空间七杆机构位置解析与空间六杆机器人机构位置逆解

ij
( i, j = 1 ～ 7) 已经给
定 , 因此当机构的关节角 1 给定后, 利用空间连杆 机构中空间向量的坐标转换方法 , 从向量 s7 开始, 可以很容易求出向量 s2 的值。当得到向量 s7 和 s2 后 , 就可以求出由构件 7 和构件 2 形成的 RR 类型
图 2 七杆 7 R 机构向 空间的转换
The Displ acement Anal ysis of the Spatial 7-link Mechanism and the Inverse Displ acement Solution of Spatial 6l ink Manipulator
1 1 2 1 DU Hait ao , CHU Jin-kui , Wat anabe Kat sumi , GU O Xiao -ning
收稿日期 : 19991021 责任编辑 韩星明 王卫勋 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 59575009) 。 作者简介 : 杜海涛 ( 1975-) , 男 , 西安理工大学硕士研究生。
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西安理工大学学报 ( 2000) 第 16 卷第 4 期
入的空间构形刚化, 即把机构的输入构件和机构的机架相固联, 通过研究这些空间框架模型来得到 机构的各个结构参数。同样把空间六杆 6R 六自由度机器人机构的末端执行器与它的机架相固联, 通过研究这个空间框架模型就可得到机器人机构的各个结构参数。由于空间六杆 6R 六自由度机器 人机构可以被看做一个空间七杆 7R 机构 , 因此利用这种把机构的输入构件和它的机架固联的方法 , 就可以把求解空间单环机构的位置分析和机器人机构的位置逆解问题的方法统一起来。
1 框架模型的建立
1. 1 复合构件参数的计算 ( RR 复合构件 ) 已知 2 个运动副( R 副 ) 轴线上的 2 点 RA = { x A , y A , z A } T 和
T T RB = { x B , y B , z B } 及其单位矢量 sA = { l A , m A , nA } 、 sB = { lB , m B ,
西安理工大学学报 Jo ur nal of Xi ’ an U niversity o f T echnology ( 2000) V ol . 16 N o. 4 文章编号 : 10064710( 2000) 04039505
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空间七杆机构位置解析与空间六杆 机器人机构位置逆解
杜海涛1 , 褚金奎1 , 渡边克己2 , 郭晓宁1
2 框架模型的求解
对框架模型分析后可知 , 它的位移分析的求解方法与求解具有一般约束的空间七杆 7R 机构的 方法相似, 只不过模型的分析中不涉及到输入角。空间七杆 7R 机构和空间六杆 6R 机器人机构转换 为空间框架模型后 , 待求量仍是 6 个 , 都为模型的关节角。 通过近年来的研究表明 , 一般空间七杆 7R 机构的位移分析和空间六杆 6R 机器人机构位置逆解 就是推导关于输出角正切半角的多项式 16 次方程, 当这 2 个机构转换为空间框架模型后 , 求解这个 模型的位置同样需推导出输出角正切半角的多项式 16 次方程。 因此求解模型位置的一个关键性的工 作是通过对 6 个待求的关节角进行消元, 最终得到关于输出角正切半角的 16 次多项式方程。消元的 第一步是先根据模型的特点建立适当的求解方程, 在本文中利用空间机构的向量分析方法 , 参照和利 用 J. Duf fy 的递归表示法[ 1] , 根据模型各构件的几何向量关系, 得到求解所需的 14 个向量方程( 略) 。 得到向量方程后, 利用矩阵消元的方法, 分 2 步消去了 6 个待求量中的 5 个量 , 得到求解模型的 16 次 多项式方程。 利用空间机构的向量分析方法, 如图 4 所示 , 把这个模型从转动副 ( R 副 ) 3 和 6 处分开 , 得到 2 个子链 , 通过计算这 2 个子链的向量的点积 ( scalar product ) , 便可得到关于求解模型的方程。所求方 程可参照利用 J . Duf fy 的递归表示法方便地进行运算。
AB
m A nB - nA m B )]
- 1
nA lB - nB lA lA m B - l B m A cos(
AB
公垂线与已知向量轴线交点到已知点的距离 S A 、S B 的求解: S A = { ( x B - x A ) [ l A - lB cos( A B ) ] + ( y B - y A ) [ m A - m B ( z B - z A ) [ nA - nB SB = { ( x B - x A ) [ l A ( z B - z A ) [ nA cos( cos( cos(
( 1. 西安理工大学机械与精密仪 器工程学院 , 陕西 西安 710048; 2. 日本山形大 学 )
摘要: 通过对具有一般约束的空间七杆 7R 机构和空间六杆 6R 六自由度机器人机构结构 的分析 , 在已有的位移分析的研究基础上, 把空间七杆 7R 机构和空间六杆 6R 六自由度机 器人机构转换为一个自由度为零的空间六杆框架模型, 这样便可以通过研究空间框架的形 状随输入角或末端执行器的变化情况, 来进行空间多杆机构位置解析和空间机器人机构位 置逆解的求解。 关键词: 一般约束; 机器人机构; 七杆 7R 机构 ; 框架模型 中图分类号: T P 241 文献标识码: A
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已
知 , 从而向量 s2 可以求出。 同样利用以上的方法可以 求出由构件 7 和构件 2 形成的 RR 复合构件。 1. 4 向空间单环七杆 7R 机构及空间六杆六自由度 机构的逆转换
图 3 六杆机器人机构向空间刚体的转换
当模型的位置分析完成后, 下一步是恢复机构各个角位移的实际角度值。对空间机构来说 , 在向 模型转换过程中关节角 7 和关节角 2 发生了变化 , 其它角位移的值没有发生变化。 在模型中, 关节角 7 是由向量 a67 和向量 a72确定的 , 而对于空间单环七杆 7R 机构来说, 它的关节角是由向量 a6 7和向量 a71 确定的, 其中向量 a71 是机构的连杆参数 , 它的值是给定的, 当输入角 1 给定后 , 向量 a72 也就确定 了。因此 , 在求出模型的关节角 7 后 , 要想得到七杆机构的关节角 7, 必须确定向量 a67的值。由于向 量 s7 也已知 , 所以向量 a67 很容易由向量 a72求得。 利用同样的方法, 空间单环七杆 7R 机构的关节角 2 亦可以确定, 它的求解关键是求出向量 a23 的值。 对于空间六杆六自由度机械手来说, 求出关节角 2 的方法与上面从模型的关节角 2 得到空间单 环七杆 7R 机构的关节角 2 的方法相同。 因为根据关节角的定义 , 关节角 7 是由向量 a67和向量 a71来 确定, 为了从模型的关节角 7 得到机械手关节角 7 的值, 在机器人机构中构造一个向量 a71 , 如图 3 的虚线所示 , 它由末端执行器的方位向量 s1 和构件 7 的轴线向量 s7 来确定。 当得到向量 a71 后, 下一步 求解机械手关节角 7 的方法与上面的相同。 在恢复运算过程中, 还有一个问题应该注意。例如利用向量 a67和向量 a71 求解机构的关节角 7 时 , 关节角值的正负的确定很重要, 因此必须求出关节角的正、 余弦以后 , 关节角才可以确定。我们利 用的两个单位向量 a67 和向量 a71的点积、 叉积 , 就可以得到关节角的正、 余弦值。
nB } , 求解复合构件参数 S A 、 SB 、 aA B 、A B 、 aA B , 如图 1 所示。 角度 cos(
AB
T
的求解: ) = sA sin( sB = lA
AB
AB
lB + mA
2 AB
m B + nA )]
1/ 2
nB
图 1 复 合构件参数的求解
公垂线单位矢量 aA B 的求解 : ) = [ 1 - cos ( lA B aA B = m A B = [ sin( nA B
AB AB AB
)] +
) ]}
sin ( sin (
- 2
- 2 - l B] + ( y B - y A ) [ mA
AB
) - mB] +
) - nB ] }
)
公垂线段长度的求解: aA B = [ ( x B - x A ) l A B + ( y B - y A ) m A B + ( z B - z A ) nA B ] 1. 2 空间单环七杆 7R 机构向统一模型的转换 图 2 所示的是一个空间单环七杆 7R 机构的结构简图。设构件 7 为机架, 对于这个机构来说 , 构 件 1 为输入构件, 而构件 2 为输出构件。为了把这个机构转变为一个空间框架模型, 利用上面的 RR 复合构件的生成原理 , 求解由构件 7 和构件 2 形成 的复合构件。这里由于构件 7 为机架 , 可以很容易 地给出向量 s7 和向量 a71的值。 对于这个空间多杆机 构 来说, 它的连杆的扭转角
的复合构件, 图 2 的虚线部分表示形成复合构件后 的机构局部形状, 它形成了一个新的构件。
图 2 中新构件 2 的连杆长度为 a72 , 连杆偏置为 S 2 , 新构件 7 的连杆长度 a67与改变前相同, 只有连 杆偏置 S 7 发生了改变。 在连杆尺寸改变的同时 , 连杆的扭转角和关节角也发生了改变 , 其中形成了新 的扭转角
( 1. X i’ an U niv er sit y of T echnolog y, Xi’ an 710048, China; 2. Yamag ada U niv er sit y Japan)
Abstract: Based on the ex ist ing research of displacement analysis of m echanism s and by analy zing the st ruct ures of the g eneral spatial 7-link 7R mechanism and the spat ial 6-link 6R 6DOF manipulat or , the g eneral spatial 7-link 7R mechanism and t he spat ial 6-link 6R 6-DOF manipulat or are transf ormed int o a spat ial 6-link 0-DOF f ram e. In t his w ay , t he displacement analysis of spat ial multi-link mechanism s and t he inverse solut ions of spat ial manipulat ors by invest ig at ing t he frame shape changing with t he input angle or the end ef fectors can be conducted. Key words: general constraint ; m anipulators; 7-link 7R mechanism ; f rame m odel 在空间闭链机构中, 具有一般约束的空间七杆 7R 机构是空间连杆机构研究中最困难的问题之 一 , 而在单开链工业机器人的研究中 , 空间六杆 6R 六自由度机器人也具有同样的典型性, 因此具 有一般约束的空间七杆 7 R 机构的位置分析和空间六杆 6R 六自由度机器人的位置逆解的研究显得 尤为重要, 如果这些问题得到很好的解决, 其它杆数少于 7 的空间单环机构和其它类型的空间工业机 器人运动学方面的问题可以利用相类似的方法得到解决。由于空间单环七杆 7R 机构和空间六杆 6R 六自由度机器人机构之间存在着本质的内在联系, 因此在分析这两种机构时 , 可以从整体上采用统一 的模型和求解方法来对它们进行分析。本文从这个思想出发 , 在分析空间单环七杆 7R 机构和空间六 杆 6R 六自由度机器人机构的基础上, 把两种机构统一到一个空间零自由度六杆 6R 框架模型上。 一个空间单环七杆 7R 机构对应于机构的一个输入, 机构存在多个空间构形与这个输入相对应 , 机构的位置分析就是分析这个机构的各个参数随机构的输入变化情况。因此, 可以把这些对应于输