2014-2015年浙江省杭州市萧山区五校联考高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2014-2015年浙江省杭州市萧山区五校联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年浙江省杭州市萧山区五校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知直线方程，则这条直线经过的定点和倾斜角分别为（）A．（4，3）和B．（﹣3，﹣4）和C．（4，3）和D．（﹣4，﹣3）和2．（3分）命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞03．（3分）直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关4．（3分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定5．（3分）“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件6．（3分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1B．2C．3D．47．（3分）两个圆与恰有三条公切线，则a+b的最小值为（）A．﹣6B．﹣3C．D．38．（3分）如图，四面体ABCD中，各棱相等，M是CD的中点，则直线BM与平面ABC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（3分）我们把由半椭圆+=1（x≥0）与半椭圆+=1（x＜0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（）A．5，4B．，1C．5，3D．，1 10．（3分）已知函数f（x）=，x∈[2，4]对于满足2＜x1＜x2＜4的任意x1，x2，给出下列结论：①x1f（x2）＞x2f（x1）②x2f（x1）＞x1f（x2）③（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0④（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题：本大题共7小题，每题一空，每空4分，共28分．11．（4分）已知p：|x﹣m|＜4，q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，且q是p的充分不必要条件，则m的取值范围为．12．（4分）若向量=（1，λ，1）与=（2，﹣1，2）的夹角的余弦值为，则λ的值为．13．（4分）点M（x，y）在直线y=﹣2x+8上，当x∈[2，5]时，则的取值范围是．14．（4分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是．15．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α+β=．16．（4分）已知椭圆C：+=1与直线L：y=x+m相交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为．17．（4分）已知正方形ABCD的边长为12，动点M（不在平面ABCD内）满足MA⊥MB，则三棱锥A﹣BCM的体积的取值范围为．三、解答题：本大题共4小题，第18-20题每题10分，第21题12分，共42分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（10分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19．（10分）已知m∈R，直线l：mx﹣（m2+1）y=4m和圆C：x2+y2﹣8x+4y+16=0．（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？20．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=45°，AB=AC=AE=2EF，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．（1）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．2014-2015学年浙江省杭州市萧山区五校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知直线方程，则这条直线经过的定点和倾斜角分别为（）A．（4，3）和B．（﹣3，﹣4）和C．（4，3）和D．（﹣4，﹣3）和【分析】由直线点斜式方程的特点可知直线过定点（4，3），斜率为，进而可得倾斜角．【解答】解：∵直线方程，∴由点斜式方程可知，直线过定点（4，3），斜率为，设直线的倾斜角为α，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，∴α=，故选：A．2．（3分）命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞0【分析】特称命题“∃x0∈M，p（x）”的否定为全称命题“∀x∈M，￢p（x）”．【解答】解：特称命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．故选：A．3．（3分）直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关【分析】当这两条直线中有一条斜率不存在时，检验他们的位置关系式垂直关系．当它们的斜率都存在时，求出他们的斜率，发现斜率之积等于﹣1，两条直线垂直．【解答】解：当cosθ=0或si nθ=0时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直．当cosθ和sinθ都不等于0时，这两条直线的斜率分别为﹣和tanθ，显然，斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．综上，两条直线一定是垂直的关系，故选：B．4．（3分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可判断点P与圆的位置关系．【解答】解：已知圆的圆心为原点O，半径为，OP=，所以点在圆外，故选：A．5．（3分）“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【分析】运用直线与平面垂直的定义，性质，充分必要条件的定义即可判断选择答案．【解答】解：∵直线l与平面内无数条直线都垂直”，如果是平行直线，则直线l与平面不垂直，∴“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的不是充分条件．∵“直线l与平面垂直”，∴根据定义可判断：直线l与平面内任意的直线都垂直，∴直线l与平面内无数条直线都垂直．∴“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的必要条件．故选：C．6．（3分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选：B．7．（3分）两个圆与恰有三条公切线，则a+b的最小值为（）A．﹣6B．﹣3C．D．3【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由=3，得到a2+b2=9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上，令a+b=t，利用线性规划求出t的最小值．【解答】解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2=4，x2+（y﹣b）2=1，圆心分别为（﹣a，0），（0，b），半径分别为2和1，故有=3，∴a2+b2=9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上．令a+b=t，利用线性规划求出t的最小值．如图：可行域为圆a2+b2=9，t=a+b为目标函数，点A（﹣，﹣）和点B（，）为最优解，故A（﹣，﹣）使a+b=t 取得最小值为﹣3，故选：C．8．（3分）如图，四面体ABCD中，各棱相等，M是CD的中点，则直线BM与平面ABC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】过A作AO⊥平面BCD，交BM于O，以O为原点，过O在平面BCD内平行于DC的直线为x轴，OM为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面ABC所成角的正弦值．【解答】解：过A作AO⊥平面BCD，交BM于O，设AB=2，∵四面体ABCD中，各棱相等，M是CD的中点，∴OA、OD、OM两两垂直，=，OM=，AO==，以O为原点，过O在平面BCD内平行于DC的直线为x轴，OM为y轴，OA为z 轴，建立空间直角坐标系，则B（0，﹣，0），M（0，，0），A（0，0，），C（1，，0），=（0，，0），=（0，﹣，﹣），=（1，，﹣），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，﹣，1），设直线BM与平面ABC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=||=．∴直线BM与平面ABC所成角的正弦值为．故选：D．9．（3分）我们把由半椭圆+=1（x≥0）与半椭圆+=1（x＜0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（）A．5，4B．，1C．5，3D．，1【分析】由题意可知c=|OF2|求得c，再由|OF2|==，解得b，最后由a2=b2+c2求得a．【解答】解：由题意可得|OF2|==，|OF0|=c=|OF2|=，解得b=1，又a2=b2+c2=1+=，得a=，即a=，b=1．故选：D．10．（3分）已知函数f（x）=，x∈[2，4]对于满足2＜x1＜x2＜4的任意x1，x2，给出下列结论：①x1f（x2）＞x2f（x1）②x2f（x1）＞x1f（x2）③（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0④（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0其中正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】易得函数f（x）=在∈[2，4]上为减函数，故由减函数的性质得出结论．【解答】解：∵g（x）=4﹣（x﹣2）2在[2，4]上为减函数，∴由复合函数的单调性法则可知f（x）=在[2，4]上为减函数，又∵2＜x1＜x2＜4，∴f（x2）＜f（x1），∴x2f（x1）＞x1f（x2）故②正确；又由x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜0得（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＜0 故③正确．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每题一空，每空4分，共28分．11．（4分）已知p：|x﹣m|＜4，q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，且q是p的充分不必要条件，则m的取值范围为[﹣1，6] ．【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，结合q是p的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：关于p：|x﹣m|＜4，解得：m﹣4＜x＜m+4，关于q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，若q是p的充分不必要条件，则，解得：﹣1≤m≤6，故答案为：[﹣1，6]．12．（4分）若向量=（1，λ，1）与=（2，﹣1，2）的夹角的余弦值为，则λ的值为﹣5或1．【分析】根据两向量的夹角余弦值公式，列出方程求出λ的值即可．【解答】解：因为•=2﹣λ+2=4﹣λ，||=，||==3，且夹角的余弦值为，所以=，化简得λ2+4λ﹣5=0，解得λ=﹣5或1．故答案为：﹣5或1．13．（4分）点M（x，y）在直线y=﹣2x+8上，当x∈[2，5]时，则的取值范围是[﹣，] ．【分析】由题意画出图形，由的几何意义，即动点（x，y）与定点P（﹣1，﹣1）连线的斜率求得答案．【解答】解：如图，A（5，﹣2），B（2，4），的几何意义为动点（x，y）与定点P（﹣1，﹣1）连线的斜率，∵，，∴的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．14．（4分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是[﹣，0] ．【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：由圆的方程得：圆心（3，2），半径r=2，∵圆心到直线y=kx+3的距离d=，|MN|≥2，∴2=2≥2，变形得：4﹣≥3，即8k2+6k≤0，解得：﹣≤k≤0，则k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]15．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α+β=90°．【分析】本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出直线的GF、C1E与AB的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．【解答】解：建立坐标系如图，B（2，0，0），A（2，2，0），G（0，0，1），F（1，1，0），C1（0，0，2），E（1，2，1）．则=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，﹣1），∴cos＜，＞===，同理cos＜，＞=，∴cosα=，sinα=，cosβ=，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=•﹣•=0∴α+β=90°，故答案为：90°．16．（4分）已知椭圆C：+=1与直线L：y=x+m相交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为．【分析】把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由弦长公式求得AB长度，由点到直线的距离公式求出O到直线AB的距离，写出三角形AOB的面积，然后利用二次函数求最值．【解答】解：联立，消去y得：3x2﹣4mx+2m2﹣4=0，由△=16m2﹣12（2m2﹣4）＞0，得m2＜6．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，则|AB|====．点O的AB的距离d==．∴△AOB的面积S=|AB|d=××=．∴当m2=3时，△AOB的面积有最大值为，故答案为：．17．（4分）已知正方形ABCD的边长为12，动点M（不在平面ABCD内）满足MA⊥MB，则三棱锥A﹣BCM的体积的取值范围为（0，144] ．【分析】由三棱锥A﹣BCM的体积=三棱锥M﹣ABC的体积，底面△ABC的面积一定，高最大时，其体积最大；高由顶点M确定，当平面MAB⊥平面ABCD 时，高最大，体积也最大．【解答】解：如图所示，因为三棱锥A﹣BCM的体积=三棱锥M﹣ABC的体积，底面△ABC的面积是定值，当高最大时，体积最大；所以，当平面MAB⊥平面ABCD时，过点M作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，在△MAB中，MA⊥MB，AB=12，所以，高最大为MN=6，所以，三棱锥A﹣BCM的最大体积为：V A﹣BCM=V M﹣ABC=•S△ABC•MN=××12×12×6=144．所以三棱锥A﹣BCM的体积的取值范围为（0，144]．故答案为：（0，144]．三、解答题：本大题共4小题，第18-20题每题10分，第21题12分，共42分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（10分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．【分析】先将命题p，q化简，然后由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题得出p，q恰有一真一假，分类讨论即可．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴m＞2；∵关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，∴4m2﹣4（2m+3）＜0，解得﹣1＜m ＜3，“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题⇔p，q恰有一真一假，①若“p真q假”，则，即m≥3，②若“p假q真”，则，即﹣1＜m≤2，综上，实数m的取值范围是（﹣1，2]∪[3，+∞）．19．（10分）已知m∈R，直线l：mx﹣（m2+1）y=4m和圆C：x2+y2﹣8x+4y+16=0．（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？【分析】（1）写出直线的斜率利用基本不等式求最值；（2）直线与圆相交，注意半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形【解答】解：（1）直线l的方程可化为，此时斜率，即km2﹣m+k=0，k=0时，m=0成立；又∵△≥0，∴1﹣4k2≥0，所以，斜率k的取值范围是．（2）不能．由（1知l的方程为y=k（x﹣4），其中；圆C的圆心为C（4，﹣2），半径r=2；圆心C到直线l的距离由，得，即，从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．20．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=45°，AB=AC=AE=2EF，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．（1）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值．【分析】（1）求出△EFG≌△ABC，从而BC=2FG．连接AF，推导出四边形AFGM 为平行四边形，从而GM∥FA，由此能证明GM∥平面ABFE．（2）分别以AB，AC，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC∴△EFG≌△ABC，∵AB=2EF，∴BC=2FG．…（1分）连接AF，则．…（2分）在平行四边形ABCD中，M是线段AD的中点，则，∴FG∥AM，FG=AM，∴四边形AFGM为平行四边形．…（3分）∴GM∥FA，FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，∴GM∥平面ABFE．…（5分）解：（2）分别以AB，AC，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．…（6分）不妨设AB=AC=2，则由题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），F（1，0，2）平面ABF的法向量为=（0，1，0）…（7分）=（﹣1，0，2），=（﹣2，2，0），则，取x=2，得=（2，2，1）…（9分）设二面角A﹣BF﹣C的平面角为θ，则．∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．…（10分）21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围；（3）在y轴上，是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接求出a，b；（2）利用一元二次方程有两个不等的实数解的条件；（3）利用设而不求的方法，设出要求的常数，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等）【解答】所以k的取值范围是：（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣，y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4=设存在点E（0，m），则，所以==要使得=t（t为常数），只要=t，从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0即由（1）得t=m2﹣1，代入（2）解得m=，从而t=，故存在定点，使恒为定值．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
易错汇总2014-2015年浙江省杭州市萧山区五校联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
≥2 ，则 k 的取值范围是
．
15．（4 分）正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是正方形 ADD1A1 和 ABCD的中
心，G 是 CC1 的中点，设 GF，C1E 与 AB 所成的角分别为 α，β，则 α+β＝
．
16．（ 4 分）已知椭圆 C： + =1 与直线 L： y=x+m 相交于 A，B 两点， O 为坐
D．3
【分析】 由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由 =3，得到 a2+b2=9，故满足条件的点（ a，b）在以原点为圆心，以 3
为半径的圆上，令 a+b=t，利用线性规划求出 t 的最小值．
【解答】 解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （ x+a） 2+y2=4， x2+（y﹣b）2=1，
20．（ 10 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD为平行四边形，∠ ABC=45°， AB=AC=AE=2E，FEA⊥平面 ABCD，EF∥AB， FG∥BC，EG∥AC．
（ 1）若 M 是线段 AD 的中点，求证： GM∥平面 ABFE； （ 2）求二面角 A﹣BF﹣C 的余弦值．
21．（12 分）已知椭圆 C：
＞ | =|
| =|
|= ．
∴直线 BM 与平面 ABC所成角的正弦值为 ．
第 10 页（共 23 页）
故选： D．
9．（3 分）我们把由半椭圆 + =1（ x≥0）与半椭圆 + =1（ x＜0）合成
的曲线称作 “果圆 ”（其中 a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点 F0，F1，F2 是相
【解答】 解：过 A 作 AO⊥平面 BCD，交 BM 于 O，设 AB=2， ∵四面体 ABCD中，各棱相等， M 是 CD的中点，
浙江省杭州市重点中学联考高二数学上学期期末试卷 文(含解析)
浙江省杭州市重点中学联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm32．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1 B．135°，﹣1 C．90°，不存在D．180°，不存在3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．37．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q 两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD 上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2 D．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l， P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P到准线l的距离之和的最小值为．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，15．G为MC中点，则下列结论中正确的是．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N 分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．浙江省杭州市重点中学联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：由球的条件公式：V=r3，代入半径计算即可得到．解答：解：球的半径r=2，则球的体积为V=r3=π×23=π（cm3）．故选C．点评：本题考查球的体积的计算，考查运算能力，属于基础题．2．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1 B．135°，﹣1 C．90°，不存在D．180°，不存在考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：垂直于x轴的直线倾斜角为90°，斜率不存在，即可得出．解答：解：∵直线x=﹣垂直于x轴，∴倾斜角为90°，斜率不存在．故选：C．点评：本题考查了垂直于x轴的直线倾斜角、斜率，属于基础题．3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．解答：解：若a＞0且b＞0则a•b＞0成立，即必要性成立，若a＜0且b＜0，满足a•b＞0但a＞0且b＞0不成立，即充分性不成立，故a•b＞0是a＞0且b＞0的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，分类讨论其左视图的形状，可得答案．解答：解：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，①当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：或，几何全的侧视图如图所示：，故排除A；②当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除B；③当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除C；故选：D点评：此题主要考查了左视图以及由三视图判断几何体的形状，主要培养同学们的空间想象能力，想象不出来可以亲手实验．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，即可得到结论．解答：解：圆心坐标为（，），若若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，∴=0，即m+k=0，且直线y=kx+1与x+y=0垂直，则k=1，即m=﹣1，则k+2m=1﹣2=﹣1，故选：A点评：本题主要考查直线和圆相交的应用，根据点的对称性确定圆心位置是解决本题的关键．7．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线与椭圆共顶点，可得双曲线的顶点坐标，结合焦距是6，可得a，b的值，进而可求双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线与椭圆共顶点，∴双曲线的顶点坐标为（0，±），即a=，∵焦距是6，∴2c=6，∴c=3，∴=2，∴双曲线的渐近线方程是y=±x．故选B．点评：本题考查椭圆，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q 两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆的定义可得PF1、PF2，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．解答：解：由题可知：2=，即PF2=2PF1，又PF2+PF1=2a，∴PF1=，PF2=，由勾股定理可知：，即：，∴e====，故选：A．点评：本题考查求椭圆的离心率，涉及到三角函数的定义、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE．证出DE是△A1BC的中位线，得DE A 1B，因此AE、ED所成的锐角或直角就是A1B与AC1所成的角．然后利用题中数据在△AED中分别算出边AE、ED、AD的长，根据余弦定理列式，即可算出异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．解答：解：连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE，∵四边形AA1C1C是平行四边形，∴E是A1C的中点∵D是BC的中点，∴DE是△A 1BC的中位线，可得DE A1B，因此，∠AED（或其补角）就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB=AC=AA1=2，可得∵∠A1AB=60°，∴△A1AB是等边三角形，可得A1B=2，得DE=A1B=1．同理，等边△A1AC中，中线AE=A1A=，又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D为BC中点，∴AD=BC==由此可得△ADE中，cos∠AED===．即异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．故答案为：点评：本题在特殊的三棱柱中，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．着重考查了棱柱的性质、三角形中位线定理和异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题．10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD 上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2 D．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，把上图中的△ABB1延AB1上转90°，得到下图，当C1Q⊥AB时，PC1+PQ=CQ 最小．解答：解：如图所示，把上图中的△ABB1沿AB1上转90°，得到下图，当C1Q⊥AB时，PC1+PQ=CQ最小，PC1=，PA=﹣1，PQ=，所以PC1+PQ=1+，故选：A．点评：多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．考点：空间两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．然后求出两点距离即可．解答：解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z），∴A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点的坐标为：A1（4，3，﹣1）．∴|AA1|==．故答案为：．点评：本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，利用两条平行线之间的距离公式即可得出．解答：解：4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，∴两条平行线之间的距离d==，故答案为：点评：本题考查了两条平行线之间的距离公式，属于基础题．13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P 到准线l的距离之和的最小值为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：如图所示，F．过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，|PA|==．故答案为：．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆柱体与一半圆锥体的组合体，根据图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面半径为1，高为4的半圆柱体，与一底面半径为1，高为2的半圆锥体的组合体；该几何体的体积为V几何体=V半圆柱体+V半圆锥体=•π12•4+•π12•2=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是由三视图几何体的求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，15．G为MC中点，则下列结论中正确的是①②④．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．考点：棱柱的结构特征；平面与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．解答：解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示对于①，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故①正确；对于②，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故②正确；对于③，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故③不正确；对于④，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故④正确故答案为：①②④点评：本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于24．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，得|AF1|﹣|AF2|=2a=2，△AF1F2中根据余弦定理算出|F1F2|2，从而得到c2=7．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线AB方程与双曲线方程联解，可得B的坐标，由△F1AB的面积S=2c×|y1﹣y2|，计算即可得到．解答：解：如图所示，由双曲线的方程可知：a=1．∴|AF1|﹣|AF2|=2，∵|AF2|=4，∴|AF1|=6．∴|F1F2|2=（2c）2=62+42﹣2×6×4×cos60°，即有c2=7，∴b2=c2﹣1=6，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，化为7x12﹣2x1﹣15=0，解得x1=，或x1=﹣（舍去）．由此解出A的坐标为（，），直线AB的斜率为k==﹣3．设直线AB方程为y=﹣3（x﹣），与双曲线6x2﹣y2=6联解，得到B（，﹣），∴△ABF1的面积S=2×|y1﹣y2|=×|+|=．故答案为：24．点评：本题给出双曲线的焦点三角形△AF1F2的两边之长和夹角，求△F1AB的面积．着重考查了双曲线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系和三角形的面积公式等知识点，属于中档题．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过•=0推断出PM⊥AM，进而利用勾股定理可知|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，进而问题转化为求得|AP|最小值，计算即得结论．解答：解：∵•=0，∴PM⊥AM，∴|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，又∵||=1，∴|AP|越小，|PM|就越小，设P（10cosx，8sinx），则|AP|2=（10cosx﹣6）2+（8sinx﹣0）2=100cos2x﹣120cosx+36+64sin2x=36cos2x﹣120cosx+100=（6cosx﹣10）2，∴|AP|的最小值为=4，∴|PM|的最小值为：=，故答案为：．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和平面向量的几何意义．考查了学生综合分析问题和推理能力以及数形结合的思想的运用，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程．专题：简易逻辑．分析：分别求出命题p，q是真命题时的m的范围，通过讨论p真q假，p假q真的情况，从而得到m的范围．解答：解：由题意知：命题p与命题q一真一假，p为真命题：，解得2＜m＜3，q为真命题：（5﹣2m）m＜0，解得，若p真q假，则，若p假q真：m＜0或m≥3，综上：．点评：本题考查了复合命题的判断，考查了分类讨论思想，是一道基础题．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆M的方程；（2）根据直线和圆相交的弦长公式即可得到结论．解答：解：（1）设圆M的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0根据圆M过A（1，﹣2），B（﹣1，0）得：1+4+D﹣2E+F=0①1﹣D+F=0 ②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令x=0，得y2+Ey+F=0，所以y1+y2=﹣E令y=0，得x2+Dx+F=0，所以x1+x2=﹣D所以﹣D﹣E③﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由①②③得D=﹣2，E=0，F=﹣3，所以圆M的方程x2+y2﹣2x﹣3=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）圆M的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4所以圆心M（1，0），半径r=2设直线l的方程为：y﹣3=k（x﹣4），即kx﹣y+3﹣4k=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）直线l被圆M截得的弦长为2，则圆心M到直线l距离所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得：，所以直线l的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆相交弦长公式的应用，利用待定系数法是解决本题的关键．20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3， CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF∥平面ADF，由此能证明BF∥平面ADE．（Ⅱ）由已知条件推导出面ADE⊥面CDEF，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，则∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角，由此能求出直线AF与平面CDEF所成角的正切值．解答：解：（Ⅰ）因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC不包含于平面ADE，所以BC∥平面ADE，因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，所以CF∥平面ADE，又因为BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE．…（5分）（Ⅱ）因为⇒CD⊥面ADE，又因为CD⊂面CDEF，所以面ADE⊥面CDEF，…（10分）因为CD⊥AD，CD⊥DE，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，…（11分）因为平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，所以∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角θ…（12分）在Rt△AOD中，∵AD=2，∠ADE=60°，∴AO=，在直角梯形CDEF，∵EF=3，CF=6，∠CFE=45°，∴2CD2=18，∴CD=3，∴OF==，所以tanθ==，所以直线AF与平面CDEF所成角的正切值为．…（15分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成的角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N 分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），即可得出抛物线方程．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．可得|PG|=a．在RT△PQG中，可得|QM|=a，因此k=tan∠QPG=，即可得出．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．把直线方程分别抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得M，N的坐标，利用两点之间的距离公式可得，|TM|，|TN|．S△TMN=及基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），∴y2=8x．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．|PH|=2a=2|GH|，∴|PG|=a．在RT△PQG中，|PG|=a，|PQ|=3a，得|QM|=a，∴k=tan∠QPG=，同理k＜0时，，∴．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．由，∴，同理可得，∴，，∴，当且仅当|m|=1时，面积取到最小值16．点评：本题考查了抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直角三角形的边角关系、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省五校联考高考数学二模试卷 文(含解析)
2015年浙江省五校联考高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知数列{a n}满足：a n=，且S n=，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．103．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度4．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③ B．②③ C．②④ D．①④5．已知菱形ABCD的对角线AC长为1，则=（）A．4 B．2 C．1 D．6．设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．7．如图，已知椭圆C1： +y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C． D．8．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=，A∪B=，C R A= ．10．若变量x，y满足，则2x+y的最大值为，的取值范围．11．已知命题p：∃x∈R，x﹣1＞lnx．命题q：∀x∈R，＞0，则￢p：，命题p∧（￢q）是（填真命题或假命题）．12．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．13．已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=．14．已知点 A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是．15．已知O是△ABC内心，若=+，则cos∠BAC=．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B=30°，c=，f（C）=1，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积．17．已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．若a=，d=，求证：2∈M．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．19．已知抛物线y2=2x上有四点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），点M （3，0），直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC 于点P，交BD于点Q．（1）求y1y2的值；（2）求证：MP=MQ．20．已知函数f（x）=|x2﹣a|+x2+kx，（a为常数且0＜a＜4）．（1）若a=k=1，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．求+的取值范围．2015年浙江省五校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】简易逻辑．【分析】“”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”，反之不成立，可能为B或C=90°．即可判断出．【解答】解：“”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”，反之不成立，可能为B或C=90°．因此“”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．2．已知数列{a n}满足：a n=，且S n=，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】对通项拆项，利用并项法相加即可．【解答】解：∵a n==﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，又∵S n=，∴1﹣=，解得n=9，故选：C．【点评】本题考查数列的前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，属于中档题．3．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用诱导公式化简函数y=cos（2x﹣）为正弦函数类型，然后通过平移原则，推出选项．【解答】解：因为函数y=cos（2x﹣）=sin（2x+），所以可将函数y=cos（2x﹣）的图象，沿x轴向右平移，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，得到函数y=sin2x的图象，故选：C．【点评】本题考查三角函数的诱导公式的应用，函数的图象的平移，考查计算能力．4．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；推理和证明．【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故选：C．【点评】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．5．已知菱形ABCD的对角线AC长为1，则=（）A．4 B．2 C．1 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积定义，写出，由零星的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义、以及||•cos∠DAC=||，即可得到答案．【解答】解：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，则AC⊥BD，且AO=AC=．由平面向量的数量积定义可知： =||•||cos∠DAC=||•||=1×=，故选：D．【点评】本题考查两平面向量的数量积的定义，借助菱形的对角线互相垂直平分，考查基本的三角函数的运算，是一道基础题．6．设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可知，求的是的最小值，并且a，b＞0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：∵ =+=++≥+2=，（当且仅当a=b=时取到等号）∴≤﹣（当且仅当a=b=时取到上确界）故选：D．【点评】这是一个常见的利用基本不等式求最值的问题，主要是利用题设构造积为定值的技巧．7．如图，已知椭圆C1： +y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．【解答】解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1： +y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．8．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．【解答】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=﹣，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．【点评】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），C R A= （﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，得到0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即B=（1，5），∴A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．若变量x，y满足，则2x+y的最大值为8 ，的取值范围．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设z=x+y，由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=x+y=1+2=3．此时2x+y的最大值为23=8．设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最小为k==﹣3，OD的斜率最大为k==，故﹣3，故答案为：8，．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．11．已知命题p：∃x∈R，x﹣1＞lnx．命题q：∀x∈R，＞0，则￢p：∀x∈R，x﹣1≤lnx，命题p∧（￢q）是真命题（填真命题或假命题）．【考点】特称命题；复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】直接由特称命题的否定写出￢p，由全称命题的否定写出￢q，判断出真假后可得命题p∧（￢q）的真假．【解答】解：命题p：∃x∈R，x﹣1＞lnx是特称命题，则￢p：∀x∈R，x﹣1≤lnx，命题q：∀x∈R，＞0，为全称命题，则￢q：∃x∈R，．命题p为真命题，命题￢q为真命题，∴命题p∧（￢q）是真命题．故答案为：∀x∈R，x﹣1≤lnx；真命题．【点评】本题考查了全称命题和特称命题的否定，考查了复合命题的真假判断，是基础题．12．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色）．∴多面体的体积为1﹣×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．【点评】本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=﹣1 ．【考点】余弦函数的奇偶性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用奇函数的定义可得sin（x+α）=﹣cosx，故可取α=﹣，从而得到sinα=﹣1．【解答】解：根据函数f（x）=是奇函数，可得sin（x+α）=﹣cosx，故可取α=﹣，故sinα=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查奇函数的定义、诱导公式，属于基础题．14．已知点 A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≤．【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】化标准方程易得圆的圆心为M（a，a），半径r=a，由题意可得1≥≥sin∠MAT，由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，∴圆的圆心为M（a，a），半径r=|a|，∴AM=，TM=|a|，∵AM和TM长度固定，∴当T为切点时，∠MAT最大，∵圆M上存在点T使得∠MAT=45°，∴若最大角度大于45°，则圆M上存在点T使得∠MAT=45°，∴=≥sin∠MAT=sin45°=，整理可得a2+2a﹣2≥0，解得a≥或a≤，又=≤1，解得a≤1，又点 A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1综上可得≤a＜1或a≤故答案为：≤a＜1或a≤【点评】本题考查圆的一般式方程和圆的性质，涉及距离公式的应用，属中档题．15．已知O是△ABC内心，若=+，则cos∠BAC=．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】过O作OD∥AC，OE∥AB，因为O是内心，得到四边形ADOE是菱形，所以AD=AE=DO，由平行四边形法则得到，设AB=5k，过O作OF∥BC交AB于F，通过数据线相似得到BF，OF的长度，在三角形ODF中，利用余弦定理求cos∠DFO．【解答】解：如图，过O作OD∥AC，OE∥AB，因为O是内心，所以四边形ADOE是菱形，并且=λ=+，所以，又AD=AE，所以，设AB=5k，则AC=10k，OD=2k，过O作OF∥BC交AB于F，则∠4=∠5，又∠3=∠4，所以∠3=∠5，所以BF=OF，又△ABC∽△DFO，所以BF：AB=DO：AC，则DF=k，所以BF=AB﹣AD﹣DF=5k﹣2k﹣k=2k，所以OF=2k，所以cos∠BAC=cos∠FDO==；故答案为：．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则以及利用余弦定理求角；关键是适当作出辅助线，将问题转化为解三角形．属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B=30°，c=，f（C）=1，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积．【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性即可得出；（2）利用三角函数的单调性与周期性可得C，利用直角三角形的边角公式即可得出．【解答】解：（1）==，∵x∈R，∴，∴f（x）的最小值是﹣1，∴，故其最小正周期是π（2）∵f（C）=1，∴，又∵0＜2C＜2π，∴，∴，∴，∵B=，∴A=，∴△ABC 是直角三角形．∴=2，∴b=1，设三角形ABC的面积为S，∴S===．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性、直角三角形的边角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．若a=，d=，求证：2∈M．【考点】数列递推式；元素与集合关系的判断．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）根据数列的递推关系，进行递推即可，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）根据数列的递推关系求出b的表达式，即可证明结论．【解答】解：（1）当a=1时，a16=1+15d，a31=16+15d，．因为d≠0，，或，所以a46∈（﹣∞，﹣14]∪[46，+∞）．（2）由题意，1≤n≤16，．令，得i+j+k=7．因为i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16，所以令i=1，j=2，k=4，则2∈M．【点评】本题主要考查递推数列的应用，考查学生运算和推理能力，有一定的难度．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V P﹣BCD=V B﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．【解答】解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；∴AE∥DF，且AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD；∴AE∥平面PCD；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；则PO⊥AB；又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；∴PO⊥平面ABCD；根据已知条件可求得PO=，S△BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；∴，；∵V P﹣BCD=V B﹣PCD；∴；∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．【点评】考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．19．已知抛物线y2=2x上有四点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），点M （3，0），直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC 于点P，交BD于点Q．（1）求y1y2的值；（2）求证：MP=MQ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用直线AB过点M（3，0）可设直线AB的方程为x=my+3，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得结论；（2）利用y2=2x，可得直线AC的斜率为，进而可得直线AC的方程、点P 的纵坐标，同理可得点Q的纵坐标，利用PQ⊥x轴即得结论．【解答】（1）解：∵直线AB过点M（3，0），A（x1，y1）、B（x2，y2），∴设直线AB的方程为x=my+3，联立方程组，得：y2﹣2my﹣6=0，由韦达定理可知y1y2=﹣6；（2）证明：∵y2=2x，∴直线AC的斜率为，∴直线AC的方程为，∴点P的纵坐标为=，同理：点Q的纵坐标为y Q=，∴y P+y Q=0，又PQ⊥x轴，∴MP=MQ．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=|x2﹣a|+x2+kx，（a为常数且0＜a＜4）．（1）若a=k=1，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．求+的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由于a=k=1，故函数f（x）=|x2﹣1|+x2+x，分类讨论去掉绝对值，求得f（x）＞2的解集．（2）由题意可得，f（x）在在上有一零点，在上有一零点；或f （x）在上有两个零点．分别求得k的范围，再利用二次函数的性质求得+的取值范围．【解答】解：（1）由于a=k=1，故函数f（x）=|x2﹣1|+x2+x．若x2﹣1≥0，则|x2﹣1|+x2+x＞2，即2x2+x﹣3＞0，解得；若x2﹣1＜0，则|x2﹣1|+x2+x＞2，即1﹣x2+x2+x＞2，∴x＞1，故不等式无解．综上所述：f（x）＞2的解集．（2）因为0＜a＜4，所以，因为函数f（x）在（0，2）上有两个零点有两种情况：可以在上有一零点，在上有一零点；或f（x）在上有两个零点．当f（x）=0在上有两个零点，则有，∴，∵，所以不等式组无解．当在上有一零点，在上有一零点，∵，且0＜a＜4，∴，∴，所以k的取值范围为．不妨令，∴，令，则f（k）在区间上为减函数，∴f（k）∈（4，8），∴+∈（，）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，方程根的存在性以及个数判断，二次函数的性质，属于中档题．。
浙江省杭州重点中学1415高二上学期期末——数学(文)数
浙江省杭州地区（含周边）重点中学 2014—2015学年度上学期期末考试高二数学文试题考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．半径为2cm 的球的体积是（ ▲ ） A ． cm 3 B ． cm 3 C ． cm 3 D ． cm 3 2．直线x ＝－的倾斜角和斜率分别是（ ▲ ） A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在 3.已知实数，则是且的（ ▲ ）条件A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ▲ ）A ．若，则 B ．若，则C ．若，则 D ．若，则5．六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为（ ▲ ）A. B. C. D.6．若直线与圆2240x y kx my +++-=交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线对称，则的值是（ ▲ ） A ． B ．0 C ． D ． 3 7.已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（ ▲ ） A ． B ． C ． D ．8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为2的直线交椭圆于、两点，若△为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ▲ ）A ．53B ．23C ．23D ．139.三棱柱中，与、所成角均为，，且，则与所成角的余弦值为（ ▲ ）A ．1B ．－1C ．D ．－10．已知ABCD-ABCD 是边长为1的正方体，P 为线段AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上的动点，则最小值为（ ▲ ） A ． B ． C ．2 D ． 二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.在空间直角坐标系中，是点关于轴的对称点，则= ___▲___． 12.两平行直线与之间的距离为___▲___．13.设抛物线的准线为，为抛物线上的动点，定点，则与点到准线的距离之和的最小值为___▲___． 14. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为___▲___．15.如图四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且,为中点，则下列结论中正确的是___▲___．①； ②//平面； ③平面平面； ④平面//平面.16.已知分别是双曲线的左右焦点，A 是双曲线在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点B ，则的面积等于___▲___．17.已知动点在椭圆上，若A 点的坐标为(6,0)，，且，则的最小值为___▲___．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）已知命题13102:22=-+-m y m x p 方程表示焦点在轴上的椭圆； 已知命题125:22=+-my m x q 方程表示双曲线； 若为真，为假，求实数的取值范围。
浙江省五校联考第二次考试.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2014学年浙江省五校联考第二次考试数学（文科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()11223V h S S S S =++ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2 其中R 表示球的半径，h 表示台体的高球的体积公式V =43πR 3 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 在C ∆AB 中，“C 0AB⋅A =”是“C ∆AB 为直角三角形”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知数列{}n a 满足：21n a n n =+，且910nS =，则n 的值为（ ▲ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ▲ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度4．若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ▲ ） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①④ 5．已知菱形ABCD 的对角线AC 长为1，则AD AC =（ ▲ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．216．设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+ 的上确界. 若,a b R +∈，且1a b +=，则122ab--的上确界为（ ▲ ） A ．5-B ．4-C ．92D ．92-7．如图，已知椭圆C 1：112x +y 2=1，双曲线C 2：22ax —22b y =1（a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ▲ ） A ．5 B ．5 C ．17 D ．7142 8. 如图，正ABC ∆的中心位于点G (0,1)，A (0,2)，动点P 从A 点出发沿ABC ∆的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度(02)AGP x x π∠=≤≤，向量OP 在(1,0)a =方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图像是（ ▲ ）非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．） 9．设全集U R =，集合2{|340}A x x x =--<，2{|log (1)2}B x x =-<，则AB = ▲ ，A B = ▲ ，R C A = ▲ .10．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为 ▲ ，_____21的取值范围-+x y ▲ .11. 已知命题p ：R x ∈∃，x-1>lnx ．命题q ：R x ∈∀，0>x ，则⌝p ： ▲ ，命题p ∧（⌝q ）是 ▲ （填真命题或假命题）。
浙江省杭州市萧山区第二高级中学等三校2014-2015学年高二上学期期末联考数学文试题 Word版含答案
2014-2015学年高二第一学期期末考试数学文试题卷年级：高二 学科：文科数学 满分：100分 考试时间：90分钟考生须知：1、本卷共4页；2、本卷答案必须做在答案卷上，做在试卷上无效；3、答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、直线1x =的倾斜角为 （ ） A ．3π B.56π C.6π D.23π 2、设,a b R ∈，则“a b >”是“22b a >”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3、直线()11x a y -+=与圆223x y +=的位置关系是 （ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 与实数a 的大小有关4、 若点()n m P ,，)1,1(+-m n Q 关于直线l 对称，则l 的方程是 （ ） A ．01=+-y x B ．0=-y x C ．01=++y x D ．0=+y x5、 右图是边长相等的两个正方形．则下列三个命题中正确的个数 （ ） ①存在三棱柱，其正视图、侧视图如右图； ②存在四棱柱，其正视图、侧视图如右图； ③存在圆柱，其正视图、侧视图如右图． A.3 B.2 C.1 D.06、已知点),(n m P 是直线052=++y x 上的任意一点，则22n m +的最小值为（ ）A.5B.10C.5D.10 7、已知直线l 与直线m 是异面直线，直线l 在平面α内，在过直线m 所作的所有平面中（ ） A ．一定存在与l 平行的平面，也一定存在与α平行的平面 B ．一定存在与l 垂直的平面，也一定存在与α平行的平面第5题图侧视图正视图C ．一定存在与l 垂直的平面，也一定存在与α垂直的平面D ．一定存在与l 平行的平面，也一定存在与α垂直的平面8、ABC ∆所在平面α外一点P ，点P 在平面α上的射影为O ，若==PA PB PC ，则点O 是ABC ∆的 （ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心9、我国发射的“嫦娥一号”探月卫星的运行轨道分为三个阶段，绕地阶段、变轨阶段、 绕月阶段，绕地阶段时以地球中心2F 为焦点的椭圆，近地点A 距离地面为m 千米，远地 点B 距离地面为n 千米，地球的半径为R 千米，则卫星运行轨道的短轴长为 ( ) A．C ．mnD ．2mn 10、已知圆O ：2240x y +-=，圆C ： 222150x y x ++-=，若圆O 的切线l 交圆C 于,A B 两点，则OAB ∆面积的取值范围是 （ ） A.]152,72[ B.]8,72[ C.]152,32[ D.]8,32[ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 ▲ .12、椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），则k ＝ ▲13、已知325a b +=，其中a 、b 是实常数，则直线100ax by +-=必过一定点_____▲____． 14、矩形ABCD 的长为2，宽为1，将它沿对角线AC 翻折，使二面角B-AC-D 的大小为3π， 则四面体ABCD 外接球表面积为______▲______ .15、 已知函数a ax x x f +-=2)(．设:p 方程0)(=x f 有实数根；:q 函数)(x f 在区间]2,1[上是增函数.若p ∨q 为真，则a 的取值范围__________▲________．16、四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，正视图侧视图俯视图BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体 A′－BCD ，使平面A′BD⊥平面BCD ，则下列 结论中正确的序号是 ＿＿▲ ＿①A′C⊥BD ②CA′与平面A′BD 所成的角为45° ③CD A BA ''面⊥ ④四面体A′－BCD 的体积为1317、 已知点)1,0(),0,1(B A -，圆C: 1)(22=+-y a x ,点P 是圆C 上的一动点，若数量积AP AB ∙的最小值为2，则a 的值为____▲____三、解答题（共 4小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18、（本小题满分为8分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点M （2,0），AB 边所在的直线的方程为063=--y x ， 点T （-1,1）在AD 边所在直线上。
浙江省杭州市萧山区2014-2015学年高一语文上学期五校期末联考试题不分版本
浙江省杭州市萧山区2014-2015学年高一语文上学期五校期末联考试题不分版本2014学年第一学期萧山五校高一期末教学质量检测语文〔学科〕试题卷考生须知：1．本卷总分值100分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级、姓名、学号、试场号、座位号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束只需上交答题卷。
—〔22分〕1．以下词语中加点字的读音全都正确的一项为哪一项〔〕〔3分〕A. 炫．耀(xuàn) 干瘪．(biě) 下载．〔zài〕徇．情枉法〔xùn〕B. 挫．折(cuō) 木讷．〔nè〕吮．吸〔shǔn〕锲．而不舍〔qiè〕C. 思忖．(cǔn ) 憎．厌(zèng) 巷．道(hàng) 汗流浃．背〔jiā〕D．谂．知〔niǎn〕搭讪．〔shàn〕懵．〔měng〕懂自怨自艾．〔yì〕2. 以下各句中，没有错别字的一项为哪一项〔〕〔3分〕A．画家喜欢将人活动的场景搬到夜晚的水中，朗月下的水面，空明，静寂，溶溶的月下，迷离的江雾中，人与世界神秘地溶合在一起。
B．在雨夜中专心攻读，身心会超常地熨贴；在夜雨思念友人，会思念到立即寻笔写信；在夜雨中挑灯作文，文字也会变得滋润慰藉。
C．秋天不要多吃辣椒，以免影响肺和皮肤，平时可常用清水慢慢滋润鼻腔，或夜晚时在屋内放一盆水，这些对缓解秋躁多有良效。
D．有着臃肿身材的韩国“鸟叔〞，曾因其貌不扬而被鄙视，如今却风头正健，盖过众多俊男靓女，其怪诞滑稽的骑马舞更是风行全球。
3. 依次填入以下各句空格处的词语完全正确的一项为哪一项 ( ) 〔3分〕①沿着荷塘，是一条曲折的小煤屑路。
这是一条的路；白天也少有人走，夜晚更加寂寞。
②秋的味，秋的色，秋的意境与姿态，总看不饱，尝不透，不到十足。
③我为了这永远向着阳光生长的植物不快，因为它损害了我的自尊心。
浙江省杭州市萧山区五校联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2014-2015学年浙江省杭州市萧山区五校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|2≤x＜5}，则A∩（∁U B）=( ) A．{x|1≤x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|x≥5} D．{x|1＜x＜2}2．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是( )A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是( )A．y=log x B．C．y=﹣x3D．y=tanx4．三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为( )A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.85．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是( )A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）6．已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin，cos），则sinα=( )A．﹣B．﹣C．D．7．将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，再向左平移个单位，所得图象的函数解析式是( )A．y=﹣sin（2x+） B．y=sin（2x+）C．y=cos D．y=sin（+）8．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f （7）=( )A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．989．函数f（x）=的大致图象为( )A．B．C．D．10．已知函数，则f（x）的值域是( ) A．[﹣1，1]B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.）11．已知集合A={x|1＜x﹣1≤4}，B=（﹣∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．12．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=__________．13．已知log53=a，5b=2，则5a+2b=__________．14．若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为__________rad．15．若，则=__________．16．若函数的最大值为3，最小值为﹣1，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，则=__________．17．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知函数f（x）=，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且＜α＜2π，求sinα﹣cosα．19．已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|，（Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．20．已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数a的值；（2）试判断函数的单调性并加以证明；（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．21．已知f（x）=﹣sin（2x+）+2，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）f（x）的单调递增区间；（3）若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0，]上有解，求实数m的取值范围．2014-2015学年浙江省杭州市萧山区五校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|2≤x＜5}，则A∩（∁U B）=( ) A．{x|1≤x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|x≥5} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵B={x|2≤x＜5}，∴C U B={x|x＜2或x≥5}，则A∩（∁U B）={x|1＜x＜2}，故选D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是( )A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．【点评】本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是( )A．y=log x B．C．y=﹣x3D．y=tanx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】数形结合；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】A．y=log x（x＞0）为非奇非偶函数，即可判断出正误；B.在区间（0，1）内单调递增；C．y=﹣x3，满足题意；D．y=tanx在区间（0，1）内单调递增．【解答】解：A．y=log x（x＞0）为非奇非偶函数，不正确；B.是奇函数，但是在区间（0，1）内单调递增，不正确；C．y=﹣x3，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减，正确；D．y=tanx是奇函数，但是在区间（0，1）内单调递增，不正确．故选：C．【点评】本题考查了函数奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为( )A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.8【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0，∴log20.8＜0.993.3＜log3π，故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是( )A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】确定f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，根据零点存在定理，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3在R上是增函数，求解：f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x﹣4的零点所在的大致区间是（，）故选：C．【点评】本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．6．已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin，cos），则sinα=( )A．﹣B．﹣C．D．【考点】单位圆与周期性．【专题】三角函数的求值．【分析】利用单位圆的性质求解．【解答】解：∵角α的终边与单位圆相交于点P（sin，cos），∴sinα=cos=cos（2）=cos=．故选：D．【点评】本题考查角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的灵活运用．7．将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，再向左平移个单位，所得图象的函数解析式是( )A．y=﹣sin（2x+） B．y=sin（2x+）C．y=cos D．y=sin（+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象关系即可得到结论．【解答】解：将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，得到y=sin （x+），再向左平移个单位，所得图象的函数解析式是y=sin[（x+）+]=sin（x+）=cos，故选：C【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．8．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f （7）=( )A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98【考点】函数的周期性；奇函数；函数奇偶性的性质．【分析】利用函数周期是4且为奇函数易于解决．【解答】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4所以f（7）=f（3）=f（﹣1），又f（x）在R上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，故选A．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．9．函数f（x）=的大致图象为( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性，即可判断函数的图象．【解答】解：∵f（﹣x）==f（x），且定义域关于原点对称，∴函数f（x）为偶函数，即函数f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，B当x＞1是函数y=lg|x|为增函数，当0＜x＜1时，函数y=lg|x|为减函数，当x＞0，函数y=为减函数，故函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数，故图象为先增后减，故排除C，故选：D【点评】本题主要考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．10．已知函数，则f（x）的值域是( ) A．[﹣1，1]B．C．D．【考点】正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题．【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【解答】解：由题=，当时，f（x）∈[﹣1，]当时，f（x）∈（﹣1，）故可求得其值域为．故选：D．【点评】本题考点是在角函数求值域，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.）11．已知集合A={x|1＜x﹣1≤4}，B=（﹣∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（5，+∞）．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】先解出集合A=（2，5]，而根据A⊆B便得到，a＞5，即可得出结论．【解答】解：A=（2，5]，A⊆B；∴5＜a，∴a∈（5，+∞）．故答案为：（5，+∞）．【点评】考查子集的概念，注意由A⊆B得到5＜a，而不是5≤a．12．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=27．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】用待定系数法求出幂函数y=f（x）的解析式，再计算f（9）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，a∈R，且图象过点，∴2a=2，解得a=，∴f（x）=；∴f（9）==27．故答案为：27．【点评】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．13．已知log53=a，5b=2，则5a+2b=12．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数式与对数式的互化代入，求解表达式的值即可．【解答】解：log53=a，5b=2，可得b=log52，5a+2b===12．故答案为：12．【点评】本题考查对数运算法则的应用，指数式与对数式的互化，考查计算能力．14．若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为2rad．【考点】弧长公式．【专题】计算题．【分析】设扇形的圆心角为α，半径为R，则根据弧长公式和面积公式有，故可求扇形的圆心角．【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为R，则⇒．故答案为：2．【点评】本题主要考察了弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．15．若，则=．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简所求表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：，则====．故答案为：．【点评】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，函数值的求法，考查计算能力．16．若函数的最大值为3，最小值为﹣1，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，则=3．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A和B，由周期求出ω，可得函数的解析式，再代值计算即可．【解答】解：的最大值为3，最小值为﹣1，∴，解的A=2，B=1，再根据图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数的周期为=2×，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x﹣）+1，∴=2sin（3×﹣）+1=2sin+2=3，故答案为：3【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）+B的部分图象求解析式，由函数的最值求出A和B，由周期求出ω，属于基础题．17．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是（1，2]．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数单调性的定义和性质即可得到结论．【解答】解：根据分段函数单调性的性质则满足，即，解得1＜a≤2，故答案为：（1，2]【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．三、解答题（本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知函数f（x）=，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且＜α＜2π，求sinα﹣cosα．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用f（0）=1求出φ的值即得三角函数的解析式；（2）根据三角函数值求出角的取值范围，再计算三角函数值．【解答】解：（1）∵，∴，又∵，∴，∴；（2）∵∴，∴，∴，∴，∴；又，∴．【点评】本题考查了求三角函数的解析式以及根据三角函数值求值的应用问题，是中档题目．19．已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|，（Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．【考点】函数单调性的判断与证明；二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）把a=2代入，可得f（x）=，由二次函数的知识可得；（Ⅱ）因为a＞2，当x∈[1，2]时，f（x）=x（a﹣x）=，由二次函数的对称性和单调性，分类讨论可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|=，由二次函数的知识可知，单调递增区间为（﹣∞，1）和（2，+∞）；（Ⅱ）因为a＞2，当x∈[1，2]时，f（x）=x（a﹣x）=，当，即2＜a≤3时，f（x）min=f（2）=2a﹣4，当，即a＞3时，f（x）min=f（1）=a﹣1故f（x）min=【点评】本题考查函数的单调性的判断与证明，涉及二次函数在闭区间的最值与分类讨论的思想，属基础题．20．已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数a的值；（2）试判断函数的单调性并加以证明；（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．【专题】证明题；综合题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）解f（0）=0可得a值；（2）由单调性的定义可得；（3）由（1）（2）可得函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，可得m≥1．【解答】解：（1）由函数为奇函数可得f（0）==0，解得a=﹣1；（2）由（1）可得f（x）===1﹣，可得函数在R上单调递增，下面证明：任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=＜0，∴函数f（x）=R上的增函数；（3）∵函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，要使不等式f（x）＜m恒成立，则需m≥1【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性以及恒成立问题，属中档题．21．已知f（x）=﹣sin（2x+）+2，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）f（x）的单调递增区间；（3）若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0，]上有解，求实数m的取值范围．【考点】正弦函数的图象．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性，得出结论．（2）求出y=sin（2x+）的减区间，即为f（x）的单调递增区间，再利用正弦函数的单调性得出结论．（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=m﹣1在x∈[0，]上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的值域，可得m的范围．【解答】解：（1）由于f（x）=﹣sin（2x+）+2，它的最小正周期为=π，令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．（2）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（3）若方程f（x）﹣m+1=0在x∈[0，]上有解，则函数f（x）的图象和直线y=m﹣1在x∈[0，]上有交点．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）∈[2﹣，]，故m﹣1∈[2﹣，]，∴m∈[3﹣，]．【点评】本题主要考查正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。
浙江省杭州市萧山区2014年高考模拟文科数学试卷2
浙江省杭州市萧山区2014年高考模拟文科数学试卷2本试题卷分选择题和非选择题两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式： 球的表面积公式S=42R π 球的体积公式 V=334R π其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V=13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表 示锥体的高 柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高台体的体积公式V=121()3h S S ++ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 如果事件A ，B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
(1)．（原创）如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）(A).2 (B). (C). 2± (D). ±(2)．（原创）若8)1(axx -展开式中含2x 的项的系数为7，则a = ( ) (A) 2- （B) 2 （C ）21- （D ）21(3). （原创） 在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围（ ）(A)．(B)．)2 (C)． ()0,2(D)． )2(4).（引用） 在斜三棱柱111C B A ABC -中，00,B A 分别为侧棱11,BB AA 上的点，且知100A A BB =，过100,,C B A 的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（ ）A ．2:1B ．4:3C ． 3:2D ．1:1(5)．（2-2作业本P13第3题改编）若定义在R 上的函数)(x f y =满足55()()22f x f x +=-且5()()02x f x '->，则对于任意的21x x <，都有)()(21x f x f >是521<+x x 的 （ ）(A)．充分不必要条件 (B)．必要不充分条件(C)．充分必要条件 (D)．既不充分也不必要条件 (6)．（原创）已知0,0,2,a b a b ab >>+=且则ab 的最小值是 （ ）(A)．4(B)．8 (C)．16 (D)．32(7).（2011杭二中高三月考改编）在区间[,]22ππ-上随机抽取一个数,cos x x 的值介于0和12之间的概率为 （ ）（A ）．12（B ）．23 （C ）．13（D ）．6π(8).(原创)若k 是4和9的等比中项，则圆锥曲线122=+ky x 的离心率是（ ） (A)．7(B)．630 C ．642或5 D ．630或7（9）.(原创)方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x 有解，则a 的取值范围 （ ）(A)0>a 或8-≤a (B)0>a (C)3180≤<a (D)2372318≤≤a （10）．（引用）函数2342013()1 (2342013)x x x x f x x =+-+-++,2342013()1...2342013x x x x g x x =-+-+--,设函数4)-3)g(x f(x F(x)+=，且函数)(x F 的零点均在区间[,](,)a b a b Z ∈内，则b a -的最小值为 （ ） (A)8 (B)9 (C)10 (D)11第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014-2015学年浙江省杭州市萧山区五校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）直线x=﹣2的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．135°，﹣1C．90°，不存在D．180°，不存在2．（3分）已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则m的范围为（）A．（4，6）B．（5，6）C．（6，+∞）D．（﹣∞，4）3．（3分）“a=﹣1”是“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48B．32+8C．48+8D．805．（3分）已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（）A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m6．（3分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB 相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥2或k≤B．≤k≤2C．k≥D．k≤27．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是（）A．{}B．{α|≤α≤}C．{α|≤α≤}D．{α|≤α≤}8．（3分）正六棱锥P﹣ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比为（）A．1：1B．1：2C．2：1D．3：29．（3分）若集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，B={（x，y）|x2+（y﹣2）2≤a﹣1}，（a＞1），且A∩B=B，则a的取值范围是（）A．1＜a＜5B．a≥5C．1＜a≤5D．a＜510．（3分）我们把由半椭圆+=1（x≥0）与半椭圆+=1（x＜0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（）A．5，4B．，1C．5，3D．，1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）以A（3，2），B（1，4）所连线段为直径的圆的方程是．12．（4分）已知p：|x﹣m|＜4，q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，且q是p的充分不必要条件，则m的取值范围为．13．（4分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于．14．（4分）设直线l经过点P（3，4），圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=4．若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．15．（4分）如图，∠BAC=90°的等腰直角三角形ABC与正三角形BCD所在平面互相垂直，E是线段BD的中点，则AE与CD所成角的大小为．16．（4分）若a2+b2=4c2（c≠0），则直线ax+by+2c=0被圆x2+y2=2所截得的弦长为．17．（4分）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为．三、解答题（本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19．（10分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．20．（10分）如图所示，在四面体P﹣ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PA⊥AB，F是线段PB上一点，且EF⊥PB，点E在线段AB上，CE⊥AB．（1）证明：PB⊥平面CEF；（2）求二面角B﹣CE﹣F的正切值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相较于A，B两点，且点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1•k2取最大值时，求直线l的方程．2014-2015学年浙江省杭州市萧山区五校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）直线x=﹣2的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．135°，﹣1C．90°，不存在D．180°，不存在【分析】由直线倾斜角的定义可知直线x=﹣2的倾斜角为90°，由90°的正切值不存在知直线x=﹣2的斜率不存在．【解答】解：直线x=﹣2为过点（﹣2，0）且垂直于x轴的直线，则直线x=﹣2的倾斜角为90°，∵90°的正切值不存在，∴直线x=﹣2的斜率不存在．故选：C．2．（3分）已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则m的范围为（）A．（4，6）B．（5，6）C．（6，+∞）D．（﹣∞，4）【分析】由为焦点在y轴上的椭圆，可得m﹣4＞6﹣m＞0，求解关于m的不等式得答案．【解答】解：∵为焦点在y轴上的椭圆，∴m﹣4＞6﹣m＞0，即5＜m＜6．∴m的范围为（5，6）．故选：B．3．（3分）“a=﹣1”是“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由题意需要把﹣1代入直线方程，判断斜率之积是否为﹣1；再由直线垂直的等价条件求出两直线垂直时a的值，再判断充分性和必要性是否成立．【解答】解：当a=﹣1时，直线分别为x﹣y+6=0与4x+4y+9=0，则两直线垂直；当直线a2x﹣y+6=0与4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直时，则有4a2+（a﹣3）=0，解得a=﹣1或，故选：A．4．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48B．32+8C．48+8D．80【分析】由已知中的三视图我们可以得到该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，根据三视图中标识的数据，我们分别求出四棱柱的底面积和侧面积即可得到答案．【解答】解：如图所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱，其底面上底长为2，下底长为4，高为4，故底面积S=×（2+4）×4=12底腰长为：=则底面周长为：2+4+2×=6+2则其侧面积S侧=4×（6+2）=24+8则该几何体的表面积为S=2×S底+S侧=2×12+24+8=48+8故选：C．5．（3分）已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（）A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m【分析】利用直线与平面平行的判断与性质，判断选项A，C，D推出正误；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误；对选项逐一判断即可．【解答】解：l∥α，l∥β可能推出α、β 相交，所以A不正确；α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确；m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥β，如果m∥n推出α、β 相交，所以C不正确；只有D是正确的．故选：D．6．（3分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB 相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥2或k≤B．≤k≤2C．k≥D．k≤2【分析】由题意画出图形，求出P与线段AB端点连线的斜率得答案．【解答】解：如图，∵，，∴直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选：A．7．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是（）A．{}B．{α|≤α≤}C．{α|≤α≤}D．{α|≤α≤}【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，求这两向量夹角即可．【解答】解：如图，分别以边DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为1，P（x，0，0）（0≤x≤1），并能确定以下几点坐标：M（），D1（0，0，1），N（0，1，）；∴；∴；∴，∴．故选：A．8．（3分）正六棱锥P﹣ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比为（）A．1：1B．1：2C．2：1D．3：2【分析】由于G是PB的中点，故P﹣GAC的体积等于B﹣GAC的体积；求出DH=2BH，即可求出三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比．【解答】解：由于G是PB的中点，故P﹣GAC的体积等于B﹣GAC的体积在底面正六边形ABCDER中BH=ABtan30°=AB而BD=AB故DH=2BH于是V D=2V B﹣GAC=2V P﹣GAC﹣GAC故选：C．9．（3分）若集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，B={（x，y）|x2+（y﹣2）2≤a﹣1}，（a＞1），且A∩B=B，则a的取值范围是（）A．1＜a＜5B．a≥5C．1＜a≤5D．a＜5【分析】集合A、B分别表示两个圆面（a=1时集B表示一个点），A∩B=B⇔B⊆A，说明两圆内含，推出2≤4﹣，结合a＞1求出a的范围即可．【解答】解：集合A、B分别表示两个圆面（a=1时集B表示一个点），A∩B=B⇔B⊆A，即两圆内含；两圆圆心分别为原点和（0，2），半径分别为4和，于是有：2≤4﹣，因为a＞1，所以解得：1＜a≤5，故选：C．10．（3分）我们把由半椭圆+=1（x≥0）与半椭圆+=1（x＜0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A 1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为（）A．5，4B．，1C．5，3D．，1【分析】由题意可知c=|OF2|求得c，再由|OF2|==，解得b，最后由a2=b2+c2求得a．【解答】解：由题意可得|OF2|==，|OF0|=c=|OF2|=，解得b=1，又a2=b2+c2=1+=，得a=，即a=，b=1．故选：D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）以A（3，2），B（1，4）所连线段为直径的圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=2．【分析】先求出A，B两点间中点坐标即为圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出AB间的距离即为圆的直径，从而可得到圆的半径，确定圆的方程．【解答】解：由题意可知A，B的中点为圆心，故圆心为（2，3），AB之间的距离等于直径==2，圆的半径为，所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2=2．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣3）2=2．12．（4分）已知p：|x﹣m|＜4，q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，且q是p的充分不必要条件，则m的取值范围为[﹣1，6] ．【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，结合q是p的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：关于p：|x﹣m|＜4，解得：m﹣4＜x＜m+4，关于q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，若q是p的充分不必要条件，则，解得：﹣1≤m≤6，故答案为：[﹣1，6]．13．（4分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于．【分析】由题意求出底面面积，然后求出三棱锥的体积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：；三棱锥的体积为：=故答案为：14．（4分）设直线l经过点P（3，4），圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=4．若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围（，+∞）．【分析】若直线l与圆C交于两个不同的点，则圆心到直线的距离小于半径，可得故直线的斜率的范围．【解答】解：设直线方程为y﹣4=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+4=0，∵直线l与圆C交于两个不同的点，∴＜2，∴k＞．故答案为：（，+∞）15．（4分）如图，∠BAC=90°的等腰直角三角形ABC与正三角形BCD所在平面互相垂直，E是线段BD的中点，则AE与CD所成角的大小为45°．【分析】先做出AE与CD所成角，取BC中点F，连AF，EF，DF，∠AEF即为AE 与CD所成角，即再求证出AF⊥平面BCD，得到△AEF为等腰直角三角形，问题得以解决【解答】解：取BC中点F，连AF，EF，DF，设BC=2，则AF=1，EF=1，∵平面ABC⊥平面CBD，∴AF⊥BC∴AF⊥平面BCD，∵CD∥EF，则∠AEF即为AE与CD所成角在Rt△AEF中，直角边AF=EF∴∠AEF=45°即AE与CD所成角的大小为45°故答案为：45°．16．（4分）若a2+b2=4c2（c≠0），则直线ax+by+2c=0被圆x2+y2=2所截得的弦长为2．【分析】求出圆心到直线的距离，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．【解答】解：圆的圆心（0，0）到直线ax+by+2c=0的距离为：=1，因为圆的半径为，所以直线ax+by+2c=0被圆x2+y2=2所截得的弦长为：2=2．故答案为：2．17．（4分）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为．【分析】根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG，其中G、F为中点，根据中位线定理求出EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长．【解答】解：由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，∴EF=BD=，GE=GF=SB=，∴轨迹的周长为+．答案：+三、解答题（本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．【分析】先将命题p，q化简，然后由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题得出p，q恰有一真一假，分类讨论即可．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴m＞2；∵关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，∴4m2﹣4（2m+3）＜0，解得﹣1＜m ＜3，“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题⇔p，q恰有一真一假，①若“p真q假”，则，即m≥3，②若“p假q真”，则，即﹣1＜m≤2，综上，实数m的取值范围是（﹣1，2]∪[3，+∞）．19．（10分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．【分析】（1）由方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0配方为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m．由于此方程表示圆，可得5﹣m＞0，解出即可；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．与圆的方程联立可得△＞0及根与系数关系，再利用，⇔=0，即可解出m．【解答】解：（1）由方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0变形为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m．∵此方程表示圆，∴5﹣m＞0，解得m＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立化为5y2﹣16y+8+m=0，∵直线与圆相交，∴△=162﹣20（8+m）＞0，化为．∴y1+y2=，．∵，∴=0，又x1x2=（4﹣2y1）（4﹣2y2）=16﹣8（y1+y2）+4y1y2，∴5y1y2﹣8（y1+y2）+16=0，∴8+m﹣+16=0，解得m=，满足，故m=．20．（10分）如图所示，在四面体P﹣ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PA⊥AB，F是线段PB上一点，且EF⊥PB，点E在线段AB上，CE⊥AB．（1）证明：PB⊥平面CEF；（2）求二面角B﹣CE﹣F的正切值．【分析】（1）推导△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，PA⊥△ABC，PA⊥CE，CE⊥PB，再由EF⊥PB，能证明PB⊥平面EFC．（2）由PB⊥CE，PA⊥平面ABC，知AB⊥CE，过F作FG⊥AB点于G，则∠FEB 是二面角B﹣CE﹣F的平面角，由此能求出二面角B﹣CE﹣F的正切值．【解答】证明：（1）∵PA2+AC2=36+64=100=PC2，∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．…（1分）∵PA⊥AB，PA⊥AC，AC∩AB=A，∴PA⊥△ABC．…（3分）∴PA⊥CE，由题意CE⊥△PAB，则CE⊥PB，又EF⊥PB，EF∩CE=E，故PB⊥平面EFC…（5分）解：（2）由（1）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC，∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE．…（6分）在平面PAB内，过F作FG⊥AB点于G，则FG⊥平面ABC，EG是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC．故∠FEB是二面角B﹣CE﹣F的平面角…（8分），即二面角B﹣CE﹣F的正切值为．…（10分）21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q （1，0）的直线l 与椭圆C 相较于A ，B 两点，且点P （4，3），记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1•k 2取最大值时，求直线l 的方程．【分析】（1）由题意可得：b=c=，a=2，即可得出椭圆C 的标准方程为=1．（2）当直线l 的斜率为0时，利用向量计算公式可得k 1k 2=；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x=my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与椭圆方程联立可得（m 2+2）y 2+2my ﹣3=0，利用斜率计算公式与根与系数的关系可得k 1•k 2==，令t=4m +1，只考虑t ＞0时，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：（1）由题意可得：b=c=，a=2，∴椭圆C 的标准方程为=1．（2）当直线l 的斜率为0时，k 1k 2==；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x=my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立，化为（m 2+2）y 2+2my ﹣3=0，，y 1y 2=，又x 1=my 1+1，x 2=my 2+1，∴k1•k 2=====，令t=4m +1，只考虑t ＞0时， ∴k 1•k 2=+=≤1，当且仅当t=5时取等号．综上可得：直线l 的方程为：x ﹣y ﹣1=0．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。