线性代数高斯消元法 ppt课件

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高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)

1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置；（2）以非零常数k乘以方程组中某个方程；（3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形，得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的

第3章3-01高斯消元法-列主元法ppt课件

.
顺序高斯消去法的计算量
消元中各步需乘除法次数
第i 步
乘法次数
1
(n 1)2
2
(n 2)2
n 1
合计
1
n (n 1)(2 n 1) 6
除法次数
n 1 n 2
1
n (n 1) 2
.
3.1.2 列主元高斯消去法
为什么列选主：数值不稳定
当高斯消去法的主元
a
(k kk
)
0
时 , 尽管“当
A
非奇异时，
0,
a(2) 22
0,
,
a(n) nn
0
消元过程
mik ai(jk1)
a(k) ik
a(k) kk
(k
1,2,
a(k) ij
mik ak(jk)
, n 1) (i, j k 1,k 2,
,n)
bi(k`)
b(k) i
mikbk(k )
.
回代过程
上三角形方程组 A(n)x b(n) 求解过程
列选主元高斯消去法的优越性，不增加求解过程的运算量，而大大减小误差。
经过 k 1次消元后得到增广矩阵 ( A(k) | b(k) ) ，在此增广
矩阵的第
k
列的元素
a(k kk
)
,
a(k) k 1,k
,
a(k nk
)
中选取
绝对值最大的
一个，记为
a(k) rk
，然后交换
(
A(k )
|
b(k)
)
中的第
k
第3章线性代数方程组的数值解法
3.1 高斯消去法 3.2 矩阵三角分解法 3.3 平方根法 3.4 向量和矩阵的范数 3.5 迭代法 3.6 迭代法的收敛性 3.7 方程组的形态和误差分析

高斯消元法与矩阵的初等变换.ppt

6
1

2
2020/1/1
线性代数教学课件
18
step 6. 将矩阵化成 B 型矩阵 2 r3
1 2 5 3 6 14
0 0 0 0
1 0
0 0
7 2 1
6 2
7 2

r3

r2
;
6 r3 r1
1 2 5 3 0 2
第二章矩阵
第一节高斯消元法与矩阵的初等变换第二节矩阵的运算第三节特殊矩阵第四节逆矩阵第五节分块矩阵第六节利用初等变换求逆矩阵
第七节矩阵的秩
2020/1/1
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1
第一节高斯消元法与矩阵的初等变换
一消元法解方程
二、矩阵的定义三矩阵的初等变换
四方程组的求解问题五利用 Gauss 消员元法求解线性方程
2020/1/1
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23
非齐次线性方程组(1)的解的讨论
A (A d) B
(B
1 0 0 c1r1 c1n d1 0 1 0 c2r1 c2n d2

d ) 0 0 1 crr1 crn dr
0 0 0 b3
方程组(3)是方程组(2)同解的梯形方程组。
如果 b 3 方程组(3)无解，从而方程组(2)无
解。当 b 3 时，方程组(3)改写为
Βιβλιοθήκη x1 x2 2 3x3 1 x3
其中变量 x3 可自由选取，
令 x3 k 代入上式，得到
2020/1/1
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(5)

3-1 高斯消元法

3. 相容、不相容相容、
方程组有解称为相容；方程组有解称为相容；相容方程组无解称为不相容方程组无解称为不相容. 不相容
Henan Agricultural University
二、高斯消元法
1. 线性方程组的消元解法与其增广矩阵的行变换是等价的 2. 研究线性方程组增广矩阵的行变换，得到方程组研究线性方程组增广矩阵的行变换，的相容性理论＞＞＞
Henan Agricultural University
x1−2x2 +3x3 −x4 =1 例1 求解非齐次线性方程组 3x1 −x2 +5x3 −3x4 = 2 . 2x1 + x2 +2x3−2x4 =3 解对增广矩阵B施行初等行变换, 得
1 −2 3 −1 1 r2 −3r1 1 −2 3 −1 1 B=3 −1 5 −3 2 ~ 0 5 −4 0 −1 2 1 2 −2 3 r3 −2r1 0 5 −4 0 1
−2 3 −1 1 ~ 0 5 −4 0 −1. 0 0 0 0 2 可见R(A)=2, R(B)=3, 故方程组无解.
r3 −r2 1
Henan Agricultural University
x1 +x2 −3x3 −x4 =1 例2 求解非齐次线性方程组 3x1 −x2 −3x3+4x4 =4 . x1 +5x2 −9x3 −8x4 =0 解因为
解 (3)当λ=−3时, R(A)=R(B)=2, 方程组有无限多个解. 这时,
−2 1 1 0 1 0 −1 −1 B = 1 −2 1 3 ~0 1 −1 −2 , 1 1 −2 −3 0 0 0 0

线性代数教学课件3

阶梯形线性方程组(B)与原线性方程组(A)同解.
在线性方程组(B)中, 将第三式的x3= -2代入第二个方程,得x2= 2; 再将x2= 2, x3= -2代入第一个方程,得x1= 1.
所以原方程组的解为: x1=1, x2=2, x3= -2.
■
由阶梯形方程组逐次求得各未知量的过程,称为回代
过程, 线性方程组的这种解法称为高斯消元法.
a1r a1r 1 a2r a2r 1
a1n d1 a2n d2
于是结得论同:解2方. d程r+组1=0: , 则x1 同aˆ1,解r 1x方r 1 程组有aˆ1n x解n , dˆ1
A 00
arr arr 1
arn dr
从x2 而aˆ2原r 1x方r 1程组Aaˆ2Xn x=n b dˆ2
00
00
x1
1
x2
2
x3
2
■
100 1 010 2 001 2
13
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例2. 解线性方程组
x1 3x2 x3 2x4 x5 4 3x1 x2 2x3 5x4 4x5 1 2x1 4x2 x3 3x4 5x5 5 5x1 5x2 3x3 8x4 9x5 6
解: 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 化成阶梯形矩阵, 再化成行最简阶梯形矩阵.
为求解线性方程组(1), 必须解决以下一些问题:
(i) 线性方程组(1)是否有解? (ii) 如果线性方程组(1)有解, 那么它有多少个解? (iii) 当线性方程组有解(1)时, 如何求出它的全部解?
4
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定义 m个方程、 n个未知量的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1

《应用数值分析》课件数值分析5.3线性方程组的数值解法

Gaussian Elimination:
Step k：设ak(kk) ，0计算因子
mik
a(k) ik
/
a(k kk
)
(i k 1, ..., n)
且计算
a ( k 1) ij
b( k 1) i
a(k) ij
m
ik
a
(k kj
)
b(k ) i
mik bk(k )
(i, j k 1, ..., n)
n
bi (bi
aij * b j ) / aii
j i 1
2024/11/23
线性方程组的直接解法
11
计算量 /* Amount of Computation */
由于计算机中乘除 /* multiplications / divisions */ 运算的时间远远超过加减 /* additions / subtractions */ 运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。 (n k) 次
(k)
kk
k ,k1
0
a ( k 1) k 1,k 1
a(1) 1n
a(2) 2n
a(k) kn
a ( k 1) k 1,n
0
a ( k 1) n,k 1
a ( k 1) nn
第 6 章不动点理论及应用第 1 页共 1 页
b(1) 1
b(2) 2
b( k ) k
b( k 1) k 1
b( k 1) n
xn
b(n) n
/
a(n) nn
n
b( i ) i
a
(i ij

数值分析(05)高斯消元法

下三角形方程组的求解顺序是从第一个方程开始，按从上到下
的顺序，依次解出：x1 , x2 , , xn , 其计算公式为：

x1 xi

b1 / a11
i 1
(bi
k 1
aik
xk
)
/
aii
(i 2, 3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
数值分析
数值分析
二、顺序高斯消元法

0
1
2
3
0 1 1 0
a (2) 22

1
0, m32

a (2) 32
/ a22(2)
1 /(1)

1
1

L2
=

1

,L2 L1
Ax

L2 L1b完成第二步消元,得
1 1
1
(3)
A

0
0
2 1 0
3 2 3
6 3 3
ann xn bn
数值分析
数值分析
数值求解方法有以下三条途径
直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算可求出精确解。
迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限次迭代过程求解。有限次截断得近似解。
极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次
模函数的极小化问题，即变分法（经n
次运算，理论上得精确解）要求A
1 3 2 6
n 3, a11 1 0
m21 a21 / a11 2 / 1 2
m31 a31 / a11 1 / 1 1
1

数值计算方法课件：ch1-3线性方程组的Gauss消元法

a11
0,
a(2) 22
0,
,
a(k kk
)
0
时才能应用，但是在消元过程中可能出现
a(k) kk
0 的情况，这时消元就无法进行；即
使
a(k) kk
0
，但很小时，用其作除数，会导致
其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩
散，最后导致计算解不可靠。
4 计算方法第一章解线性方程组的直接法
例：
0.0001xx11
a(k) ik
(i
k
,
, n)
中绝对值最大者为主元，
2）全选主元：在变换到第k步时，选择
a(k ij
)
(i,
j
k,
, n)
中绝对值最大者为主元
16 计算方法第一章解线性方程组的直接法
引理1.1
按自然顺序消元过程得到的
a11,
a(2) 22
,
,
a(k kk
)
均不为零的充分必要条件是顺序主子矩阵 A11, A22, Akk 非奇异，并且
录。
7 计算方法第一章解线性方程组的直接法
例用主元消去法求解线性方程组
x1 x2 x3 6 12x1 3x2 3x3 15 18x1 3x2 x3 15
计算过程中保留3位小数
8 计算方法第一章解线性方程组的直接法
列主元消去法
定理1.3 设A非奇异，则存在置换矩阵P，以及单位下三角阵L和上三角阵U，使 PA=LU 并且这种三角分解可由列主元消去法得到。
det( Akk ) a11a2(22)
a(k) kk
由上述引理，当k=n-1时得到下面的结果
定理1.1 按自然顺序消元过程可以实现的充分必要条件是A的顺序主子矩阵 A11, , An1,n1 均为非奇异矩阵.

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x1 4x2 3x3 3
① ② ③
② 2① ③ ①
x1
x2 3x2
3x2
2x3 3x3
x3
1 0 2
① ② ③
2 1 1 2 1 1 2 1 2 8 6 6 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2
解
(2) 可知方程组有无穷多解，即对任意的 x2，有
方
x1 2 x2 7，
程组
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2
x2，
x 3 2 .
其中 x2 为自由未知量。
x1 2 7 即 x2 k1 0 , ( k 任意)
x3 0 2
注意体会求解“结果”的写法及表达方式。
10
§4.2 高斯(Gauss)消元法
线
P114 定义
对线性方程组进行等价(或同解)变形：
性 4.2 方
(1) 交换两个方程；
程
(2) 将某个方程 k 倍 (k0)；
组
(3) 将一个方程的 k 倍加到另一个方程上。
称之为线性方程组的初等变换 .
2
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第引例求解线性方程组
四章
2xx11
x2 x3 2 ① x2 2x3 1 ②
线
2x1 8x2 6x3 6 ③
性
方程组
② 2①
③ ①
x1
x2 3x2
3x2
2x3 3x3
x3
1 0 2
① ② ③
“回代”求解得：
x1 2, x2 1, x3 1.
① ② ③ 0.5
③ ①
2xx11
x2 2x3 1 ① x2 x3 2 ②
x1 4x2 3x3 3 ③
启示在用消元法求解的过程中，很自然地出现了线性方程组解的三种可能情况: 无解；惟一解；无穷多解。
11
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第三、线性方程组求解结果的一般性讨论补
四章
对于给定的线性方程组 A X = b，
利用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵：
线
性
c11 c12 c1r c1n d1
b)221
1 1 8
1 2 6
621,
则对方程组的变换完全可以化为对矩阵 A~的变换。
4
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第四章
引例(续1)
2xx11
x2 x3 2 ① x2 2x3 1 ②
2x1 8x2 6x3 6 ③
线
性方程组
① ② ③ 0.5
2xx11
x2 2x3 1 x2 x3 2
7
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第
2x1 2x2 3x3 1
四章
例
求解线性方程组
x1
x2
2
x1 2x2 x3 2
线
性
方程
解
A ~(Ab)
2 1
23 1 0
1 初等行变换
2
1 0
0 1
0 0
1 3
组
1 2 1 2
0 0 1 3
x1 1，
故方程组有惟一解
x
2
3，
6
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第二、高斯(Gauss)消元法
四章 1. 高斯消元法
线
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形,
性方
(2) 通过回代求出相应的解。
程
组 2. 高斯-若当消元法
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形, (2) 再进一步化为行标准形， (3) 直接写出相应的解。
方
0 c22 c2r c2n d2
程组
A~
(A
b)
0
0
0 0
crr crn dr
0
0
dr
1
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
12
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第三、线性方程组求解结果的一般性讨论
四章
对于给定的线性方程组 A X = b，
第四
例
解线性方程组
2xx11
2x2 4x2
3x3 5x3
1， 4，
章
3x1 6x2 8x3 4.
线性方程
解
A ~(Ab)12
2 4
3 5
14 初等行变换
10
3 6 8 4
0
2 0 0
0 1 0
72 1
组
相应地，线性方程组的最后一个方程变为 0 = 1 ,
这是一个矛盾方程，因此原方程组无解。
x 3 3 .
8
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第
x1 2x2 3x3 1，
四章
例
解线性方程组 2x1 4x2 5x3 4， 3x1 6x2 8x3 5.
线
性方程组
解
(1) A~(Ab)12
2 4
3 5
1初等行变换 4
1 0
3 6 8 5
0
2 0 0
0 1 0
7 2 0
相应地，线性方程组变为
x1 2x2 7, x3 2.
进一步，线性方程组变为
x1 2x2 7, x3 2.
9
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第
x1 2x2 3x3 1，
四章
例
解线性方程组 2x1 4x2 5x3 4， 3x1 6x2 8x3 5.
线性
5
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第四章
引例(续2)
x1 x2 3x2
2x3 3x3
1 0
① ②
3x2 x3 2 ③
线
性方程组
③ ①
x1 x2 3x2
2x3 3x3
1 0
2x3 2
① ② ③
x1
x2
2 1
x3 1
1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2 1 1 2 1 0 3 3 0 0 0 2 2 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1
x1
x2 3x2
2x3 3x3
1 0
2x3 2
继续“消元”得：
x1
x2
2 1
x3 1
3
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第启示四章
线性方程组
事实上，从上述对线性方程组的求解过程中可知：真正参与运算的是线性方程组的系数项和常数项，而未知量并不需要参与运算。
令
A ~(A
相应地，线性方程组变为
线
性方程组
c11
x1
cc1211x 2 c022 x 2
c12 c22
c1r xcr1r c1cn1xnn d 1 c 2 r xcr2r c 2cn2xnn d 2
d1 d2
A~ (A
b)
0 0
0 0
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第四
§4.2 高斯(Gauss)消元法
章
一、线性方程组的初等变换
线
性二、高斯(Gauss)消元法
方程
三、线性方程组求解结果的一般性讨论
组
1
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第一、线性方程组的初等变换
四章定义在线性方程组的求解过程中, 可使用如下三种变换手段