平面向量重要公式
平面向量加减法公式
平面向量加减法公式
平面向量的加法和减法是向量运算中的基本操作，下面我会从多个角度来解释这些公式。
首先，让我们回顾一下向量的定义。
在二维平面上，一个向量可以用它的横坐标和纵坐标来表示。
假设有两个向量 a 和 b，它们分别表示为 a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)。
向量的加法公式如下：
a +
b = (a1 + b1, a2 + b2)。
这意味着向量的加法就是将两个向量的对应分量分别相加，得到一个新的向量，它的横坐标是原始向量的横坐标相加，纵坐标是原始向量的纵坐标相加。
向量的减法公式如下：
a b = (a1 b1, a2 b2)。
向量的减法也是类似的操作，将两个向量的对应分量分别相减，得到一个新的向量。
另外，我们还可以用向量的几何方法来理解向量的加法和减法。
假设有两个向量 a 和 b，它们的起点都放在原点 O，那么 a + b
的结果就是以向量 a 的终点为起点，以向量 b 的终点为终点的新
向量。
而 a b 的结果则是从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的新向量。
向量的加法和减法还满足一些性质，比如交换律和结合律。
即
a +
b = b + a，(a + b) +
c = a + (b + c)。
这些性质使得向量
的加法和减法更加灵活和便于计算。
总的来说，向量的加法和减法是向量运算中的基本操作，它们
可以用公式表示，也可以用几何方法理解，同时还满足一些重要的
性质。
这些公式和性质对于理解和应用向量运算非常重要。
向量平行公式和垂直公式是什么
向量平行公式和垂直公式是什么平面向量平行对应坐标交叉相乘相等，即x1y2＝x2y，垂直是内积为0。
方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。
零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。
我们规定：零向量与任一向量平行。
平行于同一直线的一组向量是共线向量。
a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。
向量平行公式和垂直公式1向量平行、垂直公式a,b是两个向量a=（a1,a2）b=（b1,b2）a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数a垂直b：a1b1+a2b2=02向量相关定义负向量如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。
零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0。
零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。
规定：所有的零向量都相等。
当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示相同向量。
自由向量始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。
在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。
数学中只研究自由向量。
滑动向量沿着直线作用的向量称为滑动向量。
固定向量作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。
位置向量对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。
方向向量直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量。
相反向量与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，有-(-a)=a，零向量的相反向量仍是零向量。
平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是数学中一种常见的概念，用于表示平面上的有向线段。
在几何学、物理学以及工程学中都有广泛的应用。
以下是一些与平面向量相关的重要公式：1.向量定义：平面上的向量可以由两个坐标表示，通常用小写字母加箭头表示，如AB→。
向量的起点和终点分别是A和B，表示从A指向B的有向线段。
2.向量的平移：平面向量可以进行平移。
设有向线段AB→，向量CD→是向量AB→平移后的结果，则CD→=AB→。
平移后向量的大小和方向保持不变。
3.向量的负向量：向量AB→的负向量是-AB→，即大小相等但方向相反的向量。
如果向量AB→的坐标表示为(a,b)，则-AB→的坐标表示为(-a,-b)。
4.共线向量：如果两个向量的大小和方向相同或相反，则这两个向量是共线的。
即对于向量AB→和CD→，如果存在实数k，使得AB→=kCD→，则两个向量共线。
5.向量的加法：给定两个向量AB→和CD→，则它们的和为AB→+CD→=(a+c,b+d)，其中a、b、c、d分别是AB→和CD→的坐标。
6.向量的减法：给定两个向量AB→和CD→，则它们的差为AB→-CD→=(a-c,b-d)，其中a、b、c、d分别是AB→和CD→的坐标。
7. 数量乘法：给定一个向量AB→和一个实数k，则k乘以向量AB→为kAB→ = (ka, kb)，其中a、b为向量AB→的坐标。
8.向量的数量积（点积）：给定向量AB→和CD→，它们的数量积为AB→·CD→=a*c+b*d，其中a、b、c、d为相应向量的坐标。
数量积的结果是一个实数。
9. 向量的夹角：给定两个非零向量AB→和CD→，它们的夹角为θ，则夹角的余弦值可以通过数量积计算：cos(θ) = (AB→ · CD→) / (，AB→，，CD→，)，其中，AB→，和，CD→，分别为向量AB→和CD→的长度。
10.向量的叉积（向量积）：给定向量AB→和CD→，它们的叉积为AB→×CD→=(b*d-a*c)k，其中a、b、c、d为相应向量的坐标，k为单位向量。
平面向量重要公式
平面向量重要公式在平面向量的学习中，有一些重要的公式是我们经常使用的。
这些公式可以帮助我们处理向量的加减运算、数量积、向量积等问题。
下面我将介绍一些最常用的平面向量重要公式。
1.向量的加法：设有两个向量A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则它们的和向量C可以表示为C(x₁+x₂,y₁+y₂)。
2.向量的减法：设有两个向量A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则它们的差向量C可以表示为C(x₁-x₂,y₁-y₂)。
3.数量积（点积）：设有两个向量A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，它们的数量积可以表示为A·B=x₁x₂+y₁y₂。
4.向量的模长（长度）：设有一个向量A(x,y)，它的模长可以表示为，A，=√(x²+y²)。
5.向量的单位向量：单位向量是指模长为1的向量。
设有一个向量A(x,y)，它的单位向量可以表示为A/，A。
6. 向量的夹角余弦：设有两个非零向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们的夹角余弦可以表示为cosθ = (A·B) / (，A，B，)。
7.向量的垂直性判定：设有两个非零向量A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，它们垂直的充要条件是A·B=0。
8.向量的平行性判定：设有两个非零向量A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，它们平行的充要条件是存在一个非零实数k，使得A=kB。
9.平面向量的坐标表示：对于一个平面向量A，可以将它的坐标表示为A(x,y)。
10.向量的投影：设有一个非零向量A(x₁,y₁)和一个非零向量B(x₂,y₂)，A在B上的投影可以表示为A在B方向上的长度，它等于(A·B)/，B。
11.向量积（叉积）：对于两个平面向量A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，它们的向量积可以表示为A×B=x₁y₂-x₂y₁。
12.向量积的几何意义：向量积的几何意义是产生一个新的向量，新向量的模长等于原两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。
高考数学必考知识点归纳：平面向量公式汇总
2019高考数学必考知识点归纳：平面向量公式汇总定比分点定比分点公式(向量P1P=λ向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是ab=0。
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
高中数学-公式-平面向量
平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。
〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
平面向量重要公式
平面向量重要公式平面向量是指在同一平面上定点两点之间的差。
在平面向量的运算中，存在许多重要的公式，这些公式对于解决数学问题具有重要的指导作用。
下面将介绍一些平面向量的重要公式。
1.向量的加法：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂)向量的加法满足交换律和结合律。
2.向量的数乘：设向量a=(a₁,a₂)，k为实数，则有：k*a=(k*a₁,k*a₂)数乘与向量的顺序可以交换。
3.向量的模：设向量a=(a₁,a₂)，则有：a，=√(a₁²+a₂²)向量的模等于其坐标的平方和的平方根。
4.向量的数量积（点积）：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a·b=a₁*b₁+a₂*b₂向量的数量积满足交换律和分配律。
5.向量的平行性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a//b⇔a₁/b₁=a₂/b₂两个向量平行的充分必要条件是它们的坐标成比例。
6.向量的垂直性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a⊥b⇔a·b=0两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为0。
7.向量的共线性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a、b共线⇔a₁/b₁=a₂/b₂=k（k为实数）两个向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例，且比例因子相同。
8.向量的二次共线性：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，c=(c₁,c₂)，则有：a、b共线两个向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例，且比例因子相同。
9.向量的夹角：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：cosθ = (a·b) / (，a，，b，)两个向量的夹角cosθ等于它们的数量积与它们的模的乘积之商。
10.平行四边形法则：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a+b=c+d一个平行四边形的对角向量相等。
平面向量公式
平面向量公式平面向量这玩意儿，在数学里可是个相当重要的角色！咱先来说说平面向量的加法公式。
想象一下，你在操场上跑步，先向东跑了 5 米，然后又向北跑了 3 米，那你最终的位置怎么算呢？这其实就是平面向量加法的实际应用。
平面向量的加法公式就是把两个向量的对应分量相加。
比如说向量 a = (x1, y1)，向量 b = (x2, y2)，那它们相加得到的向量 c 就是 (x1 + x2, y1 + y2)。
这就好像你把两次跑步的距离在东西和南北方向上分别加起来，就能知道最终的位置。
再讲讲平面向量的减法公式。
假设你和小伙伴一起从学校出发去超市，你走的路线是向量 a，小伙伴走的路线是向量 b，那你俩路线的差异，也就是向量 a 减去向量 b，就是把对应分量相减。
就像你比小伙伴多走的那段路，通过计算就能清楚。
还有平面向量的数量积公式，这可是个很有趣的东西。
想象一下，你用力推一个箱子，你使的力是一个向量，箱子移动的方向又是一个向量。
这两个向量的数量积就能反映出你做功的多少。
平面向量的数量积公式是a·b = |a|×|b|×cosθ，其中θ是两个向量的夹角。
这就好比你推箱子使的劲和箱子移动方向之间的关系，角度不同，做功效果就不一样。
我记得有一次在课堂上，我给学生们讲平面向量的公式。
有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这平面向量在生活中有啥用啊？”我当时就笑了，指着窗外操场上正在打扫卫生的同学说：“你看，那个同学从这边扫到那边，又从那边扫到这边，他移动的轨迹不就可以看成是向量吗？咱们通过向量公式就能算出他打扫的总路程。
”那学生一下子眼睛就亮了，好像突然明白了这些公式不是纸上谈兵，而是真的能解决实际问题。
平面向量的模长公式也不能落下。
向量的模长就像是向量的“长度”。
比如向量 a = (x, y)，它的模长就是√(x² + y²)。
这就好像是要量出一根绳子的长度一样，通过计算得出具体的数值。