八年级数学下册 19.5《一元二次方程的应用》教案 沪科版【精品教案】
八级数学下册：.一元二次方程的应用(第课时)教案(沪科版)
教学目标掌握用“数字关系”、“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“数字关系”、“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．文档来自于网络搜索重难点重点：用“数字关系”、“倍数关系”建立数学模型难点：用“数字关系”、“倍数关系”建立数学模型教学流程一、展示问题，新课讲解问题：一个两位数，十位数字与个位数字之和是，把这个数地个位数字与十位数字对调后，所得地新两位数与原来地两位数地乘机为，求原来地两为数.文档来自于网络搜索分析：多位数地表示方法：两位数：（十位数）个位数字三位数：（百位数）（十位数）个位数字… …本题是属于数字问题，题中地等量关系比较明显：新两位数原来地两位数，正确列出方程地关键是熟练掌握用字母表示两位数地方法.文档来自于网络搜索解：设原来两位数地十位数字为，则个位数字为根据题意，得[()]·[()]整理，得,解得当时，,符合题意，原来地两位数是当时，,符合题意，原来地两位数是类似问题：、两个数地差是，这两个数地积是，求这两个数.、已知两个连续奇数地平方和等于，求这两个数.、有三个连续整数，已知最大数与最小数地积比中间数地倍小，求这三个数.课本练习：练习问题：课本例（较难，建议换用）某储蓄所第一季度收到地存款额是万元，第三季度上升到万元，且每个季度地增长率相同.文档来自于网络搜索（）求每个季度地增长率是多少？（）该储蓄所第二季度收到地存款额多少万元？分析：增长率问题问题基本关系是：原来地部分（增长率）增长后地部分.若增长两次设起始量为，增长率为，则第一次增长后地数值为()，第二次增长后地数值为() ·() ()文档来自于网络搜索增长率为负值（，下降率或降低率)，同理，连续两次“增长”后地数值为()解：设每个季度地增长率是，则（）•解得：（不合题意，舍去），答：（略）提示：本题中第一次出现舍根地情况，要做重点分析，分析现实问题对根地影响.类似问题：、某林场现有木材立方米，预计在今后两年内年平均增长，那么两年后该林场有木材立方米.文档来自于网络搜索、某化工厂今年一月份生产化工原料万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料万吨，设二、三月份平均增长地百分率相同，均为，可列出方程为．文档来自于网络搜索、课本例（降价率问题）、某种产品，计划两年后使成本降低％，平均每年降低地百分率是多少？课本练习：练习总结：列一元二次方程解应用题地一般步骤：审、设、列、解、验、答应注意地问题：找等量关系、单位问题（设元有单位、列方程单位统一）二、课堂小结、本节课你学到了哪几种一元二次方程地应用问题？、你还有哪些疑问呢？三、布置作业课本第、、、可用．教学反思新课程要求培养学生应用数学地意识与能力，作为数学教师，我们要充分地利用已有地生活经验，以学生熟悉地现实生活为背景，让学生从具体地问题中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决问题.其中练习是对问题地提高，让学生由浅到深，由易到难.但是这节课我只顾得捕捉学生地思维亮点，一学生列错了方程，却没有及时纠正，导致使一些同学陷入误区.文档来自于网络搜索。
(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的应用(2)
（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的应用(2)一. 教材分析《一元二次方程的应用(2)》这一节的内容，主要围绕一元二次方程在实际生活中的应用展开。
通过前面的学习，学生已经掌握了一元二次方程的解法，本节课主要是让学生学会如何将实际问题转化为一元二次方程，并运用已学的解法求解。
教材中给出了几个典型的例题，如商品定价、面积问题等，通过这些例题引导学生学会分析问题、建立方程、求解问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的概念、解法等有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将问题转化为方程，或者在建立方程后不知道如何求解。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生学会分析问题，找出关键信息，并将实际问题转化为方程。
三. 教学目标1.理解一元二次方程在实际生活中的应用。
2.学会将实际问题转化为一元二次方程，并运用解法求解。
3.提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程在实际生活中的应用，如何将实际问题转化为方程。
2.教学难点：在解决实际问题时，如何找出关键信息，建立正确的方程。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法、小组合作学习法等。
通过典型的例题，引导学生学会分析问题、建立方程、求解问题。
同时，学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的例题和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示商品定价的例题，引导学生分析问题、找出关键信息。
让学生思考如何将实际问题转化为方程，并求解。
3.操练（10分钟）学生独立完成教材中的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享解题心得，互相提问，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师给出一个面积问题的实际例子，让学生运用所学知识解决。
2023-2024学年(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的应用(1)
2023-2024学年（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的应用(1)一. 教材分析《沪科版》八年级数学下册的“一元二次方程的应用”是中学数学中非常重要的一个部分，它既是对一元二次方程理论的巩固，又是实际应用的开端。
本节内容主要包括一元二次方程在实际问题中的应用，通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了一元二次方程的基本理论，对解一元二次方程有了一定的了解。
但是，将一元二次方程应用于实际问题中，可能是学生的一个难点，需要通过实例让学生逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解一元二次方程在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为一元二次方程，并求解。
2.过程与方法：通过实际问题的解决，培养学生的数学建模能力，提高学生的数学应用意识。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为一元二次方程，并求解。
五. 教学方法采用案例教学法，通过具体的实际问题，引导学生理解和掌握一元二次方程在实际问题中的应用。
同时，采用问题驱动法，引导学生主动思考，提高学生的数学建模能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于教学演示。
2.准备PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引入本节内容。
例如：一块地形为等腰三角形的农田，底边长为a，腰长为b，求这块农田的面积。
2.呈现（10分钟）呈现更多的实际问题，让学生尝试解决。
如：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求长方体的体积；一个人在距离家x米的河对岸，他想以最短路径回家，求他应该走的路径长度。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，将实际问题转化为一元二次方程，并求解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。
(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的应用(1)
（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的应用(1)一. 教材分析《一元二次方程的应用》是沪科版八年级数学下册的一章内容。
这一章节的主要目的是让学生掌握一元二次方程的应用，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题，引导学生用一元二次方程来解决问题，从而加深学生对一元二次方程的理解和应用。
二. 学情分析学生在学习这一章节之前，已经学过一元二次方程的基本概念和求解方法，对公式有一定的了解。
但是，学生在应用一元二次方程解决实际问题方面可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的应用，能够用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例引导学生学会将实际问题转化为一元二次方程，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生克服困难的决心和毅力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为一元二次方程，并求解。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引入实际问题，引导学生思考和探索，从而让学生理解和掌握一元二次方程的应用。
同时，运用讲解法、示范法、练习法等教学方法，帮助学生巩固知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生学习和练习。
2.准备PPT，用于展示和讲解一元二次方程的应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考和探索。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的应用，让学生理解并掌握如何将实际问题转化为一元二次方程。
3.操练（15分钟）让学生通过练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
4.巩固（10分钟）通过提问、讨论等方式，检查学生对一元二次方程应用的掌握情况，及时巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际生活中的其他应用，拓宽学生的视野。
八年级下册沪科版数学教案：一元二次方程的应用(2)
一元二次方程的应用(2)【学习目标】1．使学生掌握运用去分母或换元的方法解可化为一元二次方程的分式方程；使学生理解转化的数学基本思想．2．使学生能够利用最简分母进行验根．【学习重点】掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法．【学习难点】使学生认识解分式方程必须检验的道理，且方程的解符合实际问题的要求．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．归纳：分式方程化为整式方程后有两种形式：一种为一元一次方程，一种为一元二次方程，所求的解必须检验是否为原分式方程的解．情景导入 生成问题旧知回顾：怎样解分式方程？怎样进行检验？1x ＋2＋4x x 2－4＋22－x＝1. 解：方程两边同乘(x ＋2)(x －2)得，x －2＋4x －2(x ＋2)＝x 2－4，x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，检验：把x ＝2代入(x ＋2)(x －2)，(x ＋2)(x －2)＝0，∴x ＝2不是原方程的解，原方程解为x ＝1.自学互研 生成能力知识模块一 可化为一元二次方程的分式方程【自主探究】阅读教材P 43～44，完成下列问题：如何解可化为一元二次方程的分式方程？答：分式方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为一元二次方程(整式方程)，解一元二次方程，并检验所求得的根是否为分式方程的根．范例1：解方程：6x x 2－1＋5x －1＝x ＋4x ＋1. 解：去分母得6x ＋5(x ＋1)＝(x ＋4)(x －1)，整理得x 2－8x －9＝0，所以x 1＝－1，x 2＝9.经检验，x 1＝－1是增根，x 2＝9是原方程的根，所以原方程的根是x ＝9.仿例：把分式方程4x －1x －1＝1去分母，并整理为一元二次方程的一般形式，得x 2－4x ＋4＝0．学习笔记：解分式方程必须检验．检验分两步进行，一是所求方程的解，二是所求方程的解是否使实际问题有意义．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二 可化为一元二次方程的分式方程应用题范例2：(天津中考)甲、乙两地间铁路长 2 400 km ，经技术改造后，列车实现了提速，提速后比提速前增加20 km /h ，列车从甲地到乙地行驶时间减少4 h ．已知列车在现有条件下完全行驶的速度不超过140 km /h .请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？解：设提速后列车速度为x km /h ，则2 400x －20－2 400x ＝4，∴x 1＝120，x 2＝－100(舍去)，经检验，x ＝120是原方程的根．∵120＜140，∴仍可再提速．仿例1：某市为处理污水，需铺设一条长为4 000 m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10 m ，结果提前20天完成任务．设原计划每天铺设管道x m ，则可列方程4 000x －4 000x ＋10＝20．仿例2：(嘉兴中考)杭州市到北京的铁路长1 487 km .火车的原平均速度为x km /h ，提速后平均速度增加了70km /h ，由杭州到北京的行驶时间缩短了3 h ，则可列方程为1 487x －1 487x ＋70＝3． 仿例3：某商店以2 400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中赢利350元，则每盒茶叶的进价为( A )A ．40元B ．50元C ．60元D ．70元仿例4：甲、乙两班学生绿化校园，如果两班合作6天可以完成，如果单独工作，甲班比乙班少用5天，那么甲、乙两班单独工作分别需要10天和15天．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一可化为一元二次方程的分式方程知识模块二可化为一元二次方程的分式方程应用题检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
2023-2024学年(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的应用(2)
2023-2024学年（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的应用(2)一. 教材分析沪科版八年级数学下册的教学内容在一元二次方程的应用部分主要包含了两个方面：一是用一元二次方程解决实际问题，二是利用一元二次方程的根与系数的关系解决一些几何问题。
这部分内容在学生的数学学习中起到了承前启后的作用，不仅巩固了一元二次方程的知识，而且能够让学生体会数学与现实生活的联系，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习一元二次方程的应用之前，已经掌握了一元二次方程的解法和相关性质。
但在解决实际问题时，可能会遇到将实际问题转化为数学问题的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将实际问题抽象为一元二次方程，并通过数学方法解决。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生能够将实际问题转化为一元二次方程，并运用一元二次方程的解法求解；2.过程与方法目标：培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力；3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：将实际问题转化为一元二次方程，并求解；2.难点：理解一元二次方程的根与系数的关系，并应用于解决几何问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程解决。
同时，运用案例分析法，让学生通过分析具体案例，理解一元二次方程的根与系数的关系。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例；2.准备一元二次方程的解法教案；3.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题案例，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并引入一元二次方程的概念。
2.呈现（15分钟）呈现一组实际问题，让学生独立思考并尝试将问题转化为一元二次方程。
在学生解答过程中，进行适当的引导和提示。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，共同解决一组实际问题，并运用一元二次方程求解。
2022年沪科版数学八年级下《一元二次方程的应用》教案
17．5一元二次方程的应用1．会列一元二次方程解实际问题；(重点、难点)2．进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识．一、情境导入某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，这种贺年卡平均每天可售出500张，，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？二、合作探究探究点一：一元二次方程的应用【类型一】增长(降低)率问题某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，，求3，4月份销售额的月平均增长率．解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x.根据题意，得60(1－10%)(1＋x)2，则(1＋x)2，解得x1，x2＝－2.5(不合题意，舍去)．答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.方法总结：解决平均增长(降低)率问题的关键是明确基础量和变化后的量．如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率(或降低率)为x，则两年后的值为a(1±x)2.由此列出方程a(1±x)2＝b，求出所需要的量．【类型二】商品销售问题某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？解：设每件商品涨价x元，根据题意，得(50＋x－40)(500－10x)＝8000，即x2－40xx1＝10，x2＝30.经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解．当x＝10时，售价为10＋50＝60(元)，销售量为500－10×10＝400(件)；当x＝30时，售价为30＋50＝80(元)，销售量为500－10×30＝200(件)．∵要尽量减少库存，∴取x＝10，此时售价应为60元．答：售价应为60元．易错提醒：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视“尽量减少库存”，它是取舍答案的一个重要依据．【类型三】几何问题要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．解：设P ，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽为x 米．根据题意，得(60－3x )·(40－2x )＝60×40×14，解得x 1＝10，x 2＝30.检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30＝60＞40，不符合题意，所以x 2＝30舍去，故x ＝10.答：P ，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽为10米．易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD 是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x ＝30不符合题意．探究点二：可化为一元二次方程的分式方程为了保护环境，充分利用水资源，某市经过“调整水费听证会”讨论后决定：水费由过去每立方米，并提出“超额高费措施”，即每户每月定额用水不超过12m 3，超过12m 3的部分，另加收每立方米2元的高额排污费．(1)某户居民响应节水号召，计划月平均用水量比过去少3m 3，这使得260m 3的水比过去多用半年，问这户居民计划月平均用水量是多少立方米？(2)如果该户居民响应节水号召后，在一年中实际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的40%，其余八个月按计划用水，那么按照新交费法，该户居民一年需要交水费多少元？解析：(1)本题的等量关系有两个：计划月平均用水量＋3＝原月平均用水量；计划用水时间－原用水时间＝6；(2)该户一年需交水费＝超计划用水费用＋计划用水费用．解：(1)这户居民计划平均每月用水x m 3.由题意，得260x －260x ＋3，化简得x 2＋3x －130＝0，解得x 1＝10，x 2，x 1，x 2都是原方程的根，但x ＝－13不合实际，舍去，取x ＝10.答：这户居民计划平均每月用水10m 3； (2)该户居民有四个月的月平均用水量为10(1＋40%)＝14(m 3)，需交水费[14×2.1＋(14－12)×2]×4＝133.6(元)，其余八个月需交水费10××8＝168(元)．∴该户居民一年需交水费为133.6＋168＝301.6(元)．答：该户居民一年需交水费301.6元． 方法总结：列分式方程解应用题不要忘记检验，检验分两步，一是检验所得未知数的值是不是原方程的根，二是检验所得未知数的值是否使实际问题有意义．三、板书设计经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对其进行描述．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣.第1课时 勾股定理1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．(重点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的证明作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．求证：a 2＋b 2＝c 2.解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋12ab ×4，右边的正方形面积可表示为c 2＋12ab ×4.∵a 2＋b 2＋12ab ×4＝c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．探究点二：勾股定理【类型一】 直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 交AB 于点D ，求CD 的长．解析：先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，求出CD 的长．解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，∴由勾股定理得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝42，∴AC ＝4cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB＝4×35＝125(cm)，故CD 的长是125cm. 方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【类型二】 利用勾股定理求面积如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________．解析：因为AE ＝BE ，∠E ＝90°，所以S △ABE ＝12AE ·BE ＝12AE 2.又因为AE 2＋BE 2＝AB 2，所以2AE 2＝AB 2，所以S △ABE ＝14AB 2＝14×32＝94；同理可得S △AHC ＋S △BCF ＝14AC 2＋14BC 2.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以阴影部分的面积为14AB 2＋14AB 2＝12AB 2＝12×32＝92.故分别填94，92.方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.5＋1B．－5＋1C.5－1D. 5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是 5.那么点A所表示的数为5C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．【类型四】利用勾股定理证明等式如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC交BC于点E.在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，过点A作AE⊥BC交BC 于点E.在Rt△ABE、Rt△ACE和Rt△ADE 中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE ＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC 的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．【类型五】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C ＝3，则AM的长是()解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x ＝2，即AM B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型六】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长．解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60；当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为，△ABC的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD 在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．三、板书设计让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步提升学生的说理和简单推理的能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激励学生发奋学习.。
数学教案一元二次方程的应用(6篇)
数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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沪科版初中八年级下学期数学第3章一元二次方程的解法教案
沪科版初中八年级放学期数学第 3 章一元二次方程的解法讲课目标：1．理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．经过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，意会转变的数学思想．要点与难点要点：用配方法解一元二次方程的步骤．难点：研究用配方法求解一元二次方程的步骤．讲课方法：自主学习与合作研究相联合讲课流程一、预习见效检测：1．发放检测卷，检测课前预习见效．（1）用开平方法解一元二次方程，须将方程化为的形式．（2）叫配方法．（3）配方的过程是将方程两边同时加上，左侧化为，右侧是一个数，此后用法求解．（4）用配方法解方程：x2x（一世板演）+4 =-3（5）填空： 1）x2x（x）2 +6+_____=+32）x2x（x）2 +8+_____=+___3）x2-16x（）2+_____=4）x2-5 x+______=_________2．学生答题，教师板书课题．环节设计：该环节，既能观察学生的课前延伸状况，又能观察各种学生的自主学习能力，激发了学生的学习热忱．学生回答预习检测结果，纠正反响（包含板演的题目）．二、课内进行研究（一）合作研究诱惑问题1、由预习检测出现的问题，设计研究习题．（1）在以下式子中填上合适的数，使等式成立，x 2-6 x+=x 2+16x+=（2）用配方法解一元二次方程：x 2 -3x =-2 t 2 t+8=6 2、小组自主学习与合作研究以上题目．环节设计：本环节学生带着问题去学习，要解决疑难问题，就需要合作研究，既掀起了学习的高潮，又培育了学生学习的兴趣．（二）精讲解疑点拨1、教师总结规律：对于 x 2+px ，再添前一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完满平方式．即x 2px ( p)2( xp)2．方程的左侧2 2配方后，假如右侧是一个非负数，即可用直接开平方法解方程．2、师生共同总结配方法的思路：当一元二次方程的二次项系数为1 时，在方程的两边都加前一次项系数一半的平方， 就把方程的左侧配成了一个完满平方式，从而把原方程转变成能由平方根的意义求解的方程，这类解法叫配方法．象下边的例题（投影）3、例：用配方法解方程 y 2+4y-6=0解：移项，得： y 2+4y=6配方，得： y 2+4y+4=4+6（ y+2）2=10开平方，得： y+2=10x 12 10 x 2 2 10（三）合时牢固增强1、屏幕展现训练题（1）填空配方x 2 - bx （ ） （x - ） 2; x 2 - （m n ） x （ ） （x - ） 2 ．+ =++ =2、用配方法解以下方程．x2 -6x+4=0x2x+5 -6=03、学生总结反思一：左侧的常数项是一次项系数一半的平方．（四）拓展延伸应用解方程 x2mx2取什么值时，这个方程有解．商讨以上问题，，并指出 m+2+2=0学生剖析思路知识梳理小结1、大屏幕投影问题．（1）本节课学习了哪些知识，运用了如何的学习方式和门路？（2）你以为学习的见效如何？你还有什么诱惑和见解？2、学生回答总结发言．。
《一元二次方程的应用》word教案 (公开课获奖)2022沪科版 (9)
一元二次方程的应用教学目标：知识与技能目标：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．过程与方法目标：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识．情感与态度目标：进一步使学生深刻体会转化及设未知数列方程的思想方法．教学重、难点：1．教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题．2．教学难点：有关增长率之间的数量关系．以下词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了教辅工具：教学程序设计：程序教师活动学生活动备注创设问题情景〔1〕原产量+增产量=实际产量．〔2〕单位时间增产量=原产量×增长率．〔3〕实际产量=原产量×〔1+增长率〕．教师引导、板书，学生答复探究新知1 例1、某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？教师引导，点拨、板书，学生答复．理解：〔1〕为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．〔2〕认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．〔3〕用直接开平方法做简单，不要将括号翻开．反应训练应用提高练习1．教材中5．拓展：假设设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程．〔1〕某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．〔1+x〕2=b〔把原来的总产值看作是1．〕〔2〕某工厂用两年时间把总产值由a万元增学生分析题意，板书，笔答，评价．教师点拨．引导学生总结下面的规律：设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，那么增长一次后的产值为a〔1+x〕，增长两次加到b万元，求每年平均增长的百分数．〔a〔1+x〕2=b〕〔3〕某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．〔〔1+x〕2=b+1把原来的总产值看作是1．〕后的产值为a〔1+x〕2，…………增长n次后的产值为S=a〔1+x〕n．探究新知2例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，比照，总结．引导学生比照“增长〞、“下降〞的区别．如果设平均每次增长或下降为x，那么产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a〔1+x〕2=b〔或a〔1-x〕2=b〕．小结提高1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．3．我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率．3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程．讨论、体会。
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19.5一元二次方程的应用教案
教学目标
1.掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
2.复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
重难点关键
1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．
2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．
教学流程
一、复习引入
练习：一条长为20CM的铁丝剪成2段，每段铁丝长度为周长做成正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于17平方CM。
那么这段铁丝剪成2段后的长度分别是多少？
（2）2个正方形的面积之和可能等于12平方CM吗？若能。
求出2段铁丝的长度。
若不能。
说出理由。
分析：用代数由题意列出方程，有解则可能围成，无解则不能
解：（1）设一段长为x，则另一段长为20-x，
则有（x/4)2+[（20-x}/4]2=17，
解方程得x=4或者x=16，
则20-x=16或者4
（2）假设可以，则（x/4)2+[（20-x}/4]2=12
化简得X2-20x+104=0，
△=202-4*1*104<0,故方程无实数解。
二、探索新知
问题1：（课本P57例3）如图，在△ABC中，∠B＝90°, AB＝6cm，BC＝3cm．点P 从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s
的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于 4倍根2c m?
分析：若t秒钟后P、Q间的距离等于tcm，点P运动距离为tcm ,BP=（6-t）cm, BQ=2 tcm，△ABC为直角三角形，则有PB2+BQ2=PQ2
解：设t秒钟后P、Q间的距离等于4倍根2cm，点P运动距离为t cm ,
BP=（6-t）cm,BQ=2 t cm，由勾股定理得PB2+BQ2=PQ2
∴（6-t）2+（2 t）2=（4倍根2cm）2，∴5t2-12t+4=0
解得t1=2,t2=0.4,当t=2时，2t=22=4>3
∴t1=2不合题意，舍去
故运动开始0.4s后P、Q间的距离等于4倍根2cm cm
练习：
如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．
（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．
解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8c m2．
则：（6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．
问题2：联华超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，其销售量就减少10个，且尽量减少库存，问为了赚得800元利润，售价应定为多少？
分析：市场营销问题中的数量关系②商品总利润=(商品售价-商品进价)×商品的数量③商品利润率=①商品利润=商品售价-商品进价。
解：设售价应定为x元，由题意得：
(x-40)［500-10(x-50)］=8000
x2-140x+4800=0
x=80或x=60
当x=80时，件数=500-10×(80-50)=200；
当x=60时，件数=500-10×(60-50)=400.
∵尽量减少库存，∴售价定为60元时应进货400件。
练习：
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1(或5)元,商场平均每天多售出2件.如果商场每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元。