模糊BCK-代数及其模糊左(右)简理想
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第一讲 模糊数学概论
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2013/2/26
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即使是一些本来有严格定义的特征,为了从宏观上把 握事物的主要特征和便于处理,有时也更多地用模糊 概念来描述。比如按年龄将人分为“年轻人、中年 人、老年人”,按身高分为“高个子、中等个、矮个 子 ”,按体 重分为“ 胖、不胖 不瘦、瘦 ”。 将常规数学方法应用于本质上是模糊系统的分析是 不协调的,它将引起理论和实际之间的很大的差 距。即使仅以推理和判断而论,人们在日常生活中 所运用的推理规则和过程也并不是绝对而严密的, 其中常伴随着某些不精确性成份；但这并不妨碍他 们对事物进行正确的判断。
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三、模糊数学概述
模糊数学的诞生，得益于用机器去模拟人脑的科 学——人工智能。当用计算机去模拟人脑时，经 典数学在很自然语言具有同一个 词表达各种不同含意的特点，使得词语无须象某 些精密概念所要求的那样界限分明。但语言的上 下文限制又能恰好使它在一个特定的环境中只表 示一种界限分明、意义清楚而非模糊的概念。人 类这种独特的信息处理方式，既高效又可靠，恰 是现代电子计算机所欠缺的。
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1974年印度裔的英国学者E.H.Mamdani(Queen Mary College US)，将模糊逻辑应用于锅炉和蒸 汽机的控制，并在实验室内作了成功的实验，取 得了比传统PID控制更好的效果，这不仅验证了模 糊理论的有效性,也开创了模糊控制这一新的领 域。 1980年,丹麦的史密斯(F.L.Smith)公司成功地将 模糊控制应用到水泥窑的自动控制中,为模糊理论 的实际应用开辟了崭新的前景。从此后,模糊数学 如异军突起，相关的书刊、论文如雨后春笋。
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即使是一些本来有严格定义的特征,为了从宏观上把 握事物的主要特征和便于处理,有时也更多地用模糊 概念来描述。比如按年龄将人分为“年轻人、中年 人、老年人”,按身高分为“高个子、中等个、矮个 子 ”,按体 重分为“ 胖、不胖 不瘦、瘦 ”。 将常规数学方法应用于本质上是模糊系统的分析是 不协调的,它将引起理论和实际之间的很大的差 距。即使仅以推理和判断而论,人们在日常生活中 所运用的推理规则和过程也并不是绝对而严密的, 其中常伴随着某些不精确性成份；但这并不妨碍他 们对事物进行正确的判断。
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三、模糊数学概述
模糊数学的诞生，得益于用机器去模拟人脑的科 学——人工智能。当用计算机去模拟人脑时，经 典数学在很自然语言具有同一个 词表达各种不同含意的特点，使得词语无须象某 些精密概念所要求的那样界限分明。但语言的上 下文限制又能恰好使它在一个特定的环境中只表 示一种界限分明、意义清楚而非模糊的概念。人 类这种独特的信息处理方式，既高效又可靠，恰 是现代电子计算机所欠缺的。
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1974年印度裔的英国学者E.H.Mamdani(Queen Mary College US)，将模糊逻辑应用于锅炉和蒸 汽机的控制，并在实验室内作了成功的实验，取 得了比传统PID控制更好的效果，这不仅验证了模 糊理论的有效性,也开创了模糊控制这一新的领 域。 1980年,丹麦的史密斯(F.L.Smith)公司成功地将 模糊控制应用到水泥窑的自动控制中,为模糊理论 的实际应用开辟了崭新的前景。从此后,模糊数学 如异军突起，相关的书刊、论文如雨后春笋。
BCK-代数上的(入1,入2)-广义模糊关联理想
（ Ｃ 一 ）（ Ｙ Ｂ Ｋ１ （ ） （ Ｃ 一 ） Ｂ Ｋ２ （
（ ｚ） ） ：０
＝０
（ Ｙ ：０ ｚ ）
（ Ｙ ） Ｙ ＝０ ）
定义 ２ ６ 设 是 集合 上 的一个 模糊 集 ， ． 对
（ Ｃ 一） Ｂ Ｋ ３
（ Ｃ － ） Ｂ Ｋ４ ０
∈［ ，］ 集合／ ０１ ， ｘ ＝ ｛ ∈ ； （ ） ｝ ≥ 被称做
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第３ ０卷
第 ４期
东
华
理
工 学
院
学
报
Ｖｏ． ０ Ｎｏ ４ １３ ． Ｄｅ ．２ ｏ ｃ ０７
２０ ０ ７年 １ ２月
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｅ Ｔ Ｃ ＮＡ Ｉ Ｓ Ｉ Ｕ Ｅ ０ Ｔ ＨＮ０Ｌ Ｙ ＡＳ ＨＩ Ｎ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ ＥＣ ０Ｇ
（∈，∈Ｖ ｑ Ａ， ） 模 糊 正规 子 群 的概 念 ， 出 了 （ ／ 一 ｘ 给 （ ∈，∈Ｖ ｑ Ａ ， ： ）模糊 理想 和模 糊关 联 理想 的 （ Ａ ）
（２ ∈ ， Ｉ） Ｙ
∈ 贝 ∈ ０ ，任意 ， Ｙ Ｙ∈
定义 ２ ３ Ｂ Ｋ 代 数 上 的一个 非 空 子集 ． Ｃ 一
（ｓｋ ｔ １ ，９ ８ ： Ｉ ｉ ．１７ ） ｅ ｅａ
定义 ２ ４ Ｂ Ｋ 代数 到 Ｂ Ｋ 代数 ｙ 的一 ． Ｃ ． Ｃ一 上
个 映射 Ｉ被称 做一 个 同态 ， 厂 如果 对任 意 的 ， ∈ Ｙ
都有 Ｉ Ｙ 厂 （ ）＝ｆ（ ｆ（ ） ） Ｙ。 定义 ２ ５ 设 是 一 个集 合 ， 上 的一个模 糊 ． 集是 一个 函数 ： 一 ［ ， ］ Ｚ ｄ ｈ ９ ５ 。 ０ １ （ ａ ｅ ，１６ ）
关 键 词 ： 义模 糊 关联 理 想 ； 糊 理 想 ；模 糊 关联 理 想 ；关联 理 想 ；Ｃ 代 数 。 广 模 Ｂ Ｋ一 中图 分 类 号 ： ５ ． ０１４ ３ 文献标识码： Ｂ 文 章 编 号 ：０ ０—２ ５ （０ ７ ０ ０ ９ ０ １０ ２ １ ２ ０ ）４— ３ ６— ５
赋范bck-代数与模糊bck-代...
文章编号： （ ）赋范 代数与模糊 代数孙培源 ，唐如强（ 浙江大学数学系，浙江杭州 ； 浙江余姚第八中学，浙江余姚 ）摘要：在 代数中引入范数的概念，给出赋范 代数中的一些基本结果，讨论了有界赋范 代数与模糊 代数的一些联系。
关键词： 代数；范数；距离；模糊集；模糊子代数中图分类号： ；文献标识码：介绍一个（ ， ）型代数（ ， ， ）称为 代数，如果它满足下面的公理： （（ ） （ ））（ ） （ （ ）），蕴含代数的重要思想来源有实数间的减法运算以及集合间的差运算。
注意到实数有如下的三角不等式 ，集合的差运算中有，这里 表示集合 的势。
作为上述事实在 代数中的抽象，我们引入 代数中的范数以及距离的概念。
定义!"! （ ； ， ）是 代数， 是实数集，如果对于 中的每个元素 ，都有一实数与之对应，此实数记为 ，满足：（ ） ， 的充分必要条件是 ；（ ） ， ，， 则称 为赋范 代数， 称为元素 的范数。
定义!"# 是赋范 代数，令!（ ， ） ，称!（ ， ）为 与 的距离。
有了距离的概念后，易见定义 中的（ ），（ ）可改写为：第 卷第 期模糊系统与数学， 年 月，收稿日期： 基金项目：国家自然科学基金（ ）（ ）!（ ， ）＞ ，!（ ， ） ＝ ；（ ）!（ ， ）＜!（ ， ） !（ ， ），V ， ， G 从下面的例子可以看出， 代数中的范数有着广泛的实际背景。
例是任意非空集合，那么（ （ ）， ，。
）构成 代数。
令 ，这里 G （ ）， 表示的势，那么 （ ）关于上述定义是赋范 代数。
证明（ ）显然满足。
由 C （ ）U （ ）知 ＜ ，即 ＜ ，（ ）满足，所以 （ ）是赋范 代数。
例 表示非负整数集，那么（ ；。
， ）是 代数，这里 。
｛ ， ｝，在 中定义 ，那么 成为赋范 代数。
例 令 ［ ， ］，即 为闭区间［ ， ］上所有实连续函数构成的集合，在 中定义二元运算。
直觉模糊BCK-代数
第 ０１ ８ ｌ 年 月 ２ ０卷第 ４期 １
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
淮阴师范学院学报 （ 自然科学 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＡＹＮＴ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ （ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＨＵ ＩＩ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｕｌ ｅ
Ｖ０ ．０ Ｎｏ． １１ ４ Ａｕ ｇ．２ ０１１
（ ）和 ｖ（ 分别 表示 上 元 素 属于 Ａ的隶属 度 和非隶 属度 ． ） 为 了方 便 ， 以下 我们将 直觉 模糊 集 Ａ满 足 的条件 “ （ ０≤ ）＋ （ ≤ １ 省 略 ， 简记 为 Ａ ＝ ｛ ） ” 并 ＜
，
（ ， （ ） ）＞Ｉ ∈ ｝此外 ， ． 我们用 ＩＳ Ｘ 表示 上的所有直觉模糊集的全体构成的集合 ． Ｆ［ ］
入 直觉模 糊 Ｂ Ｋ代 数和 它 的水 平代 数 的 概念 ， Ｃ． 讨论 了它 们 相 关 性 质 ． 次 ， 究 了直 觉 模 糊 其 研 Ｂ Ｋ代 数 的 同态 与 同构像和 逆像 的性质 ， Ｃ一 获得 了直 觉模糊 Ｂ Ｋ代 数 的 同态像 和逆像 仍 为直 觉 Ｃ－
模 糊 Ｂ Ｋ 代 数 ． 后 ， 出 了直 觉模 糊 集 上 的直 觉模 糊 关 系 、 Ｃ． 最 给 强直 觉模 糊 关 系 的概念 ， 直 觉 对 模 糊集 的笛 卡儿 积进 行 了定 义 ， 示 了直 觉模 糊 Ｂ Ｋ 代数 与其 积代 数 间的若 干关 系 ． 揭 Ｃ． 关键 词 ：直觉模 糊 集 ；直觉模 糊 Ｂ Ｋ 代 数 ；水平 代数 ； 觉模 糊 关 系；笛 卡儿 积 Ｃ． 直 中图分类 号 ： １９ Ｏ ５ 文 献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ １６７ （０ １０ ．２ ６０ １７ ．８６ ２ １ ）４０ ９ —８
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
淮阴师范学院学报 （ 自然科学 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＡＹＮＴ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ （ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＨＵ ＩＩ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｕｌ ｅ
Ｖ０ ．０ Ｎｏ． １１ ４ Ａｕ ｇ．２ ０１１
（ ）和 ｖ（ 分别 表示 上 元 素 属于 Ａ的隶属 度 和非隶 属度 ． ） 为 了方 便 ， 以下 我们将 直觉 模糊 集 Ａ满 足 的条件 “ （ ０≤ ）＋ （ ≤ １ 省 略 ， 简记 为 Ａ ＝ ｛ ） ” 并 ＜
，
（ ， （ ） ）＞Ｉ ∈ ｝此外 ， ． 我们用 ＩＳ Ｘ 表示 上的所有直觉模糊集的全体构成的集合 ． Ｆ［ ］
入 直觉模 糊 Ｂ Ｋ代 数和 它 的水 平代 数 的 概念 ， Ｃ． 讨论 了它 们 相 关 性 质 ． 次 ， 究 了直 觉 模 糊 其 研 Ｂ Ｋ代 数 的 同态 与 同构像和 逆像 的性质 ， Ｃ一 获得 了直 觉模糊 Ｂ Ｋ代 数 的 同态像 和逆像 仍 为直 觉 Ｃ－
模 糊 Ｂ Ｋ 代 数 ． 后 ， 出 了直 觉模 糊 集 上 的直 觉模 糊 关 系 、 Ｃ． 最 给 强直 觉模 糊 关 系 的概念 ， 直 觉 对 模 糊集 的笛 卡儿 积进 行 了定 义 ， 示 了直 觉模 糊 Ｂ Ｋ 代数 与其 积代 数 间的若 干关 系 ． 揭 Ｃ． 关键 词 ：直觉模 糊 集 ；直觉模 糊 Ｂ Ｋ 代 数 ；水平 代数 ； 觉模 糊 关 系；笛 卡儿 积 Ｃ． 直 中图分类 号 ： １９ Ｏ ５ 文 献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ １６７ （０ １０ ．２ ６０ １７ ．８６ ２ １ ）４０ ９ —８
BCK-代数模糊对偶原理
有 界 Ｂ Ｋ一 数 的模 糊 子集 ＿ Ｃ 代 厂叫作 的一个 模 糊 Ｂ Ｋ一 子 ， Ｃ 滤 如果 它 满足
（ ） （ ∈ ） １ ≥ Ｖ （ ） ） ， ）
（ ）
（ ， ∈ ）， ≥ｍｎ， Ｎ Ｎ Ⅳ ｝ ） ） Ｖ Ｙ Ｘ （（ ） ｉ｛（ （ ｘ ｌ √ Ｙ ｝ ， ｙ
作者简 介： 孟彪龙 （ ９７一） 男 ， １６ ， 陕西周至人 ， 讲师 ， 硕士 ， 主要从事代数学研究
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第 ３期
孟彪龙 ：Ｃ Ｂ Ｋ一代 数 模 糊 对 偶 原 理
５５ ９
证明
设 Ｆ是 的一 个 Ｂ Ｋ一滤 子 。 由引 理 ３ Ｃ ， ∈ ． Ｆ
，一 （ ， ， ∈ 任一个理想 ， ） ∈ ） Ｖ Ｙ Ｘ， 有性质 ：（３ ≤ｙ 八（ ∈ ） （ ， ． Ｃ 代数 的模糊子集 ，）（ ） Ｙ ， ∈ ） Ｂ Ｋ一 是一个映射
（ ）
［ ， ］ 的模糊子集厂叫作 的一个模糊理想 ， ０ １． 如果它满足 ：
证明 设 是 的一个 模糊 Ｂ Ｋ一滤 子 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 由引理 ２和 Ｎ ｘ ｘ可 得 （ Ｎ ） Ｃ Ｎ ＜ ￣ Ｎ ｘ ≤ （ ． ） 另一 方 面 ， 因为 是 的一个 模 糊 Ｂ Ｋ一滤子 ， 以 Ｃ 所
Ｉ ｘ ＞ｍ ｎＩ（ Ｎ（ Ｎ ） Ｎ ）Ｉ ｘ ｝ ｍｎＩ Ｎ Ｎ ： ｘ ，（ ） ｝ ｍｎ （ ） （ ） ＝ ． ｘ Ｎ ） ｉ｛ Ｎ（ Ｎ ｘ ｘ ，（ ） ＝ ｉ｛ （ （ ｘｌ ）Ｉ ｘ ） ＝ ｉ｛ １ ， ｝ （ ） （Ｎ ￣ ｔ ｘ ｔ ： Ｎ ｔ
（ ∈ ） ０ ≥ Ｖ （ ） ） ， ）
（ ）
（ ， Ｖ Ｙ∈Ｘ） ） ｉ｛． Ｙ √ Ｙ ｝ ． （（ ≥ｍｎ／ （ ） ） ）
关于BCK代数的模型论性质
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一
１２ 一 ０２
河
ห้องสมุดไป่ตู้
南
科
学
第２卷 第９ ６ 期
是 Ｓ的模 型 ； 保持 链 并的 当且仅 当模 型 Ｓ的任 何 链之 并 都 是 Ｓ的模 型 ； 保 同态 的 当且仅 当模 型 Ｓ的 Ｓ是 Ｓ是 任 何 同态 像都 是 Ｓ的模 型 ． 因为 Ｔ有一 组通 用 的公理 ， 由文 献 ［］ ５ 的定理 ３２２可 以得 到下 面 的结果 ： ．． 定 理 １ Ｔ是保子 模 的 ． 假定 Ａ。 … Ｃ …， 是一个 Ｂ Ｋ代数链 ， Ａｚ ＿ Ａ ＜ ， Ｃ 当 ＜ 时， 是 Ａ 的 Ｂ Ｋ子代数 ， Ａ Ｕ 《 ＜ 口 Ｃ 置 ＝ Ａ， 对 任 意 的 ， Ａ， 在 ＜ 使 得 ， Ａ ， Ｙ∈ 存 ， Ｙ∈ 我们 定 义 ｙ Ｙ 这 里 是 Ａ ： ， 中 的运算 ．容 易 证 明 ， 任 意 对 的 ＜ ，Ａ， 是一个 Ｂ Ｋ代 数 ， Ａ的 Ｂ Ｋ子 代数 ， 就证 明了如下 的定 理 ． （ ） Ｃ Ａ是 Ｃ 这
关 于 Ｂ Ｋ 代 数 的模 型 论 性 质 Ｃ
郑 淑 红
（ 丘职业技术学院 ， 南 商丘 商 河 ４６０） ７ ０ ０
摘 要 ：研究 Ｂ Ｋ代数 的逻辑性质 ， 于形 式化 的 Ｂ Ｋ代数理论 Ｔ 证 明了在子模型和链 连接 下 Ｔ是保存 的； Ｃ 对 Ｃ ， Ｔ既 不具有完备性也 不具有模型完备性， 因此存在非构建的 Ｓ ｏ ｍ 函数 ．另外 ， ｋｌ ｅ 通过使 用超 滤子的概念 以及所讨论的模
代数 的形 式 ， 并记 为 Ｔ．Ｔ由下 面 的公 式构 成 ：
１ Ｖ （ Ｆ（ ， ） Ｆ（ ，）， ｚ ｙ ） ０ ； ）Ｖ Ｖ Ｆ（ Ｆ（ ｙ ， ｘ Ｆ（ ， ） ＝ ） ２ Ｖｙ（ Ｆ（ ， ｘ ｙ ， ） ０ ） ）Ｖ Ｆ（ ｘ Ｆ（ ， ） ｙ ＝ ） ； ３ （ ｘ ） ０ ： ）Ｖ Ｆ（ ， ＝ ） ４ Ｖｙ（ Ｆ（ ： ）Ｖ （ ， ０八Ｆ（ ， ＝ ） ＝ ） ｙ ） ０ 一 ｙ ； ５ （ ０， ＝ ）． ）Ｖ Ｆ（ ） ０
BCI代数上的反模糊软理想和模糊软理想_陈娟娟
f ′(e) = f ′e :X ® I 是 X 上的模糊集合。这里的 f ′e ( x) = [ f e ( x)]′ =
关于 BCI 代数 X 上的反模糊软理想和模糊软理想的 关系容易由以下定理可以得到： 定理 2.3 ( f A) 是 BCI 代数 X 上的反模糊软理想当且 仅当 ( f A)′ 是 BCI 代数 X 上的模糊软理想。 定 理 2.4 设 ( f A) 和 ( g B) 是 X 上 的 两 个 模 糊 软 理 想， 则 ( f A) ( g B) 是 X 上的一个模糊软理想。 证明 设 ( f A) ( g B) = (h C ) ， 这里的 C = A B 且 h e =
ì f e e Î A - B ï h(e) = íg e e Î B - A ï î f e Ú g e e Î A B
1
预备知识
下面给出一些关于模糊软集和 BCI 代数的有关知识。
基金项目： 国家自然科学基金 （No.11071151） ； 陕西省自然科学基金 （No.2010JM1005） 。 作者简介： 陈娟娟 （1982—） ， 女， 博士生， 主要从事格上拓扑学和低维拓扑的研究； 李生刚 （1959—） ， 男， 教授， 博导， 主要从事格上拓扑学 拟阵的研究。 E-mail： chenjuanjuanl@ 收稿日期： 2012-11-19 修回日期： 2013-01-06 文章编号： 1002-8331 （2013） 09-0010-03 CNKI 出版日期： 2013-01-25 /kcms/detail/11.2127.TP.20130125.1658.001.html
f:A ® I X 是 一 个 映 射 ， 即 对 于 每 一 个 e Î A f (e) = f e :X ® I
关于 BCI 代数 X 上的反模糊软理想和模糊软理想的 关系容易由以下定理可以得到： 定理 2.3 ( f A) 是 BCI 代数 X 上的反模糊软理想当且 仅当 ( f A)′ 是 BCI 代数 X 上的模糊软理想。 定 理 2.4 设 ( f A) 和 ( g B) 是 X 上 的 两 个 模 糊 软 理 想， 则 ( f A) ( g B) 是 X 上的一个模糊软理想。 证明 设 ( f A) ( g B) = (h C ) ， 这里的 C = A B 且 h e =
ì f e e Î A - B ï h(e) = íg e e Î B - A ï î f e Ú g e e Î A B
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预备知识
下面给出一些关于模糊软集和 BCI 代数的有关知识。
基金项目： 国家自然科学基金 （No.11071151） ； 陕西省自然科学基金 （No.2010JM1005） 。 作者简介： 陈娟娟 （1982—） ， 女， 博士生， 主要从事格上拓扑学和低维拓扑的研究； 李生刚 （1959—） ， 男， 教授， 博导， 主要从事格上拓扑学 拟阵的研究。 E-mail： chenjuanjuanl@ 收稿日期： 2012-11-19 修回日期： 2013-01-06 文章编号： 1002-8331 （2013） 09-0010-03 CNKI 出版日期： 2013-01-25 /kcms/detail/11.2127.TP.20130125.1658.001.html
f:A ® I X 是 一 个 映 射 ， 即 对 于 每 一 个 e Î A f (e) = f e :X ® I
模糊数学模型
定义 2 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ，其隶属函数分别为 μA (x) ， μB (x) 。
i) 若对任意 x ∈ X ，有 μB (x) ≤ μA (x) ，则称 A 包含 B ，记为 B ⊆ A ； ii) 若 A ⊆ B 且 B ⊆ A ，则称 A 与 B 相等，记为 A = B 。 定义 3 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ， i) 称 Fuzzy 集 C = A U B ，D = A I B 为 A 与 B 的并（union）和交（intersection），
假设做n次模糊统计试验则可计算出0x对a的隶属频率nax的次数0实际上当n不断增大时隶属频率趋于稳定其频率的稳定值称为0x对a的隶属度即0xanaxn的次数0lim2指派方法262指派方法是一种主观的方法它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法
第二十二章 模糊数学模型
§1 模糊数学的基本概念 1.1 模糊数学简介 1965 年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并
x
>
a
⎧1,
x≤a
柯 西
μA
=
⎪ ⎨
1
⎪⎩1 + α (x − a)β
,
x
>
a
型
(α > 0, β > 0)
表 1 常用的模糊分布
中间型
μA
=
⎧1, ⎩⎨0,
a≤ x≤b x < a或x > b
⎧ ⎪ ⎪
x b
− −
a a
,
a≤ x≤b
μA
=
⎪1,
⎨ ⎪
d
⎪d
− −
x c
BCI-代数的广义Fuzzy理想
Ｂ ＩＢ Ｋ一 数 是 ２ Ｃ／ Ｃ 代 ０世 纪 ６ Ｏ年 代 日本 数 学
家 Ｋ．Ｉｅ ｉ 提 出 的 ２类 重要 的 逻 辑 代 数 ， 们 ｓｋｌ 】 它 是 组 合 逻 辑 中 Ｂ Ｋ一 统 和 Ｂ Ｉ系 统 的 代 数 表 Ｃ 系 Ｃ一 示 。模糊 集理 论 是 由美 国控 制论 专 家 Ｌ Ａ． ａ ｅ ． Ｚ ｄｈ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｏ ｅ ｓｏｆｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｆ ｚ ｙ ｓ ａ ｇｅ ｒ ｅ ｃ ｎｃ ｐｔ ｅ ｅ ａ ｉｅ ｕ ｚ ｕｂ ｌ ｂ ａ、ｇ ｎｅ ａ ｉ ｅ ｕ ｚ ｄｅ ｌａ ｅ — ｅ ｒ ｌｚ ｄ ｆ ｚ ｙ ｉ ａ ｎｄ ｇ ｎ ｅ ａ ｉｅ ｕｚ ｙ ｃｏｓ ｄ ｉ ｅ ｌｏｎ ＢＣＩａ ｇｅ ａ ａ ｅ ｉ ｔ ｏｄ ｅ ｒ ｌｚ ｄ ｆ ｚ ｌ ｅ ｄ ａ — ｌ ｂｒ ｒ ｎ ｒ ｕｃ ｄ；ｔ ｅ ａ ｉ ｎ ｂ ｔ ｅ ｅ ｒ ｌ ｈｅ ｒ ｌ ｔｏ ｅ ｗｅ ｎ ｇ ｎｅ ａ －
第 ３ ２卷 第 ２期 青 岛 科 技 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ） Ｖ Ｉ３ ２ ０ ． ２ Ｎｏ ２１ ０ １年 ４月 Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｉｇ ａ ｉｅｓ ｙｏ ｃｅｃ ｎ ｃｎ ｌｇ （ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） Ａｐ． ０ １ ｏ ｒａ ｏ ｎ ｄ ｏＵｎｖ ｒｉ ｆ ｉｎｅａ ｄＴｅｈ ｏｏ ｙ Ｎａｕａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｑ ｔ Ｓ ｅ ｉ ｒ２ １
念 ；讨 论 了 ＢＣＩ代 数 的 广 义 ｆ ｚ ｙ子 代 数 和 广 义 ｆ ｚ ｙ理 想 （ 理 想 ） 间 的 关 系 ；给 出 一 ｕｚ ｕｚ 闭 之
了 Ｂ － 数 的 ｆ ｚ ｙ子 集 是 广 义 ｆ ｚ ｙ理 想 （ 理 想 ） 充 要 条 件 ；证 明 了 Ｂ 一 数 的 ２ ＣＩ代 ｕｚ ｕｚ 闭 的 ＣＩ代
BCK-代数中理想的既约分解和质分解的推广
定理 ２ … 如果 Ｂ Ｋ 下 半 格 （ ， ， ） 足 理 Ｃ一 ０ 满 想 的升链 条件 ， 么 ， 的每 个理想 均 可表 示为 既约 那 （ ） 质 理想 的有 限交 。
定理 ３ ２ 如 果 Ｂ Ｋ 下 半格 （ ， ， ） 足理 ］ Ｃ 一 ０ 满
如果 Ｂ Ｋ 代 数 （ ， ， 关 于 自然 半 序 构 成 下 半 Ｃ－ ０）
的唯一性 。为了作 进一 步 的讨 论 ， 已有 的 主要定 将
义及结 论陈述 如下 ：
（ ）对任 意理想 Ａ， ， 含 ＡｃＰ或 ３ ＡｎＢｃＰ蕴
Ｂ ＣＰ。
定义 １ｌ Ｂ Ｋ 代 数 的理 想 ，叫做 既 约 理 想 ， ｌ Ｃ一
如果 ， ＡｎＢ（ 曰均 是 理想 ） 含 ， ＝ Ａ， 蕴 ＝Ａ或 ， ＝Ｂ。
２ Ｂ Ｋ－ Ｃ 代数中理想的既约分解的推广
引理 １ Ｂ Ｋ 代数 中（ ，） Ｃ． Ｘ， ０ 的任意 真理 想 ， 及 任意 ∈Ｘ一 ， ，存在 既约理想 ， 使 隹Ｐ
证 明 ＝｛ Ａ是 理 想 ， Ａ： 且 Ａ ， ， ｝ 由于 ， ／所 以 非 空 。设 为 Ａ中的任 意链 （ 于包含 ∈Ｏ， 关 关 系 的全序子 集 ） 令 是 中所有 元 的并 ， ， 容易验
上作法 可 以无 限进 行 下 去 ， 这样 我 们 便得 到一 个 理
想的无 限严格 降链 ：。 。 Ａ ＤＡ ＤＡ …… ， 矛盾 ， 以 ， 所 可 表示为 它 的伴 随极小 既约理想 的有 限交 。
（ 日均是 理想 ） Ａ， 。假 若 Ｐ ≠Ａ， Ｐ ≠Ｂ， Ａ， 即 Ｂ均 真
中又讨论 了 Ｂ Ｋ 下 半格 中的 质分 解 与极 小 质 分解 Ｃ一
， 的质理想 之集 中的极 小元 。
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摘 要 将 Ｄ 给出了研究模糊 Ｂ ｉ ｂ 的模糊空间和模糊二元运算的概念 引 入 Ｂ Ｃ Ｋ Ｃ Ｋ －代 数 中 ， －代 数 的 一 个 新 方 法 。 提 出了模糊子代数 、 模糊 左 （ 右） 简 理 想 和 模 糊 同 态 的 概 念， 初步建立了新的模糊 Ｂ 经典的 Ｃ Ｋ －代 数 理 论 。 结 果 表 明 ， 模糊左右简理想都是新理论的特例 ， 因而这种新方法提供了发展模 糊 Ｂ Ｂ Ｃ Ｋ Ｃ Ｋ －代数之模糊子代数 、 －代 数 理 论 的 一 个 有力工具 。 关键词 模糊空间 ， 模糊二元运算 ， 模糊 Ｂ 模糊左 （ 右） 简理想 ， 模糊同态 Ｃ Ｋ －代数 ， 中图法分类号 Ｏ １ ５ ９ 文献标识码 Ａ
［５］ ， 基于 Ｄ 本文引入模糊 Ｂ ｉ ｂ 的思 想 方 法 １ Ｃ Ｋ －代 数 和 模
１ 引言
［］ ［］ 自Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ１ 提出 模 糊 集 概 念 后 ， Ｒ ｏ ｓ ｅ ｎ ｆ ｅ ｌ ｄ２ 率 先 将 模 糊
集理论用于模糊代数结构的研究中 ， 提出了模糊子群的概 念 。
［］ Ｎ ｅ ｏ ｉ ｔ ａ和 Ｒ ａ ｌ ｅ ｓ ｃ ｕ３ 将 Ｒ ｏ ｓ ｅ ｎ ｆ ｅ ｌ ｄ关 于 模 糊 子 群 的 定 义 从 区 ｇ
Байду номын сангаас
， Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｔ ｓ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ ｓ ａ ｃ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｆ ｕ ｚ ｚ ｂ ｉ ｎ ａ ｒ ｏ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｒ ｏ ｏ ｓ ｅ ｄ ｂ Ｄ ｉ ｂ ｉ ｎ ｔ ｏ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ａ － ｇ ｐ ｙ ｐ ｙ ｙ ｐ ｐ ｐ ｙ ｇ ， ） ｎ ｅ ｗ ａ ｒ ｏ ａ ｃ ｈ ｔ ｏ ｓ ｔ ｕ ｄ ｆ ｕ ｚ ｚ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｗ ａ ｓ ｉ ｖ ｅ ｎ ． Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｔ ｓ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ ｓ ｕ ｂ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ｆ ｕ ｚ ｚ ｌ ｅ ｆ ｔ（ ｒ ｉ ｈ ｔ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｉ ｄ ｅ ａ ｌ ｓ － ｐ ｐ ｙ ｙ ｇ ｇ ｐ ｙ ｇ ｙ ｇ ａ ｎ ｄ ｕ ｔ ｒ ｅ ｌ ｉ ｍ ｉ ｎ ａ ｆ ｕ ｚ ｚ ｈ ｏ ｍ ｏ ｍ ｏ ｒ ｈ ｉ ｓ ｍ ｓ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ｗ ｅ ｒ ｅ ｆ ｏ ｒ ｗ ａ ｒ ｄ ． Ａ ｎ ｅ ｗ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｗ ａ ｓ － － ｐ ｐ ｙ ｐ ｙ ｇ ｙ ｙ ｇ ） ｒ ｉ ｌ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｆ ｕ ｚ ｚ ｓ ｕ ｂ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ａ ｎ ｄ ｆ ｕ ｚ ｚ ｌ ｅ ｆ ｔ（ ｒ ｉ ｈ ｔ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｉ ｄ ｅ ａ ｌ ｏ ｆ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ － － － ｙ ｙ ｇ ｙ ｇ ｇ ， ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｓ ｏ ｗ ｅ ｒ ｆ ｕ ｌ ｂ ｒ ａ ａ ｒ ｅ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｃ ａ ｓ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｓ ｏ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ａ ｔ ｏ ｏ ｌ ｔ ｏ ｄ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ ｐ ｐ ｐ ｙ ｐ ｙ ｙ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ． Ｂ Ｃ Ｋ － ｇ ， ， ， ） ， Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｕ ｚ ｚ ｓ ａ ｃ ｅ Ｆ ｕ ｚ ｚ ｂ ｉ ｎ ａ ｒ ｏ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｆ ｕ ｚ ｚ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ Ｆ ｕ ｚ ｚ ｌ ｅ ｆ ｔ（ ｒ ｉ ｈ ｔ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｉ ｄ ｅ ａ ｌ Ｆ ｕ ｚ ｚ ｈ ｏ ｍ ｏ ｍ ｏ ｒ Ｆ － － ｙ ｐ ｙ ｙ ｐ ｙ ｇ ｙ ｇ ｙ ｙ ｈ ｉ ｓ ｍ ｐ 出模糊半群及模糊子半群的概念， 讨论了模糊半群上的模糊 理想及模糊双理想等问题 。
研究模糊 Ｂ 糊Ｂ Ｃ Ｋ Ｃ Ｋ －代数的模糊子代 数 的 概 念 ， －代 数 中 的 模糊 （ 左、 右） 简理 想， 探究相应于 Ｄ ｉ ｂ方 法 与 Ｒ ｏ ｓ ｅ ｎ ｆ ｅ ｌ ｄ方 法 模糊 （ 左、 右） 简理想之间的关系 。 下的两种模糊子代数 、
第４ ３卷 第１ １ Ａ期 ２ ０ １ ６年１ １月
计 算 机 科 学 Ｃ ｏ ｍ ｕ ｔ ｅ ｒ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｓ ｐ
Ｖ ｏ ｌ ． ４ ３Ｎ ｏ ． １ １ Ａ Ｎ ｏ ｖ ２ ０ １ ６
模糊 Ｂ 右） 简理想 Ｃ Ｋ － 代数及其模糊左 （
彭家寅 （ ） 内江师范学院数学与信息科学学院 内江 ６ ４ １ １ ９ ９
） Ｆ ｕ ｚ ｚ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ Ｆ ｕ ｚ ｚ Ｌ ｅ ｆ ｔ（ Ｒ ｉ ｈ ｔ Ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ Ｉ ｄ ｅ ａ ｌ ｓ － ｙ ｇ ｙ ｇ
Ｐ Ｅ ＮＧ Ｊ ｉ ａ ｉ ｎ － ｙ
（ ， ， ） Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｎ ｅ ｉ ｉ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｎ ｅ ｉ ｉ ａ ｎ ６ ４ １ １ ９ ９， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｊ ｇ ｙ ｊ ｇ
［５］ ， 基于 Ｄ 本文引入模糊 Ｂ ｉ ｂ 的思 想 方 法 １ Ｃ Ｋ －代 数 和 模
１ 引言
［］ ［］ 自Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ１ 提出 模 糊 集 概 念 后 ， Ｒ ｏ ｓ ｅ ｎ ｆ ｅ ｌ ｄ２ 率 先 将 模 糊
集理论用于模糊代数结构的研究中 ， 提出了模糊子群的概 念 。
［］ Ｎ ｅ ｏ ｉ ｔ ａ和 Ｒ ａ ｌ ｅ ｓ ｃ ｕ３ 将 Ｒ ｏ ｓ ｅ ｎ ｆ ｅ ｌ ｄ关 于 模 糊 子 群 的 定 义 从 区 ｇ
Байду номын сангаас
， Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｔ ｓ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ ｓ ａ ｃ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｆ ｕ ｚ ｚ ｂ ｉ ｎ ａ ｒ ｏ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｒ ｏ ｏ ｓ ｅ ｄ ｂ Ｄ ｉ ｂ ｉ ｎ ｔ ｏ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ａ － ｇ ｐ ｙ ｐ ｙ ｙ ｐ ｐ ｐ ｙ ｇ ， ） ｎ ｅ ｗ ａ ｒ ｏ ａ ｃ ｈ ｔ ｏ ｓ ｔ ｕ ｄ ｆ ｕ ｚ ｚ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｗ ａ ｓ ｉ ｖ ｅ ｎ ． Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｔ ｓ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ ｓ ｕ ｂ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ｆ ｕ ｚ ｚ ｌ ｅ ｆ ｔ（ ｒ ｉ ｈ ｔ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｉ ｄ ｅ ａ ｌ ｓ － ｐ ｐ ｙ ｙ ｇ ｇ ｐ ｙ ｇ ｙ ｇ ａ ｎ ｄ ｕ ｔ ｒ ｅ ｌ ｉ ｍ ｉ ｎ ａ ｆ ｕ ｚ ｚ ｈ ｏ ｍ ｏ ｍ ｏ ｒ ｈ ｉ ｓ ｍ ｓ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ｗ ｅ ｒ ｅ ｆ ｏ ｒ ｗ ａ ｒ ｄ ． Ａ ｎ ｅ ｗ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｗ ａ ｓ － － ｐ ｐ ｙ ｐ ｙ ｇ ｙ ｙ ｇ ） ｒ ｉ ｌ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｆ ｕ ｚ ｚ ｓ ｕ ｂ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ａ ｎ ｄ ｆ ｕ ｚ ｚ ｌ ｅ ｆ ｔ（ ｒ ｉ ｈ ｔ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｉ ｄ ｅ ａ ｌ ｏ ｆ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ － － － ｙ ｙ ｇ ｙ ｇ ｇ ， ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｓ ｏ ｗ ｅ ｒ ｆ ｕ ｌ ｂ ｒ ａ ａ ｒ ｅ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｃ ａ ｓ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｓ ｏ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ａ ｔ ｏ ｏ ｌ ｔ ｏ ｄ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｏ ｆ ｆ ｕ ｚ ｚ ｐ ｐ ｐ ｙ ｐ ｙ ｙ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ． Ｂ Ｃ Ｋ － ｇ ， ， ， ） ， Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｕ ｚ ｚ ｓ ａ ｃ ｅ Ｆ ｕ ｚ ｚ ｂ ｉ ｎ ａ ｒ ｏ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｆ ｕ ｚ ｚ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ Ｆ ｕ ｚ ｚ ｌ ｅ ｆ ｔ（ ｒ ｉ ｈ ｔ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｉ ｄ ｅ ａ ｌ Ｆ ｕ ｚ ｚ ｈ ｏ ｍ ｏ ｍ ｏ ｒ Ｆ － － ｙ ｐ ｙ ｙ ｐ ｙ ｇ ｙ ｇ ｙ ｙ ｈ ｉ ｓ ｍ ｐ 出模糊半群及模糊子半群的概念， 讨论了模糊半群上的模糊 理想及模糊双理想等问题 。
研究模糊 Ｂ 糊Ｂ Ｃ Ｋ Ｃ Ｋ －代数的模糊子代 数 的 概 念 ， －代 数 中 的 模糊 （ 左、 右） 简理 想， 探究相应于 Ｄ ｉ ｂ方 法 与 Ｒ ｏ ｓ ｅ ｎ ｆ ｅ ｌ ｄ方 法 模糊 （ 左、 右） 简理想之间的关系 。 下的两种模糊子代数 、
第４ ３卷 第１ １ Ａ期 ２ ０ １ ６年１ １月
计 算 机 科 学 Ｃ ｏ ｍ ｕ ｔ ｅ ｒ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｓ ｐ
Ｖ ｏ ｌ ． ４ ３Ｎ ｏ ． １ １ Ａ Ｎ ｏ ｖ ２ ０ １ ６
模糊 Ｂ 右） 简理想 Ｃ Ｋ － 代数及其模糊左 （
彭家寅 （ ） 内江师范学院数学与信息科学学院 内江 ６ ４ １ １ ９ ９
） Ｆ ｕ ｚ ｚ Ｂ Ｃ Ｋ ａ ｌ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ Ｆ ｕ ｚ ｚ Ｌ ｅ ｆ ｔ（ Ｒ ｉ ｈ ｔ Ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ Ｉ ｄ ｅ ａ ｌ ｓ － ｙ ｇ ｙ ｇ
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