空间向量与平行关系(公开课)
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空间向量与平行关系课件
(3)空间直线的向量表达式的两点作用: ①定位置:点A和向量a可以确定直线的_位__置__; ②定点:可以具体表示出l上的任意_一__点__. 3.向量a为平面α的法向量应满足的两个条件 (1)向量a表示直线l的_方__向__向__量__; (2)直线l_⊥__平面α.
4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),两个平面α,β的法向量分别为u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3),则有如下结论
则
m
AN
0，
m NM 0，
所以
a 2
x1
0
y1
az1
0，
a 2
x1
a 2
y1
0
z1
0，
所以y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，
所以平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)．
同理由
n n
DB DF
可00，，得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，
所以平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
2.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表 示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
3.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则α//β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) (k∈R).
位置关系 向量关系 向量运算关系
l∥m
_a_∥__b_ _a_=_k_b_,_k_∈__R_
空间向量与平行关系 课件
探究点三 利用空间向量证明平行关系 问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？
答案 可以按照下列方法证明空间中的平行关系. 线线 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 平行 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb (k∈R) ①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 线面 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0； 平行 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量 与已知直线的方向向量是共线向量即可；
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
例 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)， b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(1， －4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， u＝(－1,2，－1)．
因为 p·v＝(xa＋yb)·v＝xa·v＋yb·v＝0， 即平面 β 的法线与平面 α 内任一直线垂直． 所以平面 β 的法向量也是平面 α 的法向量，即 u∥v. 因此，α∥β.
小结 在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突 出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用 向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是 重要的工具．
空间向量与平行、垂直关系 课件
求证：平面 ADE⊥平面 ABE.
[证明] 取 BE 的中点 O，连接 OC， 则 OC⊥EB， 又∵AB⊥平面 BCE， ∴以点 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示．
则由已知条件有 C(1,0,0)，B(0， 3，0)，E(0，－ 3，0)， D(1,0,1)，A(0， 3，2)．
[导入新知]
1．线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，
则 l∥m⇔a∥b⇔ a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
2．线面平行 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝ (a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a⊥u⇔ a·u＝0 ⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 . 3．面面平行
求平面α的一个法向量．
[解] 因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， 所以―A→B ＝(1，－2，－4)，―A→C ＝(2，－4，－3)．
n·―A→B ＝0， 则有n·―A→C ＝0，
即x2－ x－2y4－y－4z3＝z＝0， 0，
得z＝0，x＝2y.令y＝1，则x＝2， 所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥―D→A ，n1⊥―A→E ，
即nn11··――DA→→EA ＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
得zx11＝＝－0，2y1.
令 z1＝2，则 y1＝－1， 所以 n1＝(0，－1,2)． 因为―FC→1 ·n1＝－2＋2＝0， 所以―FC→1 ⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE， 所以 FC1∥平面 ADE.
(2)因为C―1→B1＝(2,0,0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． 由 n2⊥―FC→1 ，n2⊥C―1→B1，得
[证明] 取 BE 的中点 O，连接 OC， 则 OC⊥EB， 又∵AB⊥平面 BCE， ∴以点 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示．
则由已知条件有 C(1,0,0)，B(0， 3，0)，E(0，－ 3，0)， D(1,0,1)，A(0， 3，2)．
[导入新知]
1．线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，
则 l∥m⇔a∥b⇔ a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
2．线面平行 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝ (a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a⊥u⇔ a·u＝0 ⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 . 3．面面平行
求平面α的一个法向量．
[解] 因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， 所以―A→B ＝(1，－2，－4)，―A→C ＝(2，－4，－3)．
n·―A→B ＝0， 则有n·―A→C ＝0，
即x2－ x－2y4－y－4z3＝z＝0， 0，
得z＝0，x＝2y.令y＝1，则x＝2， 所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥―D→A ，n1⊥―A→E ，
即nn11··――DA→→EA ＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
得zx11＝＝－0，2y1.
令 z1＝2，则 y1＝－1， 所以 n1＝(0，－1,2)． 因为―FC→1 ·n1＝－2＋2＝0， 所以―FC→1 ⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE， 所以 FC1∥平面 ADE.
(2)因为C―1→B1＝(2,0,0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． 由 n2⊥―FC→1 ，n2⊥C―1→B1，得
高中数学 3.2.1 空间向量与平行关系课件 新人教版选修
∴
n·S→C＝0，
x＋y－z＝0.
x＝－2y z＝－y，
令 y＝－1 得 x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．
1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的 般情况下，使用待定系数法求平面的法向量， 步骤如下：
(1)设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
量的概念及求法．(重点) 标
2.熟练掌握用方向向量、法向量证明 解
线线、线面、面面间的平行关系．(重 读
点、难点)
直线的方向向量与平面的法向量 【问题导思】
图 3－2－1 1．如图 3－2－1，直线 l∥m，在直线 l 上取两点 A、B，在直线 m 上取两点 C、D，向量A→B与C→D有怎样 的关系？
＝0⇔___a_1a_2_＋__b_1_b_2_＋__c1_c_2_＝__0___
面面 设 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v
平行
＝(a2，b2，c2)，则 α∥β⇔__u_∥__v_____ ___(_a_1，__b_1_，__c_1_)＝__k_(_a_2_，__b_2，__c_2_)__
∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的一个法向量．
(2)在平面 SCD 中，D→C＝(12，1,0)，S→C＝(1,1，－1)． 设平面 SCD 的法向量是 n＝(x，y，z)，则 n⊥D→C，n ⊥S→C.
所
以
n·D→C＝0
得 方 程 组 12x＋y＝0
【自主解答】 以点 A 为原点，AD、 AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0,0,0)， B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(12，0,0)，S(0,0,1)．
( 人教A版)2-1：3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系课件 (共31张PPT)
解析：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2) ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a与u既不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交．
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 则n·D→C＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－12. 又n·D→S＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝1，－12，12即为平面SCD的一个法向量．
探究三 利用空间向量证明平行关系 [典例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
G→En＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
n·G→E＝0， 则n·G→F＝0.
∴－－2xx－＋y＋y＋2zz＝＝00，.
∴xy＝＝zz.， ∴n＝(z，z，z)，令z＝1，此时n＝(1,1,1)， 所以平面EFG的一个法向量为(1,1,1)．
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有�
空间向量与平行关系(第1课时)课件北师大版选修
由条件知 B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4)，E (0,0,3)，F(0,1,4)， 设 BA＝a，则 A(a,0,0)，G(a2，1,4)． 所以 BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，B1D＝(0,2，－2)，EG ＝ a2，1，1， EF ＝(0,1,1)． 法一：∵ B1D·BA＝0， B1D·BD＝0＋4－4＝0， 所以 B1D⊥BA，B1D⊥BD. 因 BA∩BD＝B，因此 B1D⊥平面 ABD.
2．三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平 面上的 投影 ，则这两条直线垂直． 3．面面垂直的判定定理 若一个平面经过另一个平面的 一条垂线 ，则这两个
平面垂直．
一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由 一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平 面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关 系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．
[思路点拨] 本题可通过建立空间直角坐标系，利用 向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先 求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[精解详析] 法一：如图所示，建立空间直
角 坐 标 系 ，则 A(4,0,0)， M(2,0,4)， N(4,2,4) ，
D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)．
§
第
4
二
章
理解教材新知
考点一
第
把握 热点考向
考点二
一 课
考点三
时
应用创新演练
已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2 的法向量分别为n1，n2.
问题1：若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，则它们的 方向向量和法向量有什么关系？
高中数学同步教学课件 空间向量与平行关系
设PD上存在点N，使DN＝λDP，
则D→N＝λD→P＝λ(0,0,1)＝(0,0，λ)， 又P→B＝(1,1，－1)，A→N＝A→D＋D→N＝(－1，0，λ)， 若 PB∥平面 AGN，则向量P→B与A→N，A→G共面， 依据共面向量定理知，存在实数 m，n，使得P→B＝mA→N＋nA→G，
即(1,1，－1)＝m(－1，0，λ)＋n－23，23，13，
跟 踪 训 练 2 在 如 图 所 示 的 多 面 体 中 ， EF⊥ 平 面 AEB ， AE⊥EB ， AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点， 求证：AB∥平面DEG.
∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE. 又∵AE⊥EB， ∴EB，EF，EA两两垂直. 以{E→B，E→F，E→A}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 E－xyz.
例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q， R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点. 求证：PQ∥RS.
方法一 以{D→A，D→C，—DD→1}为正交基底，建立如 图所示的空间直角坐标系 D－xyz.
则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)， P→Q＝(－3,2,1)，R→S＝(－3,2,1)， 所以P→Q＝R→S，所以P→Q∥R→S，
即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0， 得xz11＝＝－0，2y1.
令z1＝2，得y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量. 由 n2⊥—FC→1 ，n2⊥C—1→B1，
得nn22··— C—F1C→→B11＝＝22yx22＋＝z02，＝0，
则D→N＝λD→P＝λ(0,0,1)＝(0,0，λ)， 又P→B＝(1,1，－1)，A→N＝A→D＋D→N＝(－1，0，λ)， 若 PB∥平面 AGN，则向量P→B与A→N，A→G共面， 依据共面向量定理知，存在实数 m，n，使得P→B＝mA→N＋nA→G，
即(1,1，－1)＝m(－1，0，λ)＋n－23，23，13，
跟 踪 训 练 2 在 如 图 所 示 的 多 面 体 中 ， EF⊥ 平 面 AEB ， AE⊥EB ， AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点， 求证：AB∥平面DEG.
∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE. 又∵AE⊥EB， ∴EB，EF，EA两两垂直. 以{E→B，E→F，E→A}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 E－xyz.
例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q， R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点. 求证：PQ∥RS.
方法一 以{D→A，D→C，—DD→1}为正交基底，建立如 图所示的空间直角坐标系 D－xyz.
则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)， P→Q＝(－3,2,1)，R→S＝(－3,2,1)， 所以P→Q＝R→S，所以P→Q∥R→S，
即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0， 得xz11＝＝－0，2y1.
令z1＝2，得y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量. 由 n2⊥—FC→1 ，n2⊥C—1→B1，
得nn22··— C—F1C→→B11＝＝22yx22＋＝z02，＝0，
空间向量与平行关系课件新人教A版选修
空间向量与平行关系课件新 人教A版选修
自学导引
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线_平__行__或__共__线__的向量． 想一想：直线的方向向量唯一吗？若不唯一，它们之间有 怎样的关系？ 提示 不唯一．直线的方向向量有无数条，它们都是平行 向量．
2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的_方__向__向__量__a__，则a叫做平面α的法向量． 想一想：平面的法向量唯一吗？若不唯一，它们之间的关系 怎样？ 提示 不唯一，平面的法向量有无数条，它们都是平行向量 ．
②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)； (3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列 条件判断平面α与l的位置关系； ①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)． [思路探索] 可先判断直线的方向向量与平面的法向量之 间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系． 解 (1)①∵a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)，
解 (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)，
∴a与u即不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交． (4)∵a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，
？ 提示 实际应用中，直线的方向向量即把线段看作有向线段时表
示的向量，平面的法向量一般可建系后用待定系数法求出．
名师点睛
1．平面法向量的求法 (1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作 为平面的法向量． (2)当已知平面α内两不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1， b2，b3)时，常用待定系数法求法向量：
自学导引
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线_平__行__或__共__线__的向量． 想一想：直线的方向向量唯一吗？若不唯一，它们之间有 怎样的关系？ 提示 不唯一．直线的方向向量有无数条，它们都是平行 向量．
2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的_方__向__向__量__a__，则a叫做平面α的法向量． 想一想：平面的法向量唯一吗？若不唯一，它们之间的关系 怎样？ 提示 不唯一，平面的法向量有无数条，它们都是平行向量 ．
②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)； (3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列 条件判断平面α与l的位置关系； ①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)． [思路探索] 可先判断直线的方向向量与平面的法向量之 间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系． 解 (1)①∵a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)，
解 (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)，
∴a与u即不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交． (4)∵a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，
？ 提示 实际应用中，直线的方向向量即把线段看作有向线段时表
示的向量，平面的法向量一般可建系后用待定系数法求出．
名师点睛
1．平面法向量的求法 (1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作 为平面的法向量． (2)当已知平面α内两不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1， b2，b3)时，常用待定系数法求法向量：
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D1
A1
z
B1
C1
F
D
E
B
C
y
x
A
利用向量解决立体几何问题的三步曲：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面. （化为向量问题） ②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关 系以及它们之间的距离和夹角的问题. （进行向量运算） ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （回到图形）
b ( a 2 , b 2 , c 2 ). n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 ③建立方程组 a x b y c z 0 n b 0 2 2 2
④解方程组，利用赋值法，给 x, y, z 中的一个变量 赋一特值.
量为 n (2 ,0 ,3 ).
(4)直线 l 的方向向量为 a (3, 2,1), 为 n (1, 2, 1).
平面 的法向量
例2：如图，已知正方体
ABCD A1B1C1D1的棱长为2，
E , F分别是 BB1 , DD1的中点.
证明： FC1∥平面 ADE.
探究：
直线可以用方向向量进行描述，平面呢？
问题1：经过定点A且与向量 n 平行的平面有几个？ 问题2：经过定点A且与向量 n 垂直的平面有几个？
定义：
直线 l , 取直线 l 的方向向量 n , 则向量 n 叫作 平面 的法向量. l
思考：平面的法向量有什么特点？ ①非零 ②有无数条且互相平行
练习：如图所示，正方体的棱长为1. （1）平面 ABCD 的一个法向量为 （2）平面 CDD1C1 的一个法向量为 （3）平面 AB1D1 的一个法向量为
A1
B1
(0, 0,1)
(0,1, 0)
z
C1
D1
A
D
y
x
B
C
①设平面法向量为 n ( x , y , z )
求法向量的一般步骤：
a (a1, b1, c1 ), ②求出平面内不共线的两个向量的坐标
作业：
学法：3.2 第一课时
Hale Waihona Puke 选修2-1第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法
第一课时 空间向量与平行关系
定义： 与直线平行或共线的非零向量叫作直线的 方向向量. z l b a d y c o
思考：方向向量有什么特点？ ①非零 ②有无数条且互相平行
x
试一试：若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向 量为( A ) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1)
小结：
1.直线的方向向量与平面的法向量 2.求法向量的一般步骤
3.利用方向向量与法向量判断和证明直线与平面的平 行或垂直.
4.利用向量解决立体几何问题的三步曲
课后思考题：
如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互 AB 2, AF 1, M是线段 EF上一点，问:当点 相垂直， M在什么位置时，AM∥平面 BDE ？
1 , 3 , 1 ),b(8 ,2 ,2 ). (1)直线 l1 , l2的方向向量分别为 a( (2)平面 , 的法向量分别为 (1,3,0), (3, 9,0).
例1：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系
(3)直线 l 的方向向量为 a (1, 4, 3), 平面 的法向
空间中平行垂直关系的向量表示：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 a, b 平面 , 的法向量分别为 m, n a m 时， 线线平行 l1∥l2 a ∥b a b l1∥ 或 l1 a m a m 0 线面平行 l1 ∥ 面面平行 ∥ m ∥ n m n 线线垂直 l1 l2 a b a b 0 线面垂直 l1 a ∥ m a m 面面垂直 m n m n 0
A1
z
B1
C1
F
D
E
B
C
y
x
A
利用向量解决立体几何问题的三步曲：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面. （化为向量问题） ②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关 系以及它们之间的距离和夹角的问题. （进行向量运算） ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （回到图形）
b ( a 2 , b 2 , c 2 ). n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 ③建立方程组 a x b y c z 0 n b 0 2 2 2
④解方程组，利用赋值法，给 x, y, z 中的一个变量 赋一特值.
量为 n (2 ,0 ,3 ).
(4)直线 l 的方向向量为 a (3, 2,1), 为 n (1, 2, 1).
平面 的法向量
例2：如图，已知正方体
ABCD A1B1C1D1的棱长为2，
E , F分别是 BB1 , DD1的中点.
证明： FC1∥平面 ADE.
探究：
直线可以用方向向量进行描述，平面呢？
问题1：经过定点A且与向量 n 平行的平面有几个？ 问题2：经过定点A且与向量 n 垂直的平面有几个？
定义：
直线 l , 取直线 l 的方向向量 n , 则向量 n 叫作 平面 的法向量. l
思考：平面的法向量有什么特点？ ①非零 ②有无数条且互相平行
练习：如图所示，正方体的棱长为1. （1）平面 ABCD 的一个法向量为 （2）平面 CDD1C1 的一个法向量为 （3）平面 AB1D1 的一个法向量为
A1
B1
(0, 0,1)
(0,1, 0)
z
C1
D1
A
D
y
x
B
C
①设平面法向量为 n ( x , y , z )
求法向量的一般步骤：
a (a1, b1, c1 ), ②求出平面内不共线的两个向量的坐标
作业：
学法：3.2 第一课时
Hale Waihona Puke 选修2-1第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法
第一课时 空间向量与平行关系
定义： 与直线平行或共线的非零向量叫作直线的 方向向量. z l b a d y c o
思考：方向向量有什么特点？ ①非零 ②有无数条且互相平行
x
试一试：若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向 量为( A ) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1)
小结：
1.直线的方向向量与平面的法向量 2.求法向量的一般步骤
3.利用方向向量与法向量判断和证明直线与平面的平 行或垂直.
4.利用向量解决立体几何问题的三步曲
课后思考题：
如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互 AB 2, AF 1, M是线段 EF上一点，问:当点 相垂直， M在什么位置时，AM∥平面 BDE ？
1 , 3 , 1 ),b(8 ,2 ,2 ). (1)直线 l1 , l2的方向向量分别为 a( (2)平面 , 的法向量分别为 (1,3,0), (3, 9,0).
例1：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系
(3)直线 l 的方向向量为 a (1, 4, 3), 平面 的法向
空间中平行垂直关系的向量表示：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 a, b 平面 , 的法向量分别为 m, n a m 时， 线线平行 l1∥l2 a ∥b a b l1∥ 或 l1 a m a m 0 线面平行 l1 ∥ 面面平行 ∥ m ∥ n m n 线线垂直 l1 l2 a b a b 0 线面垂直 l1 a ∥ m a m 面面垂直 m n m n 0