πm ∵速率的平均值 π kT 8kT 1 4 1 可得： π
的有效直径为3×10-10m，摩尔质量为29×10-3kg．求在27℃时真
空管中空气的分子数密度、平均碰撞频率和平均自由程．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p n = …… = 2.9×1017 (m-3 ) kT 1 = …… = 8.6 (m) 远大于真空管线度 2 2π d n 故平均自由程即为真空管线度： 0.01m
16-10 、氧气钢瓶体积为 10 升，充氧气后在 27oC 时压强为 20 个 大气压，试求瓶内贮存有多少氧气？现高空中使用这些氧气， 高空空气为0.50个大气压，温度为-23oC，试问这时钢瓶可提供 在高空使用的氧气是多少升？
m 解： (1) pV RT , M
pVM 20 1.013 105 10 103 32 103 m 0.26kg RT 8.31 ( 273 27)
（1）温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能。
（2）温度为T的平衡态下，气体分子的平均平动动能 或：温度为T的平衡态下，单原子气体分子的平均总动能。 （3）温度为T的平衡态下，气体分子的平均总动能。
16-9 将1mol氧气从27℃加热到37℃，其内能增加了 多少？分子的平均平动动能变化了多少？
i 解：（1） 由 E RT 和 2
可得气体压强
PV RT
2
2 E 2 5.0 10 5 P 2 10 Pa 3 iV 5 1.0 10
（ 2）
P PV T 302K nk Nk
3 21 t kT 6.25 10 J 2
16-14真空管的线度为10-2m，真空度为1.2×10-3Pa，设空气分子
平均碰撞频率为
解：空气的分子数密度为
z
8 RT πM
= …… ≈ 46788 (s-1 )
m e ， 16-15 麦克斯韦速率分布律 f ( ) 4π 2πkT 求速率倒数的平均值，并给出它与速率的平均值的关 系．
2
32
m 2 2 kT
1 m 1 4π e d 解： 0 f ( ) d 0 2πkT m 2 32 m kT m 2 2 kT 4π d 0 e 2πkT m 2kT
=
。
i 2E 2E （1）E vRT , T 2 ivR 5 R
p （2）
（3）
2 RT
2R 2E E 2 5R 5
8 RT
8R 2E E 4 5 R 5
16-7、已知 f(v) 为麦克斯韦速率分子函数，N为分子总 数，则速率大于100m/s的分子数目的表达式为 ：
M 2 2 103 1002 T 0.48K 5R 5 8.31
m 由， pV RT M
mRT p 4 104 Pa MV
16-13 容积为 1.0×10-3m3的容器中有内能为5.0×102J 的刚性双原子分子理想气体，求：⑴ 气体的压强； ⑵ 设分子总数为4.8×1022个，求分子的平均平动动能 及气体的温度；
；
一条光滑的曲线代表 由一系列平衡态组成的准静态过程
。
16-3 、两瓶不同类型的理想气体，它们的温度和压 强相同，但体积不同，则分子数密度 相同 ； 不同
i 的平均动能为 ： nkT （不同） 2
气体的质量密度
；单位体积内气体分子
16-4 、若理想气体的体积为 V ，压强为 P ，温度为 T ，
一个分子的质量为 m，k为玻耳兹曼常数，该理想气体
解：氧气为双原子分子，i 5 则内能增量为
3 分子的平均平动动能为 K kT 2
其增量为
i 5 E R(T2 T1 ) 1 8.31 10 208J 2 2
3 3 K kT 1.38 10 23 10 2.07 10 22 J 2 2