第8章湍流边界层中的动量传递
动量传递、热量传递与质量传递的类似性
动量传递、热量传递与质量传递的类似性摘要：对动量、热量与质量传递的类似性进行了介绍，并阐述了传递过程中的类似律。
关键字：似类似性；类律；牛顿流体Abstra ct : The articl e mainly introd ucesthe simila rityand descri bs a simila r law of the moment um, heat and mass transf er, Then Solves the turbul ent mass transf er coeffi cient basedon the applic ation of mass transf er and heat transf er simila rity.Keywor ds: Simila rity; law of simila rity; newton ian fluid传递现象是自然界和工程技术中普遍存在的现象。
通常所说的平衡状态，是指物系内具有强度性质的物理量，如温度、组分浓度等不存在梯度而言。
对于任何处于不平衡状态的物系，一定会有某些物理量由高强度区向低强度区转移。
传递过程特指物理量朝平衡转移的过程。
在传递过程中传递的物理量有动量、热量、质量和电量等。
动量传递——在垂直于实际流体流动方向上，动量由高速度区向低速度区的转移。
热量传递——热量由高温度区向低温度区的转移。
质量传递——物系中一个或几个组分由高浓度区向低浓度区的转移。
由此可见，动量、热量与质量传递之所以发生，是由于物系内部存在着速度、温度和浓度梯度的缘故。
动量、热量与质量传递是一种探讨速率的科学，三者之间具有许多类似之处，它们不但可以用类似的数学模型来描述，而且描述三者的一些物理量之间还存在着某些定量关系。
数值天气预报第八章_边界层模式及其参数化
∂w ∂w ∂w ∂w ∂p′ +u +v +w = −α 0 ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z
α′ 1 ⎡ ∂ ρ w′′u ′′ ∂ ρ w′′v′′ ∂ ρ w′′w′′ ⎤ + g− ⎢ + + ⎥ α0 ∂ ∂ ∂ x y z ρ⎣ ⎦
这就是中尺度数值模式中常采用的垂直运动方程的一种形式。
兰州大学大气科学学院 11
兰州大学大气科学学院 13
为了具体的给出参数化的公式，先把平均运动方程组中含有次网格尺度 通量项的方程改写如下：
du 1 ∂p 1 =− + f v+ dt ρ ∂x ρ
⎡ ∂τ xx ∂τ yx ∂τ xx ⎤ + + ⎢ ⎥ x ∂ ∂ y ∂ z ⎣ ⎦ 1 ∂p 1 ⎡ ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy ⎤ dv =− − fu+ ⎢ + + ⎥ ρ ∂y dt ∂ x ∂ y ∂ z ρ⎣ ⎦ 1 ∂p 1 ⎡ ∂τ xz ∂τ yz ∂τ zz ⎤ dw =− −g+ ⎢ + + ⎥ dt ∂y ∂z ⎦ ρ ∂z ρ ⎣ ∂x 1 ⎡ ∂H x ∂H y ∂H z ⎤ dθ θ = + + Q+ ⎢ ⎥ ∂y ∂z ⎦ dt c p T ρ ⎣ ∂x
9.1 平均运动方程及平均次网格尺度项
由于以下原因：
• 大气运动的湍流性，空气微团作极不规则的运动，虽满足瞬时运动方 程组，但其毫无意义 • 观测值是一定空间范围和一定时间间隔内的平均值
故应当研究物理量的平均值的变化规律。
以Φ 代表任一气象要素，在( x , y , z , t )坐标系中，其平均值 Φ 定义为
流体力学第八章(20160228)
8.3 边界层的动量积分方程
利用动量定理，建立了边界层的动量 代入并整理边界层的动量积分方程— 积分方程。 PCD PAB PAC Fx —卡门动量积分方程 d d 2 dp 单位宽度，则单位时间通过AB、CD、 dy dy 0 u u u dx 0 x dx 0 x dx AC 各个面上的动量分别为 边界层的动量积分方程的求解 P u dy
0
AB
边界层的动量积分方程有5个未知量， 流场速度：由势流方程求解；压强： 作用在ABCD上的外力。忽略质量力， 由伯努利方程求解；边界层厚度：动 只有表面力， 量方程求解；边界层内流速：边界层 内流速分布关系式；边界层内切应力： p 1 p dxd 0dx 边界层内切应力分布关系式。 F x dx
P AB dx u xdy P CD P AB 0 x x u xdy dx P AC u 0 0 x
0
x
u dy dx
0 2 x
d u0 dx
0
d u xdy dx
0
u 2 xdy
第八章 边界层理论基础和绕流运动
王浩 1251934
本章概论
8.1 边界层的基本概念
8.2 边界层微分方程普朗特边界层方程 8.3 边界层的动量积分方程
8.4 平板上的层流边界层
8.5 平板上的湍流边界层
8.6 边界层的分离现象和卡门涡街
8.7 绕流运动
8.1 边界层的基本概念
8.1.1边界层的提出
dp 0 dx
流体力学边界层理论
于是
τ 0 = 0.332
μρU 2 x
上式可看出平板层流边界层局部摩擦切应力与ｘ坐标的平方根成反比的规
律随着ｘ的增加而减小。
现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为Ｌ，板宽为ｂ，则平板单面总摩擦
阻力是：
∫ ∫ Rf =
Lτ
0
0bdx
=b
L
0.332
0
μρU 3 dx = 0.664 x
μρ LU 3
总摩擦阻力系数 C f 由下式确定：
2
则：
vx
(
x,
y)
=
U
⋅
1 2
ϕ ′(η )
设 U=25 km/h，ν=0.15cm2/s, x=3m,ｙ=5mm，
求：Vx＝？
解：U=25×1000/3600=6.95m/s, ν=0.0015m2/s,
x=3m, y=0.005m,
代入η中得：
η = 1 × 5×10−3 × 2
6.95 0.15 ×10−4
（11-14）式应采取如下形式：
ϕ(x, y) = xϕ( y ) x
（11-16）
返回为有量纲解时，不出现Ｌ，即 ：
ϕ = ν U x ϕ (η )
η=1y U 2 νx
（11-18）
通过以上分析，来求解下列形式的ψ。
⎡y⎤
ϕ=
νUL
x
⎢ ⎢
L⎢
⎢ ⎣
νL ⎥
U ⎥=
x⎥
L
⎥ ⎦
⎡ νUxϕ ⎢ y
Ｕ（起参数作用），ν和Ｕ不同时，同一空间点上ψ的值不同。
现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲化，不再出现ν和Ｕ。
选特征量：
Ｌ：ｘ的比例尺
流体力学中的湍流流动与边界层
流体力学中的湍流流动与边界层流体力学是研究流体运动规律的学科，其中的湍流流动和边界层是流体力学中的重要概念和研究内容。
本文将详细介绍流体力学中的湍流流动和边界层，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、湍流流动湍流是流体力学中流动状态的一种，具有不规则、随机、混沌等特点。
相比于层流流动，湍流流动更为复杂和难以预测，主要体现在流速和压力的不规则变化上。
湍流流动的产生与流体的运动粘滞性、速度梯度和流速等因素有关。
当流体速度达到一定值时，流体内的涡旋和涡核开始发生不断变化与演化，从而形成湍流。
湍流的特点包括涡旋的旋转、涡核的运动、速度的乱流扩散等。
湍流流动在自然界和工程领域中广泛存在。
例如，在大气环流中，气候系统中的飓风和龙卷风就是湍流现象的典型表现。
此外，湍流流动还广泛应用于船舶、飞机、汽车等交通工具的设计和流体动力学的研究中。
二、边界层边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体运动中与边界接触的区域。
边界层中的流体速度和压力分布具有明显的变化，可以用来描述流体在壁面附近的流动特性。
边界层主要有两种类型：层流边界层和湍流边界层。
层流边界层是指流体在边界附近以有序的方式流动，流速梯度较小，流体粘性起主导作用。
湍流边界层是指在湍流环境下，流体在边界附近的混乱流动。
边界层的存在对流体运动过程起到了重要作用。
首先，边界层中的摩擦力会对物体表面施加阻力，影响物体的运动。
其次，边界层中的速度分布对流动的稳定性和流体的传热性能产生重要影响。
三、湍流流动与边界层的关系湍流流动与边界层密切相关。
在边界层内，由于速度和压力的不规则变化，往往会导致流动变为湍流。
特别是当流速较大或受到外界扰动时，湍流的发展更加明显。
湍流边界层的存在使得流体在边界附近的运动更为复杂，涡旋和涡核的形成与演化对流动的稳定性和传热传质过程产生了影响。
同时，湍流边界层的存在也为流体的混合和动量交换提供了机会，使得流体的运动更为强烈和混乱。
在实际工程应用中，湍流边界层的研究对于流体动力学分析、流体传热传质等方面具有重要意义。
8第八章湍流简介
利用前面推导建立的瞬时函数求时均时的性质，可建立雷诺方程为：
注意Leabharlann 是一个张量：称雷诺应力张量，反映的是湍流涡团所输运动量，可以证明是一个对称 张量，记 ，有 ，由于湍流涡团的尺度远比分子制度大，湍 流涡团脉动运动的尺度也远比分子运动自由程大。所以一般雷诺应力远 大于粘性应力。更为关键的是引入的雷诺应力是未知的，我们尚无法描 述，这样在雷诺方程组中就多出来了六个未知数，使的原来封闭的N-S方 程变的不封闭了。这也是百余年来湍流研究的困难所在。
一、湍流的连续方程
二、湍流的平均动量方程—雷诺方程
认为湍流特征时间的尺度远小于非定常过程的特征时间尺度，这样用 时均法同样可以描述湍流的非定常过程，而时间平均也是雷诺最早使用的 概念。
湍流的N-S方程可以写成（瞬时值流场）：
由于
，所以不可压N-S方程可写成：
其中：
对N-S方程求时均：
结论：湍流雷诺应力大于粘性应 力，湍流阻力大于层流阻力。
由于涡的诱导作用，流向涡向下 游突出部分被抬起，被抬起部分 进入速度较高的区域，使这种扰 动进一步被放大，使涡丝出现峰 与谷的不同部分。在速度剖面上 形成一个拐点，造成剪切层的不 稳定。当上抬涡峰被进一步拉伸 时，很快会导致层流状态的崩溃。 这种崩溃首先是形成“湍斑”， 其周围被层流包围，产生后即被 携往下游。由于“湍斑”前部以 0.9U移动，后部以0.5U移动，致 使逐渐发展成剪头状并与原生点 成22.5°夹角。随着湍斑区域扩大 并互相合并，最终发展成完全湍 流状态。这一过程称为猝发。
湍流与分子运动论的比较
项目 1.基元数 2.基元数性质 3.基元数数目 4.特征长度 5.基元数速率 6.运动性质 7.边界影响 8.驰豫时间 分子运动论 分子 稳定，大小一定 常数 平均自由程，只随温压改变 平均速率只随温度变化，不 是空间位置的显函数 随机运动 分子形状与数目不随边界形 状改变 短，没有记忆 湍流 旋涡 大小不一定，不稳定 变数 混合长度，随边界形状改变 涨落速度随空间位置不同起 伏很大 有拟序结构 旋涡结构、形状和数目随边 界形状急剧改变 长，有记忆
湍流知识笔记
湍流基础知识0 引言Reynolds 在1883年在圆管流动中发现了自然界中两种不同的流动状态，第一种为流体运动比较规则，各层之间不会发生掺混，称为层流；第二种为流体运动呈现高度不规则状态，流体运动过程中各层之间发生掺混，称之为湍流。
在湍流流动中，物理量呈现高频的不规则运动，每个物理量都是随机函数，这种随机性主要具有两方面特点：1）在相同实验，或者外界条件相同的重复实验，空间中某点物理量随时间的变化关系不具有重复性；2）在相同试验，或者外界条件相同的重复实验，取出足够多样本进行统计平均，所得到的平均量与样本无关。
在实际问题中，与高频无规则而且无法充分的脉动相比，人们更关系湍流流动中可重复的平均量的变化。
在实际应用中主要存在三种平均方法：1）样本平均：取出足够多样本进行平均；2）时间平均：在一次实验中，取物理量在某时间段随时间变化关系，并对其进行时间平均，上述时间段应该是远大于脉动时间尺度，而又远小于平均运动时间尺度的物理量，由于在湍流运动中，平均运动和脉动的时间尺度通常相差较大，因此该值在理论上存在；时间平均方法适用于定常流动情况，例如湍流边界层流动；3）空间平均：在一次实验中，取物理量在某空间范围的变化关系，并对其进行空间平均，上述区域应该是远大于湍流脉动的空间尺度，并且远小于平均运动的空间尺度；空间平均适用于均匀流动情况，如管流。
各态历经假设：假定在多次重复实验中出现的所有可能状态，在一次实验中（时间足够长或空间范围足够大）即可以相同概率出现，那么采用一次实验即可完成湍流统计平均量的研究，这样就大大减少了实验次数。
采用上述平均方法，那么湍流变量就可以分解为平均量与脉动量两部分，我们关系的是平均量的演化关系，而脉动量则需要更关系其平均值，实际上这种平均方法就可以知道，单一脉动量的平均值为0，不过脉动量之间的乘积的平均量就不为0，而且，这些值还会对平均量的运动产生影响，从而使得湍流运动与层流运动产生本质不同，那么这种不同到底是什么原因呢，雷诺通过将NS 方程进行时间平均的方式进行了说明，并由此开始了湍流的研究。
大气边界层中的湍流能量传递机制
大气边界层中的湍流能量传递机制大气边界层是地球大气圈中最底部的一层，它与地表直接接触，并且包含了地表至大气上层的过渡区域。
在这个区域内，湍流成为了重要的能量传递机制。
本文将探讨大气边界层中湍流能量传递的机制。
一、大气边界层概述大气边界层是地球上大气圈中最接近地表的一部分，通常高度在数十至数百米。
它的特点是湍流较为活跃，并且存在着明显的热量、动量和湍流能量传递过程。
二、湍流的定义与性质湍流是指流体在不稳定条件下，流速和压力波动产生的不规则运动状态。
湍流具有三个基本性质：不可预测性、不可逆性和能量耗散。
三、湍流能量传递的机制湍流能量传递是指由大气中的湍流运动将能量从一个空间尺度转移到另一个更小或更大的空间尺度。
湍流能量传递的机制主要有两种：级联机制和辐散机制。
1. 级联机制：级联机制是湍流能量从一个空间尺度传递到另一个空间尺度的过程。
在大气边界层中，湍流动量从大尺度下传递到小尺度，并最终以热能形式被耗散。
这个过程中，湍流涡旋会相互作用、合并或分裂，从而实现能量的传递。
2. 辐散机制：辐散机制是湍流能量从小尺度释放到大尺度的过程。
在大气边界层中，湍流会在小尺度上产生湍动能量，并通过湍流辐散将这部分能量传递到大尺度上。
这个过程中，湍流涡旋会扩散或连接，实现能量的传递。
四、湍流能量传递的影响因素湍流能量传递的机制受到多种因素的影响，包括地表粗糙度、大气稳定度、风速等。
1. 地表粗糙度：地表的粗糙度会影响湍流能量传递机制。
较粗糙的地表会增加湍流的能量损耗，使得能量传递到小尺度时更快地耗散。
2. 大气稳定度：大气的稳定度对湍流能量传递有重要影响。
在稳定的大气条件下，湍流能量易于耗散，能量传递的效率较低。
3. 风速：风速是湍流能量传递的重要参数。
较高的风速会增加湍流的活动性，促进能量的传递。
五、湍流能量传递的应用与意义湍流能量传递机制的研究对于气象学、空气污染控制、风能利用等领域具有重要意义。
对湍流能量传递机制的深入理解可以帮助我们更好地预测气象现象，改善空气质量，开发可再生能源。
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第八章湍流边界层中的动量传递首先明确可用雷诺数表述层流与湍流的转折，以及该转折下的雷诺数的具体数值；其次，指出层流与湍流在微分方程的表述上的差异体现在湍流应力项，普朗特混合长度模型和Van Driest 模型均被用来解决湍流应力项；Couette 流动假设对于求解微分方程起了至关重要的作用；还讨论了有散逸和表面粗糙度的处理。
§8.1边界层流动现象的物理分析流动：是成群的流体微团的运动。
边界层内流动过程中的小扰动随机出现，由于小扰动的能量有限，因此仅仅会影响到个别流体微团的初始运动状况，但也因此而引发整体微团的流动状态。
层流：个体流体微团的流动方向，在整体上具有一致性的流动现象。
个别流体微团因小扰动而引发的初始流动方向的改变，因为受到与相邻流体微团之间存在着的粘性力作用的影响，使得这种外界扰动的作用随着时间的推移而减小，最终使流动稳定。
因此，层流流动的特点，很大程度上归因于流体微团之间存在着的粘性力，当层流受到外界扰动时，粘性力具有使层流恢复到初始未扰动状态的效应。
湍流：个体流体微团的流动方向，在整体上不具有一致性的流动现象。
虽然小扰动影响的依然是个别流体微团，但此时微团之间的粘性力的作用，已经不足以消除小扰动造成的影响；反之，个别受扰动流体微团的不稳定流动，又将影响到周围流体微团，进而造成更大范围内的流体微团的不稳定流动。
分析这种不稳定流动现象形成的因素，只能是因为流体微团的流动动能而引发，即所谓的流体的惯性力。
因此，湍流流动的特点，在于流体微团自身的惯性力，它使得局部扰动扩大，造成整体流动的不稳定。
雷诺数：雷诺数就是惯性力与粘性力之比，μρux==粘性力惯性力Re 因此人们预料：层流流动的稳定性，在很大程度上和雷诺数的数值有关，稳定层流流动和低雷诺数值相联系。
流动沿程的定性结构：由雷诺数的定义可知，边界层流动的初始前缘，必然是层流流动；以后，随着流动长度的增加，惯性力渐增，随机随处存在的小扰动而引发的个别微团的不稳定流动，也因此有逐渐扩大的可能性；当惯性力远大于粘性力后，湍流流动最终形成。
在由层流最后扩展到完全湍流的过程中，必然存在一个过渡区，在这个区域内，惯性力和粘性力具有相同的数量级。
因此，流动沿程的定性结构为：首先是层流区，其次是过渡区，最后是湍流区。
临界雷诺数：因此，我们可以用雷诺数来描述流体流动的结构。
于是必然存在某一临界雷诺数，该值确定了层流流动的上限或湍流流动的下限。
现在通常讨论的是层流流动的上限。
临界雷诺数的一般性判据： 实验现象：① 无压力梯度/光滑表面/简单层流：长度雷诺数=300,000—500,000时，发生过渡； ② 零压力梯度/层流：长度雷诺数<60,000时，仍保持稳定层流结构； ③ 管道中层流：水力直径雷诺数<2300时，层流流动仍然稳定。
上述临界雷诺数是在一定实验条件下获取的。
希望建立与实验条件基本无关的关于临界雷诺数的一般性判据，假定过渡现象是局部的（小扰动随处存在，但只有在临界雷诺数出现的地方，才会出现过渡现象），则局部雷诺数判据具有一般性，这时我们已经忽略了平板流和管道流，以及诸如压力梯度、光滑表面等的实验差异。
如果采用动量厚度雷诺数，对于平板外部层流边界层，∞=u x ρμδ664.02 ∞∞==u x u x ρμρμδ4409.0664.0222 μδρ4409.022∞=u x 则局部的临界雷诺数判据为，000,60Re ,==∞μρx u x 临界 ∞=u x ρμ000,60 联立以上两式，消去x ，得，4409.0Re 4409.01000,602222δμδρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞u65.162000,604409.0Re 2=⨯=δ§8.2湍流边界层沿高程分布的定性结构实验观察：我们越过过渡区而直接讨论充分发展的湍流区。
工程设计中，通常假设过渡区的长度与层流区相同，并且假定摩擦系数、对流传热系数等均从层流区连续变化到充分发展的湍流区。
实验观察到充分湍流区至少存在两种层段（两层模型）： ① 粘性起支配作用的层段：它位于紧靠壁面的附近，这里的动量传递与热量传递主要依靠粘性剪切和分子传导两种简单的机制予以计算；实质上是层流边界层的一种继续发展，当到达临界局部雷诺数时，该点变为局部不稳定，因而出现局部边界层的破坏，并最终导致底层保持恒定厚度雷诺数的情形出现。
② 充分湍流层段：它是边界层的最大组成部分，这里的速度与时间有关，可以观察到“漩涡”运动，并且动量与热量的传递率，一般比由粘性剪切和分子传导所传递的大很多。
其内在原因就是相对于平均速度的法向速度分量的存在，使得流体微团至少在瞬时在法向上有着运动，该运动的流体携带有动量和能量，由此引发动量与热量传递率的大幅增加。
根据图10-2——P198Fig.10-2中关于混合长度的实验测量，我们可以把湍流边界层中沿高程的层段分布得更为细致一些：① 在()99025.00δ-：底层层段：紧靠壁面的区域，粘性起主导作用； ② 在()9916.0025.0δ-：高正比层段：湍流开始发展，与长度基本无关； ③ 在()9932.016.0δ-：抛物线层段：湍流发展变缓，与长度基本无关； ④ 在()997.032.0δ-：低正比层段：湍流不再发展，与长度基本无关；⑤ 在()990.17.0δ-：边缘波动层段：不同长度下数据有波动，表明边缘形状的不规则。
湍流边界层沿高程分布的细致结构图10-2给出的实验测量数据——P198Fig.10-2，明确指出湍流边界层的高程分布可分解为5个层段：粘性底层层段、正比层段Ⅰ、过渡层段、正比层段Ⅱ、边缘层段。
§8.3普朗特混合长度理论● 湍流“封闭” 问题的数学表述对于边界层的层流区域，其微分方程为，()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂y u y x P X u G y u G x u y x μθρ 对于边界层的湍流区域，其微分方程为，()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂''2'v u y u x y u y x P X u G y u G x u y x ρρμθρ上式中代表湍流应力在流动方向上导数的项()2'u xρ∂∂一般被发现可以忽略不计，但被视为视在湍流剪切的导数项()''v u yρ∂∂却决不能忽略不计，它是方程中起支配作用的项。
于是上式可以重新写为，()()()''v u y y u y x P X u G y u G x u y x ρμθρ∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂ 与边界层层流的动量微分方程相比，边界层湍流的动量微分方程多了()''v u yρ∂∂项。
因此，为了进行湍流边界层的计算，我们或是需要关于''v u 项的数据资料，或是需要计算该项的一种理论。
这就是称之为湍流“封闭”的问题。
● 关于''v u 项——普朗特混合长度理论在高正比层段[()9916.0025.0δ-]要解决这样的问题：随着u 的增大，流体微团的惯性力也逐渐增强，这就导致脉动速度'',v u 的增大，视在湍流剪切的导数项()''v u yρ∂∂在这时决不能忽略不计，因为它在方程中起支配作用。
我们需要计算该项的一种理论，以解决湍流方程的“封闭”问题。
普朗特混合长度理论是几种方案中的一种，在所有提议的方案中，最简单的仍然是这种理论。
首先，为了和yuv u ∂∂∝''相一致，这种理论认为在高正比层段内，最大脉动速度可以表述为，y u lu ∂∂='最大 和 yu kl v ∂∂='最大22''''22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⋅=y u l k v u v u 最大最大 混合长度定义式如下，22''⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=y u l v u其次，我们依然面临要假定l 值的问题。
鉴于高正比层段[()9916.0025.0δ-]在离壁面不太远的区域里，普朗特推论，离开壁面的距离是唯一有意义的长度尺寸。
假定l 和该距离有关，令比例系数为κ，则有，y l κ= 以上就是普朗特混合长度理论的全部内容。
是否正确，依赖于边界层中不同点测量的结果来证明κ是不是一个常数。
图10-2表示沿表面五个不同测点上l 的一些典型实验测量。
在壁面附近区域，实验数据看来的确可以很好地用上式来表示，并且κ（通常称为冯.卡门常数）所取的值大概为0.41。
显然，普朗特混合长度理论很好地表述了高正比层段内的脉动速度的增长情况，22''41.0⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=y u y y u y v u κ 高正比层段内，湍流的漩涡强度开始发展和增强，粘性影响已经不复存在。
在较外面的边界层部分[抛物线层段：()9932.016.0δ-]，混合长度与离开壁面的距离不在保持常数，而是呈下降的抛物线关系，κ值是y 的函数。
这表明抛物线层段内的脉动速度增长得到减缓，()22''⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=y u y y y u y v u κκ ()41.0≤y κ 同时粘性的影响也大为降低。
本书对这一层段没有给出明确的数学描述。
在更外层的低正比层段[()997.032.0δ-]，混合长度不再与离开壁面的距离成正比，而表现为一条近乎水平的直线，与边界层的厚度成正比，9999085.0δλδ==l 此时，29922''085.0⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=y u y u l v u δ 低正比层段就是充分湍流区段，对应着如下的微分方程，01=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂+∂∂dxPd y u y y u v x u uM ρε 低正比层段以外的边缘波动层段，因普朗特混合长度所计算的脉动速度而有剧烈变化，()299''⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=y u y v u δκ ()085.0≥y κ 与势流边界的接触及其不稳定性导致边缘的波动。
§8.4壁面定律关于''v u 项——动量和热量传递率的定性解释在第四章中，已经将湍流流动速度处理成规则速度和脉动速度的矢量和，其中脉动速度强烈地与时间有关。
既然已经把''v u 定义为视在湍流应力，仿照切应力，视在湍流应力似乎可以表示为，yu v u yu v u M∂∂-=⇒∂∂∝ε'''' 于是湍流边界层的微分方程可以进一步改写为，()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂y u y y u y x P X u G y u G x u M y x ρεμθρ 引入质量方程，并且在如下条件下——定常、忽略体积力——考虑上式，有，01=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-∂∂+∂∂dx P d y u y y u v x u uM ρερμ相同条件下的层流边界层微分方程的表述为，01=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂+∂∂dxdPy u y y u v x u uρρμ 以上两式相比，我们看到：湍流边界层中所以有动量与热量传递率的大幅度增加，关键在于有了M ε项，即湍流扩散贡献能与分子扩散贡献进行比较。