大学固体物理试题及答案

·考试时间120 分钟试题Array班级学号姓名一、简答题（共65分）1.名词解释：基元，空间点阵，复式格子，密堆积，负电性。

（10分）2.氯化钠与金刚石是复式格子还是单式格子，各自的基元中包含多少原子？分别是什么原子？（6分）3.在固体物理中为什么要引入“倒空间”的概念？（5分）4.在晶体的物相分析中，为什么使用X光衍射而不使用红外光？（5分）5.共价键的定义和特点是什么？（4分）6.声子有哪些性质？（7分）7.钛酸锶是一种常见的半导体材料，当产生晶格振动时，会形成多少支格波，其中声学支和光学支格波各多少支？（5分）8.晶格振动的Einsten模型在高温和低温下都与实验定律符合吗？为什么？（5分）9.试画出自由电子和近自由电子的D～En关系图，并解释二者产生区别的原因。

（8分）10.费米能级E f的物理意义是什么？在绝缘体中费米能级处在导带、禁带、价带的哪个中？两块晶体的费米能级本来不同，E f1≠E f2，当两块晶体紧密接触后，费米能级如何变化？（10分）二、计算题（共35分）1．铜靶发射λ=0.154nm的X射线入射铝单晶（面心立方结构），如铝（111）面一级布拉格反射角θ=19.2º，试据此计算铝（111）面族的面间距d与铝的晶格常数a。

（10分）2．图示为二维正三角形晶格，相邻原子间距为a。

只计入最近邻相互作用，使用紧束缚近似计算其s能带E（k）、带中电子的速度v（k）以及能带极值附近的有效质量m*。

（15分）提示：使用尤拉公式化简3．用Debye模型计算一维单式晶格的热容。

（10分）参考答案一、简答题（共65分）1. （10分）答：基元：组成晶体的最小结构单元。

空间点阵：为了概括晶体结构的周期性，不考虑基元的具体细节，用几何点把基元抽象成为一点，则晶体抽象成为空间点阵。

复式格子：晶体由几种原子组成，但各种原子在晶体中的排列方式都是相同的（均为B格子的排列），可以说每一种原子都形成一套布拉菲子格子，整个晶体可以看成是若干排列完全相同的子格子套构而成。

密堆积：如果晶体由全同的一种粒子组成，而粒子被看成是小圆球，这些小圆球最紧密的堆积状态，此时它有最大的配位数12。

负电性：原子的负电性是原子得失价电子能力的一种度量。

其定义为：负电性＝常数（电离能＋亲和能）。

2. （6分）答：氯化钠与金刚石是复式格子，各自的基元中各包含2个原子，氯化钠的基元中是Na和Cl原子，金刚石的基元中是2个处于不同环境的C原子。

3. （5分）答：波的最主要的指标是波矢K，波矢K的方向就是波传播的方向，波矢的模值与波长成反比，波矢的量纲是1/m。

讨论晶体与波的相互作用是固体物理的基本问题之一。

一般情况下晶体的周期性、对称性等均在正空间描述，即在m的量纲中描述。

为了便于讨论晶体与波的相互作用，必须把二者放到同一个空间，同一坐标系中来。

我们的选择是把晶体变换到量纲是1/m的空间即倒空间来，即把正空间晶体“映射”到倒空间，所以需引入倒空间。

引入“倒空间”的概念后，可以将晶面族特征用一个矢量综合体现出来，矢量的方向代表晶面的法向，矢量的模值比例于晶面的面间距。

用数学方法将晶体结构中不同位向的晶面族转化成了倒格子空间的倒格点，每个格点都表示了晶体中一族晶面的特征。

4. （5分）答：由布拉格定律，产生X-射线衍射的衍射极大条件是：2dsinθ=nλ。

由于红外光的波长比X-光长，如果使用红外波，不满足布拉格定律，不能产生衍射，所以在晶体的物相分析中，要使用X光衍射而不使用红外光。

5. （4分）答： 能把两个原子结合在一起的一对为两个原子所共有的自旋相反配对的电子结构，称为共价键。

共价键的特点：饱和性和方向性。

6. （7分）答： 声子的性质有： 声子是量子谐振子的能量量子；3NS 格波与3NS 个量子谐振振子一一对应；声子为玻色子；平衡态时声子是非定域的；声子是准粒子，遵循能量守恒 定律321ωωω =+和准动量选择定则)(321h G q q q +=+ ；非热平衡态，声子扩散伴随着热量传导；平均声子数11w kTn e-＝。

7. （5分）答：钛酸锶是一种常见的半导体材料，当产生晶格振动时，会形成15支格波，其中声学支格波3支，光学支格波12支。

8. （5分）答：晶格振动的Einsten 模型在高温时与实验定律符合，在低温下与实验定律不符合。

这是因为在高温下，随着温度的升高，各格波的平均声子数会增多，温度足够高时，所有格波都已充分激发，此时(略去零点能)晶体内能（与温度有关部分）＝晶格振动能＝已激发格波的能量之和，所有已被激发的格波都对比热有贡献，所以与实验定律相符。

低温情况，定性地认为只有⎪⎭⎫⎝⎛≤ T K B i ω的那些格波在温度T 时才激发，只有这些已激发的格波才对比热有实际贡献；而⎪⎭⎫⎝⎛> T K B i ω的格波被“冻结”，对比热无贡献。

在爱因斯坦模型中，假设晶格中所有原子均以相同频率独立地振动，即设不论在什么温度下所有格波激发，显然与实际不符，这就是低温下爱因斯坦模型定量上与实验不符的原因。

9. （8分）答：自由电子和近自由电子的D ～En 关系图如下：对自由电子，有()()21222322Em V dE E dZ E D c ⎪⎭⎫ ⎝⎛ π＝＝，即D(E)与E 1/2成正比，随E 的增大，D(E)单调上升。

对于近自由电子，有()⎰∇nk E cn E dS V E D 322)(π＝，D(E)与S E 成正比。

在远离B.Z.边界时，近自由电子的等能面与自由电子的一样，均为球形，这时近自由电子的能态密度与自由电子的能态密度一样，所以在D~E 关系图上两者是重合的。

在靠近B.Z.边界时，由于周期性势场的影响，近自由电子的等能面曲线偏离自由电子的圆形等能线，等能线向B.Z.边界凸起，在这种情况下的等能量间隔内，近自由电子所对应的波矢空间体积比自由电子大，因而该处近自由电子能态密度D(E)大于自由电子的能态密度，当能量达到某一临界值E B 时，使D(E)达到最大值。

能量再大，等能面破裂，近自由电子等能量间隔所对应的波矢空间体积开始减小，这时态密度随之减小，直至达到E C 时，等能线变成一点，态密度D(E)=0。

10. （10分）答：费米能级E f 的物理意义是：E f 是标志电子在能谱上填充水平的一个重要参数，在绝对零度时，E f 以下的每个能态都为电子占据，而E f 以上的能态都是空的。

在绝缘体中费米能级处在禁带中。

两块晶体的费米能级本来不同，E f 1≠E f 2，当两块晶体紧密接触后，费米能级将具有统一的费米能级。

二、计算题（共35分）1．解： 由布拉格定律：2dsin θ=n λ，可知：2sin n d λθ=， 有题目可知：n =1，λ=0.154nm ，θ=19.2º 所以：10.1540.234()2sin19.2d nm ︒⨯==⨯铝（111）面族的面间距d =0.234nm ，铝（111）面的方向为面心立方结构的体对角线方向，则：d =，0.2340.405()a nm ===2．解：（1）如图，以中心原子为坐标原点建立直角坐标系：则与该原子最近邻的六个原子的位矢的坐标为：)23,21()23,21()23,21()23,21()0,1()0,1(a a a a a a ，，，，，由紧束缚近似，s 能带为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++--=--=---+-+-≠⋅∑y x x atsy x y x x at s k k ia k k ia k k ia k k ia iak iakat sR Rik atss ak ak ak B A E k k a k k a ak B A E e e e e e e B A E e BA E k E yxyxyxyxxxn n23cos 21cos 2cos 2)3(2cos )3(2cos )(cos 2)()2321()2321()2321()2321(0最近邻 （2）带中电子的速度为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∇⋅=j ak ak i ak a ak aB E v y x y k x s k x)23sin 21cos 3()23cos 21sin (sin 2)(1)( （3）能带极值附近的有效质量：因为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂=y x x x xxak ak ak B a k E m 23cos 21cos cos 222222*所以，在能带底附近：Ba m k k xxy x 22*30 ===，；在能带顶附近：，，ak k y x 320π==和，a k x π=k y 为任意值Ba m xx 22*2-=又因为：y x y yyak ak B a k E m23cos 21cos 322222* =∂∂= 所以：在能带底附近：B a mk k yyy x 22*30 ===，； 在能带顶附近：Ba ma k k yyy x 22*3320 -===，，π，ak x π±→k y为任意值时，±∞→*yy m 3．解： 一维单式晶格的q 点密度为π2L，g ρυω＝ d ω区间格波数为：g(ω)d ω＝2ωπυωππρd L d dq L wq dw ＝12=⋅所以一维单式晶格的格波密度函数：g(ω)＝ρπυL由德拜模型可知，只有ωTk B ≤的格波才能被激发，已激发的格波数为； A ＝Tk Ld g B TK B ⋅⎰ρπυωω＝)(0在极低温度下，一维单式格子主要是长声波激发，对满足kTω<<1的格波能量为K B T 。

此时晶格的内能为：22BB pK T L U A K T v π=⋅=⋅则晶格热容为：2222BB V LK T LKC T T ρρπυπυ⎡⎤∂∂=⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦U ＝＝T考试时间 120 分钟试 题班级 学号 姓名一、简答题（共60分）1. 名词解释：惯用元胞，配位数，声子，密堆积，负电性。

（10分）2. 硅与金刚石是复式格子还是单式格子，各自的基元中包含多少原子？分别是什么原子？（5分）3. 倒格子基矢的定义是什么？（5分）4. 在晶体的物相分析中，产生衍射极大的必要条件是什么2？（5分）5. 共价键的定义和特点是什么？（5分）6. 空穴是如何定义的？（6分）7. Ge 是一种常见的半导体材料，当产生晶格振动时，会形成多少支格波，其中声学支和光学支格波各多少支？（6分）8. 晶格振动的Debye 模型在高温和低温下都与实验定律符合吗？为什么？（6分） 9. 什么是色心？F 心是如何形成的？（6分）10.在绝缘体中费米能级处在导带、禁带、价带的哪个中？（6分） 二、计算题（共40分）1. 证明：晶体中的倒格矢G h ＝h 1b 1＋h 2b 2＋h 3b 3垂直于晶面族（h 1、h 2、h 3）（两个h 1、h 2、h 3分别相等）。