选列主元的高斯消去法实验报告2
高斯列主元消去法实验报告
《数值计算方法》实验报告专业：年级：学号：姓名：成绩：1.实验名称实验2高斯列主元消去法2. ：用Gauss列主消去法求解线性方程组0.001*X1+2.000*X2+3.000*X3=1.000-1.000*X1+3.217*X2+4.623*X3=2.000-2.000*X1+1.072*X2+5.643*X3=3.0003.实验目的a.熟悉运用已学的数值运算方法求解线性方程—Gauss列主消去法；b.加深对计算方法技巧的认识，正确使用计算方法来求解方程；c.培养用计算机来实现科学计算和解决问题的能力。
4.基础理论列主元消去法：a.构造增广矩阵b.找到每列绝对值的最大数；c.行变换；d.消去；e.回代5.实验环境Visual C++语言6.实验过程实现算法的流程图：7.结果分析a.实验结果与理论一致；b.由于数值设置成双精度浮点型，所以初值对计算结果影响不大；c.运用程序能更好的实现计算机与科学计算的统一和协调。
8. 附录程序清单#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){int n=3,i,j,k,p;double a[4][4];double b[4];double x[4];double m[4][4];double temp;a[1][1]=0.001; a[1][2]=2.000; a[1][3]=3.000; b[1]=1.000;a[2][1]=-1.000; a[2][2]=3.1712; a[2][3]=2.000; b[2]=2.000;a[3][1]=-2.000; a[3][2]=1.072; a[3][3]=5.643; b[3]=3.000;for(i=1;i<=n-1;i++){temp=a[i][i];p=i;for(j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(a[j][i])>temp){temp=a[j][i];p=j;}if(temp==0)return 0;if(p!=i) //换行{for(j=1;j<=n;j++)a[0][j]=a[i][j];for(j=1;j<=n;j++)a[i][j]=a[p][j];for(j=1;j<=n;j++)a[p][j]=a[0][j];b[0]=b[i];b[i]=b[p];b[p]=b[0];}for(j=i+1;j<=n;j++){m[j][i]=a[j][i]/a[i][i];for(k=i;k<=n;k++)a[j][k]=a[j][k]-m[j][i]*a[i][k];}}if(a[n][n]==0)return 0;x[n]=b[n]/a[n][n];for(i=n-1;i>=1;i--)//回代{temp=0;for(j=i+1;j<=n;j++)temp=temp+a[i][j]*x[j];temp=b[i]-temp;x[i]=temp/a[i][i];}for(i=1;i<=n;i++)//输出结果{printf("输出结果为：x[%d]=%lf ",i,x[i]);}printf("\n");return 0;}。
高斯消去法的实验报告
高斯消去法的实验报告高斯消去法的实验报告引言：高斯消去法是一种用于解线性方程组的常用方法，它通过矩阵的行变换将方程组转化为简化的上三角矩阵，从而求得方程组的解。
本实验旨在通过实际操作，验证高斯消去法的有效性和可靠性。
实验步骤：1. 准备工作：在实验开始前，我们需要准备一个包含n个未知数和n个方程的线性方程组。
这个方程组可以通过手工构造或从实际问题中得到。
2. 构建增广矩阵：将方程组写成增广矩阵的形式，其中矩阵的左边是系数矩阵，右边是常数向量。
通过这样的构建，我们可以将方程组的运算转化为矩阵的运算，更加方便和高效。
3. 主元素选取：在高斯消去法中，我们需要选取主元素来进行消元操作。
主元素的选取可以采用多种策略，如选取绝对值最大的元素或者选取对角线元素。
在本实验中，我们选择选取对角线元素作为主元素。
4. 消元操作：通过行变换，将主元素所在的列下方的元素消为0。
这一步骤需要反复进行，直到得到上三角矩阵。
5. 回代求解：通过回代求解，我们可以得到方程组的解。
回代求解是从最后一行开始，逐步求解未知数的值，直到求解出所有未知数。
实验结果：通过实验，我们得到了以下结论：1. 高斯消去法能够有效地解决线性方程组。
无论方程组的规模如何，高斯消去法都可以将其转化为上三角矩阵，并求解出方程组的解。
2. 高斯消去法的计算复杂度较低。
相比于其他解线性方程组的方法，如迭代法或矩阵求逆法，高斯消去法的计算复杂度较低，适用于大规模的方程组求解。
3. 主元素选取对解的精度有一定影响。
在实验中，我们发现主元素的选取对解的精度有一定的影响。
如果主元素选取不当，可能会导致解的误差较大。
结论：高斯消去法是一种有效且可靠的解线性方程组的方法。
通过本实验，我们验证了高斯消去法的有效性和可靠性。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点和要求，选择适当的主元素选取策略，以获得更准确的解。
同时，我们也要注意高斯消去法的局限性，如主元素选取对解的精度的影响，以及方程组可能存在无解或多解的情况。
计算方法-实验三列主元高斯消去法
计算方法课程设计报告实验三高斯列主元消去法姓名：黄仁化学号：031010151551017班级：计算机科学与技术2004班日期：二○○六年六月十日一、实验目的：1、掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤。
2、 培养编程与上机调试能力。
二、高斯列主元消去法的基本思路与计算步骤：列主元高斯消去法计算步骤：将方程组用增广矩阵[]()(1)ij n n B A b a ⨯+==表示。
步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =-（1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+使得,max k i k ikk i n a a ≤≤=（2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）。
（3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，,,1j k n =+。
（4） 消元，对,,i k n =，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++，计算.ij ij ik kj a a l a =-步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）。
（2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =-，计算,11/ni i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫=-⎪⎝⎭∑三：程序流程图四：程序清单：function X=uptrbk(A,b)% A 是一个n 阶矩阵。
% b 是一个n 维向量。
% X 是线性方程组AX=b 的解。
[N N]=size(A);X=zeros(1,N+1);Aug=[A b];for p=1:N-1[Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p)));C=Aug(p,:);Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:);Aug(j+p-1,:)=C;if Aug(p,p)==0'A是奇异阵，方程无惟一解'breakendfor k=p+1:Nm=Aug(k,p)/Aug(p,p);Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1);endend% 这里用到程序函数backsub来进行回代。
高斯消去算法实验报告
高斯消去算法实验报告1. 实验背景高斯消去算法，也称为高斯消元法，是一种用于求解线性方程组的常用方法。
通过进行一系列的行变换，将方程组化简为阶梯矩阵，从而得到方程组的解。
本实验旨在使用高斯消去算法，解决给定的线性方程组。
2. 实验过程2.1 算法原理高斯消去算法的基本思想是通过进行行变换，将线性方程组化简为阶梯矩阵。
具体流程如下：1. 对于每一列，从对角线开始，选取主元（即该列中绝对值最大的元素），并将该主元所在的行与对角线所在的行交换位置。
这样可以避免除法中的误差积累。
2. 通过进行行变换，将主对角线以下的元素全部清零。
具体方法是，对于每一行i，通过消去第i+1行到最后一行的第i列元素，从而将下三角矩阵的元素清零。
3. 倒序遍历每一行，通过行变换，将主对角线以上的元素清零。
具体方法是，消去第i-1行到第1行的第i列元素，从而将上三角矩阵的元素清零。
4. 将矩阵化简为阶梯矩阵。
2.2 实验步骤1. 取得待解线性方程组的系数矩阵A和常数向量b。
2. 将矩阵A和向量b合并为增广矩阵Ab。
3. 通过高斯消去算法，将增广矩阵化简为阶梯矩阵。
4. 根据化简后的阶梯矩阵，求解线性方程组。
3. 实验结果以一个3阶线性方程组为例进行实验，方程组如下：2x + 3y + z = 93x + 2y + 4z = 124x + 3y + 6z = 18按照操作步骤，我们将系数矩阵A和常数向量b合并为增广矩阵Ab：markdownA = [[2, 3, 1],[3, 2, 4],[4, 3, 6]]b = [9, 12, 18]Ab = [[2, 3, 1, 9],[3, 2, 4, 12],[4, 3, 6, 18]]然后，通过高斯消去算法，将增广矩阵Ab化简为阶梯矩阵：markdownAb = [[2, 3, 1, 9],[0, 1.5, 2.5, 6],[0, 0, 0, 0]]根据化简后的阶梯矩阵，我们可以得到方程组的解：x = 1y = 2z = 0因此，该线性方程组的解为x=1，y=2，z=0。
数值分析实验报告高斯消元法和列主消元法
《计算方法》实验指导书 实验三、高斯消元法和列主消元法一、实验目的：1. 通过matlab 编程解决高斯消元发和列主消元发来解方程组的问题， 加强编程能力和编程技巧，要熟练应用matlab 程序来解题，练习从数值分析的角度看问题进而来解决问题。
更深一步体会这门课的重要性，练习动手能力，同时要加深对数值问题的理解，要熟悉matlab 编程环境。
二、实验要求：用matlab 编写代码并运行高斯消元法和列主消元发来解下面的方程组的问题，并算出结果。
三、实验内容:用高斯消元法和列主消元法来解题。
1.实验题目：用高斯消元法和列主消元法来解下列线性方程组。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+−−−=+−−=+−−=−+−.142,16422,0,13143214321432432x x x x x x x x x x x x x x x 2.实验原理高斯消元法：就是把方程组变成上三角型或下三角形的解法。
上三角形是从下往上求解，下三角形是从上向下求解，进而求得结果。
而列主消元法是和高斯消元法相类似，只不过是在开始的时候找出x1的系数的最大值放在方程组的第一行，再化三角形再求解。
3.设计思想高斯消元法：先把方程组的第一行保留，再利用第一行的方程将其余几行的含有x1的项都消去，再保留第二行，同理利用第二行的方程把第二行以下的几行的含有x2项的都消去，以此类推。
直到最后一行只含有一个未知数，化为上三角形，求得最后一行的这个未知数的值，再回带到倒数第二个方程求出另一个解，再依次往上回带即可求出这个方程组的值。
而列主消元法与高斯消元法类似，只不过在最开始时找出x1项系数的最大值与第一行交换再进行与高斯算法相似的运算来求出方程组的解。
4.源代码高斯消元法的程序：f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend在工作窗口输入程序：A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1];b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X] =gaus (A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.运行结果为：RA =4RB =4n =4X =-0.50000.5000.列主消元发的程序：function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend在工作窗口输入程序：A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1];b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.运行结果为：RA =4RB =4n =4X =-0.50000.5000实验体会：通过这次实验我了解了高斯消元法和列主消元方法的基本思想，虽然这两个程序的编写是有点困难的，但运行起来还是比较容易的，解决了不少实际问题的计算。
数值分析实验报告(包括高斯消去、二分法、牛顿迭代法)
for k=1:N
x=(a+b)/2;
fx=feval(f,x);fa=feval(f,a);
if abs((b-a)/2)<e || abs(fx)<e
disp('the number of iterations is');k
f=input('please enter a function:f(x)=');
x0=input('please enter the initial value:x0=');
e=input('please enter error:e=');
N=input('please enter the largest number of iterations:N=');
disp('the approximate solution is');x
disp('f(x) is');fx
disp('the number of iterations is');k
return
else
x0=x;
end
end
end
disp('The maximum number of iterations is reached, stop calculation');
开课学院、实验室：实验时间：2014年1月1日
课程
名称
数值分析基础性实验
实验项目
名称
数值计算算法及实现
计算方法实验报告习题2(浙大版)
计算方法实验报告实验名称： 实验2 列主元素消去法解方程组 1 引言工程实际问题中，线型方程的系数矩阵一般为低阶稠密矩阵和大型稀疏矩阵。
用高斯消去法解Ax =b 时，可能出现)(k kk a 很小，用作除数会导致中间结果矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使结果不可靠；采用选主元素的三角分解法可以避免此类问题。
高斯消去法的消去过程，实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A =LU ，并求解Ly =b 的过程。
回带过程就是求解上三角方程组Ux =y 。
所以在实际的运算中，矩阵L 和U 可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法。
采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度。
2 实验目的和要求通过列主元素消去法求解线性方程组，实现P A =LU 。
要求计算解x ，L ，U ，整形数组IP (i )，(i =1,2,…,)（记录主行信息）。
3 算法原理与流程图（1）原理将A 分解为两个三角矩阵的乘积A =LU 。
对方程组的增广矩阵[]b A A ,=经过k-1步分解后，可变成如下形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→-------------n nnnjnkk n n n i in ij ik k i i i k kn kj kk k k k k k n k j k k k k k k k n j k k n j k k b a a a l l l b a a a l l l b a a a l l l y u u u u l l y u u u u u l y u u u u u u A1,211,211,211,1,1,11,12,11,122221,2222111,1,11,11211第k 步分解，为了避免用绝对值很小的数kku 作除数，引进量1111 (,1,,;1,2,,) ()/ (1,2,,;1,2,,)k kj kj km mj m k ik ik im mk kk m u a l u j k k n k n l a l u u i k k n k n -=-=⎧=-=+=⎪⎪⎨⎪=-=++=⎪⎩∑∑11(,1,,)k i ik im mkm s a l u i k k n -==-=+∑，于是有kk u =ks 。
高斯消元实验报告
实验报告一Gauss消去法求解线性方程组实验一、实验内容分别用顺序Gauss消去法和列选主元gauss消去法求解方程组=二.算法原理对一般的形如的线性方程组，记增广矩阵.Guass消去法包括消元过程和回代过程，消去过程实际上是把通过有限步的初等变换（即把的某行的一个倍数加到另一行或变换的某两行），最终化成上三角阵，图示如下：而回带过程是自下而上求解上三角方程组在消元过程中将扔放在的位置上，具体算法过程（不做行交换的消元）：三、变量说明：n 方程组的阶数.A[3][3] 系数矩阵A.B[3] 常数项Bm[3][3] 经过Guass消元法后的系数矩阵i,j,k 随机变动量x[3] 3个变量X1,X2,X3四.程序设计#include<stdio.h>#include<math.h>main(){int n=3,i,j,k=0;doubleA[3][3]={{0.2641,0.1735,0.8642},{0.9411,-0.0175,0.1463},{-0.8641,-0.4243,0.0711}};double B[3]={-0.7521,0.6310,0.2501};double m[3][3];double X[3]={0,0,0};double s;for(k=0;k<=n-1;k++){for(i=k+1;i<n;i++){m[i][k]=A[i][k]/A[k][k];for(j=k+1;j<n;j++)A[i][j]=A[i][j]-m[i][k]*A[k][j];B[i]=B[i]-m[i][k]*B[k];}}for(i=n-1;i>=0;i--){s=0;for(j=i;j<n;j++)s+=A[i][j]*X[j];X[i]=(B[i]-s)/A[i][i];}for(i=0;i<3;i++)printf("%f\n",X[i]);}五.上机结果六.上机体会。
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选列主元的高斯消去法实验报告
令狐烈
一，实验目的：
（1）掌握gauss消去法的基本算法思想和学会编写其MATLAB代码。
（2）掌握选列主元的gauss消去法的基本算法思想和学会编写其MATLAB代码。
（3）分析选列主元的gauss消去法相比于gauss消去法的优点。
（4）对选列主元的gauss消去法和gauss消去法进行误差分析
二，实验原理
对于非奇异矩阵A，求解线性方程组Ax=b可以使用gauss消去法进行。
但是，gauss消去法要求系数矩阵A的顺序主子式非奇异。
为此做出改进：每次消元之前，首先选出第i列（i<=k）中最大的作为列主元，这样，就能保证消元乘数
不仅不被系数矩阵A的顺序主子式非奇异的限制，还这样就能有效的防止误差的传播与放大。
算法：
（1）对增广矩阵[a b]进行第i次消元，首先选取列主元a(i,k)=Max|a(I,i:n),交换第i行与第k行；
（2）以列主元进行消元，计算公式为
a(k,i)= a(k,i)/a(i,i); (k=i+1:n)
a(k,j)=a(k,j)-a(k,i)*a(i,j); (j=i:n)
(3)回代法计算结果，计算公式为：
x(n)=b(n)/a(n,n);
x(p)=[b(p)-∑a(p,j)x(j)]/a(p,p) (j=p+1:n)
注：gauss（a,b）为选取列主元gauss消去法，gauss2（a,b）为gauss消去法。
三，实验MATLAB程序代码
实验的MATLAB程序代码如下
四，实验结果与分析
1，两种算法对系数矩阵的顺序主子式奇异线性方程的效果分析
实验结果（如图一）对于顺序主子式奇异的系数矩阵，使用gauss消去法（gauss2（a,b））不能解出，而使用选列主元的gauss消去法（gauss（a,b））能够解出。
主要是选列主元的gauss消去法每次都选出最大的列主元，从而保证了每次用作除数的a(I,i)≠0.
图一：两种算法对系数矩阵的顺序主子式奇异线性方程的效果
2，两种算法对舍入误差的放大效应分析
用随机生成函数random('Normal',1,7,10,10)生成10*10矩阵，分别gauss消
去法和选列主元的高斯消去法解出，并用公式er(x)=||x−x∗||
||x||≤cond(a)∗||r||
||b||
估计其误差，
结果如下图。
图二：两种算法对舍入误差的放大效应分析
可以看到，对同一个方程组，选列主元的高斯消去法得到的结果中范数norm(r=a*ans'-b,inf)= 6.6613e-016<高斯消去法得到的结果中范数norm(r=a*ans'-
b,inf)= 7.6605e-015,两者相差一个数量级，由公式 er(x)=||x−x∗||
||x||≤cond(a)∗||r||
||b||
可知，
对应的误差也就相差一个数量级。
选列主元的高斯消去法因为每次消元之前，首先选出第i列（i<=k）中最大的作为列主元，这样，就能保证消元乘数小于1，因此选列主元的高斯消去法能有效的防止误差的传播与放大。
3，对于恶性矩阵：希尔伯特矩阵，选列主元的高斯消去法的表现:
由以下代码生成希尔伯特矩阵：
for i=1:n
for j=1:n
a(i,j)=1/(i+j-1);
end
end
取方程组Hx=ones(n,1)；
当n=5, 结果为：
norm(a*ans'-b,inf)= 8.7311e-011；
er(x)=||x−x∗||
||x||≤cond(a)∗||r||
||b||
= (4.7661e+005*1.4211e-014)/ 2.2361=3.0290*-09；
可见误差比较小；结果还可以接受。
当n=10, 结果为：
norm(a*ans'-b,inf)=8.7311e-011；
er(x)=||x−x∗||
||x||≤cond(a)∗||r||
||b||
= (1.6025e+013*8.7311e-011)/ 3.1623=4.4720*+02；
此时，误差已经大到无法接受。
对于这样的情况，需要用以下方法改进：
（1）算出残余矩阵r= b -a*x;
（2）解出a*y=r;
（3）X’=x+y;
但是这种改进只对病态不是很严重的矩阵有帮助，对病态严重的矩阵，比如对于H10,我们有：
改进后，解得：
x=(x+y) = 1.0e+006 *[ -0.0000 0.0010 -0.0238 0.2402 -1.2611 3.7834 -6.7260 7.0006 -3.9379 0.9237],
对应误差为
er(x)=||x−x∗||
||x||≤cond(a)∗||r||
||b||
= (1.6025e+013* 8.0036e-011)/
3.1623=
4.0558*+02,
可见改进并无很好效果。
五，实验心得
（1）通过具体的实验，我真正明白了gauss消去法的原理，而且明白了选列主元的gauss消去法对于减小系数矩阵的要求和减少舍入误差的传
播方面的优点。
（2）由于MATLAB我是才开始接触，因此在编程的时候碰到了许多问题，花了不少时间，但是也让我对MATLAB的使用有了进一步的了解。