第三章_3 MG1型排队系统
MG1型排队系统分析与仿真
M/G/1型排队系统分析与仿真一、排队系统排队论(queuing theory), 或称随机服务系统理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
它是数学运筹学的分支学科。
也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。
广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。
排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。
其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。
排队过程的一般过程可用下图表示。
我们所说的排队系统就是指图中虚线所包括的部分。
排队系统又称服务系统。
服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。
服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。
描述一个排队系统一般需要分析其三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
输入过程输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。
它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。
例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。
随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。
如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为或相继到达的顾客的间隔时间T 服从负指数分布，即式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。
在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。
排队规则排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。
五节MG1排队模型
以上讨论了M/M/1和M/M/C系统 ，其 前提均为泊松输入和负指数服务处理，这 类系统的工具是生灭工程状态转移图。在 实际中，有时到达仍为泊松过程 ，但服务 时间并不服从负指数分布，即M/G/1系统 这时不能用生灭过程处理，而主要依据布 拉切克-钦辛公式(P-K公式)。
一.(M/G/1) : ( / ∞/G)系统 ∞
∴
Lq λ λ2 λ Lq = Ls − = , Wq = = µ 2µ ( µ − λ ) λ 2µ ( µ − λ ) 均为M / M /1相应指标的一半。
可见，内部越有规律越省时间
三.(M/Ek /1 ):(∞ / ∞ /G)系统 (k阶爱尔郎服务时间)
设 υ = ∑υi，每个υi 服从同参数的负指数分布
由 特 式 里 公 : W = S LS ， q =W − E υ),Lq = λW W ( S q
λ
二.(M/D/1):( ∞/ ∞ /G)系统 (定长服务时间)
2 这时υ ≡ E υ）， σ（υ） 0 （ =
∴
Ls = ρ +
1
ρ
2
若设 : E (υ ) =
µ
2 (1 − ρ ) λ λ2 则 Ls = + µ 2µ (µ − λ )
i =1 k
于是E (υ ) =
1
µ
，σ 2 (υ ) =
1 kµ
，令ρ =λ E υ）= （ 2
由P-K公式:
λ Ls = + µ
λ (
2
1
µ
2
+
1
λ µ
2(1 −
由里特公式:
Lq Ls (k + 1) ρ Lq = ，Ws = ，Wq = 2k (1 − ρ ) λ λ
第三章_3 MG1型排队系统
m ，
每个分组的传输时间为m个单位时间，即服务时
间
1 m
。
在该系统中，只要分组到达时信道空闲，该分组就会
立即得到服务。显然每个信道是标准的M/D/1排队系统，
其等待时间为
＝ m
W FDM
( m) 1 m
Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University
Xidian Univ.
P-K公式
如果G＝M，即服务时间服从指数分布，M/M/1，
X2 2
2
X2 2 1 W 2 2 1 2 1 1
2 1
m 21
Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University
Xidian Univ.
假设m个信道变成以时隙为基础，时隙的宽度为m个单位，所
服务员有休假的M/G/1排队模型
服务员有休假的M/G/1（M/G/1 Queues with Vacations）排队系统是指在每一个忙周期后（分 组传输结束后），服务员需要休假（休假对应于服 务员（通信节点）要进行其它处理，如存储数据、 信令交换等），在服务员休假期内到达的用户，要 等待服务员休假结束后，才能被服务。如服务员休 假期满后，没有用户到达，服务员进入另一个休假 期。
W lim Wi
i
1 1 W R X N Q R N Q R W R W
R W 1
MG1型排队系统分析与仿真
M/G/1型排队系统分析与仿真一、排队系统排队论(queuing theory), 或称随机服务系统理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
它是数学运筹学的分支学科。
也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。
广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。
排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。
其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。
排队过程的一般过程可用下图表示。
我们所说的排队系统就是指图中虚线所包括的部分。
排队系统又称服务系统。
服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。
服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。
描述一个排队系统一般需要分析其三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
输入过程输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。
它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。
例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。
随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。
如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为或相继到达的顾客的间隔时间T 服从负指数分布，即式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。
在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。
排队规则排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。
排队论第三部分-第四章 排队模型,第五章 MG1, 第六章 G1 M 1
第四章 排队模型两类排队模型：1. Markov 排队模型2. 非Markov 排队模型Markov 排队模型：4-0 Little 定理1961 年 J.D.Little 证明 1974 年 S.Slidhan 一般性证明定理 : 在极限平稳状态下,排队系统内顾客平均数L 系 和 顾客在系统内平均逗留时间W 系 之间的关系,不管到达流的分布如何,也不管服务规则如何,均有以下关系:为到达流的强度系系λλ14.-=L W证明:设 X(t) ---- t 时刻前到达的瞬时顾客数, Y(t)--- t 时刻前离开的瞬时顾客数.Y(t)在稳定后,流入与流出的顾客数应相等, 则在t 时刻留在系统内的顾客数为:Z(t)=X(t)-Y(t)在足够长的时间T 来考虑有:队队系系系系同理可以证明所以有逗留时间系统内每个顾客的平均时间的总和所有顾客在系统内逗留时间个顾客在系统内的逗留第其中的小面积的总和高度为长度为阴影部分的面积W L W L W Tt t i t t Tt T t T T dtt Z T L iiii i iiii i T.:.:...,:.11]1*[1][1)(10λλλλλ==--=--=⨯====∑∑∑∑⎰4-1 M/M/1/0 (单通道损失制)服务员数：n=1 队长：m=0M -- 到达流为Poisson,流强λM -- 服务时间服从指数分布：)0()(>=⋅-t e t f t μμ 状态为系统内顾客数，I={0,1}"0"表示服务员闲，其概率为：P 0(t)；"1"表示服务员忙，其概率为：P 1(t)； 状态转换图：Fokker-Plank k 方程：可得:)0(1)0(:341)()(24)()()(14)()()(1010011100==-=+-+-=-+-=∙∙P P t P t P t P t P t P t P t P t P 初始条件λμμλ联立求解4-1与4-3得：λμλλμλμμλλμλλλμλλμμμμλμλμλμλ+=∞+=∞∞→==+-+=-=+++=-++-=-+-=+----+-∙∙)(,)()0(,1)0(0)(1)()(44)()()()(1[)()(1010)(01)(000000P P t P P t e t P t P e t P t P t P t P t P t P tt定义：系统负载能力：μλρ=指标：(1) ρμλμ+=+===110P Q 请求服务的顾客数被服务顾客数 (2) 绝对通过能力：ρλμλλμλ+=+===1Q A 数单位时间被服务的顾客(3) 损失概率(即顾客来时，系统服务员忙，顾客离去)ρρμλλμλμ+=+=+-=-==1111Q P P 损例一：一条电话线，呼叫率为：0.8次/分(λ=0.8)，每次平均通话时间为：τ=1.5分。
排队系统分析 全
= 0.122;
(2) P4 = ρ 4P0 = 1.254 × 0.122 = 0.298;
(3) λe = λ(1 − P4 ) = 1× (1 − 0.298) = 0.702;
(4)
Ls
=ρ 1− ρ
−
(4 + 1)ρ 1− ρ5
5
=
1
1.25 − 1.25
−
5 1
× −
1.255 1.255
Pn，表示系统中有n个顾客的概率；队长的平均值记为Ls。
排队长：系统中正在排队等待的顾客数，记其均值为Lq。
三.排队问题的求解
2 . 逗留时间和等待时间
逗留时间：
一个顾客在系统中的停留时间，记为W，其均值记为Ws。
等待时间：
一个顾客在系统中排队等待的时间，记其均值为Wq 。
第二节 到达与服务的规律
现实中的例子：
•程控电话交换系统 •知识竞赛的抢答环节
2. 排队规则
（2）等待制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则留下 来等待，直至被服务完离去。 等待的服务规则又可分为： • 先到先服务（FCFS） • 后到先服务（LCFS） • 带有优先权的服务（PS）
ห้องสมุดไป่ตู้ 2. 排队规则
（3）混合制
是损失制和等待制的混合。允许排队但不允 许队列无限长；或允许等待但不允许等待时间无 限长。
二. 排队模型的表示 火车站排队.flv
（X/Y/Z/A/B/C）
X：顾客到达时间间隔的分布 Y：服务时间的分布 Z：服务台个数 A：系统容量 B：顾客源数量 C：服务规则
二. 排队模型的表示
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS）表示：
3.3 MMm型排队系统
P Q 1 p0
系统中的平均用户数N
N npn np (1 )
n n 0 n 0
1
* 掌握
平均时延T，平均等待时延W ，系统中的平均排队队长NQ
1 T
N
W T
1
NQ W . 1
没有第四个字母，则表示系统的容量是无限大的。
2015-3-25 3
第三章 内容概述
3.1 Little定理 3.2 数学基础 3.3 M/M/m型排队系统
– –
3.3.1 M/M/1排队系统 3.3.2 M/M/m排队系统
3.4 M/G/1型排队系统 3.5 排队网络
2015-3-25
331mm1型排队系统8331mm1型排队系统8将一个高速信道分解为k个低速信道之后传输201552513第三章内容概述31little定理32数学基础33mmm型排队系统331mm1排队系统332mmm排队系统34mg1型排队系统35排队网络201552514332mmm型排队系统1332mmm型排队系统1mmm排队系统的示意图如图所示
4
3.3.1 M/M/1型排队系统 (1)
M/M/1排队系统的示意图如图所示：
到达过程为Poisson过程，到达率为λ； 服务员的数目为1，到达过程与服务过程相互独立。
服务过程为指数过程，服务速率为μ（平均服务时间
为1/μ）。
系统允许排队的队长可以是无限的（系统的缓存容量
无限大）； λ
k 分解信道之后平均分组数和平均时延为： k ' ' N T kT
排队模型与模拟 ppt课件
pn
与初始状态无关而且满足 pn 1
n0
那么称这个排队模型是稳定的。
概率分布pn : n 0,1,2,称为队长的稳定解。
对于长时间连续不断运行的排队模型，稳定解 比瞬时解有更重要的意义。
PPT课件
20
令
，称为服务强度。
1 即 ，表明服务员有足够的能力完全 接待到来的全体顾客。可以证明排队模型是稳定的。 但这决不是说，每位顾客就不用等待了，因为在 系统运行中随机因素在起作用。
M——到达的过程为泊松过程或负指数分布
D——定长输入
EK——K阶爱尔朗分布 G——一般相互独立的随机分布
②——服务时间分布
③——服务台(员)个数
④——顾客源总数
⑤——系统内顾客的容量
PPT课件
29
四、排队系统的常见分布
1．泊松分布（Poisson distribution）
(1) 平稳性 在时间 t t 内，到达 n 个顾客的概率只与 t 和 n 的大小有关。
有确定的时间间隔，也有随机的时间间隔
PPT课件
12
2．排队规则：指服务台从队列中选取顾客 进行服务的顺序。
(1)损失制 ，这是指如果顾客到达排队系统时, 所有服务台都被先到的顾客占用, 那么他们就自动离开系统。
PPT课件
13
(2)等待制，指当顾客来到系统时，若服务 台没有空闲，则顾客排队等候服务。
， 顾客源无限，容量N，单列，混合制．
2．系统的状态概率和主要运行指标：
1
P0
1
1
N
1
1 N
1 1
n
P0
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Xidian Univ.
P-K公式
下面我们将证明，M/G/1排队系统的平均等待时间 为
X 2 W 21
其中，
X
该式称为P-K（Pollaczek-Khinchin）公式。
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P-K公式
例 返回n－ARQ系统的时延性能分析
设返回n－ARQ系统中的分组到达过程是速率为
的Poisson过程，
分组（帧）长度相同，为一个单位， 等待应答的最长时间（重传间隔）为
2 1
m 21
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假设m个信道变成以时隙为基础，时隙的宽度为m个单位，所
有m个信道，每个信道的分组到达率为
m ，
每个分组的传输时间为m个单位时间，即服务时
间
1 m
。
在该系统中，只要分组到达时信道空闲，该分组就会
立即得到服务。显然每个信道是标准的M/D/1排队系统，
其等待时间为
＝ m
W FDM
( m) 1 m
M t
1 r d 0 t
t
i 1
1 2 Xi 2
式中，M(t)表示[0，t]区间内已服务的用户数。 以写成 M t
1 M t i 1 Ri 2 t M t
上式可
X i2
式中，第二项为平均到达率，第三项为Xi的二阶矩。
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P-K公式
在该系统中，一个分组（帧）的服务时间，不仅仅 是一个分组的一次传输时间，而且还应当包括分组 的重传时间。因此，这里的服务时间为一个等效服 务时间，它等于从一个分组的第一次传输开始，到 该分组的最后一次传输结束时刻之间的时间长度， 它服从一般性分布，因而该系统可用M/G/1队列模型 来描述。
1 t 1 M (t ) 1 L(t ) i 1 i 1 r d 0 t 2 t M (t ) 2 t L(t ) X i2
M (t )
2 V i
L (t )
休假期占的比例为
1
t 1 L(t )
。
V
因而有休假到达率为
当
1
V
t
i 1
L (t )
Vi 2
2
t
M (t )
2 t
L(t )
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由于分组传输和休假期的交替到达占满整个时间轴，则在 单位时间，分组所占的比例为
＝ ，
通信网络理论基础
Information Science Institute, Xidian University
/msheng/
M/G/1型排队系统
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M/G/1型排队系统
服务过程
假定第i个用户的服务时间为Xi，Xi是独立同分布的，
，得平均剩余服务时间为
1 1 1 2 2 R X V 2 2 V
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例：时隙FDM和TDM系统的性能比较
设基本的FDM（Frequency Division Multiplexing）系统
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P-K公式
设第k个用户的服务时间为Xk，则由图可知，用户i的等待时间为
Wi Ri N i 个用户的服务时间 Ri
对上式求平均得
k i N i
X
i 1
k
i 1 Wi ERi E X k ERi X EN i k i N i
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P-K公式
如果G＝M，即服务时间服从指数分布，M/M/1，
X2 2
2
X2 2 1 W 2 2 1 2 1 1
与到达间隔相互独立。 令 X X 1 , X 2 , ，则服务时间的均值和二阶矩为
平均服务时间＝
X
＝ EX 1
服务时间的二阶矩＝
X
2＝
E X2
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服务员有休假的M/G/1排队模型
服务员有休假的M/G/1（M/G/1 Queues with Vacations）排队系统是指在每一个忙周期后（分 组传输结束后），服务员需要休假（休假对应于服 务员（通信节点）要进行其它处理，如存储数据、 信令交换等），在服务员休假期内到达的用户，要 等待服务员休假结束后，才能被服务。如服务员休 假期满后，没有用户到达，服务员进入另一个休假 期。
假定系统有稳态解，且具有各态历经性，则剩余服务时间 可用下图表示
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P-K公式
为了方便起见，取t为 的平均剩余服务时间为
1 Rt t
r t 0 的时刻，则[0,t]区间
W lim Wi
i
1 1 W R X N Q R N Q R W R W
R W 1
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P-K公式
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P-K公式
假定分组传输错误的概率为p。如果分组重传次数 为k，则等效服务时间为 1 kn ，其概率为 （一次正确传输，k次传输错误，共k+1次传输）， 即等效服务时间Xk的概率分布为 1 p p k 其一阶矩和二阶矩为
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服务员有休假的M/G/1排队模型
一个新用户到达系统时，它可能会遇到两种情况
当前有一个分组正在接受服务 服务员正在处于休假期
前一种情况的剩余服务时间与标准的M/G/1队列相 同，后一种情况的剩余服务时间为服务员休假的 剩余服务时间。
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P-K公式
该公式的推导过程中，利用了下列结果：
k 0
1 p 1 p
k
kp
k 0
k
p
1 p
2
k
k 0
2
p
如果 1
2
X2 1 1 W 2 2 1 2 1 2 1
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P X k 1 kn 1 p p k
np 1 kn1 p p 1 X 1 p k 0
k
2 2 2 np n p p 1 kn2 1 p p k 1 X2 2 1 p 1 p k 0
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服务员有休假的M/G/1排队模型
服务员的休假期用V1，V2，…表示，Vi是独立同分 布的随机变量，并且与到达间隔相互独立，其均值 为 。 用户（分组）的到达是速率为的Poisson过程，每 个用户的服务时间也是独立同分布的随机变量，其 平均服务时间为
1
V
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服务员有休假的M/G/1排队模型
服务员有休假的M/G/1排队系统的分组传输过程
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