高一数学(必修四+必修五)第二学期期中考试试卷(含答案)
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．将八进制数135(8)化为二进制数为( ) A ．1 110 101(2) B ．1 010 101(2) C ．1 111 001(2)D ．1 011 101(2)3．某产品在某零售摊位上的零售价x (元)与每天的销售量y (个)统计如下表：据上表可得回归直线方程a ˆx b ˆy ˆ+=中的b ˆ＝－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A ．48B ．45C ．50D ．514．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分相同B ．甲的中位数是83，乙的中位数是85C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A ．121 B ．283 C ．321 D ．23910．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68 C ．16.32D ．17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. 91B. 92C. 187D.9412.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=21（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长为m 340的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3≈π，73.13≈） A ． 15 B ． 16 C ． 17 D ． 18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ∧＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 14．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 15.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B A Y 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)16．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________． 二、解答题（17题10分，其余均12分）17.(10分) 已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．18．(12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程a ˆx b ˆyˆ+= (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧＝y －－b ∧ x －)零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.519．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝()()()α-π-•α-π-α-•α-π•α-πsin tan tan )2cos()sin((1)化简f (α)；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α23cos ＝15，求f (α)的值；20．(12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.22．（12分）在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.高一下期期中考试数学试题答案一、选择题B D B D A B D D BCD B二、填空题13. 0.234 14.3215.32 16.N1N三、解答题（17题10分，其余均12分）17.解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤9的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.18.解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得∑4i＝1x i y i＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i 2＝54. ∴b ∧＝0.7，∴a ∧＝1.05. ∴y ∧＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．解：(1)f (α)＝＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.20.解：(1)由表中数据，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b＝0.20.(2)由题意，得第三、四、五组分别抽取的学生人数为3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1.第三组的3名学生记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同情况，分别为{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c }，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c }，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c }，{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．其中第三组的3名学生均未被抽到的情况共有3种，分别为{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }． 故第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率为1－315＝45.21解：（1）p=3162(2)先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n ≥m+2的概率为p=16322．解：(1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5高一下学期期中数学考试试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )AB ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）： （1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.高一下学期期中考试试卷数学时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．3x cos y =是( )A ．周期为π6的奇函数B ．周期为3π的奇函数C ．周期为π6的偶函数D ．周期为3π的偶函数2.已知sin α＝41，则cos 2α的值为( )A ．21B ．87- C.21- D.873．已知平面向量()()3,2,4,1==→→b a ，则向量=+→→b a 5251（ ）A ．()1,2B ．()5,3 C.()3,5 D.()2,14.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－4，m )，且a ⊥b ，则m ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin πx y 的图象，只需将函数y ＝sin 3x 的图象( )A ．向左平移9π个长度单位B ．向右平移9π个长度单位C ．向左平移3π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位6.设a ＝(8，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(2,3)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(4,18)B ．22C ．－6 D.(18,4)7.已知a ·b ＝122，|a |＝4，a 与b 的夹角为45°，则|b |为( )A ．12 A ．3 C ．6 D ．98.若－π2＜α＜0，则点P (sin α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知α∠的终边经过点()31P ，，则=αsin ( )A ．21 B ．10103C ．31D ．3310．若=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,32032sin ππππx x f x x ，，求)32(πf =（ ） A.0 B.23C.21 D.1 11．已知2tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 3-的值是( ) A ．2- B ． 3 C ．2 D ．3- 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，则AB →·AC→等于( )A ．－3B ．－6C ．9D ．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知AB →＝(2，7)，AC →＝(－5,8)，则BC →＝__________________.14．函数()()()R x x x x f ∈-=cos sin 2的最小正周期为________，最大值为________． 15．设a ＝(5,-2)，b ＝(6,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.16．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝5，则tan β的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知()ππθθ2,,53cos ∈=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ以及⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ的值．18.（10分）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，0>ω，最小正周期为2π. (1)求()0f .(2)求()x f 的解析式.(3)求()x f 的单调递增区间．19.（12分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,3)，c ＝(5,2)．(1)求6a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )//(2b －a )，求实数k . 20. （12分）已知23παπ<<，211-tan tan -=αα.(1)求αtan 的值。
高一下学期期中测试(数学必修4)考试试卷(word版含答案)
高一数学第二学期期中考试一、选择题（5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．=0210cos （ ）A ．12-B ．12C． D2．已知θθtan sin ⋅＜0，那么角θ是 （ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角3．如果角θ的终边经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23，那么θtan 的值是 （ ） A ．33- B ．23- C ．3 D ．214．0000sin27cos63cos27sin63+= （ ）A ．1B ．1－C ．22D ．22- 5．为了得到函数)32sin(3π-=x y 的图象，只需要把函数x y 2sin 3=的图象上所有的点（ ）A ．向右平移3π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向左平移6π6．函数2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数7.已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b + ＝ （ ）A ．(5,10)--B ．(4,8)--C ．(3,6)--D ．(2,4)-- 8．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f = （ ）A ．26ωϕπ==， B ．123ωϕπ==，C ．23ωϕπ==，D ．126ωϕπ==， 9．已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 （ ） A ． 函数)(x f 的最小正周期为2π B ．函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数C ．函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D ． 函数)(x f 是奇函数10．已知F E D 、、分别是ABC ∆的边AB CA BC 、、的中点，且=BC a ，=CA b ，=AB c，则下列命题中正确命题的个数为 （ ）①=21c 21-b ； ②=a 21+b ；③=21b 21-a ； ④=++0A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分 非选择题(共100分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)11．已知21cos =θ，且)2,0(πθ∈，则=θsin ． 12．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于 ．13．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是 .14．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称；②图象C 关于点2π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题(本大题共6小题，满分80分。
人教A版数学必修四高一第二学期期中试题答案.doc.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学学分认定测试题答案（B ）一、BCACA CBDAA DD二、13、y={)0(2)0(2≤>-x x x x 14、114 ， 103 15、37, 16 16、1-或3三、17、（每问4分）（1）原式=sin(ππ84-).tan(ππ63+) (2) 原式=1ⅹ(-1)+43 ⅹ2)33(+2)23( =sin 4π.tan 3π =-1+41+43 =22⨯3 =0 =26 18、（1）81 （2）41 （3）83 （4）87 19、（1）71（2）2110 （3）2111 (4)74 20、（1） 甲 乙 （2）（4分）33=甲x 33=乙x 7 2 8 98 7 5 1 0 3 3 4 6 8 S 2甲=694 S 2乙=676（3）甲21、22、（每问4分）（1）设该厂本月共生产n 辆轿车，由题意可得：n 3001005010+= ∴n=2000∴x=2000-100-300-150-450-600=400(辆)（2）这5辆轿车中，舒适型车：24006004005=⨯+辆，标准型3辆。
“在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆”共有20个基本事件，其中“至少有一辆舒适型轿车”中有14个基本事件。
∴P （至少有一辆舒适型轿车）=2014=107（3）样本平均数x =81（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9 ∴与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个数。
∴该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率P=4386=.。
新人教A版高中数学必修四下学期期中考试试卷(含答案)
高一下学期数学（必修4）期中考试一．选择题：（每小题5分，满分60分） 1．已知α是锐角，那么角3α是（ ）A ．第三象限角B ．第二象限C ．小于270°的正角D ．第一、二或第三象限角 2．已知角α的终边经过点()0P 3,4--，则以下结论不正确是（ ）A ．4sin 5α=-B ．3cos 5α=-C ．4tan 3α=D ．以上都不对3．cos210︒的值是（ ）A．B ．12-D．D．4．下列关于函数y 4sin x =，[]x ,∈-ππ的单调性的叙述，正确的是（ ）A ．在[],0-π上是增函数，在[]0,π上是减函数B ．在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦及,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在[]0,π上是增函数，在[],0-π上是减函数D ．在,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦及,2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 5．要得到函数y 3sin 2x 5π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只要把y 3sin xπ⎛⎫=+ ⎝） A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．横坐标伸长到原来的2倍，并向左平移10π个单位D ．横坐标缩短到原来的12倍，并向左平移10π个单位6．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：()y Asin x b=ω+ϕ+，则A 、ω、ϕ、b 分别是（ ）A ．A 10=、8πω=、34πϕ=、b 20=B ．A 20=、4πω=、34πϕ=、b 10=6第题C ．A 30=、8πω=、34πϕ=、b 10=D ．A 10=、18ω=、34πϕ=、b 20=7．已知△ABC 的顶点坐标分别为()A 1,1、()B 4,1、()C 4,5，则cosA =（ ）A ．45-B ．45C ．35-D ．358．若a 1=，b 2=()a b a 0-⋅=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．135︒9．已知1tan 2α=，()2tan 5α-β=-，那么()tan 2α-β的值为（ ） A ．34- B ．112 C ．98-D ．9810．函数()2f x sin x x cos x =+⋅在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1B．C ．32D．111．已知函数()()f x 2sin x =ω+ϕ对任意x 都有f x f x 66ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则f 6π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．2或0B ．2-或2C ．0D ．2-或0 12．如图，正方形ABCD 的边长为2，P 、Q 分别为边AB 、DA 上的点，当△APQ 的周长为4时， 则PCQ ∠=（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒二．填空题（每小题4分，满分16分） 13．已知tan x 0，则x 的取值范围是：。
高一数学下学期期中考试及参考答案
高一下学期期中考试高一数学考生注意：本卷共三道大题，满分100分，考试时间120分钟。
一.选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.sin 240的值是( )A. 21-B. 21C. 23-D. 23 2.下列函数中，最小正周期为2π的是( ) A.4sin y x = B.sin cos y x x = C.tan 2xy = D.cos 4y x = 3.半径为10cm ，弧长为20cm 的扇形的圆心角为( )A.︒2B.2弧度C.π2弧度D.10弧度 4.已知在平行四边形ABCD 中，若AC a =，BD b =，则AB =( )A.1()2a b →→-B.1()2b a →→-C. 12a b →→+D.1()2a b →→+5.已知向量=(3, 2),=(x, 4)，若与共线,则x 的值为( ) A.6 B.-6 C.38-D.386.若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为( )A.cos 4ππ（，sin ）4 B.2222（，-C.22（--）D.( 1, 1)或(-1,-1) 7.函数)sin(ϕω+=x A y ，（πϕω<>,0）在一个周期内的图象如右图所示，此函数的解析式为( ) A.)322sin(2π+=x y B.)32sin(2π+=x yC.)32sin(2π-=x y D.)32sin(2π-=x y8.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，由此定义了正弦（sin α）、余弦（cos α）、正切（tan α），其实还有另外三个三角函数，分别是：余切（cot xyα=）、正割（1sec x α=）、余割（1csc y α=）. 则下列关系式错误的是( )A.cos cot sin ααα=B.1sec cos αα=C.1csc sin αα= D.22cot csc 1αα-=二.填空题：本大题共7个小题，每小题3分，共21分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
【优质文档】北京高一数学第二学期期中考试试卷(必修5)及参考答案
1 bc sin A
2
3,c 4，
a 2 b2 c2 2bccos A 21, a 21 ，
所以 a 21, c 4
15. ①③⑤
（2） sin B
7
3 21
， cosB
， sin(B
)
21
14
14
67
17. 解（ 1） a 3 ， t 3 ；（2） { c | 2 c 3} 。
18. （Ⅰ） 当 n 1 时， a1 S1 2 ；当 n 2 时， an Sn Sn 1 2n2 2(n 1) 2 4n 2 ，
两式相减得
2Tn 2 2(31 32
3n 1 ) 2(2n 1)3n
2Tn
3(1 3 n 1 ) 24
2( 2n 1)3n
13
Tn 1 (3n 1) ( 2n 1)3n
Tn (2n 2)3n 2
1. 14； 2. 5；
1
3. （Ⅰ）由 cos
,0
7
tan
sin
43
cos
7
于是 tan2
2 tan 1 tan2
一、填空题（ 5＇× 2=10 分）
第Ⅱ卷（综合卷）
1. 已知函数 f ( x) sin x tan x ，项数为 27 的等差数列 { an} 满足 an ( , ) ，且公差 22
d 0 ，若 f ( a1) f (a2 )
f ( a27 ) 0 ，则当 k ________________时， f (ak ) 0 。
Sn 12 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由。
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高一数学第二学期期中考试试卷（必修 5）参考答案
第Ⅰ卷
1. A 2. A 3. C 4. C 5. D
人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为 、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
解得 （ 舍去），故选D.
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 .
由题意得 ，解得 ，即 .
故选：B.
12．若非零向量 满足 ，且 ，则 的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
即 ，∴
，又 ，故 ，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点 是 所在平面上一点，过 作 ，如下图所示：
由 ，
故 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意， ，所以 .故选：C.
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
（2）因为 为三角形内角，
所以 ，
，
由正弦定理得： ，
又∵ ．
，解得 或 （舍）．
．
22．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
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20XX 度高一年级第二学期期中考试试题〔数学〕
一.选择题：(每小题4分共40分 )
在下列每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请选出并填入下列表中相应的位置
1. 不等式x －2 y + 6 > 0表示的平面区域在直线：x －2 y + 6 = 0的 ( )1 A . 右上方B . 右下方C . 左上方D .左下方
2.若A 为△ABC 内角，则下列函数中一定取正值的是：( )2 A .sin AB .cos A C .tan A D .sin 2A 3在△ABC 中3,2==
b a .B = 60︒那么角A 等于：( )3
A .135︒
B .90︒
C .45︒
D .30︒
4.设0＜b ＜a ＜1,则下列不等式成立的是：( )4 A .ab ＜b 2＜1B .0log log 2
12
1<<a b C .a 2＜ab ＜1D .
b a )2
1()21(21<< 5.设数列{a n }是等差数列，若a 2=3, a 7=13. 数列{a n }的前8项和为：( )5
A . 128
B . 80
C . 64
D . 56
6.在△ABC 中，若
B
b
A a cos cos =
，则△ABC 的形状是：( )6 A . 等腰三角形B . 直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形 7.数列{a n }的通项公式为1
1++=n n a n ，前n 项和S n = 9,则n 等于：( )7
A . 98
B . 99
C . 96
D . 97
8.不等式⎩⎨⎧+-≤-≥1
||31
x y x y 表示区域的面积为：( )8
A . 1
B .
21C .25D .2
3
9.若a >b >0,则下列不等式中一定成立的是……………………………………( )9
A .a b b a 11+<+
B .a b b a 1
1->-C .11++>a b a b D .b
a b a b a <++22
10.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2 +－11n －12,则此数列的前n 项和取最小值时，项数n 等于
( )10
A . 10或11
B . 12
C . 11或12
D . 12或13
二．填空题：(每小题4分共20分 )
11. 不等式12
5
<+x 的解集为：.
12.在各项都为正项的等比数列{a n }中a 1 = 3, S 3 = 21 , 则a 3+ a 4+ a 5 =.
13.在△ABC 中，角A .B .C .的对边分别为：a,b,c ，若B sin C sin ,bc b a 3232
2==
-
则角A=.
14..若数列：12+22+32+42+••••••+n 2 =
6
)
12)(1(++n n n 则：
数列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，••••••••••••••• 的前100项的和是.
15.x, y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x 若目标函数z = ax + b (a >0,b >0)的是最大值为12.
则
b
a 32+ 的最小值为 三．解答题( )
16.(10分)
已知:A .B .C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a, b, c ，若
2
1=
-C sin B sin C cos B cos ． 〔Ⅰ〕求A.
〔Ⅱ〕若432=+=c b ,a ，求△ABC 的面积．
17.( 10分)
若不等式0252
>-+x ax 的解集是⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧<<221x x ，
(1) 求a 的值；
(2) 求不等式0152
2
>-+-a x ax 的解集.
18.(8分)
若实数x , y 满足：⎩
⎨⎧>≤+-001x y x
求：x
y
的X 围
19.( 6分)
设正数x ; y 满足 x + 2y = 1 求y x 11+的最小值
20.( 6分)
已知数列{a n }的首项1
2,32
11+==
+n n n a a a a n ∈N * (Ⅰ)证明数列{
11
-n
a }是等比数列. (Ⅱ)数列{
n
a n
}的前n 项的和S n 20XX 度高一年级第二学期期中考试试题〔数学〕答案：
一选择题
4.特殊值+筛选2
14
1==a b
6.将a b 分别换成sinA sinB
7.再叠加分母有理化后n n a -+=1
8.用的方法：
用2
3
||21⨯=
AD S
9．强烈建议“逆证法〞
如：C 、
假a b a ab b ab a b a b >⇔+>+⇔++>11 D 、真22222222a b ab a b ab b
a
b a b a <⇔+<+⇔<++
10.令a n = 0得n =12, ∴S 11= S 12由开中向上的抛物线性质可知：当n ≤12时a n ≤0,当n ＞0时a n ＞0 也就是a n 从第十三项开始大于零，S 13 = S 12 +正数> S 12。
以后单调递增。
二填空题11.(－∞,－2)∪(3 , +∞) 12. 84
13. 30° 解∵B C sin 32sin =∴b c 32=b a b a b b b b a 776)32(32222
2=⇒=⇒==
-
令32,7,1===c a b 则再由余弦定理即得
14. 954
解：在相同的数n 中，最后一个n 是原数列的第〔1+2+……+n 〕项，如：最后一个3是第1+2+3=6项
,131002)1(=⇒≤+n n n 最大的由
945914)13.......21(222100=⨯++++=S
15.12
6
4
11+
联立两直线得)6.4(A 是目标函数z=ax+b 12=4a +b
b
b
a a
b a b a b a 446441261232++
+=+=+
变量分离后再用均值定理
三解答题：16.解：Ⅰ)原式可化为： 1202
1cos 21=∴-==+A A C B cos 即：）（ Ⅱ) 由余弦定理可知：
bc 16bc c b bc c b 120bc 2c b 32222222-=-+=++=-+=)(cos )(
∴bc =4，32
3421
120421A bc 21S =⋅⋅=⋅⋅==∆ sin sin 17〔1〕2525221025221221-=∴-==+=-+==
a a
x ax x ,x 的两根由韦达定理可是方程
〔2〕ax 2－5x +a 2－1>0可化为：－2x 2－5x +3>0 即2x 2+5x －3 < 0 (2x －1)( x +3 )< 0 2
13<
<-∴x 18.解：0,1>+≥x x y 110111>=+>+≥∴x
y x
x
y 即
19.223223)22(3221221121+=+≥+=+++=+++=+∴+=y x x y y x x y y x x y y y x x y x y x y x 证明： )22.2(22”时取“也就是即当且仅当
====y x y x y x x y 223)1
1(min +=+∴y
x 20.Ⅰ)）（*n n n N n a a a ∈+=+1
21 2
112
311112111212
12111
1
=-=--=-∴+=+=∴++n
n
n n
n
n n a a a a a a a ）而（
为公比的等比数列、为首项｝是以数列｛21211121111
1
1-∴==--∴+n n
n a q a a Ⅱ)n n n n n n n n n a n a a 2
2111212121111+=⇒+=⇒==--）（）（
）
（）（n n n .......n .......S 2121321221132132⋅++⋅+⋅+⋅+++++= 13221211n 212211232121+⋅+-++⋅+⋅+++++=n n n n .......n
.......S ）（（）（
1
32212112122112
32121+⋅+-++⋅+⋅
+++++=n n n n n .......n .......S ）（（）（ 1
114222114122
1121-121412
1
212123*********+++--++=--++=⋅-+++++++=n n n n
n n n n n n n n n n .....n n S ）（】
）（【）（）（））（（ n n n n
n n S 2
212121--++
=∴-）（。