2018年高考数学考点突破课件——立体几何与空间向量：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

不妨设 CD＝1，则 AB＝BC＝2，PO＝ 3. ∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0， 3). → ＝(－2，－1，0)，PA → ＝(1，－2，－ 3). ∴BD → ·PA → ＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－ 3)＝0， ∵BD → ⊥BD → ，∴PA⊥BD. ∴PA
(2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则
1 M ，－1， 2
3 . 2
3 3 → → ∵DM＝ ，0， ，PB＝(1，0，－ 3)， 2 2
→ 与FG → 不共线，∴PB → ，FE → 与FG → 共面. 又∵FE ∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG.
考点二 利用空间向量证明垂直问题 【例2】 如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形， ∠ ABC ＝∠BCD ＝ 90 °， AB ＝ BC ＝ PB ＝ PC ＝ 2CD ，侧面
立体几何中的向量方法(一)
——证明平行与垂直
【考点梳理】
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a的有向线段所在直
线与直线l____________ 平行或重合 ，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量 a叫做平面α的法向量.
以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直
角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，
C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，
0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).
法一
→ ＝(0，1，0)，EG → ＝(1，2，－1)， ∴EF
设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)， → n· EF＝0， y＝0， 则 即 → EG＝0， x＋2y－z＝0， n· 令 z＝1，则 n＝(1，0，1)为平面 EFG 的一个法向量， → ＝(2，0，－2)，∴PB → ·n＝0，∴n⊥PB →， ∵PB ∵PB⊄面 EFG，∴PB∥平面 EFG.
法二
→ ＝(2，0，－2)，FE → ＝(0，－1，0)， PB
→ ＝(1，1，－1).设PB → ＝sFE → ＋tFG →， FG 即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)， t＝2， → ＝2FE → ＋2FG →， ∴t－s＝0， 解得 s＝t＝2.∴PB －t＝－2，
因为 M 为 AD 的中点，故 M(0， 2，1). 又 P 为 BM 的中点，故
1 P0，0，2，
3 2 3 → 所以PQ＝ x0， ＋ y0，0. 4 4 4
→ ·a＝0. 又平面 BCD 的一个法向量为 a＝(0，0，1)，故PQ 又 PQ⊄平面 BCD，所以 PQ∥平面 BCD.
法二
在线段 CD 上取点 F ，使得 DF ＝ 3FC ，连接 OF ，
同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标， 设点C坐标为(x0，y0，0).
→ 1→ ∵CF＝ CD，设点 F 坐标为(x，y，0)，则 4 1 (x－x0，y－y0，0)＝4(－x0， 2－y0，0)， 3 x ＝ 4x 0 ， 3 2 3 → ∴ ∴OF＝ x0， ＋ y0，0 4 4 4 y＝ 2＋3y0， 4 4
【解析】证明
法一
如图，取 BD 的中点 O，
以 O 为原点，OD，OP 所在射线分别为 y，z 轴 的正半轴，建立空间直角坐标系 O－xyz. 由题意知，A(0， 2，2)，B(0，－ 2，0)，D(0， 2，0). 设点 C 的坐标为(x0，y0，0).
3 2 3 1 → → 因为AQ＝3QC，所以 Q x0， ＋ y0， . 4 4 2 4
2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 l1∥l2 l1⊥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 n1· n2＝0 n1⊥n2⇔_____________ n· m＝0 n⊥m⇔_____________ n∥m⇔n＝λm n∥m⇔n＝λm n· m＝0 n⊥m⇔_____________
直线l1，l2的方向向量分
3 2 3 → 又由法一知PQ＝ x0， ＋ y0，0， 4 4 4
→ ＝PQ → ，∴PQ∥OF.又 PQ⊄平面 BCD，OF⊂平面 BCD， ∴OF ∴PQ∥平面 BCD.
【类题通法】
(1) 恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是
运用向量法证明平行和垂直的关键. (2) 证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面 的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的 不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某 直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可 .这样就 把几何的证明问题转化为向量运算.
PBC⊥底面ABCD.证明：
(1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB.
【解析】证明 (1)取BC的中点O，连接PO， ∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与 AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐 标系，如图所示.
别为n1，n2 直线l的方向向量为n， 平面α的法向量为m
l∥α
l⊥α α∥β
平面α，β的法向量分别
为n，m
α⊥β
【考点突破】
考点一 利用空间向量证明平行问题 【例 1】 如图，在四面体 A－BCD 中，AD⊥平面 BCD，BC ⊥CD，AD＝2，BD＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中 点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面 BCD.
【对点训练】
如 图 所 示 ， 平 面 PAD⊥ 平 面 ABCD ， ABCD 为 正 方 形 ，
△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线 段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.
【解 ，
且ABCD为正方形， ∴AB，AP，AD两两垂直.