专题39变式猜想问题-2年中考1年模拟备战中考数学精品系列(解析版)
2024年中考终极押题猜想数学(广东省专用)(解析版)
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一圆的性质（选择填空）..................................................................................................1押题猜想二二次函数与三角形、四边形结合（选择填空）..........................................................9押题猜想三特殊四边形与全等、相似三角形综合（选择填空）................................................17押题猜想四隐圆的最值问题（选择填空）....................................................................................25押题猜想五利用合理的统计量做决策（解答题）........................................................................35押题猜想六综合与实践（解答题）................................................................................................46押题猜想七一次函数与反比例函数的综合（解答题）................................................................59押题猜想八（特殊）四边形、圆的综合题型（解答题）..............................................................73押题猜想九二次函数与几何压轴（解答题）.. (91)押题猜想一圆的性质（选择填空）1．如图，在ABC V 中，6AB AC ==，120BAC Ð=°，以边BC 为直径作O e ，与线段CA BA ，的延长线分别交于点D E ，，则 DE的长为（ ）A ．3πB ．2πCD ．【答案】C【详解】解：如图，连接,,,OA OD OE CE ，Q 120BAC Ð=°，6AB AC ==，\()1180302CBE BCD BAC Ð=Ð=°-Ð=°，Q BC 为O e 的直径，90BEC \Ð=°，\9060BCE CBE Ð=°-Ð=°，∴30DCE BCE BCD Ð=Ð-Ð=°，\260DOE DCE Ð=Ð=°，Q 6AB AC ==，OB OC =，\AO BC ^，\cos cos30OB AB CBE AB =×Ð=×°=，\OD OE OB ===\DE =，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．2．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，AB 是O e 的直径，过点D 的切线交BA 的延长线于点E ，若28ADE Ð=°，则C Ð的度数是（ ）A ．152°B ．134°C ．124°D ．118°【答案】D【详解】解：连接OD ，∵ED 是切线，∴90ODE Ð=°，∵28ADE Ð=°，∴62ADO ODE ADE =Ð-Ð=°Ð，∵OD OA =，∴62DAO ADO Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是O e 的内接四边形，∴180118C DAO Ð=°-Ð=°，故选：D ．3．如图，扇形AOB 中，140AOB Ð=°，点C 为OA 的中点，4OA =，CD AO ^交 AB 于点D ，以OC 为半径画 CE交OB 于点E ，则图中阴影部分面积为 ．【答案】2p +2p 【详解】解：如图，连接OD ，，Q 点C 为OA 的中点，4OA =，122OC AC \==，4OD OA ==Q ，CD AO ^，30CDO \Ð=°，C D ==，60COD \Ð=°，()OCD OAB OCE OAD S S S S S \=---V 阴影扇形扇形扇形222140π4140π260π4123603603602æ´´´=---´´çè2π=+，故答案为：2π+．1．如图，AB 是O e 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且8AE CD ==，12BAC BOD Ð=Ð，则BE 的长为（ ）A ．12B ．32C ．2D ．52【答案】C【详解】解：如图，连接CO ，则12BAC BOC Ð=Ð，又∵12BAC BOD Ð=Ð，∴BOC BOD Ð=Ð，∴ BCBD =，∴AB CD ^，∴142CE DE CD ===，设O e 的半径为r ，则OC r =，8OE AE AO r =-=-，在Rt OCE V 中，222CE EO CO +=，即2224(8)r r +-=，解得：=5r ，∴2582BE AB AE =-=´-=．故答案为：C ．2．如图，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦，AB CD ^，垂足为E ，连接BD 并延长，与过点A 的切线AM 相交于点P ，连接AC ．若O e 的半径为5，8AC =，则AP 的长是（ ）．A ．323B ．13C ．403D ．14【答案】C【详解】解：如图，连接BC ，∵AB 是O e 的直径，∴90ACB Ð=°∵O e 的半径为5，8AC =，则10AB =∴6BC ===∴3tan 4BC CAB AC Ð==∵AP 是过点A 的切线，则AB AP ^∵ AD AD =∴ACD ABP Ð=Ð∴APB CABÐ=Ð∴tan tan APB CAB Ð=Ð，即34AB AP =∴4104033AP ´==故选：C ．3．如图，半径为5的扇形AOB 中，90AOB Ð=°，C 是AB 上一点，,CD OA CE OB ^^,垂足分别为D ,E ,若 2AC BC=,则图中阴影部分面积为（ ）A ．56p B ．512p C ．256p D ．2512p 【答案】D【详解】解：设OC 与DE 相交于点F ，∵90AOB Ð=°，C 是AB 上一点，,CD OA CE OB ^^,垂足分别为D ,E ,∴四边形OECD 是矩形，∴DF CF EF OF ===，OE CD =∴()SSS CDF OEF V V ≌∴CDF OEF S S =V V ，∴图中阴影部分面积BOC S =扇形，∵90AOB Ð=°， 2AC BC=∴1303BOC AOB Ð=Ð=°，∴图中阴影部分面积为23052536012BOC S p p´==扇形．故选：D4．如图，O e 半径长2cm ，点A 、B 、C 是O e 三等分点，D 为圆上一点，连接AD ，且=AD ，CD 交AB 于点E ，则BED Ð（ ）A ．75°B ．65°C ．60°D ．55°【答案】A【详解】解：如图所示，连接OD OA BD ，，，∵O e 半径长2cm ，∴2cm OA OD ==，∵=AD ，∴22222228OA OD AD +=+==，∴AOD △是直角三角形，且90AOD Ð=°，∴1452DBE AOD ==°∠∠，∵点A 、B 、C 是O e 三等分点，∴1180603BDC =°´=°∠，∴18075BED BDE DBE =°--=°∠∠∠，故选：A ．5．如图，在半径为2的O e 中，弦AB ^直径CD ，垂足为E ，30ACD Ð=°，P 为O e 上一动点，CF AP ^于点F ．则点P 在O e 上运动的过程中，线段OF 长度的最小值为．1/1-【详解】解：如图，连接OA ，取AC 的中点H ，连接OH OF HF ，，，∵OA OC AH HC ==，，∴OH AC ^，∴90AHO Ð=°，∵30HCO Ð=°，∴112OH OC HC ===，∴AC =∵CF AP ^，∴90AFC Ð=°，∴12HF AC ==∴OF FH OH ³-，即1³OF ，∴OF 1．1．押题猜想二二次函数与三角形、四边形结合（选择填空）1．二次函数2y =的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且120ABO Ð=°，则点C 的坐标为（ ）A ．14æ-ççèB ．14æ-ççèC ．æ-ççèD ．(-【答案】B【详解】解：连接BC 交OA 于D ，如图，Q 四边形OBAC 为菱形，BC OA \^，120ABO Ð=°Q ，60OBD \Ð=°，OD \=，设BD t =，则OD =，()B t \，把()B t 代入2y =,得2=，解得10t =（舍去），214t =，14BD \=，OD =故C 点坐标为：14æ-ççè．故答案为：B ．2．如图，二次函数214133y x x =-+-的图象交x 轴于A ，B 两点，图象上的一点C 使135CBA Ð=°，则点C的坐标是( )A ．(4,)1-B ．3(4,)2-C ．3(4.5,2-D ．7(4.5,)4-【答案】A【详解】解：二次函数214133y x x =-+-中，令0y =，则2141033y x x =-+-=，解得11x =，23x =，(1,0)A \，(3,0)B ，过点C 作CD x ^轴于点D ，135CBA Ð=°Q ，45CBD \Ð=°，BCD \△是等腰直角三角形，BD CD \=，设BD CD m ==，(3,)C m m \+-，Q 点C 在二次函数214133y x x =-+-的图象上，214(3)(3)133m m m \-=-+++-，解得11m =，20m =（舍去），(4,1)C \-，故选：A ．3．如图1，在ABC V 中，90,3,4C AC BC Ð===o ．点D 从A 出发，沿A C B --运动到B 点停止，过点D 作DE AB ^，垂足为E 连接BD ．设点D 的运动路径长为x ，BDE V 的面积为y ，若y 与z 的对应关系如图2所示，则a b -的值为（ ）A ．5425B ．5225C ．5025D ．4825【答案】B【详解】解：∵90C Ð=°，3AC =，4BC =，∴由勾股定理AB 5===，由题意得，03x <<时，sin DE BC A AD ABÐ==，即，45DE x =，∴45DE x =，同理35AE x =，∴355BE AB AE x =-=-，∴214365225525y x x x xæö=´-=-+ç÷èø当2x =时，∴26762222525a =-´+´=，37x £<时，如图，由题意得：7BD x =-，sin DE ACB BD AB Ð==，即，375DE x =-，∴()375DE x =-，同理()475AE x =-，∴()()()2143677725525y x x x =´-´-=-，当5x =时，∴()2624752525b =-=，∴762452252525a b -=-=，故选：B ．1．如图，在正方形ABCD 中，点B ，C 的坐标分别是(2,1)-，(2,0)，点D 在抛物线213=+y x bx 的图像上，则b 的值是（）A ．23B ．13C ．73D ．43【答案】B【详解】解：如图所示，作BE x ⊥轴，DF x ^轴，则：90BEO CFD Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是正方形，∴BC CD =，90BCD Ð=°，∴90BCE CDF DCF Ð=Ð=°-Ð，∴BEC CFD V V ≌，∴,CF BE DF CE ==，∵点B ，C 的坐标分别是(2,1)-，(2,0)，∴1,2,224BE CF OC DF CE =====+=，∴3OF =，∴()3,4D ，∵点D 在抛物线213=+y x bx 的图像上，∴214333b =´+，∴13b =；故选B ．2．已知在矩形ABCD 中，4,6,AB BC E ==是BC 上的一点，连接AE ，过点E 作EF AE ^，交CD 于点F ，在E 点从B 向C 运动的过程中，点F 的路径长为【答案】94/124/2.25【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C AEF Ð=Ð=Ð=°，4CD AB ==，∴90BAE CEF AEB Ð=Ð=°-Ð，∴ABE ECF ∽△△，∴AB BECE CF=，设BE x =，CF y =，则6CE BC BE x =-=-，∴46x x y=-，∴()164y x x =-()2164x x =--()219344x =--+，∵06x <<，∴当3x =时，y 有最大值，最大值为94，即904CF <£，当点E 与点B 重合时，点F 与点C 重合，则904CF ££，∴点F 的路径长为94，故答案为：94．3．如图是一种轨道示意图，其中A 、B 、C 、D 分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从A ，C 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A D C ®®和C B A ®®．若移动时间为t ，两个机器人之间距离为d ．则2d 与t 之间的函数关系用图像表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点E 和F ，两个机器人的速度均为1．当点E 在边AD 上，点F 在边BC 上时，==AE CF t ．作EG BC ^于点G ，可得矩形AEGB 和矩形CDEG ．BG AE t \==，90EGF Ð=°．12GF t \=-，222EF EG FG =+．Q 两个机器人之间距离为d ．()2222112442d t t t \=+-=-+．40>Q ，\函数图象为开口向上的二次函数．故选项C 和D 不符合题意．当机器人未出发时，点E 在点A 处，点F 在点C 处，如图1．2222EF AB BC =+=；当机器人分别到达点D 和点B 时，如图2．2222EF AB AD =+=；此时函数的y 的值和未出发时y 的值相同，故选：B ．4．如图，抛物线2123y x x =--与抛物线223y x x =-+相交于A ，B 两点，顶点分别为M ，N ，则下列说法错误的是（ ）A ．当12x =-或3x =时，12y y =B ．当1322x -<<时，12y y <C ．当1322x <<时，12,y y 同时随着x 的增大而增大D ．四边形AMBN 是平行四边形【答案】C【详解】解：令22233x x x x --=-+，解得：12132x x =-=，，故A 选项正确，不符合题意；∴A ，B 的横坐标分别为1,32-，将横坐标代入解析式可求得1724A æö--ç÷èø，，()3,0B ，∵抛物线2y 的对称轴为直线32x =，抛物线1y 的对称轴为直线1x =，∴N 点横坐标为32，M 点横坐标为1，将横坐标代入解析式可求得3924N æöç÷èø，，()14M -，；观察图象可知，当1322x -＜＜时，12y y ＜，故B 选项正确，不符合题意；当1322x ＜＜时，抛物线2y 随着x 的增大而增大，抛物线1y 先是随着x 的增大而减小，然后又随着x 的增大而增大，故C 选项错误，符合题意；∵AM =BN ==AN ==BM ==∴AM BN AN BM ==，，∴四边形AMBN 是平行四边形，故D 选项正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质、平行四边形的判定等知识，解题关键是理解图象上的点的含义和变化特征，会通过观察图象得出其增减性，会利用两点距离公式求两点之间的距离．押题猜想三特殊四边形与全等、相似三角形综合（选择填空）1．如图，点E 在正方形ABCD 的对角线BD 上，EF CD ^于点F ，连接AE 并延长，交CD 于点H ，交边BC 的延长线于点G ．若2EF =，6CG =，则GH =（ ）A B C ．D ．【答案】D【详解】解：设正方形的边长为x ，∵ABCD 是正方形，EF CD ^，∴90ADH EFH GCH ÐÐÐ===°，AD CD x ==，45DFE Ð=°，∴904545DEF DFE ÐÐ=°-°=°=，∴2DF EF ==，∵EHF AHD CHG ÐÐÐ==，∴ADH EFH V V ∽，EFH GCH V V ∽，∴EF FH AD DH =即22FH x FH =+，632CH CG FH EF ===，∴42FH x =-，3CH FH =，∴412322CH x x =´=--，∵CH FH DF CD x ++==，∴122x x =-，解得6x =，经检验，6x =是原方程的解，∴12362CH ==-，∴GH ===．故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及解分式方程熟练掌握以上知识是解题的关键．2．如图，点E 、F 为正方形ABCD 边的点，CE DF ^，点G 、H 分别为线段CE DF 、的中点，连接GH ，若2CF =，GH =AB 的长为．【答案】8【详解】解：设DF CE 、交于点Q ，如图所示：∵CE DF ^，∴90DCQ CDF Ð+Ð=°∵90DCQ BCE Ð+Ð=°∴CDF BCEÐ=Ð∵90,DCF CBE DC CB Ð=Ð=°=∴CDF BCE △≌△∴CE DF =，设正方形ABCD 的边长为a ，则DF CE ===∵点G 、H CE DF 、的中点，∴CG HF ==∴CD CF CQ DF ´==∴GQ CG CQ =-==∵FQ ==∴HQ HF FQ =-=∵222GH GQ HQ =+∴(222=+解得：8a =故答案为：83．如图，在矩形ABCD 中，BE AC ^于点F ，1,BF BC ==DE 的长度是．【详解】解：∵BE AC ^于点F ，∴CF ==90BCF CBF Ð+Ð=°，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ABF CBF Ð=Ð+Ð=°，AD BC AD BC ==∥，∴BCF ABF Ð=Ð，∵90BFC AFB Ð=Ð=°，∴ABF BCF V V ∽，∴BF AFCF BF=，∴2BF CF ×，即21=∴AF =，∵AE BC ∥，∴,AEF CBF EAF BCF Ð=ÐÐ=Ð，∴AEF CBF ∽△△,AEBC=,，∴AE =∴DE AD AE =-=．1．如图，矩形ABCD 中，分别以A C ，为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M N ，两点，作直线MN 分别交AD BC 、于点E F 、，连接AF ．若3BF =，5AE =，则AC 的长是（ ）A ．4B ．C ．8D ．【答案】B 【详解】解：令AC 交EF 于O ，，由作图可得：MN 垂直平分AC ，AF CF \=，AO CO =，Q 四边形ABCD 为矩形，AD BC \∥，90B Ð=°，EAO FCO \Ð=Ð，EOA FOC Ð=ÐQ ，AOE COF \V V ≌，5CF AE \==，5AF CF \==，4AB \===，358BC BF CF =+=+=，AC \===，故选：B ．2．如图，正方形ABCD 的边长为AC 与BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM BE ^于点M ，交BD 于点F ，则OF = ，FM = ．【答案】1【详解】解：Q 正方形ABCDAO BO \=，90AOF BOE Ð=Ð=°AM BE ^Q ，AFO BFMÐ=ÐFAO EBO\Ð=Ð在AFO V 和BEO △中AOF BOE AO BOFAO EBO Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî(ASA)AFO BEO \V V ≌FO EO\=Q 正方形ABCD的边长为，E 是OC 的中点1FO EO BF \===，2BO =\直角三角形BOE中，BE ==Q FBM EBO Ð=Ð，FMB EOB Ð=Ð，\BFM BEOV V ∽\FM BF EOBE =，即1FM FM \故答案为：13．如图，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 、BD 相交于点O，E 为BC 边的中点，连接DE 交AC 于点F ．若6AC =，则EF 的长为 ．【详解】解：∵菱形ABCD 的边长为5，6AC =，∴5AD BC ==，132OC AO AC ===，AC BD ^，AD EC ∥∴4OD OB ====，∵E 为BC 边的中点，∴1122CE BC AD ==，∵AD EC ∥，∴ADF CEF△∽△∴12EF CF EC DF AF AD ===∴123CF AC ==，则321OF OC CF =-=-=，在Rt ODF △中，DF ===∴12EF =4．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为 ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，四边形DEFC 是正方形，∴6DA DC ==，DE DG =，90ADC EDG Ð=Ð=°，45DAC Ð=°，∴ADE CDG Ð=Ð，∴()SAS ADE CDG ≌V V ，∴45DCG DAE Ð=Ð=°，∴点G 的轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ^时，GH 有最小值，∵643223DH CD ==´=，∴642CH CD DH =-=-=，∴sin 452GH CH ×°===最小，．5．正方形ABCD 的边长为1,E 为边DC 的中点，点F 在边AD 上，将D Ð沿直线EF 翻折，使点D 落在点G 处，如果BG BC =，那么线段DF 的长为 ．【答案】14/0.25【详解】如图，连接BE ，由翻折可得：90D EGF Ð=Ð=°，12DEF GEF DEG Ð=Ð=Ð，DE EG =，又∵E 为边DC 的中点，∴12DE EC EG ===，又∵BG BC =，BE BE =，∴EGB ECB V V ≌，∴12GEB CEB CEG Ð=Ð=Ð，∴119022DEF CEB DEG CEG Ð+Ð=Ð+Ð=°，又∵ABCD 是正方形，∴90D C Ð=Ð=°，∴90DEF DFE Ð+Ð=°，∴DFE CEB Ð=Ð，∴DEF CBE V V ∽，∴DF DE CE BC =，即12112DF =，解得14DF =．故答案为：14押题猜想四隐圆的最值问题（选择填空）1．如图，在AOB V中，4,90,OB AOB COD ==Ð=°△的边CD 经过点,30A D Ð=°，DAB AOC Ð=Ð，则OC 的最大值是（ ）A ．83BCD．【答案】A【详解】解法1：Q 在AOB V中，4,90OB AOB ==Ð=°，∴OA ==30AB B \==Ð=°，30B D Ð=Ð=°Q ，∴DAB DOB Ð=Ð，又DAB AOC Ð=ÐQ ，DOB AOC \Ð=Ð，90DOC AOC DOA DOB DOA AOB \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，60C \Ð=°，tan OD OC C \==，\当OD 取最大值时，OC 取最大值．B D Ð=ÐQ ，DAB DOB Ð=Ð，,,,A O B D \四点共圆，OD \最大值为直径长．90AOB Ð=°Q ，∴AB 是直径，OD \OC \83==．解法2：同解法1得60C Ð=°，作AOC V 的外接圆M e ，连接,MA MO ，过圆心M 作MN OA ^，垂足为点N ．60C Ð=°Q ，120AMO °\Ð=．MN OA ^Q ，160,2AMN OMN AN ON OA \Ð=Ð=°===4sin 603AN MA MO \°===．当OC 为M e 的直径时，OC 取得最大值为823MO =．故选：A2．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60A Ð=°，M 是AD 边上的一点，且14AM AD =，N 是AB 边上的一动点，将AMN V 沿MN 所在直线翻折得到A MN ¢△，连接A C ¢，则A C ¢长度的最小值是 ．1/1-+【详解】解：过点M 作MH CD ^交CD 延长线于点H ，连接CM ，菱形ABCD 中，4AD CD ==，CD AB ∥，∵14AM AD =，∴1,3AM MD ==，∵CD AB ∥，∴60HDM A Ð=Ð=°，∴30DMH Ð=°，∴1322HD MD ==，∴HM ，112CH DH CD ===，∴MC ==∵将AMN V 沿MN 所在直线翻折得到A MN ¢△，∴1AM A M ¢==，∴点A ¢在以M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴当点A ¢在线段MC 上时，A C ¢长度有最小值，∴A C ¢长度的最小值1MC MA ¢=-=．1．【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点A ¢在MC 上，A C ¢的长度最小，是解题的关键．3．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，1AC =，2BC =．将ABC V 绕BC 的中点D 旋转得EFG V ，连接CE ，则CE 的最大值为 ．1/1+【详解】解：如图所示，连接DA ，以点D 为圆心，DA 为半径画圆，在旋转的过程中，点A 的对应点E 始终在⊙D 上，延长DB 交⊙D 于点M ，类比于“直径是圆中最长的弦”，则CM 的长就是CE 的最大值．∵D 是BC 的中点，∴112122CD CB ==´=，在Rt ACD V 中，∵222DA AC CD =+，∴DA ===∴DM DA ==∴1CM CD DM =+=+∴CE 1+．1．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、圆的性质、勾股定理、求线段的最值等知识点，熟练掌握旋转和圆的有关性质是解题的关键．1．如图，矩形ABCD 的宽为10，长为12，E 是矩形内的动点，AE BE ^，则CE 最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【详解】如图，AE BE ^Q ，\点E 在以AB 为直径的半O e 上，连接CO 交O e 于点E ¢，\当点E 位于点E ¢位置时，线段CE 取得最小值，10AB =Q ，5OA OB OE ¢\===，12BC =Q ，13OC \==．1358CE OC OE ¢\¢=-=-=．故选：B ．2．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，E 是正方形外一点，且BE CE ^，连接OE ．若6BC =，13CE BC =，则OE 的长为（ ）A ．5B ．4C ．D ．6【答案】B 【详解】解：过B 作BH OE ^于H ，如图：Q 四边形ABCD 是正方形，6BC =，90BOC \Ð=°，45BCO Ð=°，OB ===BE CE ^Q ，90BEC \Ð=°，180BOC BEC \Ð+Ð=°，B \，E ，C ，O 四点共圆，45BEO BCO \Ð=Ð=°，BHE \V 是等腰直角三角形，BE CE ^Q ，2CE =，BE \==4BH EH \===，在Rt BOH V中，OH ==4OE OH HE \=+=故选：B ．【点睛】本题考查正方形的性质及应用，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，用勾股定理解决问题．3．如图，将ABC V 绕点A 旋转至AB C ¢¢△，使得B ¢，C ¢，B 共线，若2AC =，30ABC Ð=°，则CC ¢的长为．【答案】【详解】解：如图，过点A 作AHCC ¢^于H ，Q 将ABC V 绕点A 旋转至AB C ¢¢△，2AC AC ¢\==，ACB AC B ¢¢Ð=Ð，180AC B BC A ¢¢¢Ð+Ð=°Q ，180ACB BC A ¢\Ð+Ð=°，\点A ，点C ，点B ，点C ¢四点共圆，30ABC AC C ¢\Ð=Ð=°，AC AC ¢=Q ，AH CC ¢^，2CC C H ¢¢\=，112AH AC ¢==，C H ¢==CC ¢\=故答案为：4．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 上的动点，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 落在点A ¢处，连接CA ¢，DA ¢，则CA D ¢V 面积的最小值为 ．【答案】154【详解】解：由折叠的性质可得：EA EA ¢=，∴点A ¢的运动轨迹是以点E 为圆心，EA 为半径的圆上的一段弧，如图，作,A G CD EH CD ¢^^，垂足分别为G 、H ，∵四边形ABCD 是矩形，3AB =，∴1322EA EA AB ¢===，90BAD D Ð=Ð=°，4,3AD BC CD AB ====，∴四边形AEHD是矩形，∴4EH AD ==，∵1322CA D S CD A G A G ¢¢¢=××=V ，∴当A G ¢最小时，CA D ¢V 的面积最小，∵EA A G EH ¢¢+³，∴35422A G EH A E ¢¢³-=-=，∴当点A ¢在EH 上时，A G ¢最小，最小为52，∴CA D ¢V 面积的最小值为3515224´=．故答案为：154．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、圆的基本性质、折叠的性质以及垂线段最短等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、得出A G ¢的最小值是解题的关键．5．如图，在Rt ABC V 中，90ABC Ð=°，30ACB Ð=°，2BC =，ADC △与ABC V 关于AC 对称，点E 、F 分别是边DC 、BC 上的任意一点，且DE CF =，BE 、DF 相交于点P ，则CP 的最小值为 ．【详解】解：如图1，连接BD ，在Rt ABC V 中，90ABC Ð=°，30ACB Ð=°，2BC =，AB \=，AC =ADC QV 与ABC V 关于AC 对称，BC DC \=，30ACD ACB Ð=Ð=°，60BCD \Ð=°，BDC \V 是等边三角形，BD CD \=，60BDC BCD Ð=Ð=°，DE CF =Q ，BDE \V ≌DCF V （SAS ），BED DFC \Ð=Ð，180BED PEC Ð+Ð=°Q ，180PEC DFC \Ð+Ð=°，180DCF EPF DCF BPD \Ð+Ð=Ð+Ð=°，60DCF Ð=°Q ，120BPD \Ð=°，由于点P 在运动中保持120BPD Ð=°，如图2，\点P的运动路径为：以A为圆心，AB为半径的120°的弧，连接AC与圆弧的交点即为点P，此时CP的长度最小，CP AC AP\=-==则线段CP【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆的基本知识，证明BDE△≌V是解题的关键．DCF押题猜想五利用合理的统计量做决策（解答题）1．4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下：学生成绩统计表七年级八年级平均数7.557.55中位数8c众数a7合格率b85%根据以上信息，解答下列问题：(1)写出统计表中a ，b ，c 的值；(2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；(3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．【答案】(1)8a =，80%b =，7.5c =(2)510人(3)用中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势，表示了七，八年级学生成绩数据的中等水平．【详解】（1）根据八年级的成绩分布可得：5分的有3人，6分的有2人，7分的有5人，8分的有4人，9分的有3人，10分的有3人，故中位数是787.52+=，根据扇形统计图可得：5分的有2020%4´=人，6分的有2010%2´=人，7分的有2010%2´=人，8分的有2030%6´=人，9分的有2015%3´=人，10分的有2015%3´=人，故众数是8，合格人数为：2263316++++=人，故合格率为：1680%20=，故8a =，80%b =，7.5c =．（2）八年级学生成绩合格的人数为：60085%510´=人，即若该校八年级有600名学生，该校八年级学生成绩合格的人数有510人．（3）根据中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势和七，八年级学生成绩数据的中等水平．【点睛】本题考查了中位数，众数，合格率，用样本估计总体等，熟练掌握中位数和众数的定义是解题关键．2．为了研究某树苗的生长情况，研究组在甲、乙两个试验基地同时播下树种，同时随机各抽取20株树苗，记录下每株树苗的长度（单位：cm ），进行整理、描述和分析（用x 表示树苗长度，数据分成5组：A ．2030x £<；B ．3040x £<；C ．4050x £<；D ．5060x £<；E ．60x ³，50cm 及以上为优等）．下面给出了部分信息：甲试验基地抽取的20株树苗的长度：28，29，32，34，38，40，42，45，46，51，51，52，54，55，55，55，55，57，60，61．乙试验基地抽出的20株树苗中，A 、B 、E 三个等级的数据个数相同，C 组的所有数据是：42，43，46，49，49．甲、乙两试验基地抽取的树苗长度的统计表品种平均数中位数众数E 组所占百分比甲4751a 10%乙47b56%m 根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：=a __________，b =__________，m =___________；(2)根据以上数据，你认为甲、乙两基地哪个基地的树苗好？并说明理由（写出一条理由即可）；(3)请估计2000株乙基地的树苗为优等的树苗株数是多少？【答案】(1)55，49，15(2)见解析(3)900株【详解】（1）解：根据甲试验基地抽取的20株树苗的长度：28，29，32，34，38，40，42，45，46，51，51，52，54，55，55，55，55，57，60，61．55出现的次数最多为4，故55a =，D 组的数据个数为：2030%6´=，\A 、B 、E 三个等级的数据个数为：205633--=，31001520m \=´=，20Q 为偶数，故中位数为第10个数和第11个数的平均值，即4949492+=，故答案为：55，49，15；（2）解：乙基地的树苗好，理由：两个基地的平均数相同，众数差不多、中位数也差距不大，而乙基地的优秀率比甲基地的优秀率相对大的多，故乙基地的树苗好；（3）解：乙基地的优秀率为：(3015)%45%+=，\2000株乙基地的树苗为优等的树苗株数是200045%900´=（株）【点睛】本题考查读扇形图的能力及表的能力，利用统计图获取信息的能力，利用统计表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．3．某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x ，将所得数据分为5组（“很满意”：90100x ££；“满意”：8090x £<；“比较满意”：7080x £<；“不太满意”：6070x £<；“不满意”：060x £<），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：c ．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲85n83乙817980d ．甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．请你根据以上信息，回答下列问题：(1)直接写出m 和n 的值；(2)根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；(3)市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．【答案】(1)25m =；81.5n =(2)甲中学延时服务开展较好；理由见解析(3)约为750人【详解】（1）解：乙中学“比较满意”所占的百分比为140%7%18%10%25%----=，即25m =．Q 甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．\将甲中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数的平均数为828181.52+=，因此中位数是81.5，即81.5n =．（2）解：甲中学延时服务开展较好，理由如下．因为甲中学延时服务得分的平均数、中位数和众数均比乙中学的高，所以甲中学延时服务开展较好．（3）解：()100017%18%750´--=人．答：乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数约为750人．【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，数据的集中趋势，用样本估计总体，熟练掌握这些知识点是解题关键．1．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，为了培养学生劳动习惯与劳动能力，树立正确的劳动价值观，某校学生发展中心开展了“家务劳动我最行”活动，并从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周家务劳动时长t （单位：h ），将搜集到的数据进行整理、描述和分析，分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，绘制成如下统计图表：等级频数()A t£<512()B t£<m23()C t£<1534()D t£<1245()E t£<56落在C等级的数据（单位：h）为：3.0，3.0，3.2，3.2，3.2，3.3，3.3，3.3，3.4，3.4，3.5，3.5，3.5，3.6，3.7根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：m=_________，n=_________；(2)本次调查中，平均每周家务劳动时长的中位数为_________h；(3)计算发现，本次调查中平均每周家务劳动时长的平均数为3.8小时，小明说他平均每周家务劳动时长为3.6小时，则他做家务劳动的时长不超过一半的人．你同意小明的说法吗？请说明理由；(4)教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求初中生平均每周劳动时间不少于3小时．针对本次调查中不符合这一要求的学生，请你为他们提出一条合理化建议．【答案】(1)8，72(2)3.5(3)不同意，理由见解析(4)见解析【详解】（1）解：∵抽取的同学总数为：1530%50¸=(人)，m=´=，∴5016%8∵E 组频数为：5058151210----=，∴103607250n =´=；故答案为：8，72；（2）解：∵按从小到大排列，第25，第26位应在C 组，这两个数都是3.5，∴抽取的同学平均每周家务劳动时长的中位数为()3.5 3.53.5h 2+=；故答案为：3.5；（3）解：不同意．理由：平均数只能反映这组数据的平均水平，不能反映中间水平，小明平均每周家务劳动时长3.6小时低于平均数3.8小时，但却高于中位数3.5小时，应该超过一半的人，故小明的说法错误．（4）解：把劳动教育融入家庭教育，让家长要求孩子多多参加家务劳动，使平均每周参加家务劳动的时间不少于3h （答案不唯一）．【点睛】本题主要考查频数分布表，扇形统计图，中位数，利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．2．为了解同学们对垃圾分类知识的知晓程度，某校团委设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，整理得如下不完整的统计图表．“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表组别测试成绩/分频数（人）A 5060x <£10B 6070x <£15C 7080x <£aD 8090x <£30E90100x <£25“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩的扇形统计图(1)扇形统计图中B 部分所对应的圆心角的度数为______；(2)本次测试成绩的中位数落在______组；本次测试成绩的平均数是______分；(3)为了更好地宣传垃圾分类，在学校、家庭、社会的三位一体环境中发挥作用，学校团委决定组织在本次测试中达到一定分数的同学参加社区志愿活动，请你帮团委确定这个分数的标准，并用统计量说明其合理性．【答案】(1)54°(2)D ；79.5；(3)标准为85分比较合理，理由见解析．【详解】（1）解：由A 组数据可知，抽取的样本总量为1010%100¸=人，\扇形统计图中B 部分所对应的圆心角的度数为1536054100´°=°，故答案为：54°；（2）解；由题意可知，中位数为第50和第51名成绩的平均值，\本次测试成绩的中位数落在D 组，由（1）可知，样本总量为100人，1001015302520a \=----=，\本次测试成绩的平均数5510651575208530952579.5100´+´+´+´+´==分，故答案为：D ；79.5；（3）解：标准为85分比较合理，理由：因为平均数是79.5分，若将它定为标准，一半以上学生已经达到标准，不会再学习；而中位数在8090x <£之间，取组中值作为标准，多数人努力能达到，有利于提高学习积极性，．【点睛】本题考查了频数分布图，扇形统计图，中位数，加权平均数等知识，正确识别频数分布图和扇形统计图的信息是解题关键．3．某中学为了解学生垃圾分类情况，在七、八年级举行有关垃圾分类的知识测试活动，并从七、八两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示：年级平均数众数中位数优秀率七年级42.3a43c八年级39.544b65%请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：(1)填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．(2)根据样本统计数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；(3)从样本中测试成绩为满分的七、八年级的学生中随机抽取两名学生，用列表法或画树状图法求抽到两人在同一年级的概率．【答案】(1)43，42.5，55%(2)八年级，见解析（答案不唯一）(3)25【详解】（1）解：将七年级20名同学成绩整理如下表：成绩25303739434950人数1242542a=，则43把八年级20名学生的测试成绩按从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，则414442.52b +==，()54220100%55%c =++¸´=；故答案为：43，42.5，55%；（2）解：从表中优秀率看，八年级样本优秀率达到65%，而七年级的优秀率是55%，因此估计八年级学生的优秀率高，所以用优秀率评价，估计八年级学生掌握垃圾分类知识较好（答案不唯一）；（3）解：七年级满分有2人，记为A ，B ，八年级满分有3人，记为C ，D ，E ，画树状图如图：共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，∴两人在同一年级的概率为82205=．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．4．某校九年级有400名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻炼方法，并在全年级实施．为了检验此方法的锻炼效果，在应用此方法锻炼前，随机抽取了20名学生进行了第一次测试，在应用此方法锻炼一段时间后，又对这20名同学进行了第二次测试，获得了他们的成绩（满分3分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，给出如下信息：a ．表1第一次测试成绩统计表分组/分人数510x £<11015x £<11520x £<92025x £<m2530x ££3。
中考数学二轮复习精品资料：归纳猜想型问题(含解析)
中考数学二轮复习精品资料归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2013•巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n．解：第八项为-27a8=-128a8．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．对应训练1．（2013•株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
数学-2024年中考终极押题猜想(全国通用)(原卷版)
2024年中考数学终极押题猜想（全国通用）（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一选填题之几何图形综合问题 (2) (2)押题猜想二选填题之函数综合问题 (5) (5)押题猜想三选填题之规律探索问题 (7) (7)押题猜想四选填题之新定义问题 (9) (9)押题猜想五解答题之函数与实际问题综合问题 (12) (12)押题猜想六解答题之一次函数与反比例函数综合问题 (16) (16)押题猜想七解答题之用三角函数解决实际问题 (20) (20)押题猜想八解答题之几何图形的证明与计算问题 (24) (24)押题猜想九解答题之阅读理解问题 (26) (26)押题猜想十解答题压轴之几何综合 (34) (34)押题猜想十一解答题压轴之二次函数综合 (39) (39)押题猜想一选填题之几何图形综合问题1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA 上运动，PQ=12，有下列结论：①CP与QD一定不相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为；④四边形PCDQ周长的最小值为3．其中，正确结论的序号为（ ）A．②④B．②③C．①②③D．②③④2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN恰好经过点D，与边AB交于点E，连接CE，以下四个结论中：①∠ABC=120°；②4S△BCE=S△CDE；③2BE=AD；④如果CE=DE=是（）A．1B．2C．3D．43．（2023·山东聊城·二模）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC=130°时，四边形ADFE是矩形；③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M，N分别在边AD，BC上．沿着直线MN折叠矩形ABCD，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M 作MH⊥BC于点H，连接BF．已知下列判断：①MN⊥BF；②△MHN∽△BCF；③MNBF=34；④6<MN<152．其中正确的是．（填写所有正确结论的序号）2．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE与对角线BD交于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于点G，下列四个结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB―PD=；④SΔAPG=12SΔAEF．其中正确结论个数为（）．A．1B．2C．3D．43．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE.下列结论：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；③DE2=；④若AB=AD=2BD，则AF=53．其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)押题猜想二选填题之函数综合问题1．（2024·山东临沂·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为(4,0)，其对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc<0；②b2―4ac<0；③9a+3b+c=0；④8a+c=0；⑤若关于x的方程ax2+bx+c=―1有两个实数根x1,x2，且满足x1<x2，则x1<―2，x2>4．其中正确结论的个数为（）A．5B．4C．3D．22．（2023·广东佛山·一模）如图，点A在双曲线y=k（k>0，x>0）上，点B在直线l：y=mx―2bx（m>0，b>0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①A(b,3b)②当b=2时，k=m S四边形AOCB=2b2则所有正确结论的序号是．1．（2024·贵州遵义·一模）如图，点A在y=m（x>0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，过点A作AC⊥yx（x>0）的图象于点E，连接OE．若AE=3CE，四边形OBAE的面积为7，则m，n轴，垂足为C，交y=nx的值正确的是（）A．m=6，n=4B．m=4，n=1C．m=12，n=3D．m=8，n=22．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中有一反比例函数y=―6x过第一象限内的点P分别作x轴，y轴的垂线，与y轴，x轴分别交于A、B两点，与双曲线分别交于C、D两点．则以下结论中，正确结论的序号是（）①存在无数个点P使S△AOC=S△BOD②存在无数个点P使S△POA=S△POB③存在无数个点P使四边形OAPB的面积=S△ACDA．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数y=x2+(2m―1)x+2m m①该函数图象过定点(―1,2)；②当m=1时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当1<m<32时，点P(x1,y1)，Q(x2,y2)是曲线上两点，若―3<x1<―2，―12<x2<0，则y1>y2．其中，正确结论的序号为．4．（2024·青海西宁·一模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表：x―1013y0―1.5―20根据表格中的信息，得到了如下的结论：①abc<0②二次函数y=ax²+bx+c可改写为y=a(x―1)2―2的形式③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=―1.5的根为x1=0,x2=2④若y>0，则x>3⑤当x≥2时，y有最小值是―1.5其中所有正确结论的序号是（）A．①②④B．②③⑤C．①③⑤D．②③④⑤押题猜想三选填题之规律探索问题1．（2023·重庆九龙坡·一模）已知f n(x)=nx1+x，T n(x)=f1(x)+f2(x)+f3(x)+…+f n(x)（n为正整数），下列说法：①fn(2023)+f=n+⋯+n2+n；③T n―1(x)T n(x)>n n+1；④若y=1+t t f t(t)―T t(t)+3，则y的最小值为3．其中正确选项的个数是（）A．0B．1C．2D．32．（2023·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)，延长CB交x轴于点A1，做第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，做第2个正方形A2B2C2C1…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（）A．5×B．5×C．5×D．5×3．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2023的值为（）A B C D1．（2023·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5扫过的面积记为S3；…；按此规律，则S2023为（）A．22019πB．22020πC．22021πD．22022π2．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9…都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9坐标分别是A1(3,0)，A3(2,0)，A5(4,0)，A7(1,0)，A9(5,0)，依据图形所反映的规律，则A2023的坐标是（）A．(509,0)B．(508,0)C．(―503,0)D．(―505,0) 3．（2023·重庆九龙坡·三模）由n（n≥2）个正整数组成的一列数，记为x1，x2，x3…x n，任意改变它们的顺序后记作y1，y2，y3…y n，若M=(x1+y1)(x2+y2)(x3+y3)⋯(x n+y n)，下列说法中正确的个数是（）①若x1=2，x2=4，x3=6…x n=2n，则M一定为偶数；②当n=3时，若x1，x2，x3为三个连续整数，则M一定为偶数；③若M为偶数，则n一定为奇数；④若M为奇数，则n一定为偶数．A．4B．3C．2D．1押题猜想四选填题之新定义问题1．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：cos(α+β)=cosαcosβ―sinαsinβ，cos(a―β)=cosαcosβ+sinαsinβ.=60°，βcos(60°―12+×cos75°的值为( )A B C D2．（2023·重庆江津·二模）如果实数a，b满足a―b=ab的形式，那么a和b就是“智慧数”，用(a,b)表示．如：由于2―23=2×23，所以2,“智慧数”，现给出以下结论：①―12和―1是“智慧数”；②如果(3，☆)是“智慧数”，那么“☆”的值为34；③如果(x,y)是“智慧数”，则y与x之间的关系式为y=x；x+1④如果(x,y)是“智慧数”，当x>0时，y随x的增大而增大，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2023·四川成都·三模）在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的等边三角形称为点A，B的“确定三角形”．如果点E在以边长为△ABC的边上，且AB∥y轴，AB的中点为P(m,0)，点F在直线y=―x+2上，若要使所有的E，F的“确定三角形”的周长都不小于m的取值范围为．1．（2023·山东菏泽·三模）定义运算“★”：a★b=a2―b(a≤b)b2―a(a>b)，关于x的方程(2x+1)★(2x―3)=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是．2．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点P(x1,y1)，当点Q(x2,y2)满足2(x1+x2)= y1+y2时，称点Q(x2,y2)是点P(x1,y1)的“倍增点”，已知点P1(1,0)，有下列结论：①点Q1(3,8)，Q2(―2,―2)都是点P1的“倍增点”；②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为(2,4)；③抛物线y=x2―2x―3上存在两个点是点P1的“倍增点”；④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B其中，正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．43．（2024·重庆·模拟预测）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性．现在我们继续探索一类数．定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍比千位、个位数字之和大1，则我们称这个四位数t是“四·二一数”例如：当t=6413时，∵2×（4+1）―（6+3）=1，∴6413是“四·二一数”；已知t=4abc（1≤a≤9、1≤b≤9、1≤c≤9且均为正整数）是“四·二一数”，满足4a与bc的差能被7整除，则所有满足条件的t的最大值为．．4．（2023·河北沧州·三模）定义：若数p可以表示成p=x2+y2―xy（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：39=72+52―7×5，147=132+112―13×11，…所以39，147是“希尔伯特”数．（1）有理数1 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）；（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数．①设连续两个奇数中较小的数是2n―1（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为；②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是．5．（22-23九年级上·重庆万州·阶段练习）定义：如果代数式A=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与B=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数），满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：（1）代数式：―2x2+3x的“同心式”为2x2―3x；（2）若8mx2+nx―5与6nx2+4x+5互为“同心式”，则(m+n)2023的值为1；（3）当b1=b2=0时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；（4）若A、B互为“同心式”，A―2B=0有两个相等的实数根，则b21=36a1c1；其中，正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个押题猜想五解答题之函数与实际问题综合问题1．（2024·四川达州·一模）随着新能源电动车数量的快速增加，为了让人们出行充电更加方便快捷，某高速公路服务区需要增加充电桩，并决定安装快速充电和慢速充电两种型号的充电桩，若安装3个快速充电桩和2个慢速充电桩共需14.3万元，且快速充电桩单价比慢速充电桩单价高0.6万元．(1)求出快速充电桩和慢速充电桩的单价；(2)该服务区购买快速充电桩和慢速充电桩共30个，其中慢速充电桩不得超过10个，且总费用不超过88.2万元，请问如何购买才能使所需资金最少，最少是多少万元？2．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA=OC=12cm，BC=28cm，一个100g的砝码．素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P 至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长12cm时，天平平衡．链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量×OA=右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量）任务1：设右侧托盘放置y(g)物体，OP长x(cm)，求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围．任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．3．（2024·广东惠州·一模）水果商贩小李上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元．(1)问草莓、苹果各购买了多少箱？(2)小李有甲、乙两家店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓、苹果两种水果合计20箱，并且每售出一箱草莓，甲店获利14元，乙店获利10元；每售出一箱苹果，甲店获利20元，乙店获利15元．①若小李将购进的40箱水果分配给两家店铺各20箱，设分配给甲店草莓a箱，请填写表：草莓数量（箱）苹果数量（箱）合计（箱）甲店a________20乙店_________________20小李希望在乙店获利不少于215元的前提下，使自己获取的总利润W最大，问应该如何分配水果？最大的总利润是多少？②若小李希望获得总利润为600元，他分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，已知5<a<15，则a=________．4．（2023·湖南·中考真题(改)）我国航天事业发展迅速，2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．(1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；(2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？1．（2024·陕西宝鸡·二模）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式y=―140x2+94x，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线y=―150x2+bx+c．当无人机飞越坡底上空时（即点D），与地面的距离为20米．(1)求无人机飞行轨迹的函数解析式；(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．2．（2024·河南漯河·一模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（CO）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻R（Ω）的阻值随着尾气中一氧化碳的含量β（g）变化的关系图象如图2所示，R0（Ω）为定值电阻，电源电压恒定不变．(1)请根据图2，判断气敏电阻R（Ω）与尾气中一氧化碳的含量β（g km）之间成________函数，它的函数解析式为________；(2)已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于1.0g/km．若某辆小轿车的尾气检测阻值为0.5Ω，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准；(3)该管理站对（2）中的小汽车进行维修，其尾气中一氧化碳的含量降至0.1g/km，此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低多少？3．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b （mm），在平面直角坐标系中描点如图1．探究1检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n=1θ(0.5≤θ≤10)．探究2当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．素材3如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“E”测得的视力相同．探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．4．（2024·广东深圳·二模）【项目化学习】项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：cm）、滑行距离y（单位：cm）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下：运动时间x t0246810⋯运动速度1098765⋯根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：任务二：观察分析（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）任务三：问题解决（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方n cm处有一辆电动小车，以2cm s的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．押题猜想六解答题之一次函数与反比例函数综合问题1．（2024·江苏盐城·一模）如图，已知A(―3,2)，B(n,―3)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx 的图象的两个交点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．2．（23-24九年级下·江西赣州·模拟）如图，点P在函数y=4x(x>0)的图像上，过点P作x轴和y轴的平行线分别交函数y=1x的图像于点M，N，直线MN与坐标轴的交点为E，F．(1)设点P横坐标为a，则点P的坐标为______，点M的坐标为______，点N的坐标为______．（用含字母a的式子表示）(2)当点P在函数y=4x(x>0)的图像上运动时，△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出△PMN的面积；若变化，请说明理由．(3)请直接写出EM与FN满足的数量关系．3．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，直线AB与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(2,6)和点B(6,n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．(1)求反比例函数的表达式及n的值．(2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．①求点F的坐标．②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．1．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数y=12x+2的图象与反比例函数y=k x(k≠0，x>0)的图象相交于点A(2,a)，与x轴交于C点，与y轴交于B点．(1)由图像可知，当x时，12x+2>k x；(2)求出a，k的值；(3)若M(m,0)为x轴上的一动点，当△AMB的面积为72时，求m的值；(4)在x轴上是否存在点D，使得∠BOA=∠OAD，若存在，请直接写出点D坐标，若不存在，请说明理由．2．（2024·江苏连云港·一模）一次函数y=―x+5与反比例函数y=k的图像在第一象限交于A,B两点，其中xA(1,a)．(1)求反比例函数表达式；(2)结合图像，直接写出―x+5≤k时，x的取值范围；x(3)若把一次函数y=―x+5的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数y=k的图像只有一个交点，请直x接写出b的值．3．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数y=12x―1的图像与y轴相交于B点，与反比例函数y=k x(k≠0,x>0)图像相交于点A(m,2)．(1)求反比例函数的表达式；(2)点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图像于点D，连接BD．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，△BCD的面积最大，这个最大值是多少？4．（2024·四川广安·模拟预测）如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=k的图象相交于A(m,2)，B两点，x分别连接OA，OB．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求不等式x+1>k的解集；x(3)在平面内是否存在一点P，使得以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．押题猜想七解答题之用三角函数解决实际问题1．（2022·辽宁鞍山·中考真题（改））北京时间2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船发射成功．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF=8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D 正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）2．（2024·山西朔州·二模）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆AB和折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC=3m，折臂底座CD=2m，上折臂EF=8m，上折臂EF与下折臂DE的夹角∠FED=88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE=135°，求上折臂顶端F到地面的距离BF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin43°≈0.68，cos1.41）43°≈0.733．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有A、B两个码头，这两个码头相距60千米（AB=60），有一艘船C在这两个码头附近航行．(1)当船C航行了某一刻时，由码头A测得船C在北偏东55°，由码头B测得船C在北偏西35°，如图，求码头A与C船的距离（AC的长），其结果保留3位有效数字；（参考数据∶sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002，cot35°≈1.428）(2)当船C继续航行了一段时间时，由码头A测得船C在北偏东30°，由码头B测得船C在北偏西15°，船C到海岸线AB的距离是CH（即CH⊥AB），如图，求CH的长，其结果保留根号．问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键 .1．（2024·山东济南·模拟预测）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF=12m，EF∥CB，AB交EF 于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin 55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)(1)求屋顶到横梁的距离AG；(2)求房屋的高AB．2．（23-24九年级上·浙江湖州·模拟）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座AB高为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，问面板上端E 离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan70°≈2.75）3．（2024·浙江·一模）如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB=6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．(1)当水桶在井里时，∠AOD=120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；(2)如图2，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD=143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）． 1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）4．（2024·山东临沂·二模）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB=3m，∠BAC=53°，∠DOC=37°．(1)求BO的长．(2)消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m，求云梯OD大约旋转了多少度．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39）押题猜想八解答题之几何图形的证明与计算问题1．（2024·江苏南京·一模）如图，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，CD=DE．经过A，B，C三点的⊙O 交BD于点F，且CD是⊙O的切线．(1)连接AF，求证：AF=AB；(2)求证：AB2=AE⋅AC(3)若AE=2，EC=6，BE=4，，则⊙O的半径为 ．2．（2024·江苏南京·一模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE=CF，连接BE，DF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)已知AB=4，AD=8，∠BAD=120°，当AE的长为时，四边形EBFD是菱形．3．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，且DE∥BC，若BD=2AD，BC=15，则DE 的长为_______；【问题探究】（2）如图2，在△ABC和△CDE中，点B、C、D在同一条直线上，AB=CD，∠B=∠D=∠ACE=60°，判断AC与CE的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，五边形ABCDE是某植物园的平面图，C、D分别是植物园的入口和出口（可看作点），AC和AD 是进出植物园的两条主路，该植物园为举行春季花展，现要在出入口C、D之间进行花墙装饰工作．已知∠B=∠BAE=∠E=90°，∠CAD=45°，AB=60m，AE=120m，AC=，求装饰的花墙CD的长度．（结果保留根号）1．（2024·云南·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，作DE⊥AC于点E．(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BD=2AE=1，求⊙O的半径．2．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，过点E作EH⊥CF于点H，过点F作FG⊥AE于点G．(1)请你添加一个条件：______，使四边形EGFH为矩形，并给出证明．(2)在（1）的条件下，若AE=5，tan∠DAE=2，EG=2GF，求AG的长．3．（2024·江西南昌·一模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图①，如果BCAC=AC AB，则点C为线段AB的黄金分割。
2024年中考数学复习猜想归纳题经典考题讲练
猜想归纳题经典考题讲练解题要点剖析归纳猜想题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，通过学生认真阅读、仔细观察、综合分析、顺势归纳和大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题.解答归纳猜想题，要善于从问题中提供的数字或图形信息出发，通过计算、验证、类比、比较、测量、绘图等方式寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.这一过程体现了总结归纳的数学思想，是人们认识新生事物的一般过程，也是人们探索发现新知的重要手段，有利于培养创造性思维能力.正是由于这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性，所以备受命题专家的青睐，成为中考的热点.经典考题解析例1 观察图1-1中的“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为( ).A. 23B. 75C. 77D. 139分析因为每个“品”字形的上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11(有 6个数)，左下边的数为2¹,2²,2³,….所以，b=2⁶=64.因为每个“品”字形的上边的数与左下边的数的和正好等于右下边的数，所以,a=11+64=75.解答选 B.小结寻找一列数中呈现的规律，可以先观察其中一个数和前一个数(或前几个数)之间的关系，本例中，如观察上边的数，不难发现后一个数与前一个数的差是2；然后根据发现的规律，写出能体现这一规律的相关式子，本例中上边的数依次为1，3，5，7，9，11，可改写为1,1+2,1+2×2,1+2×3,1+2×4,1+2×5,考虑到这些数与第n个数中n的关系,不难得出第n个数为1+2×(n-1)=2n-1.在探寻数的规律时，有时还需要将数进行适当的拆分(体现和差关系)或分解(体现积商关系)，如本例中每个“品”字形的右下边的数为上边的数与左下边数的和.例2某广场用同一种如图1-2(a)所示的地砖拼图案，第1次拼成形如图(b)所示的图案，第2次拼成形如图(c)所示的图案，第3次拼成形如图(d)所示的图案，第4次拼成形如图(e)所示的图案……按照这样的规律进行下去，第 n次拼成的图案共有地砖块.分析首先求出图1-2(b)(c)(d)(e)图案中的地砖的数量，探究规律后即可解决问题.第1次拼成形如图1-2(b)所示的图案共有4块地砖,4=2×(1×2);第2次拼成形如图1-2(c)所示的图案共有 12块地砖,12=2×(2×3);第3次拼成形如图1-2(d)所示的图案共有 24块地砖,24=2×(3×4);第4次拼成形如图1-2(e)所示的图案共有 40块地砖,40=2×(4×5);………按照这样的规律进行下去，第 n次拼成的图案中地砖数为2×n(n+1)=2n²+2n,故答案为2n²+2n.解答2n²+2n.小结本题考查规律探究，解题的关键是从特殊情况出发，了解特殊情况下[图1-2(b)一(e)]地砖数量与图序数(第几次拼的图)间的关系，从而发现问题的数值特征，根据数值特征去猜想第n次情况下的结论.例3 观察下列运算过程，并计算.计算：1+2+22+⋯+210.解设S=1+2+22+⋯+210.①①×2得:2 2S=2+22+23+⋯+211.②②—①得: S=2¹¹−1.所以，1+2+22+⋯+210=211−1.。
中考专题训练——猜想型试题(含答案)
中考专题训练——猜想型试题班级：_________ 姓名：_________ 得分：_________一、填空题(每小题5分，共40分) 1．(2002年厦门市)观察下列各式：2×4＝32-1；3×5＝42-1；4×6＝52-1，…，10×12＝112-1，…将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来______．2．观察下列各式；(x -1)(x ＋1)＝x 2-1，(x -1)(x 2＋x ＋1)＝x 3-1，(x -1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4-1，根据前面各式的规律可得(x -1)(x n ＋x n -1＋…＋x ＋1)＝______．(其中n 为正整数) 3．已知正数a 和b ，有下列命题：(1)若a ＋b ＝2，则ab ≤1；(2)若a ＋b ＝3，则ab ≤23；(3)若a ＋b ＝6，则ab ≤3． 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤______．并就此规律写出其一般表达式______．4．(2002年河南省)观察下面一列数的规律并填空： 0，3，8，15，24，…．则它的第2002个数是______． 5．(2002年大连市中考题)观察下列数表：根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为______，第n 行与第n 列交叉点上的数应为______．(用含有正整数n 的式子表示)6．(2002年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田四地市中考题)图1是由自然数组成的“金字塔”式的排列，先观察其规律，再猜测第25行从右往左第26个数是______；第38行有______个数．图17．△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，它的三条中位线组成△A 1B 1C 1，其周长为l 1，面积为S 1；△A 1B 1C 1的三条中位线又组成△A 2B 2C 2，其周长为l 2，面积为S 2；…… (1)用a ，b ，c 表示△A n B n C n 的周长l n ＝______， (2)若△ABC 的面积为S ，则S 2＝______S ．(3)用a ，b ，c 表示△A 5B 5C 5的周长l 5＝______，面积S 5＝______S ．8．(2000年温州市中考题)把正方体的六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花，各面上那么长方体的下底面共有______朵花．图2二、选择题(5分)9．(2002年湖州市)观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，… 根据上述算式中的规律，你认为810的末位数字是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．6三、解答题(每题11分，共55分) 10．(临沂市)探索猜想：(1)顺次连结等腰梯形的四条边的中点所得到的图形是什么图形？并证明你的结论．(要求画出图形，写出已知、求证和证明)(2)如果把(1)中的“等腰梯形”换成另外的四边形，其他不变，仍得同样的结论．能得出上述结论的这类四边形具备怎样的共同特征？请把此特征写出来．(不需证明)11．(2001年河北省中考题)在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： (1)当11121+==AC AE 时，有12232+==AD AO (如图3)；图3(2)当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO (如图4)；图4(3)当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO (如图5)；图5在图6中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明(其中n 是正整数)．图612．如图7，⊙O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去．图7(1)请你在⊙O 中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法)． (2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n 次裁剪后所得扇形的总个数(S )填入下表．13．(2002年安徽省)某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图8，△ABC是正三角形，＝＝，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；图8丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也是正多边形．……图9(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图9)是正七边形(不必写已知、求证)．(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．14．(2002年福州市)已知：半径不等的⊙O1与⊙O2相切于点P，直线AB、CD都经过点P，并且AB 分别交⊙O1、⊙O2于A、B两点，CD分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点(点A、B、C、D、P互不重合)，连结AC和BD．(1)请根据题意画出图形；(2)根据你所画的图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论(结论中不能出现题设以外的其他字母)．参考答案一、1．n (n ＋2)＝(n ＋1)2-1(n ≥2，n 是正整数)或(n -1)(n ＋1)＝n 2-1(n ≥3，n 是正整数) 2．x n ＋1-1 3．29，若a ，b 是正数，则ab ≤2b a +，或a ＋b ≥2ab 4．4008003 5．11 n 2-(n -1)2或2n -1 6．600 75 7．(1)n 21(a ＋b ＋c ) (2)S 2＝41S (3)l 5＝321(a ＋b ＋c ) S 5＝541S 8．17二、9．B三、10．(1)菱形 证明略 (2)平行四边形 11．依题意，可以猜想：当nAC AE +=11时， 有nAD AO +=22成立． 证明：可先过D 作DF ∥BE ，交AC 于点F ，易知F 是BC 的中点．由n AC AE +=11，可知n EC AE 1=，从而nAF AE n EF AE +==22,2． 由△AOE ∽△ADE ，有nAF AE AD AO +==22． 12．①略 ②10，13，3n ＋1 ③因为S ＝33．由②得3n ＋1＝33，n ＝1032． 因为n 应为正整数，所以不能将原来的扇形纸片剪成33个扇形． 13．解：(1)由图知∠AFC 对．∵＝，∴ ∠AFC ＝∠DAF ．同理可证，其余各角都等于∠AFC ． ∴ 图8中六边形各内角相等． (2)∵ ∠A 对，∠B 对，又∵ ∠A ＝∠B ，∴ ＝．∴＝．∴ 七边形ABCDEFG 是正七边形．(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形．14．(1)(2)解答：第一种结论：AC∥BD．证明：过P作两圆的公切线MN，∴∠MP A＝∠C，∠NPB＝∠D，∵∠APM＝∠NPB，∴∠C＝∠D，∴AC∥BD．第二种结论：△APC∽△BPD．证明：过P作两圆公切线MN，∴∠MP A＝∠C，∠NPB＝∠D，∵∠APM＝∠NPB，∴∠C＝∠D，又∵∠APC＝∠BPD，∴△APC∽△BPC．第三种结论：O1、P、O2三点共线(或连心线O1O2必过切点P)证明：∵①圆是轴对称图形②相切的两圆也组成一个轴对称圆形③连心线O1O2是两圆的对称轴∴O1、P、O2三点共线(或连心线O1O2必过切点P)。
中考数学猜想型试题及解答
猜想型试题例1．如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．分析：本题要求学生在掌握全等三角形的概念和性质的基础上，灵活运用三角形全等的判定及性质进行结论猜想。
求解这类问题，不能随意乱猜，要结合题目给出的条件，根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。
解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD ，AF=BD=CE ， 事实上，∵△ABC 与△DEF 都是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD ， 又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°∴∠AEF=∠CDE ，同理，得∠CDE=∠BFD ， ∴△AEF ≌△BFD ≌△CDE （AAS ），所以AE=BF=CD ，AF=BD=CE 。
（2）线段AE 、BF 、CD 它们绕△ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF 、BD 、CE 它们绕△ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°,可互相得到。
说明：1.本题考查的是在三角形全等的判定及应用及旋转变换，它立意考查学生的观察、分析问题的能力. 2.因为几何直观是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态．它不仅拓展了学生的思维空间，考查了学生的能力，更因为几何直观具有发现的功能．这种思维既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点，所以成为近几年中考试题的考点及热点问题。
练习一 1.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且DE=BF 。
2年中考1年模拟备战2020年中考数学精品专题19 全等三角形(原卷版)
第四篇图形的性质专题19全等三角形知识点名师点晴全等三角形全等图形理解全等图形的定义，会识别全等图形全等三角形的判定理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，并会判定两个三角形全等直角三角形的判定会利用HL判定两个三角形全等角平分线角平分线的性质理解并掌握角平分线的性质角平分线的判定利用角平分线的判定解决有关的实际问题归纳1：全等三角形的性质基础知识归纳：全等三角形的对应边相等，对应角相等基本方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题注意问题归纳：利用全等三角形的性质时，关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．【例1】（2019山西省，第17题，7分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求证：B C=DF．归纳2：全等三角形的判定方法基础知识归纳：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．基本方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．注意问题归纳：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例2】（2019江苏省无锡市，第21题，8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB=OC．归纳3：角平分线基础知识归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．基本方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．注意问题归纳：注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的性质和判定都是由三角形全等得到的．【例3】（2019浙江省湖州市，第8题，3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．42【2019年题组】一、选择题1．（2019山东省临沂市，第6题，3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是（）A．0.5B．1C．1.5D．22．（2019滨州，第11题，3分）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．13．（2019湖南省永州市，第7题，4分）下列说法正确的是（）A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度4．（2019湖南省永州市，第8题，4分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．155．（2019贵州省安顺市，第7题，3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A=∠D B．AC=DF C．AB=ED D．BF=EC6．（2019四川省宜宾市，第7题，3分）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF 的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF=120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32B．235C．33D．347．（2019重庆，第12题，4分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG ⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．42C．22+4D．32+28．（2019内蒙古包头市，第7题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是（）A．1B．32C．2D．529．（2019湖南省张家界市，第7题，3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC13=AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）A ．4B ．3C ．2D ．110．（2019陕西，第6题，3分）如图，在△ABC 中，∠B =30°，∠C =45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若DE =1，则BC 的长为（ ）A ．22+B ．23+C ．23+D ．3二、填空题11．（2019湖南省永州市，第15题，4分）已知∠AOB =60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE =2，则DF = ．12．（2019四川省宜宾市，第16题，3分）如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．①AM =BN ；②△ABF ≌△DNF ；③∠FMC +∠FNC =180°；④111MN AC CE=+13．（2019四川省巴中市，第15题，4分）如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若AP =6，BP =8，CP =10．则S △ABP +S △BPC = ．14．（2019四川省绵阳市，第18题，3分）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=22．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD'E'，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'=．15．（2019山东省临沂市，第19题，3分）如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是．16．（2019南通，第14题，3分）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度．17．（2019湖北省襄阳市，第14题，3分）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A=∠D，②AC=DB，③AB=DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是（只填序号）．18．（2019湖北省黄冈市，第16题，3分）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是．19．（2019湖南省邵阳市，第15题，3分）如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是．（不添加任何字母和辅助线）20．（2019辽宁省盘锦市，第18题，3分）如图，点A1，A2，A3…，A n在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，∁n在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在第一象限角平分线OM上，OB1=B1B2=B1B3=…=B n﹣1B n32=a，A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，A n B n⊥B n∁n，…，则第n个四边形OA n B n∁n的面积是．21．（2019辽宁省营口市，第17题，3分）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD12=DC=2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为．22．（2019黑龙江省齐齐哈尔市，第12题，3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）．三、解答题23．（2019云南，第16题，6分）如图，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．24．（2019四川省乐山市，第19题，9分）如图，线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．求证：∠B=∠C．25．（2019四川省南充市，第18题，6分）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD=BC．（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO=35°，求∠DOC的度数．26．（2019四川省宜宾市，第18题，6分）如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．27．（2019四川省巴中市，第18题，8分）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．（1）求证：EC=BD；（2）若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．28．（2019四川省广元市，第18题，7分）如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD12AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：D F=BE．29．（2019四川省泸州市，第18题，6分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA=OD．求证：OB=OC．30．（2019四川省眉山市，第21题，8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是CD的中点，AE=BE．求证：∠D=∠C．31．（2019莱芜区，第21题，9分）如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE=AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：B E=BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．32．（2019山东省淄博市，第19题，5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠E=∠C．33．（2019山东省菏泽市，第23题，10分）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：B P⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC=62，AD=3，求△PDE的面积．34．（2019广州，第18题，9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．35．（2019广西柳州市，第20题，6分）已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使得∠A'O'B'=∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A'O'B'（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A'O'B'=∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'= ，∴△C'O'D'≌△COD（），∴∠A'O'B'=∠AOB．（）36．（2019广西贵港市，第20题，5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．37．（2019南京，第19题，7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．38．（2019南通，第21题，8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD=CA．连接BC并延长到点E，使CE=CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？39．（2019江苏省苏州市，第24题，8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF=BC；（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．40．（2019江苏省镇江市，第20题，6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE=CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．41．（2019浙江省温州市，第18题，8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长．42．（2019湖北省孝感市，第18题，8分）如图，已知∠C=∠D=90°，BC与AD交于点E，AC=BD，求证：A E=BE．43．（2019湖北省宜昌市，第18题，7分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数．44．（2019湖北省荆州市，第19题，8分）如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），连接AF，DE （如图②）．（1）在图②中，∠AOF= ；（用含α的式子表示）（2）在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．45．（2019湖北省黄石市，第21题，8分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．（1）求证：∠C=∠BAD；（2）求证：A C=EF．46．（2019湖南省益阳市，第21题，8分）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：△ABC≌△EAD．47．（2019甘肃省兰州市，第20题，6分）如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：A C∥DF．48．（2019西藏，第20题，5分）如图，点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．求证：∠ABC=∠DEF．49．（2019贵州省安顺市，第24题，12分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．A B，AD，DC之间的等量关系；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．50．（2019贵州省铜仁市，第20题，10分）如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：B D=CE．51．（2019辽宁省大连市，第19题，9分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：A F=DE．52．（2019陕西，第18题，5分）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC∥BD，且AC=BD，求证：C F=DE．53．（2019黑龙江省鸡西市，第26题，8分）如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示，若∠ABC=30°，求证：D F+BH3BD；（2）如图②所示，若∠ABC=45°，如图③所示，若∠ABC=60°（点M与点D重合），猜想线段DF、BH 与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【2018年题组】一、选择题1．（2018四川省成都市，第6题，3分）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC 2．（2018山东省临沂市，第11题，3分）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A．32B．2C．22D．103．（2018山东省德州市，第12题，4分）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44．（2018广西玉林市，第9题，3分）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直5．（2018贵州省安顺市，第5题，3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD6．（2018黔西南州，第7题，4分）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙7．（2018辽宁省鞍山市，第7题，3分）如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，CE与BD相交于点G，EF⊥BD于点F，若EF=2，则EG的长为（）A．334B．433C．332D．48．（2018黑龙江省，第18题，3分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（）A．15B．12.5C．14.5D．179．（2018四川省凉山州，第3题，4分）如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB=1，以O 为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC长为（）A．3B．2C．3D．510．（2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（）A．12B．1C．32D．311．（2018四川省攀枝花市，第4题，3分）如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a ∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．15°C．10°D．20°12．（2018四川省泸州市，第8题，3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．313．（2018四川省绵阳市，第11题，3分）如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA =CB ，CE =CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE 2=，AD 6=，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）A ．2B ．32-C ．31-D ．33-14．（2018山东省东营市，第10题，3分）如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 内部，∠DAE =∠BAC =90°，AD =AE ，AB =AC ．给出下列结论：①BD =CE ；②∠ABD +∠ECB =45°；③BD ⊥CE ；④BE 2=2（AD 2+AB 2）﹣CD 2．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④15．（2018山东省淄博市，第11题，4分）如图，在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB 交AB 于点M ，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，且MN 平分∠AMC ，若AN =1，则BC 的长为（ ）A ．4B ．6C ．43D ．816．（2018山东省淄博市，第12题，4分）如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）A．25394+B．25392+C．18253+D．253182+17．（2018山东省青岛市，第6题，3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F．已知EF=32，则BC的长是（）A．322B．32C．3D．3318．（2018山西省，第8题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（）A．12B．6C．62D．6319．（2018广西贺州市，第10题，3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC 的中点，AD=ED=3，则BC的长为（）A．2B．3C．6D．220．（2018江苏省南通市，第5题，3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3，4，5B．2，3，4C．4，6，7D．5，11，1221．（2018江苏省扬州市，第7题，3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC22．（2018浙江省温州市，第10题，4分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20B．24C．994D．53223．（2018湖北省荆州市，第4题，3分）如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1=20°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°24．（2018湖北省荆门市，第11题，3分）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A 2B2C．1D．225．（2018湖北省黄冈市，第5题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．2326．（2018湖南省常德市，第6题，3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6B．5C．4D．3327．（2018湖南省长沙市，第11题，3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米28．（2018陕西省，第6题，3分）如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A 423B．2C823D．2二、填空题29．（2018四川省成都市，第22题，4分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．30．（2018四川省甘孜州，第12题，4分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）31．（2018山东省济宁市，第13题，3分）在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件，使△BED与△FDE全等．32．（2018浙江省衢州市，第13题，4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．33．（2018浙江省金华市，第12题，4分）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．34．（2018黑龙江省牡丹江市，第14题，3分）如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是．35．（2018云南省，第6题，3分）在△ABC中，AB=34，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为．36．（2018四川省巴中市，第15题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别是边AB、AC的中点，点F在AB上，且EF∥CD．若EF=2，则AB=．37．（2018四川省广安市，第14题，3分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=．38．（2018四川省绵阳市，第18题，3分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=．39．（2018四川省达州市，第16题，3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为．40．（2018天津市，第17题，3分）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF ⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．41．（2018广东省深圳市，第16题，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF=2，则AC= ．42．（2018广西玉林市，第17题，3分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是．43．（2018江苏省泰州市，第14题，3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为（用含α的式子表示）．44．（2018湖北省荆州市，第15题，3510的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=15+1 10．（填“＞”或“＜”或“=”）45．（2018湖北省襄阳市，第15题，3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=3，AD=1，AB=2AC，则BC的长为．46．（2018湖北省黄冈市，第13题，3分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．47．（2018辽宁省丹东市，第16题，3分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=18，点P是BC边上的动点，连接AP，将△ACP沿着直线AP翻折后得到△AEP，当PE⊥BC时，BP的长是．48．（2018辽宁省盘锦市，第18题，3分）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=23+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．49．（2018辽宁省阜新市，第14题，3分）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为．50．（2018辽宁省鞍山市，第15题，3分）已知，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且BC=2AD，则等腰三角形ABC底角的度数为．51．（2018重庆市，第16题，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．52．（2018黑龙江省，第9题，3分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．三、解答题53．（2018江苏省泰州市，第20题，8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．54．（2018江苏省苏州市，第21题，6分）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：B C∥EF．55．（2018江苏省镇江市，第22题，6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=°．56．（2018浙江省嘉兴市，第19题，6分）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF ⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．57．（2018浙江省温州市，第18题，8分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB=6时，求CD的长．58．（2018湖北省恩施州，第18题，8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC ∥FD，AD交BE于O．求证：A D与BE互相平分．59．（2018湖北省武汉市，第18题，8分）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．60．（2018湖北省荆门市，第19题，9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=3，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．61．（2018贵州省铜仁市，第20题，10分）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：A E∥FB．62．（2018黑龙江省哈尔滨市，第24题，8分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：A D=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．63．（2018江苏省常州市，第27题，10分）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．（2）如图2．在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？64．（2018浙江省宁波市，第23题，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC 于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．65．（2018湖北省鄂州市，第18题，8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，DB=DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．（1）求证：A E=EF；（2）当AF=AE时，设∠ADB=α，∠CDB=β，求α，β之间的数量关系式．66．（2018黑龙江省牡丹江市，第24题，6分）在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3，BC=4，CD=1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE=90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF 的长．67．（2018黑龙江省，第26题，8分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：B C﹣DE=2 DF．（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．68．（2018山东省滨州市，第25题，13分）已知．在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：B E=AF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．一、选择题1．（2019河南省实验中学模拟，第8题，3分）如图，△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB 上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△P AB与△PCD的面积之差为（）A．5B．10C．l5D．202．（2019丹东模拟，第8题，3分）如图：分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：①AC=EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO=BC；⑤∠EAD=120°．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．53．（2019重庆八中模拟，第2题，4分）在下列图形中，有两条以上的对称轴的图形有（）个．①角；②正方形；③全等三角形；④等腰三角形；⑤等腰梯形；⑥线段；⑦直角三角形；⑧等边三角形；⑨平行四边形；⑩圆．A．2B．3C．4D．5二、填空题4．（2019石景山区二模，第14题，2分）如图，正方形ABCD，E是AD上一点，AE113AD==，CF⊥BE于F，则BF的长为．5．（2019玄武区二模，第16题，2分）如图，正方形ABCD与正方形CEFG，E是AD的中点，若AB=2，则点B与点F之间的距离为．6．（2019重庆市巴蜀中学三模，第17题，43的正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F是CD边上一点，且BF⊥AE于点G，将△ABE绕顶点A逆时针旋转°得△AB'E'，使得点B'、E'恰好分别落在AE、CD上，AE'交BF于点H．则四边形B'E'HG的面积为．三、解答题7．（2019丰台区一模，第27题，7分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，点E为AC 延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．（1）求证：B F=CE；（2）若CE=AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．8．（2019石景山区二模，第21题，5分）如图，AB平分∠CAD，∠ACB+∠ADB=180°．（1）求证：B C=BD；（2）若BD=10，cos∠ADB25，求AD﹣AC的值．9．（2019吉林市二模，第18题，5分）如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AB=AC，BE⊥AC于点E，AE=AD．求证：A C平分∠DAB．10．（2019成都一模，第22题，10分）如图1．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC、BE，点P为DC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出线段AP的取值范围．11．（2019历下区三模，第21题，6分）如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°＜∠ACF＜45°．（1）求证：△BEC≌△CF A；（2）若AF=3，EF=4，求BE的长．12．（2019邢台二模，第23题，9分）如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD=BD，∠ADB=∠EDC，DE=DC．（1）求证：△ADE≌△BDC；（2）若∠AEB=36°，求∠EDC；（3）若OB=OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．13．（2019松滋市三模，第19题，6分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE≌△CDE；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．14．（2019陕西师大附中八模，第18题，5分）如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，AC与DE交于点F，且∠EAC=∠EDC，AC=AE，BC=DE．求证：∠B=∠ADE．15．（2019西安交大附中一模，第18题，5分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC=DE，CB=CE，求证：∠A=∠D．16．（2019福建省名校联合三模，第18题，8分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；。
历年初三数学中考专题-猜想、探索型专项训练及答案
猜想、探索型专项训练A总分120分，时间90分钟一、细心填一填（每题3分，共30分）1．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第n 个图形中需要黑色瓷砖块（用含n 的代数式表示）.2．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 张3．如图，点B 在AE 上，∠CAB =∠DAB ，要使△ABC ≌△ABD ，可补充的一个条件是： (写出一个即可）．4．如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律 ．ABCD E …… (1)（2）（3）……211＝ 213＋＝2 23＋6＝3 29＋10＝45．图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为_____________。
6． 100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为 ____________个． 7．如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方案摆下去,当每边上摆2006根火柴棒时,共需要摆________根火柴棒.8．右图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1， 回形线与射线OA 交于,,,321A A A …．若从O 点到1A 点的回形线为第1圈（长为7），从1A 点到2A 点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为 ．BA 3A 2A 1AO9．观察下列各等式：111111111121223233434=-=-=-⨯⨯⨯L ，，， 根据你发现的规律，计算：2222122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯⨯+L （n 为正整数）10．请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：。
数学-2024年中考终极押题猜想(山东青岛专用)(解析版)
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）目录押题猜想一 二次函数与一次函数、反比例函数的图像问题.......................................1押题猜想二 二次函数的图象和性质...........................................................6押题猜想三 动点问题的函数图象探究........................................................17押题猜想四 数字、图象的规律问题..........................................................29押题猜想五 最值问题......................................................................42押题猜想六 尺规作图......................................................................65押题猜想七 解三角形的实际应用问题........................................................76押题猜想八 二次函数的实际应用---轨迹问题.................................................92押题猜想九 几何探究题...................................................................111押题猜想十 动点问题---相似.. (131)押题猜想一 二次函数与一次函数、反比例函数的图像问题1、二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒21y ax bx =++2y ax b =+21y ax bx =++2y ax b =+2、二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2y ax bx c =++ay x=y bx =1．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）A ．B ． C．D ．2y ax bx c =++y bx a c =++b ay x-=的图象经过一，二，四象限，故A 、B 、C 错误，D 正确；故选：D ．2．函数与为常数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．y bx a c \=++ky x=2(y kx k k =-+0)k ¹()0y ax b a =+¹()20y ax bx c a =++¹意；故选：C ．4．抛物线与双曲线的交点的横坐标为a ，则直线的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D．22y x x =-1y x =2y ax a =+-∴必过一、三象限，∵抛物线与轴相交于，∴由图可知，抛物线与双曲线交点在右边，∴，∴，∴直线的图象经过一、三、四象限，故选：A ．押题猜想二 二次函数的图象和性质1、称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，某同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大，其中结论正确的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的系数与图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，以及二次函数系数与图象的关系．2y ax a =+-x ()0,0()2,0()2,02a >20a -<2y ax a =+-1x =2y ax bx c =++a b c 、、0a ¹<0abc 24b ac >420a b c ++>30a c +>()a b m am b +£+m 1x >y x2、二次函数的y 与x 的部分对应值如下表：1>()20y ax bx c a =++¹x 013y根据表格中的信息，得到了如下的结论：①②二次函数 可改写为的形式③关于x 的一元二次方程的根为④若，则⑤当时，y 有最小值是其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②④B ．②③⑤C ．①③⑤D ．②③④⑤1- 1.5-2-<0abc ²y ax bx c =++()212y a x =--2 1.5ax bx c ++=-120,2x x ==0y >3x >2x ³ 1.5-1．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x 轴的一个交点坐标为．以下结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对四个结论进行判断即可．【详解】解：由所给函数图象可知，()20y ax bx c a =++¹12x =-()2,0-0abc <0a b c ++=60a c +>()12,M y -21,2N y æöç÷èø()33,P y 123y y y <<a b c2．已知二次函数（）与x 轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若关于x 的方程有两个实数根，且满足，则，．其中正确结论的个数为（ ）2y ax bx c =++0a ¹()4,01x =0abc <240b ac -<930a b c ++=80a c +=21ax bx c ++=-12,x x 12x x <12x <-24x >A ．5B ．4C ．3D ．2，，即，故④正确；函数图象与x 轴的交点坐标分别为和，令，则，∴直线与抛物线的交点的横坐标分别为，∴由图象可知：，，故⑤正确；故正确的有3个，故选：C ．3．如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：①，；②当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；③的长度可以等于；④当时，；⑤连接，，当时，）A ．5B ．4C ．3D ．22b a =-Q 440a a c \++=80a c +=(2,0)-(4,0)1y =-21ax bx c ++=-1y =-2y ax bx c =++12,x x 12x <-24x >()0y kx b k =+¹()20y ax a =¹A B A 2-B 30a >0b >0x >y kx b =+2y ax =x AB 523x -<<2ax kx b -<OA OB OA OB ^a =∵抛物线，的横坐标是∴点的纵坐标，点∴，，，∵轴，轴，当∴，()20y ax a =¹A A ()224a a =´-=2OG =3OH =4AG a =BH AG x ^BH x ^OA ^90AOG OAG Ð+Ð=°AOG Ð+4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）A ．②④B．①②④C ．①③④D ．①②③④，2y ax bx c =++x A B y C OA OC =M AMB 2404b aca-<10ac b -+=()3228b a -=cOA OB a×=-5．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：0136下列结论：①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为；③当时；函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的是（ ）x y x¼2-¼y¼4-6-4-¼1x =32x >y x 20ax bx c ++=A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④6．如下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x …013…y…7…则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）A ．图象开口向下B ．对称轴为直线C ．图象与x 轴的一个交点坐标为D ．有最小值为【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，先利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式即可判断A 、B 、D ，求出函数值为0时自变量的值即可判断C ．3-5-8-5-32x =-()2,08-【详解】解：设二次函数解析式为，∴，∴，∴二次函数解析式为，∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，最小值为，当时，解得或，∴图象与x 轴的一个交点坐标为，∴四个选项中只有C 选项正确，符合题意，故选：C ．故选：B ．押题猜想三 动点问题的函数图象探究1、如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）A ．B ．2y ax bx c =++93558a b c a b c c -+=-ìï++=-íï=-î12a b =ìí=î()222819y x x x =+-=+-=1x -9-2280y x x =+-=4x=-2x =()2,0ABCD E AB E A B F DA AF AE =ED ED E 90o EG EF FB BG 、、AE x =EFBG y y xC ．D ．故选：B ．2、如图，在矩形中，，动点M 自点A 出发沿方向以每秒的速度向点B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线以每秒的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设的面积为，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．ABCD 4cm,2cm AB AD ==AB 1cm AD DC CB －－2cm AMN V ()2cm y3、如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，将沿射线方向匀速平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移距离为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象最符合与之间函数关系的是（ ）A ．B ．ABC 90ABC Ð=°BD AC BCD △BA 111B C D △111B C D △ABD △y x 1B A 111B C D △y xC ．D ．，设，，当时，设交Q \AB BC =AB BC a ==\22AD CD BD a ===02ax <£11B D AC，又，为等腰三角形，2Q \145B HG ACB Ð=Ð=°Q 11145D B C Ð=°\1B GH △Q 1145AB D ABD Ð=Ð=°=Ð1．如图，矩形中，，，与交于点，是的中点．、两点沿着方向分别从点、点同时出发，并都以的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．在、两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．ABCD 8cm AB =12cm AD =AC BD O M BC P Q B C D ®®B M 1cm /s Q D P Q OPQ △t2．如图，在矩形中，，，E 为矩形的边上一点，，点P从点B 出发沿折线运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿运动到点C 停止，它们的运动速度都是，现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），的面积为，则y 关于x 的函数图象为（ ）A ．B ．C ．D ．ABCD 6cm AD =3cm AB =ABCD AD 4cm AE =B E D --BC 0.5cm/s BPQ V 2cm y∵，∴，∴3．如图所示，直角边为2的等腰直角三角形和长为4宽为2的矩形在同一水平线上，等腰直角三角形沿该水平线从左向右匀速穿过矩形．设穿过的时间为x ，等腰直角三角形与矩形重叠部分的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系．此题可分为三段求解，当或或时，列出面积随动点变化的函数关系式即可．【详解】解：由题意得的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，AD BC ∥AEB PBF Ð=Ðsin sin AB PBF AEB BE Ð=Ð=02x ££24x <<46x ££CD x ABC V DEFG y∴，当时，如图，当时，如图，，4．如图，在菱形中，已知，．动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿折线运动到点C ，同时动点Q 从点A 出发，以相同速度沿折线运动到点D ，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设在此过程中运动时间为x 秒，的面积为y ．则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）2HD AD x ==-1122(2)(2)22y x x =´´--´-24x <<46x ££EI ()221144822y x x x =-=-+y y ì=ïïABCD =60B а2cm AB =BA AC ®AC CD ®APQ △A ．B ．C ．D ．函数最大值为，符合条件的有当、分别在、上运动时，5．如图，等边的边长为，点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止；同时点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止，设的面积为，运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的图象是（ ）11(2)sin 22y AP QH t t =´=-´34P Q AC DC ABC V 2cm P A 1cm /s AC C C Q A 2cm /s AB BC -C C APQ △()2cm y ()s x y xA ．B ．C ．D ．押题猜想四 数字、图象的规律问题1、如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P 的坐标是．【答案】【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可．【详解】解：观察点的坐标变化可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，…按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，P ()11，()20，()32，()2023,2()1,1()2,0()3,2()4,0()5,1∵，∴经过第2023次运动后，动点P 的坐标是．故答案为：．2、如图所示，直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，绕点A 顺时针旋转后得到按此规律继续旋转，则第2025次旋转结束后，点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．202345053¸=¼()2023,2()2023,2334y x =-+AOB V 90°11V AO B 2025B ()3,4()7,4()7,3()3,73、【观察思考】如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．．【规律发现】第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；……（1）第n 个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n 的式子表示）【规律应用】（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由．【答案】（1）；；（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多，理由见解析【分析】本题主要考查了根据图形的变换通过归纳总结得规律：（1）结合基础图形个数进行归纳总结，寻找规律，即可；（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律作差比较即可．【详解】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；……第n 个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是；故答案为：；．41n +102n -541411=+=´+81021012=-=´-981421=+=´+182021022=-=´-13121431=+=´+283021032=-=´-41n +102n -41n +102n -1．下列图形都是由同样大小的圆圈按一定规律组成，如图①中共有3个圆圈，图②中共有8个圆圈，图③中共有15个圆圈，图④中共有24个圆圈，…，按此规律排列，则图中圆圈的个数为多少（ ）A ．225B ．235C ．245D ．255【答案】D【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有图形可得图中有个圆圈，进行求解即可．【详解】解：由图可知：图①中有个圆圈；图②中有个圆圈；图③中有个圆圈；∴图中有个圆圈，∴图中圆圈的个数为；故选：D ．2．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；；按此规律，则⑮n ()1n n n ++1123+´=2238+´=33415+´=Ln ()()212n n n n n ++=+⑮215215255+´=A y 1OA =OA O 45°1OA 1S 121^A A OA x 2A 2OA O 45°3OA 2S 343A A OA ^y 4A 4OA O 45°5OA 3S ¼2023S为（）A ．B ．C ．D ．3．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，做第1个正方形；延长交轴于点，做第2个正方形…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（ ）20192π20202π20212π20222πABCD A ()1,0D ()0,2CB x 1A 111A B C C 11C B x 2A 2221A B C CA ．B ．C ．D ．4046352æö´ç÷èø2003954æö´ç÷èø2022352æö´ç÷èø4044954æö´ç÷èø4．观察下列一组数：，，，……，它们按一定规律排列，第个数记为，且满足．则 ．21227n n a 21112n n n a a a +++=2024a =5．苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第个图形需要 根小木棒．（用含的代数式表示）【答案】【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律．通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加根据此可求解．【详解】：∵第个图形中木棒的根数为：，第个图形中木棒的根数为：，第个图形中木棒的根数为：，…，∴第n 图形中木棒的根数为：，故答案为：．6．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，……依次规律，第幅图中★的个数为，则的值为 ．n n ()72n +71972=+216722=´+323732=´+72n +()72n +1a 2a 3a n n a 1212011111a a a a ++++L7．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第4个等式：_____________________________；(2)写出第个等式：______________________________（用含的等式表示）；2122111111212x æö=++=+ç÷´èø2222111112323x æö=++=+ç÷´èø2322111113434x æö=++=+ç÷´èøn n(3)．8．阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题．设n 是正整数，材料1：2024L．．．问题：（1）用含n 的代数式表示=___________________（写最简结果）材料2：=问题：（2）用含n 的代数式表示=_______（写最简结果）．（3）当n 无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________．123411211223312112334612112344510a a a a ====+´===++´===+++´n a 111s a ==21221111111412()2()2(1)231223122333s a a =+=+=+=-+-=-=´´´31232211112()2334122334s a a a =++=++=++´´´´´111111132()2(1)12233442-+-+-=-=n s n s9．【发现问题】P 是二次函数的图像上一点，小丽描出的中点Q ．当点P 运动时，就得到一系列的中点Q ，如图所示，她发现这些中点的位置有一定的规律．【提出问题】小丽通过观察，提出猜想：所描的中点都在某二次函数的图像上．【分析问题】若，则中点（______，______）；若，则中点Q （______，______）．【解决问题】请帮助小丽验证她的猜想是否成立．【问题推广】若P 是二次函数（的常数）的图像上一点，在射线OP 上有一点Q ，满足（k 为常214y x =OP 111,4P æöç÷èø1Q 2,4m P m æöç÷èø2y ax =0a ¹1OQ kOP =数）．当点P 运动时，则点Q 也在某函数的图像上运动，请直接写出该函数解析式（用a 、k 表示）．设，则，∵，∴点在上．押题猜想五最值问题1、（将军饮马模型）如图，正方形的边长为4，点在边上，为对角线上一动点，连接，，若的最小值．()2,P m am ()2,Q km kam()2222a a kam k m km k k=×=()2,Q km kam2ay x k=ABCD E BC F BD CF EF CF EF +CE =∵正方形，∴又∵，2、（胡不归模型）如图，在中，，若D 是边上的动点，则的最小值是（）A ．6B ．8C．10D ．12ABCD 4AB BC ==Ð，BF BF =ABC V 90,60,4BAC B AB Ð=°Ð=°=BC 2AD DC +在中，∴，∵＝，3、（隐圆模型）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则线段的最小值为．t R DFC △DCF Ð12DF DC =122(2AD DC AD +=+2()AD DF +ABCD 90ABC BAD Ð=Ð=°12AB =10AD =AD BC <E BC F AE ADF BAE =∠∠BF设与的交点为点，∵，∴，∵，∴，∴BO O e F ¢90ABC BAD Ð=Ð=°90DAF BAE Ð+Ð=°ADF BAE =∠∠90DAF ADF ÐÐ=+°(180AFD DAF Ð=°-Ð+Ð值．5、（四边形的性质）如图，菱形的对角线相交于点O ，点P 为边上一动点（不与点A ，B 重合），于点E ，于点F ．若，，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．4D ．【答案】D【分析】连接OP ，证明四边形OEPF 是矩形，得到：，当时，OP 的值最小，利用ABCD ,AC BD AB PE OA ^PF OB ^20AC =10BD =EF EF OP =OP AB ^∵是菱形，∴，即∵，，∴四边形OEPF 是矩形，∴，当时，OP 的值最小，∵，，1．如图，正方形的边长为8，M 在上，且，N 是上一动点，则的最小值为ABCD AC BD ^AOB ÐPE OA ^PF OB ^EF OP =OP AB ^20AC =10BD =ABCD DC 2DM =AC DN MN +2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD的最小值是（）A．4B．C．D．23y x bx=-++(3,0)C(0,1)-PC+2+32∵二次函数∴b ＝2，∴二次函数的解析式为解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），令x ＝0，y =3，23y x bx =-++y =。
2024中考数学猜想卷
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2
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1
1
1 22 2
S2= DB ?BN ?sin α＝ bysinα，∴ S1S2= a b sin ．
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4
Ⅱ如图 4 中，设 AM =x，BN =y，同法可证△ AMD ∽△ BDN ，可得 xy=ab，∵ S1= 1 ?AD?AM ?sinα＝1 axsinα，
2
2
S2=
1
1
DB ?BN ?sin α＝
（ 3）如图 3，当点 P 在 BC 延长线上时，若∠ BPO=15°， BP=4，请求出 BQ 的长．
【答案】（1） BQ=CP；（ 2）成立： PC=BQ；（ 3） 4 3 4 ．
【解析】
（ 3）如图 3 中，作 CE⊥OP 于 E，在 PE 上取一点 F，使得 FP =FC ，连接 CF ．设 CE=CO=a，则 FC=FP =2a，
x
，∴
4
1
，∴ xy=8，∵ S1= ?AD ?AM ?sin60°＝
3 x，
BN
2y
2
1
3
33
S2= DB ?sin 60°＝ y，∴ S1S2= 3 x? y= xy=12．
2
2
22
（ 3）Ⅰ如图 3 中，设 AM =x，BN=y，同法可证△ AMD ∽△ BDN ，可得 xy=ab，∵ S1= 1 ?AD?AM ?sinα＝1 axsinα，
EF = 3 a，在 Rt△ PCE 中，表示出 PC，根据 PC+CB =4，可得方程 ( 6 2) a 2a 4 ，求出 a 即可解
决问题； 试题解析：（ 1）结论： BQ=CP． 理由：如图 1 中，作 PH∥ AB 交 CO 于 H ． 在 Rt△ ABC 中，∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，点 O 为 AB 中点，∴ CO=AO=BO，∠ CBO=60°，∴△ CBO 是 等边三角形，∴∠ CHP =∠ COB=60°，∠ CPH =∠ CBO=60°，∴∠ CHP =∠CPH =60°，∴△ CPH 是等边三 角形，∴ PC=PH =CH ，∴ OH =PB，∵∠ OPB=∠ OPQ +∠QPB=∠ OCB +∠ COP，∵∠ OPQ=∠ OCP=60°，∴ ∠ POH =∠ QPB，∵ PO=PQ，∴△ POH ≌△ QPB，∴ PH =QB，∴ PC=BQ． （ 2）成立： PC=BQ．理由：作 PH ∥AB 交 CO 的延长线于 H． 在 Rt△ ABC 中，∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，点 O 为 AB 中点，∴ CO=AO=BO，∠ CBO=60°，∴△ CBO 是 等边三角形，∴∠ CHP =∠ COB=60°，∠ CPH =∠ CBO=60°，∴∠ CHP =∠CPH =60°，∴△ CPH 是等边三 角形，∴ PC=PH =CH ，∴ OH =PB ，∵∠ POH =60° +∠ CPO ，∠ QPO=60°+∠ CPQ，∴∠ POH =∠ QPB，∵ PO=PQ，∴△ POH ≌△ QPB，∴ PH=QB，∴ PC=BQ． （ 3）如图 3 中，作 CE⊥ OP 于 E，在 PE 上取一点 F ，使得 FP=FC，连接 CF．学科 ~网
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（ 3）Ⅰ如图 3 中，设 AM =x，BN=y，同法可证△ AMD ∽△ BDN ，可得 xy=ab，由 S1= 1 ?AD?AM ?sinα＝1 axsinα，
2
2
1
1
S2= DB ?BN ?sin α＝ bysinα，可得
S1S2= 1 （ab） 2sin2α．
2
2
4
（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；
（ 1）初步尝试： 如图①， 当△ ABC 是等边三角形， AB=6，∠ EDF =∠ A，且 DE ∥BC，AD =2 时，则 S1S2=
；
（ 2）类比探究：在（ 1）的条件下，先将点 D 沿 AB 平移，使 AD=4，再将∠ EDF 绕点 D 旋转至如图②所
示位置，求 S1S2 的值；
（ 3）延伸拓展：当△ ABC 是等腰三角形时，设∠ B=∠ A=∠ EDF =α．
试题解析：（ 1）如图 1 中，∵△ ABC 是等边三角形， ∴AB=CB=AC=6，∠ A=∠ B=60°，∵ DE ∥ BC，∠ EDF =60°，
∴∠ BND =∠ EDF =60°，∴∠ BDN =∠ ADM =60°，∴△ ADM ，△ BDN 都是等边三角形，∴ S1= 3 ?22= 3 ， 4
中考系列： 数学 2 年中考 1 年模拟
第七篇 专题 39
专题复习篇 变式猜想题 【题组】
1．问题背景：已知∠ EDF 的顶点 D 在△ ABC 的边 AB 所在直线上（不与 A，B 重 合），DE 交 AC 所在直线 于点 M ， DF 交 BC 所在直线于点 N，记△ ADM 的面积为 S1，△ BND 的面积为 S2．
bysinα，∴
S1S2=
1
a 2b 2
sin 2
．
2
2
4
考点： 1．几何变换综合题； 2．探究型； 3．变式探究； 4．动点型； 5．定值问题； 6．压轴题． 2．如图， 在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，点 O 为 AB 中点， 点 P 为直线 BC 上的动点 （不与点 B、 点 C 重合），连接 OC、 OP，将线段 OP 绕点 P 顺时针旋转 60°，得到线段 PQ，连接 BQ． （ 1）如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，请直接写出线段 BQ 与 CP 的数量关系． （ 2）如图 2，当点 P 在 CB 延长线上时， （ 1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明 理由；
S2= 3 ?（ 4） 2=4 3 ，∴ S1S2=12，故答案为： 12． 4
（ 2）如图 2 中，设 AM=x，BN=y．∵∠ MDB =∠ MDN +∠ NDB=∠ A+∠ AMD ，∠ MDN =∠A，∴∠ AMD =∠ NDB，
AM
∵∠ A=∠ B，∴△ AMD ∽△ BDN ，∴
BD
AD
（Ⅰ）如图③，当点 D 在线段 AB 上运动时，设 AD=a， BD=b，求 S1S2 的表达式（结果用 a，b 和 图④，当点 D 在 BA 的延长线上运动时，设 AD =a， BD =b，直接写出 S1S2的表达式，不必写出解
答过程．
【答案】（1） 12；（2） 12；（ 3）（Ⅰ） 1 a2b2 sin2 ；（Ⅱ） 1 a2b2 sin2 ．
4
4
【解析】
（ 2）如图 2 中，设 AM =x， BN=y．首先证明△ AMD ∽△ BDN ，可得 AM BD
AD
x4
，推出
，推出 xy=8，
BN
2y
由 S1= 1
?AD?AM ?sin60°＝ 3 x， S2= 1 DB?sin60°＝
3
y，可得 S1S2=
3 x?
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y= xy=12；
2
2
2