均值-方差
均值方差分析方法
（2）各种证券投资组合的预期收益率：
4
R P X iR i 1 % 8 4 % 0 6 % 5 % 0 3 0 9 3 % 7 6 % 7 3 .9 % 4 i 1
Return
.
23
二、资产组合的风险与收益衡量
2、组合资产的风险 ➢（1）两种证券组合的风险测定 ① 协方差：两种证券收益变动相互关系的指标 若以A、B两种证券组合为例，则其协方差为：
.
Return 12
二、资产组合的风险与收益衡量
（一）单项资产的投资风险与期望收益
1、不确定条件下的期望收益（均值）：各种可能结 果的期望值（通常用E(X)表示），即所有可能的收益值 与其发生的概率的乘积。
离散型概率分布的期望值：
n
E(X) P(Xi)Xi i1
其中，Xi为随机事件的值，P(Xi)为随机事件i发生的 概率
.
13
二、资产组合的风险与收益衡量
例1：现有S和U两项资产收益率概率分布情况如下 表所示:
资产的收益状况
资产的收益率
经济状况 概 率
S
U
繁荣 0.2
0.25 0.05
适度增长 0.3
0.20 0.10
缓慢增长 0.3
0.15 0.15
衰退 0.2
0.10 0.20
S、U两资产的期望收益率分别为： 17.5E％(RS)＝0.2X0.25+0.3X0.20+0.3X0.15+0.2X0.10＝ 12.5E％(RU)==0.2X0.05+0. .3X0.10+0.3X0.15+0.2X0.2614＝
E（Rp）= XA E（RA） +XBE（RB）
均值与方差的关系公式
平均方差是标准偏差。
而方差和标准差都是一组(一维)数据的统计，反映的是一维数组的离散程度；协方差是对二维数据进行的，反映的是两组数据之间的相关性。
与标准差和均值的量纲(单位)一致，标准差比方差更方便描述一个波动范围。
方差可以看作是协方差的一个特例，即两组数据是相同的。
协方差只表示线性相关的方向，取值范围从正无穷大到负无穷大。
一、均方差公式均值方差的公式为：s=((x1-x的平均值)2(x2-x的平均值)2(x3-x的平均值)^2 ……(xn-x的xn-x平均值)2)/n的算术平方根，其中xn表示第n个元素。
均值方差，又称标准差，是指偏离均方的算术平均值的算术平方根。
均方差的定义均值方差，也称为标准差或标准差，是偏离均方的算术平均值的算术平方根。
均方差是概率统计中最常用的统计分布的度量基础。
标准差可以反映数据集的离散程度。
均值相同的两组数据的标准差可能不一样。
均方差反映了群体内个体间的分散程度。
原则上，测量分布程度的结果具有两个性质：1 .它是非负值，与测量数据具有相同的单位。
2.总量或随机变量的标准偏差与样本子集的标准偏差之间存在差异。
二、均方差怎么计算计算均方差，要看样本量是等概率还是概率。
如果没有概率，直接计算离差平方=(样本量-平均值)，然后对样本量离差平方求和，除以(样本数-1)，再开根号，就是标准差。
如果有概率，计算总数时只需要考虑加权平均，不用除以数-1，直接开根号即可。
三、什么是最小均方差准则最小均方误差准则是最小均方误差准则，即选取一组时域采样值，采用最小均方误差算法使均方误差最小，从而达到更优设计。
这种方法着眼于整个频率范围内总误差的全局最小，但不能保证局部频点的性能，有些频点可能会有较大的误差。
均值-方差
均值-方差理论马克维茨开创性的提出了证券组合的均值方差模型，将证券及其组合用收益率均值和方差来描述，并在此基础上给出了组合的可行域空间及其有效组合，但是它的缺点就是没有描述在拥有无风险证券的情况下组合的状态，也没有给出期望收益与系统风险之间的关系(只有系统风险才会受到补偿，非系统风险不会得到补偿)，只是给出了一定的期望收益和一定风险会画出怎么样的图形，得到什么样的有效组合，再次就是该模型计算太复杂。
传统的证券投资基金的绩效评价方法孕育于“金融大爆炸”的1952年，即投资组合理论的开端。
自美国经济学家马科维茨（Harry Markowtitz）在其《资产选择：有效的多样化》一文中，第一次使用边际分析的原理，用期望收益率（均值）和方差（或标准差）代表的风险来研究投资组合的报酬。
这在当时引起了极大反响，属于金融界上里程碑式的伟大发现。
它在很大程度上帮助了基金管理公司的基金管理者、经理人们和投资者们合理组合其持有的金融资产，确保在具有一定的风险时还能取得最大的收益。
马科维茨的投资组合理论需要两个重要的假设前提：第一，投资者们都使用预期收益率的均值来衡量未来的实际收益率水平，使用预期收益率的方差或标准差来衡量未来的实际收益率的所需要承担的风险；第二，每个投资者都是风险厌恶者，投资者在追求收益率最大化的同时也在追求风险的最小化，即希望收益率均值越大越好，其方差获标准差越小越好。
在满足上述假设条件后，马科维茨发现了收益和风险的度量方法，并建立了均值—方差模型。
每一项投资结果都可以用收益率来衡量，投资组合的投资收益率计算公式如下：（2—1）其中表示投资组合P的预期收益率，表示证券i在投资组合中所占比例，表示证券的收益率。
投资组合方差的计算公式如下：（2—2）其中表示投资组合的方差，表示与的相关系数。
当投资者们只关心收益和风险时，马科维茨的均值—方差模型可以比较精确地计算出收益与风险的大小。
当时在20世纪50年代的早期，计算机技术尚未普及，该模型的计算量是相当之大的，故当时仅用于小单位之间，并未广泛运用于大规模市场。
均值与方差的计算公式
均值与方差的计算公式均值和方差是数学中经常使用的重要概念，可用于描述数据的分布和变化程度。
均值是一组数据的平均值，方差是数据与其平均值的差的平方和的平均值。
在这篇文章中，我们将详细介绍这两个概念的计算方法和含义，帮助您更好地理解和应用它们。
均值 - 数据的中心点均值是一组数据的平均值，是数据的中心点，通常用符号μ表示。
计算均值的方法是将所有数据加起来，然后除以数据数量。
可以用以下公式计算均值：μ = (x1 + x2 + ... + xn) / n其中，x1、x2、...、xn是数据，n是数据数量。
例如，有一组数据为1、2、3、4、5，我们可以使用上述公式计算这些数据的均值如下：μ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3因此，这组数据的均值是3。
均值是一个重要的统计指标，可以帮助我们了解一组数据的数据中心和分布情况。
在数据分析和研究中，均值可以用来研究数据的特征，并用来比较和推断不同数据集之间的差异。
方差 - 数据的离散程度方差是一组数据与其均值之间差的平方和的平均值，可用来衡量数据的离散程度。
这是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们了解数据变量之间的差异，从而更好地理解数据。
方差的计算公式是：σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n其中，x1、x2、...、xn是数据，μ是这些数据的均值，n是数据的数量。
例如，如果我们有一组数据为2、4、6、8、10，我们可以使用上述公式计算这些数据的方差如下：μ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6σ^2 = [(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2] / 5= [16 + 4 + 0 + 4 + 16] / 5= 8因此，这组数据的方差是8。
方差为正数，通常用来度量数据的离散程度。
使用方差，我们可以比较两组数据之间变量的差异。
方差和均值的公式
方差和均值的公式方差和均值的公式统计学中，方差和均值是两个常见而重要的概念。
对于任何一组数据，它们能够展现出该数据的集中程度和分散程度。
在本文中，我们将学习方差和均值的公式以及如何运用它们进行数据分析。
均值的公式均值，又称平均数，是指所有数据的算术平均值。
它是一组数据最基本的描述性统计量，可以用来表示数据的集中程度。
均值的公式为：$$\bar{x} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$其中，$\bar{x}$ 表示均值，$n$表示数据的个数，$x_i$表示数据中第i个值。
用这个公式，我们可以计算出给定数据的平均值。
举个例子，若有一组数据：3，5，9，11，13，21。
我们可以使用公式计算出它们的均值：$$\bar{x} = \frac{3 + 5 + 9 + 11 + 13 + 21}{6} = \frac{62}{6} = 10.33$$因此，这个数据的均值为10.33。
方差的公式方差是用来表示一组数据的离散程度或分散程度的概念。
方差的值越大，表示该组数据的离散程度越大，反之则表示离散程度越小。
方差的公式为：$$S^2 =\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$其中，$S^2$表示方差，$\bar{x}$表示均值，$n$表示数据的个数，$x_i$表示数据中第i个值。
用这个公式，我们可以计算出给定数据的方差。
为什么公式中要除以$n-1$而不是$n$呢？这是因为$n-1$可以使得计算结果更加精确。
当只有一个数据集合时，我们无法对该集合的方差进行计算，因此只能使用 $n$ 除以 $n-1$ 进行近似计算。
接着上述例子，我们来计算这个数据的方差：$$S^2 = \frac{(3-10.33)^2 + (5-10.33)^2 + (9-10.33)^2 + (11-10.33)^2 + (13-10.33)^2 + (21-10.33)^2}{6-1} = \frac{223.2}{5} = 44.64$$因此，这个数据的方差为44.64。
均值–方差准则
均值–方差准则
方差是均值准则的未来，可以解决的问题比均值准则要多。
均值准则是建立在简单的统计
学和经济理论基础上的，它实际上是一种贪心算法：实时估计系统中的所有变量的期望值，并做出最适当的抉择。
然而，它只考虑了简单的统计学，而忽略了更加深入、复杂的考虑
因素，比如变量之间的相关性、数据误差、微小却又影响最终结果的变量等。
因此，方差准则被引入，它是建立在比简单统计学更复杂的数学理论基础上的。
方差准则
的目的是最小化系统中变量之间的差异，也就是说，它强调变量之间的一致性，即变量差
异越小，系统效果越好。
由于考虑了变量之间的相关性、数据误差、微小变量等复杂因素，因此方差准则比均值准则更加精准，可以很好地满足客户的需求。
总之，方差准则是一种更加先进更加精准的均值准则，它可以更好地考虑变量之间的相关性、数据误差以及微小变量等复杂因素，从而更好地满足客户的需求。
方差和均值关系
方差和均值关系嘿，朋友们！今天咱来唠唠方差和均值这对好“兄弟”。
你说这方差啊，就像是班级里的捣蛋鬼，一会儿上蹿下跳，一会儿又安静得让人觉得奇怪。
它呀，专门衡量数据的离散程度。
啥叫离散程度呢？简单说就是数据们有多不老实，是老老实实排排站呢，还是到处乱跑。
那均值呢，就像是班里的好好学生，稳稳当当的，代表着数据的平均水平。
咱就打个比方吧，你去买苹果，这苹果有大有小，那怎么知道这一堆苹果的平均大小呢？这均值就派上用场啦！咱想想啊，如果一堆数据的方差很小很小，那说明啥？说明这些数据都跟均值很亲近呀，都围在均值身边，没怎么乱跑。
就好比一个很乖的班级，同学们都安安静静地学习，没什么调皮捣蛋的。
可要是方差很大呢？那不得了，这些数据就像撒了欢的野马，离均值老远老远了。
就像一个班级里，有特别调皮的孩子，到处捣乱，和好好学生差距老大了。
你说这方差和均值的关系多有意思啊！它们俩就像一对欢喜冤家。
有时候方差大了，均值就有点孤零零的，好像在喊：“你们都回来呀！”有时候方差小了，均值就挺得意：“嘿嘿，看你们多听话。
”咱过日子不也这样嘛！有时候生活平稳得很，每天都差不多，这就像方差小，均值能很好地代表我们的生活状态。
可有时候呢，突然发生个大事，一下子就把生活搅得乱七八糟，这方差不就大了嘛！再比如咱上班挣工资，要是每个月都差不多，那均值就能反映出你的收入水平。
可要是这个月发了好多奖金，下个月又没啥收入，这方差可就大了去了。
那你能光看均值说自己收入咋样吗？肯定不行啊！所以说啊，方差和均值这俩家伙，咱可得好好研究研究。
别光看均值就觉得万事大吉了，还得瞅瞅方差，看看数据到底稳不稳定。
这就跟咱看人一样，不能光看表面，还得了解了解他平时到底是啥样，性格稳不稳定。
总之呢，方差和均值这对组合，在生活中到处都能看到它们的影子。
咱可得把它们弄明白，这样才能更好地理解周围的世界，不是吗？你说呢？。
第8章 均值-方差分析
第8章 均值－方差分析
本章制作：陈召洪
本章大纲
偏好与分布 证券组合前沿 证券组合前沿的一些数学性质
8.1 偏好与分布
一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预期回报率的 方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。
但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假 设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为证 券组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。
全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一
个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以
表达为 u(z)z(b2)z2
。
此时 E[R3]0
于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变 量的两个中心矩来定义
E [ u ( w ~ ) ] E [ w ~ ] b (E [ ( w ~ ]2 )2 ( w ~ )) ( 8 .2 ) 2
h p g w [ ~ r p ] E ( 8 .8 )
其中 g 1D [B (V 1 1 )A (V 1 e)]
w 1D [C (V 1 e)A (V 1 1 )]
从以上（8.8）式人们可以看出， g 是预期收益率为0
的前沿证券组合的权重向量； gw是预期收益率为1
率严格大于最小方差证券组合收益率 A C 的证券组合称之为有
效证券组合；
无效证券组合：那些既不是有效证券组合，又不是最小方差组合 的证券组合称之为无效证券组合。
前沿证券的线性组合也落在证券前沿上。
任意一支有效证券组合的凸组合仍然是一支有效证券组合。因此 有效证券组合的集合是一个凸组合。
8.3 证券组合前沿的一些数学性质
关系式（8.20）、（8.21）、（8.23）是等价的关系式。
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均值-方差理论
马克维茨开创性的提出了证券组合的均值方差模型，将证券及其组合用收益率均值和方差来描述，并在此基础上给出了组合的可行域空间及其有效组合，但是它的缺点就是没有描述在拥有无风险证券的情况下组合的状态，也没有给出期望收益与系统风险之间的关系(只有系统风险才会受到补偿，非系统风险不会得到补偿)，只是给出了一定的期望收益和一定风险会画出怎么样的图形，得到什么样的有效组合，再次就是该模型计算太复杂。
传统的证券投资基金的绩效评价方法孕育于“金融大爆炸”的1952年，即投资组合理论的开端。
自美国经济学家马科维茨（Harry Markowtitz）在其《资产选择：有效的多样化》一文中，第一次使用边际分析的原理，用期望收益率（均值）和方差（或标准差）代表的风险来研究投资组合的报酬。
这在当时引起了极大反响，属于金融界上里程碑式的伟大发现。
它在很大程度上帮助了基金管理公司的基金管理者、经理人们和投资者们合理组合其持有的金融资产，确保在具有一定的风险时还能取得最大的收益。
马科维茨的投资组合理论需要两个重要的假设前提：第一，投资者们都使用预期收益率的均值来衡量未来的实际收益率水平，使用预期收益率的方差或标准差来衡量未来的实际收益率的所需要承担的风险；第二，每个投资者都是风险厌恶者，投资者在追求收益率最大化的同时也在追求风险的最小化，即希望收益率均值越大越好，其方差获标准差越小越好。
在满足上述假设条件后，马科维茨发现了收益和风险的度量方法，并建立了均值—方差模型。
每一项投资结果都可以用收益率来衡量，投资组合的投资收益率计算公式如下：
（2—1）
其中
表示投资组合P的预期收益率，
表示证券i在投资组合中所占比例，
表示证券
的收益率。
投资组合方差的计算公式如下：
（2—2）
其中
表示投资组合
的方差，
表示
与
的相关系数。
当投资者们只关心收益和风险时，马科维茨的均值—方差模型可以比较精确地计算出收益与风险的大小。
当时在20世纪50年代的早期，计算机技术尚未普及，该模型的计算量是相当之大的，故当时仅用于小单位之间，并未广泛运用于大规模市场。
在考虑多项资产的组合时，达到同一预期收益可能的组合有很多种，风险厌恶者将选取风险最小的组合（最小方差组合），这样的组合（不同预期收益）放到
一起，就形成了最小方差边界（minimum variance frontier）（限制条件：预期值、权重之和为1）。
这样形成如下图形：
在上面形成的最小方差边界中，有一部分是无效的，因为同一风险情况下，有更加高回报的组合可以选择，因此，有效边界（efficient frontier）就是全球最小方差组合global minimum variance portfolio（上图最左边的一点）上方的部分。
这样，选择组合的程序就很简单了，根据投资者的风险承受能力和风险厌恶程度，选择有效边界上的一点，即确定了组合中各类资产的权重。
无差异曲线：
(1) 无差异曲线向右上方倾斜；
(2) 无差异曲线随着风险水平增加越来越陡；
(3) 无差异曲线之间互不相交；
(4) 无差异曲线代表单个投资者对期望收益和风险之间的均衡的个人评估，也就是说，无差异曲线是主观确定的，曲线的形状因投资者的不同而不同．
最优证券组合：
有效边界上位于最靠上的无差异曲线上的证券组合便是所有有效组合中该投资者认为
最满意的组合，即在该投资者看来最优的组合，这一组合事实上就是无差异曲线族与有效边界相切的切点所对应的组合．
马克维茨分别用期望收益率和收益率的方差来度量投资的预期收益水平和风险，建立了均值–方差模型，进而决策．在投资者只关心“期望收益率” 和“方差” 的假设前提下，马克维茨创造的理论和方法是准确和科学的，但是这种理论和方法在实践应用过程中最大的不足是计算量太大，尤其是在规模巨大的市场，在存在上千种证券的情况和一定时间的要求下，运算的实现几乎是不可能的．因而这严重地限制了马克维茨方法的应用空间．
局限性：
1、风险用预期收益率的方差或者标准差来表示，意味着它将高于预期收益率的那部分有益于投资者的变动也划入风险范畴；
2、用方差来度量风险只有在投资收益率的概率分布服从正态分布时才适用，很多实证分析证明了预期收益率是呈非对称分布的；
3、即使收益率是对称均值的，可以想象理性的投资者出于规避风险、避免资产损失的考虑，其效用函数可能赋予负偏差一个大权重，赋予正偏差一个小权重；
4、用方差度量证券投资组合的风险太过简单，因为风险是受很多因素影响的。
这种方法存在一定的问题，即对每项资产的预期值是随着时间变化的，由此有效边界的位置也会随时间变化，而且，在资产种类很多的时候，计算相当复杂。
多样化（diversification）为什么能分散投资风险呢? 回顾一下方差的公式，答案就很清楚了，在相关系数不为1的时候，组合的标准差总是小于各项资产标准差相应权重的和。
但是，多样化的效果取决于两个方面：
第一，资产间的相关系数。
相关系数越小，多样化收益越大。
（方差越小）
第二，资产数目越多，多样化收益越大，但加速度越来越慢，越来越接近整个市场的风险。
（也就是多样化效果越来越小，这也是投资基金一般不会选取整个市场，而是选取几十只股票进行组合的原因）。