高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教版选修
苏教版几种常见的平面变换(反射变换与旋转变换)
这种把直线变成直线的变换，通常叫做
线性变换.
(即形如
x' y'
ax cx
by dy
的几何变换叫做线性变换)
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来
表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的
性变换.
2021/6/12
12
建构数学
当a=b=c=d=0时,
0 0
0 0
把平面上所有点
都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的
退化情况.
因此，在研究平面上的多边形或直线在 矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察 顶(端)点的变化结果即可.
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13
课堂反馈
1
1、求平行四边形ABCD在矩阵
0
0
1
作用下变换得
到的几何图形，并给出图示，其中 A(0,0),B(3,0),
s cio n sq q c s o is n qq x y x xs cio n sq q y yc so in sq q x y
2021/6/12
20
旋转变换
M=
cosq sin q
sinq
cosq
a
x r cosa
y
r
sin
a
x rc o s ( a q) rc o s a c o s q r s in a s in q x c o s q y s in q y r s in ( a q) r s in a c o s q rc o s a s in q y c o s q x s in q
C(4,2),D(1,2)
2、求出曲线 y
x 在矩阵
M
高中数学2.2几种常见的平面变换4旋转变5投影变换6切变变换课件苏教选修42
(3)切变变换的矩阵表示及其几何意义
①矩阵10 k1(k∈R，k≠0)把平面上的点 P(x，y)沿 x 轴方向平移|ky|个单位： 当 ky＞0 时，沿 x轴正方向 移动；当 ky＜0 时，沿 x轴负方向 移动；当 ky＝0 时，位置不变 .在此变换作用下，x 轴上的点为不动点.
②矩阵1k 10(k∈R，k≠0)把平面上的点 P(x，y)沿 y 轴方向平移|kx|个单位： 当 kx＞0 时，沿y轴正方向 移动；当 kx＜0 时，沿y轴负方向 移动；当 kx＝0 时，位置不变.在此变换作用下，y 轴上的点为不动点.
(2)切变变换矩阵 一般地，在平面直角坐标系 xOy 内，将任一点 P(x，y)沿着 x 轴(或 y 轴)方 向平移|ky|(或 |kx|)个单位变成点 P′(x′，y′)，(其中 k 是非零常数)，对应的变换 矩阵10 k1或1k 10(k∈R，k≠0)，称为切变变换矩阵.
【解】 由题意得旋转变换矩阵为
2 2
M＝csions
（－45°） （－45°）
－sin cos
（ （－ －4455° °） ）＝－
2
2 2
2 .
2 2
在曲线 xy＝1 上任取一点 P(x，y)，设其在此旋转变换作用下得到点 P′(x′，y
′)，则
2
2
－
M＝csions
270° 270°
－sin cos
227700°°＝－01
01，
设 P(x0，y0)为曲线 xy＝1 上任意一点，在矩阵 M 作用下
对应点为 P′(x0′，y0′)则xy00′ ′＝－01 01yx00＝－yx00，
所以xy00′ ′＝ ＝y－0，x0， 故 x0′y0′＝－x0y0＝－1. 因此曲线 xy＝1 在矩阵 M 的作用下变成曲线 xy＝－1，如图所示.
常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)ppt课件
这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
11
学生活动
变式：
设
a,b
R
若M
a 1
0 b
定义的线性变换把直线
l : 2x y 7 0变换成另一直线 l : x y 7 0
求a, b 的值.
12
学生活动
1.求平行四边形OBCD在矩阵01
0 1
作用
下变换得到的几何图形，并给出图示，其中
O(0,0), B(2,0),C(3,1), D(1,1)
x x x 1 0 x
T1
:
y
y
y
0
1
y
0 1
6
问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？
(1)
M2
1 0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 x轴对称的图形；
(2) M3
1
0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1原点对称的图形；
(3)
M4
0 1
1 0
把一个几何图形变换为与之关于
直线 y x对称的图形；
(4) M5
0 1
1把一个几何图形变换为与之关于
0 直线 y x对称的图形；
7
构建数学 一般地，称形如 M1, M 2 , M3, M 4 , M5
这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的 平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的 变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余 叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
（2）求直线L:x-y=4在此变换下所成的直线L/的解析式.
19
17
数学应用
例4.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1） 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并 求出其顶点坐标，画出示意图。
高中数学选修矩阵与变换知识点复习课苏教PPT课件
规定：
行矩阵 a11
a12
与列矩阵
b11 b21
的乘法法则为
a11
a12
b11 b21
＝
a11 b11
a12
b21
,
二阶矩阵
a11 b21
a12 b22
与列向量
x0 y0
的乘法规则为
a11 b21
a12 b22
x0
y0
＝
a11 b21
x0 x0
a12 b22
T： xy
x
y
ax cx
by dy
,
坐标变换的形式
那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩阵乘法的形式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两种形式形异而质同
第6页/共31页
由矩阵M 确定的变换T，通常记为TM . 根据变换的定义，它是平面内的点集到其自身 的一个映射.
是一个数值（或多项式），记为
det(A)= a
b ad bc
cd
第24页/共31页
用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程。
ax by m
cx
dy
n
记：X
yx，B
m
n
,
A
a
c
b d
则
左乘A-1
AX B
得到X A1B
d
其中A1
ad
bc
-c
ad bc
-b
ad
bc
当
x y
表示某个平面图形F上的任意点时，
这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到
【数学】高三数学一轮复习课件——矩阵的概念及几种常见的平面变换
三维设计·高三数学（苏教版） 选考内容
选修4-2 矩阵与变化
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选修4-2 矩阵与变化
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选修4-2 矩阵与变化
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高中数学 2.2 几种常见的平面变换 4 旋转变、投影变换、切变变换学业分层测评 苏教版选修4-2-
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换 4 旋转变、投影变换、切变变换学业分层测评 苏教版选修4-2学业达标]1.求出△ABC 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12作用下得到的图形，并画出示意图，其中A (0，0)，B (1，3)，C (0，2).【解】 因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 1， 所以△ABC 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12作用下变换得到的图形为△A ′B ′C ′，其中A ′(0，0)，B ′(－1，3)，C ′(－3，1)，这是一个旋转变换，示意图如图所示.2.(1)直线x ＋y ＝3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1作用下变成什么图形？ (2)正方形ABCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101作用下变成什么图形？这里A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1).【解】 (1)直线x ＋y ＝3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1作用下变成直线x ＝3. (2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101对应变换下，A →A ′(－2，－1)，B →B ′(0，－1)，C →C ′(2，1)，D →D ′(0，1)，则变换所成图形为平行四边形A ′B ′C ′D ′，如图.3.椭圆x 29＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000对应的变换作用下得到什么图形？【解】 设(x ，y )为椭圆x 29＋y 2＝1上的任意一点，则有x 2≤9.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，所以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0使得椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为0，所以椭圆x 29＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换作用下得到的图形是线段y ＝0(－3≤x ≤3)，即椭圆长轴.4.在平面直角坐标系xOy 内有一点P (2，3)，将该点沿平行于直线x ＋2y ＝0的方向投影到x 轴上，求P (2，3)在此投影变换下得到的点P ′的坐标.【解】 设P (2，3)在此投影变换下得到的点为P ′(x ′，y ′)，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 0，从而可知此投影变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤80，可知点P ′的坐标为(8，0). 5.如图224所示，已知△ABC 在变换T 的作用下变成△A ′B ′C ′，试求变换T 对应的矩阵M .【导学号：30650020】图224【解】 从△ABC 到△A ′B ′C ′对应的是x 轴方向上的切变变换，因为A 、B 在x 轴上，原地不变，注意到C (－1，1)→C ′(1，1)，由此可知这个变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201.6.如图225所示，已知矩形ABCD 在变换T 的作用下变成图形A ′B ′C ′D ′，试求变换T 对应的矩阵M .图225【解】 从图可以看出，T 是一个切变变换，且T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x y ＋12x . 故T 对应的变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1. 我们可以进行如下验证：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1. 所以矩形ABCD 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1的作用下变成了平行四边形A ′B ′C ′D ′. 7.试分析平面上的变换将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上的矩阵表示.【解】 不妨设P (x ，y )是平面上的任意一点，则它关于直线y ＝x 对称的点P ′的坐标为P ′(y ，x )，PP ′的连线一定垂直于直线y ＝x ，且交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2，如图所示.根据题意，该变换即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y 2x ＋y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .因此，将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上的变换的矩阵表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12. 能力提升]8.运用旋转矩阵对应变换，求解下列问题：(1)求曲线x ＝y 2逆时针方向绕原点旋转90°所成的曲线方程. (2)求圆x 2＋y 2＝1绕原点逆时针旋转π8后得到的曲线方程.【导学号：30650021】【解】 (1)旋转变换矩阵为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，设x ＝y 2上任意一点(x 0，y 0)旋转变换后为(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y 0 x 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝－y 0y ′0＝x 0，故y ′0＝(－x ′0)2，即旋转所成的曲线方程为y ＝x 2.(2)设x 2＋y 2＝1上的动点P (x ，y )经过变换后得新曲线上的点为P ′(x ′，y ′). 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos π8 －sin π8sin π8 cos π8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x cos π8－y sin π8x sin π8＋y cos π8， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos π8－y sin π8，y ′＝x sin π8＋y cos π8.从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′cos π8＋y ′sin π8，y ＝－x ′sin π8＋y ′cos π8.代入x 2＋y 2＝1得(x ′cos π8＋y ′sin π8)2＋(－x ′sin π8＋y ′cos π8)2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故所求曲线方程为x 2＋y 2＝1.。
(教师用书)高中数学 2.2 几种常见的平面变换章末归纳提升课件 苏教版选修4-2
a c a c
b 0 0 1＝1， d 0 0 b ＝ －1 －1， d b＝0， d＝1，
－2a＋b＝－2， 即 －2c＋d＝－3，
∴x1＝0，y1＝2x＋y. 又由 y＝－2x＋6 得 2x＋y＝6， ∴A1(0,6)为定点． 通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换．
4 如图所示， 对反比例函数图象 C： y＝ 经过旋转 x 变换将其方程改写为标准形式．
【解】 设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点，它在变换 T 作用下的象 P′(x′，y′)， 其中变换矩阵为 π π cos 4 －sin 4 ＝ π π sin cos 4 4 2 2 － 2 2 ， 2 2 2 2 x＝x′＋y′ 2， 解得 y′－x′ y＝ ， 2
＝
x′＝x， y′＝－y， x＝x′， ∴ y＝－y′，
代入 y＝2x＋2，
得－y′＝2x′＋2，即直线 y＝2x＋2 经过变换得到的图 形为直线 y＝－2x－2，如图所示，此变换为关于 x 轴的反射 变换．
二、求变换矩阵 根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的 坐标间的关系，由点的坐标间的关系即可求出变换矩阵．
x1 ∴2x＝x1，y＝y1，即 x＝ ，y＝y1 2
2 x 1 将其代入 x2＋y2＝4 可得到方程 4 ＋y2 此方程表示椭 1＝4，
圆． 所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换．
(2)所给方程表示的是一条直线．设 A(x，y)为直线上的任 意一点，经过变换后的点为 A1(x1，y1)．
0 ∵ 2 0 x 0 x1 ＝ ＝ ， 1y 2x＋y y1
2019-2020学年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.3变换的复合与矩阵的乘法反射变换课件苏教版选修4_
图并指出该变换是什么变换．
(2)矩阵01 10将点 A(2,7)变成了怎样的图形？画图并指出 该变换是什么变换．
[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再 画出图形即可看出是什么变换．
[精解详析]
(1)因为－10
0 1
25＝－25，
∴y′90
2
＋x′ 0
2＝1；因此
x′ 0
2＋y′90
2
＝1.
从而所求曲线方程为 x2＋y92＝1，是椭圆．
矩阵10 01把一个图形变换为与之关于直线 y＝x 对称的图 形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称．
3．求曲线 y＝1x(x>0)在矩阵－10 －01对应的变换作用下得到的 曲线． 解：矩阵－01 －10对应的变换是关于原点对称的变换，因 此，得到的曲线为 y＝1x(x<0)．
(*)
又点 P′(x′，y′)在直线 y＝4x 上，所以 y′＝4x′，从而有 y ＝14x，从而直线 y＝4x 在矩阵－10 －01作用下变换成直线 y＝14 x.根据(*)，它们关于直线 y＝－x 对称．如图所示．
1．计算－01
－1 0
xy，并说明其几何意义．
0 －1
53＝－53；
(2)－01
0 －1
53＝－ －35；
(3)10
1 0
53＝35.
三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于 x 轴反射变换、关
于原点的中心反射变换以及关于直线 y＝x 的轴反射变换，得到
[精解详析] 任取椭圆x92＋y2＝1 上的一点 P(x0，y0)，它在矩
阵01
10对应的变换作用下变为 P′(x′0 ，y′0 )．则有10
高考数学 第十四章 第一节 二阶矩阵与平面向量及几种常见的平面变换课件 理 苏教版
x y
x x,
y
1 2
y,
有x′2+(2y′)2=1,得x′2+4y′2=1,即所求曲线方程为x2+4y2=1.
8.如果曲线x2+4xy+3y2=1在矩阵
1 b
a 1
的作用下变换为曲线x2-y2=1,试求a+b的值.
【解析】设(x,y)是x2+4xy+3y2=1上任意点,在矩阵作用下变换
的对应点为(x′,y′),有
cos sin
形F′, 称为旋转变换, 其变换矩阵是__s_in__ ___c_o_s___.
(5) 投影变换: 把平面图形F投影到某条直线(或点)的变换,
称为投影变换, 其中垂直投影到x轴上或直线y=x上的变换矩阵 分别是__10_ _ 0_ 0_ _和__11_ _ 00__. (6) 切变变换:保持图形的面积大小不变而点间_距__离__和线间 _夹__角__可以改变，且点沿_坐__标__轴__运动的变换.其变换矩阵分别
【变式训练】已知A= 5
3
1 24，
a＝ 21，b＝34，
设 α a b，β a b，求 Aα, Aβ.
【解析】由条件得
α
2 6
,
β
4 2
,
从而
Aα
5 3
1 2 4
2 6
7 18
,
Aβ
5 3
1
2
4
4 2
19 4.
考向 2 几种常见的平面变换问题
【典例2】(1)已知矩阵
考向 1 二阶矩阵与平面向量
【典例1】已知
A
1 1
20 ，α
11，
＝1x
，
高中数学 2.2 几种常见的平面变换 2.2.1 恒等变换教案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4-
2.2平面变换——恒等变换
1．恒等变换
将图中所示的四边形ABCD保持位置不变，能否用矩阵M来表示？
2．伸压变换——能否用矩阵来表示下列图形的变换？
例1已知曲线y＝sinx经过变换T作用后变为新的曲线y＝sin2x，画出相关的图象，并求出变换T
对应的矩阵M 。
例2 验证圆C ：x 2＋y 2
＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 0 0 2 对应的伸压变换下变为一椭圆，并求出此椭圆的方程。
3．反射变换
4．旋转变换
例4 已知A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90º后得到的图形，并求出其顶点的坐标。
5．投影变换
6．切变变换
例5 已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A'B'C'D'，试求变换对应的矩阵M。
例6知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A'B'C'D'，试求变换对应的矩阵M。
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∴αα－ ＋ππ44＝ ＝－ kππ2. ＋2kπ，
(k∈Z)
∴αα＝ ＝－ －ππ44＋ ＋2kkππ. ，
(k∈Z)
∴α＝－π4＋2kπ(k∈Z)．
2．设点 P 的坐标为(1，－2)，T 是绕原点逆时针旋转π3的旋转变 换，求旋转变换 T 对应的矩阵 A，并求点 P 在旋转变换 T 作 用下得到的点 P′的坐标．
2
M＝scions
45° 45°
－sin cos
4455°°＝
2 2
2
－
2
2
，
2
2
任意选取双曲线 x2－y2＝1 上的一点 P(x0，y0)，它在变换作
用下变为 P′(x，y)，
x＝ 则有
22x0－
22y0，
y＝ 22x0＋ 22y0，
那么
x0＝
22x＋y，
y0＝ 22y－x，
又因为点 P 在曲线 x2－y2＝1 上，
θ θ
－sin cos
θθ这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．
旋转变换只改变几何图形的_相__对__位__置___，不会改变几何图形
的_形__状___．
点在旋转变换作用下的象
[例 1] 在直角坐标系 xOy 内，将每个点绕原点 O 按逆 时针方向旋转 135°的变换称为旋转角是 135°的旋转变换．
(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵； (2)求点 A(4,8)在这个旋转变换作用下的象 A′. [思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的 矩阵后求解．
所以 x20－y20＝1， 即有12(x＋y)2－12(y－x)2＝1，
整理可得 2xy＝1，
所以所求 C′的方程为 xy＝12.
4．已知椭圆 Γ：x42＋y32＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转 90° 后所得到的曲线，画出示意图． 解：设椭圆与坐标轴的交点分别为 A(－2,0)，B(0，－ 3)， C(2,0)，D(0， 3)(如图所示)．
[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线 方程．
[精解详析] 旋转变换对应的矩阵
M＝csions
60° 60°
－sin cos
1 6600°°＝2
3
－
3
2
，
1
2 2
设 P(x0，y0)为曲线 C 上任意的一点，它在矩阵 M 对应的变
换作用下变为 P′(x′0 ，y′0 )．
1 则有2
2 2 2
－
2
2
对应的变换作用下的图形这里
2
A(0,0)，B(2,0)，
2
2
C(1,1)．
解析：在 M1 下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－
1，－1)．
在 M2 下，A→A″(0,0)，B→B″(0,2)，C→C″(－1,1)．
在 M3 下，A→A
，B→B 2， 2)，C→C ， 2)．
[精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：
x′＝xcos 135°－ysin y′＝xsin 135°＋ycos
135° 135°
，该变换对应的矩阵为：
cos 135° sin 135°
－sin cos
113355°°＝－
2 2
2
2
－
2 2
－
2. 2
(2)由(1)知，当 x＝4，y＝8 时，
x′＝－6 2，y′＝－2 2，
－
3 2
3 1
yx00＝xy′0′0 ，
2 2
故x0＝12x′0 ＋ 3y′0 ， y0＝12y′0 － 3x′0 .
因为点 P(x0，y0)在曲线 C：x2＋y2＝2 上， 所以 x0 2＋y0 2＝2， 即 12x′0 ＋ 3y0′2＋12y′0 － 3x0′2＝2， ∴x′0 2＋y′0 2＝2. 从而曲线 C′的方程为 x2＋y2＝2.
因为绕原点逆时针旋转 90°的变换所对应的矩阵为
M＝csions
90° 90°
－sin cos
9900°°＝01
Hale Waihona Puke －10.所以10－1 0
－02＝－20，
0 1
－1 0
0 －
3＝
03，
0 1
－1 0
20＝02，01
－1 0
0
3＝－0
3 .
故点 A，B，C，D 在旋转变换 M 的作用下分别变为点 A′(0， －2)，B′( 3，0)，C′(0,2)，D′(－ 3，0)，从而椭圆曲线 Γ： x42＋y32＝1 在逆时针旋转 90°后所成的曲线为椭圆曲线 Γ ′：x32＋ y42＝1.
所以点 A(4,8)在这个旋转变换作用下的象为
A′(－6 2，－2 2)．
由旋转角
θ
的大小，写出旋转变换矩阵scions
θ θ
－sin cos
θθ是
解决这类问题的关键．逆时针旋转时，θ 为正值，顺时针方向
旋转时，θ 为负值．
1．求出△ABC 分别在 M1＝－10
－01，M2＝01
－1 0
，M3＝
2
，
1
2
故对应的坐标变换公式为x′＝12x＋ 23y
.
y′＝－ 23x＋12y
令
x＝－1，y＝0
得x′＝－12
y′＝
3 2
.
所以所求的点 A′的坐标为－12， 23.
曲线在旋转变换作用下的象
[例 2] 已知曲线 C：x2＋y2＝2，将曲线 C 绕坐标原点逆时 针旋转 60°后，求得到的曲线 C′的方程．
1．若点
A
22，
22在矩阵csions
α α
－sin cos
αα对应的变换作用下得
到的点为(1,0)，求 α.
解：由csions
α α
2
－sin α cos α
22＝10，
2
得
22cos
α－
22sin
α＝1，
22sin
α＋
22cos
α＝0.
∴sinα－π4＝－1， sinα＋π4＝0.
2.2.4 旋转 变换
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
2．2.4 旋转变换
1．旋转变换
将一个图形 F 绕某个定点 O 旋转角度 θ 所得图形 F′的变
换称为_旋__转__变__换__．其中点 O 称为旋转中心，角度 θ 称为_旋__转__角__．
2．旋转变换矩阵
像scions
图形分别为
2．在直角坐标系 xOy 内，将每个点绕坐标原点 O 按顺时针方 向旋转 60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点 A(－ 1,0)在这个旋转变换作用下得到的点 A′的坐标．
解：由题意得旋转变换矩阵为
cos－60° sin－60°
1 3
－csoins－ －6600°°＝－223
理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解 答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形 结合直接得出，如本例中，曲线 C 是以原点为圆心的圆，所以 它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．
3．将双曲线 C：x2－y2＝1 上的点绕原点逆时针旋转 45°，得到 新图形 C′，试求 C′的方程． 解：根据题意，得旋转变换矩阵