椭圆(讲义)

椭圆（讲义）
知识点睛
一、曲线与方程
1． 曲线C 上的点与二元方程()0f x y =，的对应关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2． 求曲线的方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合
{|()}P M p M =；
（3）用坐标表示条件p (M )，列出方程()0f x y =，； （4）化方程()0f x y =，为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 二、椭圆及其标准方程
我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 如图，设( )M x y ，是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为( 0)c -，，( 0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的和等于2(0)a a >．
由椭圆的定义，椭圆就是集合
12{|||||2}P M MF MF
a =+=．
因为12|| ||MF MF =
=
所以
2a =．
为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得
2a =
将这个方程两边平方，得
22222()44()x c y a x c y ++=--+，
整理得
2a cx -=
上式两边再平方，得
4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++，
整理得
22222222()()a c x a y a a c -+=-，
两边同除以222()a a c -，得
22
2221x y a a c
+=-． ① 由椭圆的定义可知，22220a c a c a c >>->，即，所以．
由图可知，1212|||| |||| ||PF PF a OF OF c PO =====，，
令||b PO ==那么①式就是22221(0)x y a b a b
+=>>．
椭圆的标准方程：22
221(0)x y a b a b
+=>>．
三、椭圆的几何性质
精讲精练
1. 已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点(12)M -，
，Q 是线段PM 延长线上的一点，且||||PM MQ =，则点Q 的轨迹方程是（ ） A ．210x y ++= B ．250x y --= C ．210x y --=
D ．250x y -+=
2. 已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2．
一条曲线也在l 的上方，它上面每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．
3. 过原点的直线与圆22650x y x +-+=相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的
轨迹方程．
4. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）4a =，1b =，焦点在x 轴上； （2）4a =
，c =，焦点在y 轴上； （3）10a b +=
，c =．
5. 如图，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标
等于右焦点的横坐标，纵坐标等于短半轴长的2
3
，则椭圆的离心率为__________．
6. 设e 是椭圆
2
2
14x y k +=的离心率，且1(1)2
e ∈，，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(03)，
B ．16
(3)3
，
C ．16
(03)()3
+∞，，
D ．(02)，
7. 设1F ，2F 分别是椭圆22
1259
x y +
=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是1F P 的中点，O 为坐标原点，||3OM =，则点P 到椭圆左焦点的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．3
D ．7
8. 已知椭圆的方程是22
21(5)25
x y a a +
=>，它的两个焦点分别为 1F ，2F ，且12||8F F =，过点1F 的直线AB 交椭圆于A ，B 两点，
则△2ABF 的周长为（ ） A ．10
B ．20
C
．
D
．
9. 已知点P 是椭圆22
1259
x y +
=上的一点，M ，N 分别是两圆： 22(4)1x y ++=和22(4)1x y -+=上的点，则||||PM PN +的
最小值、最大值分别为（ ） A ．9，12 B ．8，11
C ．8，12
D ．10，12
10. 如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点．线段
AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点 Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？
11.点M与定点(20)
F，的距离和它到定直线x = 8的距离之比是1:2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
12.如图，从椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>上一点P向x轴作垂线，
垂足恰为左焦点
1
F．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴
正半轴的交点，且AB
∥OP
，
1
||
F A=
13.如图，已知椭圆
22
1
259
x y
+=，直线l：45400
x y
-+=．椭圆上是否存在一点，
它到直线l的距离最小？最小距离是多少？
14.如图，椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右焦点(30)
F，，过点F的直线交椭圆
E于A，B两点，若AB的中点坐标为(11)
-
，，求E的方程．
回顾与思考
________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________
【参考答案】 知识点睛
三、对称轴：x 轴、y 轴； 对称中心：原点；
2a
2b
2c
(01)，
22a b -
精讲精练
1．D
2．21
(0)8
y x x =≠
3．2230x x y -+=
4．（1）22
116x y +=；（2）22116
y x +=；
（3）2213616x y +=或22
13616
y x +=
5
．
3
6．C 7．A 8．D9．C
10．点Q的轨迹是以O，A为焦点，以r为长轴长的椭圆．
11．点M的轨迹方程是
22
1 1612
x y
+=，
轨迹是以(2，0)、(-2，0)为焦点，以8为长轴长的椭圆．
12．
22
1 105
x y
+=
13
14．
22
1
189
x y
+=
11。