2016-2017数学必修五模块测试A卷

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2016-2017学年高中数学人教A必修5章末综合测评1 Word版含解析

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若sin A ＋cos A ＝712，则这个三角形是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】若A ≤90°，则sin A ＋cos A ≥1>712，∴A >90°. 【答案】 A2．在△ABC 中，内角A 满足sin A ＋cos A >0，且tan A －sin A <0，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4【解析】由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4>0.∵A 是△ABC 的内角，∴0<A <3π4. ① 又tan A <sin A ，∴π2<A <π. ②由①②得，π2<A <3π4.【答案】 C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】A ．(8,10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8)【解析】设1,3，a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A <12＋32＝10，32＝1＋a 2－2×a cos B <1＋a 2， ∴22<a <10. 【答案】 B4．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D ．22【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2. 【答案】 C5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2 D ．2π3【解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .∴C ＝π3. 【答案】 B6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解析】由sin B sin C ＝cos 2A2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B－C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )图1A ．210 mmB ．200 mmC ．198 mmD ．171 mm【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°，在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长，即为DE 的长．【答案】 A8．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 【答案】 C9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【解析】由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又0°<A <180°，∴A ＝120°. 【答案】 C11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13B.12C.34 D ．0【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等．∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等． ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ， ∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ()图2A．23＋1 B．23－1C.3－1 D．3＋1【解析】在△ABC中，BC＝AB sin∠BAC sin∠ACB＝100sin 15°sin(45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD中，sin∠BDC＝BC sin∠CBDCD＝50(6－2)sin 45°50＝3－1，又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为．【解析】∵cos C＝a2＋b2－c22ab，且∠C为钝角．∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2<c2.【答案】a2＋b2<c214．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝.【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】 2π315．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于，AC 的取值范围为．【解析】设A ＝θ⇒B ＝2θ. 由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)．【答案】 2 (2，3)16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.图3【解析】根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m. 在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°， ∴MN ＝1003×32＝150(m)．【答案】 150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【解】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【解】设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?【解】如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，21sin 60°＝AD sin α， ∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010.∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)若△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2.又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3.化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝9，即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0，解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)，故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。

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模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32. 【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( ) A ．T >0 B ．T <0 C ．T ＝0 D ．T ≥0【解析】法一取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1，则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.法二由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc＝ab －c 2abc .∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0，应选B. 【答案】 B11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1【解析】由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ， ∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0. ∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2. 【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n 1·q n (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n＋1n (n ＋1)2.【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1； (3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。

2016-2017高二必修5数学模块考试试卷

2016-2017高二必修5数学模块考试试卷副标题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设变量x，y满足约束条件：y≥xx+3y≤4x≥−2,则z=|x−3y|的最大值为()A.10B.8C.6D.42.lim n→∞(1n+1−2n+1+3n+1−⋯+2n−1n+1−2nn+1)的值为()A.-1B.0C.12D.13.已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是()A.ab＞acB.c(b-a)＜0C.cb2＜ab2D.ac(a-c)＞04.则（）A. B. C. D.5.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A.2n+1−13B.2n+1−23C.22n−13D.22n−236.等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知(a8+1)3+2013(a8+1)=1，(a2006+1)3+2013(a2006+1)=−1，则下列结论正确的是（）A.d＜0，S2013=2013B.d＞0，S2013=2013C.d＜0，S2013=-2013D.d＞0，S2013=-20137.已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得m a n=4a1，则1m +4 n的最小值为（）A.3 2B.53C.256D.不存在8.下列选项一定正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则9.已知数列3，3，15，…，3(2n−1)，那么9是数列的()A.第12项B.第13项C.第14项D.第15项10.已知不等式组x≥0y≥0y≤x+1y≤3−x表示的平面区域为D，则区域D的面积为（）A.1B.32C.52D.7211.已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式f(x)e＞2的解集为（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-∞，2）D.（2，+∞）12.f（x）是定义在R上恒不为0的函数，对任意x、y∈R都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1=12，a n=f(n)(n∈N∗)，则数列{a n}的前n项和S n为（）A.S n=12−12n+1B.S n=1−12n+1C.S n=1−12nD.S n=12−12n二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n-3（n∈N*），若对任意的n∈N*，都有a n2+a n+12≥20n-15成立，则a1的取值范围是______ ．14.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n2+a n，用[x]表示不超过x的最大整数，则[1 a1+1+1a2+1+…+1a2015+1]= ______ ．15.已知实数满足约束条件，则的最小值是．16.已知数列{a n}、{b n}，且通项公式分别为a n=3n-2，b n=n2，现抽出数列{a n}、{b n}中所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新的数列{c n}，则c10= ______ （填数字）．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，满足关系3t S n-(2t+3)S n-1=3t(t＞0，n=2，3，4…)(1)求证：数列{a n}为等比数列；(2)设数列{a n}的公比为f(t)，作数列{b n}，使b1=1，b n=f(1b n−1)，(n=2，3，4…)，求b n (3)求T n=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2n b2n+1)的值．18.已知数列{a n}满足奇数项a1，a3，a5，…成等差数列{a2n-1}（n∈N+），而偶数项a2，a4，a6，…成等比数列{a2n}（n∈N+），且a1=1，a2=2，a2，a3，a4，a5成等差数列，数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）求S n．19.已知DABC的周长为，且sin A＋sin B＝sin C，（1）求边AB的长；（2）若DABC的面积为,求角C的度数.20.在2008年北京奥运会垒球比赛前，中国教练布置战术时，要求击球手与连接本垒游击手的直线成15°的方向把球击出．根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍．问按这样的布置，游击手能不能接着球？21.(12分)已知数列{}为等差数列，且＝－6，＝0.(1)求数列{}的通项公式；(2)若等比数列{}满足＝－8，，求数列{}的前n项和．22.设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1、x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]．(1)求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b，c)的区域；(2)证明：−10≤f(x2)≤−12。

2016-2017学年高中数学模块综合检测(二)新人教A版必修5

模块综合检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( ) A ．45° B ．30° C ．60°D ．30°或150°解析：选B 由正弦定理得2sin 45°＝2sin B，解得sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝30°.2．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )A.916B.94 C ．2D.98 解析：选D ∵0<x <32，∴32－x >0.∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32－x 22＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时取“＝”，∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98.3．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第4项为( )A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1解析：选D ∵x 2－2x －3<0，∴－1<x <3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b，则a <bD ．若a <b ，则a <b解析：选D 对于A ，不清楚c 的正负情况，所以不能确定a >b ；对于B ，a 2>b 2⇒|a |>|b |，a ，b 大小不确定；对于C ，不清楚ab 的正负，不能随意将不等式两边同时乘ab 且不等式不变号；对于D ，由于a ≥0，b ≥0，由平方法可知将a <b 两边平方，得a <b .故选D. 6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－x 2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m ≤n解析：选A ∵a >2，x <0， ∴m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －1a －2＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y ≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2解析：选A 可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z 过点(5,3)时，z 取得最小值－7，故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A 当x >0时，f (x )≥x 2可化为－x ＋2≥x 2，解得0<x ≤1；当x ≤0时，f (x )≥x 2可化为x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤0，故不等式f (x )≥x 2的解集为{x |－1≤x ≤1}，即x ∈[－1,1]，故选A.9．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )A.20B.21C.22D.61解析：选B 设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为42＋52－2×4×5×12＝21.10．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ≤0 C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>0解析：选C 由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象知，当a >0，Δ≤0时，对任意实数x ，都有y ≥0，由此知a >0，Δ≤0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为∅. 11．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[1，＋∞) B ．[－1,0] C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：选B 1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a ≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0C ．若a 3>0，则S 2 015>0D ．若a 4>0，则S 2 014>0解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q2 014>0，所以A 不正确；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2 014＝a 1q2 013>0，所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0，当q ≠1时，S 2 015＝a 1－q 2 0151－q，又1－q 与1－q2 015同号，所以C 正确．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，a ＝20，则b 的值为________．解析：由题意，得sin A ＝1213，所以b ＝a sin A ·sin B ＝201213×35＝13.答案：1314．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________. 解析：根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S 9－7)，解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.答案：－7815．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：1316．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：连接BD .∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°， ∴∠CBD ＝∠BDC ＝30°.∵∠ABC ＝120°，∠CBD ＝30°， ∴∠ABD ＝90°， ∴AB ⊥BD .在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin 30°·sin 120°＝2 3.∴S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BCD ＝12·AB ·BD ＋12BC ·CD ·sin 120°＝12×4×23＋12×2×2×32＝5 3. 答案：5 3三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数y ＝x ＋2x 2＋x ＋1(x >－2)．(1)求1y的取值范围．(2)当x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)，故1y ＝x 2＋x ＋1x ＋2＝t －2＋t －＋1t＝t 2－3t ＋3t ＝t ＋3t－3≥23－3，∴1y的取值范围为[23－3，＋∞)．(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1y最小，此时t ＝3t ，t ＝3，x ＝3－2，y ＝23＋33，∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin B ＋sin C ＝2sin A . (1)求边BC 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin A ，求角A 的大小．解：(1)由正弦定理，得AC ＋AB ＝2BC . ∵AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， ∴2BC ＋BC ＝2＋1，BC ＝1.(2)∵S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝16sin A ，∴AC ·AB ＝13.又AC ＋AB ＝2，由余弦定理，得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB＝AC ＋AB2－2AC ·AB －BC22AC ·AB＝2－23－123＝12，∴A ＝60°.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2. ∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n－λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则b n ＋1b n＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝－λ1－2(1－2n )＝(2－λ)(2n－1)，∵S n ＝2n－1(n ∈N *)，∴λ＝1.20．(本小题满分12分)航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180 km/h ，飞机在A处先看到山顶的俯角为15°，经过420 s 的水平飞行后到达B 处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)解：如图，过C 作CD ⊥AB 的延长线于D.∵A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝180 000×4203 600＝21 000(m)．∵在△ABC 中，BCsin A ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC sin ∠CBD ＝BC ×sin 45° ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)≈10 500(1.7－1)＝7 350(m)．因此，山顶的海拔高度约为10 000－7 350＝2 650(m)．21．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24， ∴q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1， ∴a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)∵a n ＝13n ，∴b n ＝－log 313n＝2n ，从而1b n b n ＋1＝14nn ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n n ＋.22．(本小题满分12分)某商场经过市场调查分析后得知：预计2015年从开始的前n个月内对某种商品需求的累计数f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，n ＝1,2,3，…，12(单位：万件)．(1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)解：(1)设第n 个月的月需求量为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧f ，n ＝1，f n －f n －，2≤n ≤12，因为f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，所以a 1＝f (1)＝1730<1.3，当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1) ＝190(－3n 2＋35n ＋19)，令a n >1.3，即－3n 2＋35n ＋19>117，解得143<n <7，因为n ∈N ，所以n ＝5,6，即这一年的5,6两个月的需求量超过1.3万件．(2)设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，na －f (n )≥0对n ＝1,2，…，12恒成立，则a ≥f n n ＝n ＋－n 90，又因为n ＋－n90≤190⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋＋－n 22，所以a ≥109，即每月初至少要投放11 112件商品，才能保证全年不脱销.。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作必修5模块测试卷（A ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2．已知{a n }是等差数列，五个数列① {a 2n －3}；② {| a n |}；③ {lg a n }；④ {3－2a n }；⑤ {a n 2} 中，仍是等差数列的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．在△ABC 中，一定成立的等式是（）A ．a sin A =b sinB B ．a cos A =b cos BC ．a sin B =b sin AD ．a cos B =b cos A 4．数列 {a n } 是公差不为 0 的等差数列，且 a 7，a 10，a 15 是等比数列{b n }的连续三项，若等比数列{b n } 的首项 b 1 = 3，则 b 2 等于（） A ．245 B ．5 C ．2 D ．95 5．已知a +b >0，b <0，那么a 、b 、－a 、－b 的大小关系是（）A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ． a >b >－a >－b6．三个不相等的正数a 、b 、c 成等比数列，则lg a 、 lg b 、 lg c 是（）A ．等差数列B ．既是等差又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差又不是等比数列7．在首项为81，公差为－7的等差数列}{n a 中，最接近零的是第（）A ．11项B ．10项C ．9项D ．8项8．在△ABC 中,三个顶点的坐标分别是A (2，4)，B （－1，2），C （1，0），点P （x ，y ）在△ABC 内部及边界上运动，则w =y －x 的取值范围是（） A ．[1，3] B ． [－3，1] C ．[－3，－1] D ．[－1，3] 9．数列{)1(2+n n }的前n 项和为S n ，已知611=n S ，则n 值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11 10．下列各不等式：① 212a a +> (R a ∈)； ② 12x x+≥ (0,≠∈x R x ) ； ③2≥+abb a (0≠ab )； ④11122>++x x (R x ∈)．其中正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．11．在等差数列{a n }中，a 5=3，a 6=－2，则a 4+a 5+…+ a 10= ． 12．在ΔABC 中，AB =2cm ，BC =2cm ，∠A 满足3sinA +cosA =1，则ΔABC 的面积是．13．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖块．14．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和．16．如图所示，在某公园的一块绿地上划出一个矩形区域，在这个矩形区域的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积都为200米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方均为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时(记池塘的长为x 米)，这个矩形区域占地面积最少？并求出这个最小值．17．已知等差数列{}n a ，92=a ，215=a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n a n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC =600，AC =7，AD =6， S △ADC =1532 ，求AB 的长．池塘池塘走道2米走道2米走道2米4米走道4米走道走道2米走道2米19．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？20．已知数列{x n }的各项为不等于1的正数，其前n 项和为S n ，点P n 的坐标为（x n ，S n ），若所有这样的P n （n =1,2……）都在斜率为5的同一条直线上．（1）求证数列{x n }是等比数列；（2）设y n = log x n a 且满足 y 8 = 125 ，y 12 = 117 ，a 为大于0的常数．① 试确定a 的值；② 是否存在正整数M ，使得当n >M 时，x n >1恒成立？若存在，求出相应的M ；若不存在，请说明理由．6002 1DCB A必修5模块测试卷（A ）1-10：CBCBC ABDBD11．- 49 12． 3 13． 4n +2 14．3 15．解：设公比为q ，由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45105131211q a q a q a a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45)1(①10)1(23121q q a q a ②÷①得 21,813==q q 即，将21=q 代入①得 81=a ，1)21(83314=⨯==∴q a a ， 231211)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=--=q q a s ． 16．解：设池塘的长为x （0>x ）米，则池塘的宽为x200米，令矩形区域的面积为y 平方米，则有)6200)(62(++=xx y =4[109+3)100(xx +]=⨯+≥)203109(4676 当且仅当x x 100=，即10=x 时，676min =y ，这时20200=x②答：池塘的长和宽分别为10米、20米，矩形区域的面积最小为676平方米．17．解：(1) 设数列 {a n } 的公差为d ，则a 5=a 2+3d .得21=9+3d ,∴ d = 4,∴ a n = a 2 + (n －2) d = 4n + 1(2) ∵ b n = 2 a n , ∴ b n = 24n +1, 又 b n +1b n= 16,∴ {b n } 是以 16 为公比的等比数列.b 1=25=32,∴ S n = 32(1－16n )1－16= 3215 (16n －1)18．解:依题意 S △ADC = 12 ·6·7 sin ∠1 = 1532∴ sin ∠1 = sin ∠2 = 5314∴ cos ∠2 = 1114 ∴ △ABC 中，sin ∠ACB = sin (∠2 + 60︒) = sin ∠2 cos 60︒ + cos ∠2 sin 60︒= 5314 ×12 + 1114 ×32 = 16328 =437 又 AC sin B = AB sin ∠ACB ⇒ 732= AB 437 ⇒ AB = 8．19．答案：解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．A 型车B 型车限量车辆数 xy 10运物吨数 24x 30y 180费用320x504yz由表可知x ，y 满足的线性条件：1024301800804x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≤≤≤≤，且320504z x y =+．作出线性区域，如图所示，可知当直线320504z x y =+过(7.50)A ，时，xyCDBA8O 4z最小，但(7.50)A，不是整点，继续向上平移直线320504z x y=+可知，(52)，是最优解．这时min 320550422608z=⨯+⨯=（元），即用5辆A型车，2辆B型车，成本费最低．若只用A型车，成本费为83202560⨯=（元），只用B型车，成本费为180504302430⨯=（元）．20．解：（1）证明：已知P n、P n+1都在斜率为5的同一直线上，∴S n+1-S nx n+1-x n=5 , ∴x n+1x n+1-x n=5,∴4x n+1=5x n∴x n+1x n=54,n=1,2,3,……∴{x n}是以x1为首项,公比为54的等比数列(2) (i) ∵ y n=log xn a , y8=18,y12 =117,1y n= log a x n , 又由(1), x n = x1·(54)n－1∴1y8－1y12=log a x8－log a x12 = log ax8x12= log a (54)－4,又∵1y8－1y12=25-17=8, ∴ log a(54)－4 = 8, ∴a8 = (45)4, 又a > 0,∴a = 25=255(ii)由(i) 知x n = a 1y n,而a =2 55∈ (0,1) , 故欲使x n > 1, 则只须1y n<0,∵1y n= log a x n= log a [x1·(54)ｎ－１]＝（n－1）log a54+log a x1∴ { 1y n} 为等差数列, 其公差d = log a54= log25554=－lg54lg255= －2.(公差d也可由1y12－1y8= 4d 求得)∴1y n=1y8+ (n－8)·(－2)=25－n+16 = 41－2n由1y n< 0 得n > 20.5∴取M=20, 当n>20时x n>1 恒成立．(注：凡是取M为大于或等于20的正整数均可)。

2017年9月必修5模块测试答案解析

2017年9月必修5模块测试答案解析第1题答案A第1题解析设前项和为，则，令，则当时，，，当时，，∴，∴.故选A.第2题答案D第2题解析因为，故①②③均正确．第3题答案D第3题解析∵有解，∴∴或∵解的区间长度就是的两个根的距离由韦达定理，∴∵解的区间长度不超过个单位，即∴，即∴综上，或第4题答案C第4题解析∴.第5题答案D第5题解析由，得，，解得。

当时，，此时。

选D.第6题答案C第6题解析∵，且．又∵，∴．第7题答案D第7题解析，即.∴，由正弦定理得，∴.∵，∴，.由余弦定理得，即，∴，，，故.∴.第8题答案A第8题解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线，过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而=,故选A.第9题答案D第9题解析∵，∴，由正弦定理有，即，再由余弦定理得，∴．第10题答案A第10题解析，，，解得，故．故答案为：A．第11题答案C第11题解析解：等比数列前n项和等间隔的和也成等比，所以以每4项的和组成新的等比数列，首项是1，公比是3，故27，选C．第12题答案A第12题解析解：由的解集是得且，∴不等式的解集是．第13题答案第13题解析设公差为，由，可得化为，又，化为．联立，解得．∴.故答案为．第14题答案第14题解析依题意得，第个和它后面个1的个数之和为，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以为首项、为公比的等比数列，该数列的前项和等于．注意到，因此在题中的数列中，前2015项中共有个.第15题答案第15题解析，，，若与矛盾！故，因此数列为首项为公比为的等比数列.，因为时不满足上式，故.第16题答案8第16题解析由题意可得：方程，当时，，的整数解为，所以此时可能取的数值为；所以当时，，或者，，，或者，围成的区域是个单位正方形，所以满足的点所成的图形面积为．第17题答案第17题解析由正弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∴.第18题答案(1)；(2).第18题解析(1)∵，由正弦定理得：,再由余弦定理知:，所以.(2)因为，由(1)知，所以，又因为、、成等比数列，所以，因为数列为等差数列，所以，又因为公差，所以解得，所以数列的通项公式.设，则数列的通项公式，所以前项和.第19题答案甲项目投资万元，乙项目投资万元时，两项目增加的最大．第19题解析解：设甲项目投资百万元，乙项目投资百万元，两项目增加的为．依题意，满足所确定的平面区域如图中阴影部分．解得，解得，设，得，将直线平移至经过点时，取得最大值．即甲项目投资万元，乙项目投资万元时，两项目增加的最大．第20题答案（1）；（2）.第20题解析（1）因为（，），所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，故．（2）由知，于是数列的前项和，，相减得，所以．第21题答案（1）略；（2）第21题解析（1），，，即；（2），，，，，，，，，（舍去），.第22题答案(1)；(2)；(3)证明略．第22题解析(1)，；(2)①，②，两式子相加得，∴；(3)，，，又，，故.另外的放缩方法：，（），当时（从第4项开始放缩）.检验当、、时不等式成立．。

人教A版高中数学必修五模块测试题.docx

必修五模块测试一．填空题1. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B += 。

2.△ABC 的内角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a,则cosB= 。

3. {a n }是等差数列，，则使的最小的n 值是。

4.设α、β是方程x 2-2x+k 2=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k= 。

5.已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝2x 212-（）(x ＜0)，则m 与n 的大小关系为 . 6.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是7.若以2,3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的范围为 .8.数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n+1}是公比为q(q ＞0)的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2＞a n+2a n+3(n ∈N *)，则公比q 的取值范围是。

9.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.10.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于_______________。

11.一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积是。

12. 在△ABC 中,若sinB 、cos2A、sinC 成等比数列,则此三角形的形状为。

13．将给定的25个数排成如图所示的数表，若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a 33=1,则表中所有数之和为。

14.半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.则四边形OACB 的面积最大值是。

2016-2017学年高中数学模块综合测试(A)北师大版必修5

模块综合测试(A)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10＝( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案： B1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300 解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150°解析：根据正弦定理sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析：由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0，∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6， ∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴S n ＝－11n ＋n n －2·2＝n 2－12n .故n ＝6时S n 取最小值．答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32 B ．1＋3 C.2＋32D ．2＋ 3解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos 30°. ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B.12 C ．－1D ．1解析：根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1，故选D. 答案： D7．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99解析：由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10， ∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100，x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102. 答案： A8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析：如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A (1,5)，同理可得B (－2，2)，C (1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.答案： D9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列解析： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2 n ＝1，an －1a －n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝a n －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列．答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C11．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝a 21q 3＝2a 1a 4＋2a 7＝a 1q 3＋2a 1q 6＝52即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2a 1q 3＋2a 1·q 3·q 3＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，故S 5＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.答案： C12．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜3 B.32≤a ＜3 C ．2＜a ≤3D ．1≤a ＜52解析： ∵三角形为钝角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋a ＋2－a ＋22a a＋＜0，解得32≤a ＜3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2 314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝1620a 1＋－2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案： 11015．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y的最小值为________．解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x＋3y＝9x＋34－2x＝9x＋819x ≥281＝18.答案： 1816．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析：先画部分可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A (3,0)，B (0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)．答案： (－∞，－3]∪[0,6)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋－2n2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc .求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析： ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa， ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ca ＝sin 60°＝32.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. 解析：若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0，解得x ＞1；若a ＜0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0解得x ＜1a或x ＞1；若a ＞0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，其解的情况应由1a与1的大小关系确定，当a ＝1时，解得x ∈∅；当a ＞1时，解得1a＜x ＜1；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜120．(本小题满分12分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的平面区域如下图所示，其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝z ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37； (x 2＋y 2)min ＝0.21．(本小题满分12分)已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }． (1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．解析： (1)∵不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝t得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2t ＝2.(2)∵f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋4＋a 24在(－∞，1]上递增，∴a2≥1，a ≥2.又log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＝log a (－2x 2＋3x )＜0，由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1，由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32，由2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12或x ＞1.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜12或1＜x ＜32.22．(本小题满分14分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C .因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．。

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2016－2017数学必修五模块测试A卷第I卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设a < b < 0，则下列不等式中不成立．．．的是(A) 1a>1b(B)1a－b>1a(C) | a | > | b | (D) a 2 > b 22.由710>58，911>810，1325>921，…，若a > b > 0 且m > 0，则b + ma + m与ba之间大小关系为(A) b + ma + m>ba(B)b + ma + m=ba(C)b + ma + m<ba(D) 不确定3.已知a > 0，b > 0，1a+3b= 1，则a + 2b的最小值为(A) 7 + 2 6 (B) 2 3 (C) 7 + 2 3 (D) 144.海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是(A) 10 3 n mile(B) 1063n mile(C) 5 2 n mile(D) 5 6 n mile5.在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知A =3，a = 3 ，b = 1，则c等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 －1 (D) 36.在△ABC中，若 2 cos B sin A = sin C，则△ABC的形状一定是(A) 等腰直角三角形(B) 直角三角形(C) 等腰三角形(D) 等边三角形7.设等差数列 {a n} 的前n项和为S n，若S3 = 18，则a2 =(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 78.设 {a n} 是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4，成等比数列，则a1 =(A) 2 (B) －2 (C) 12(D) －12A BC60°75°9. 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，S n =a 1 (3 n －1)2 (n ≥1)，且 a 4 = 54，则 a 1的数值是 (A) 1(B) 2(C) 3(D) 410. 如图，第 n 个图形是由正 n + 2 边形扩展而来，则第 n 个图形中顶点的个数是(A) (n + 1) (n + 2) (B) 12n (C) n 2+ 3n + 8(D) (n + 2) (n + 3)11. 在 R 上定义运算⊙：a ⊙b = ab + 2a + b ，则满足x ⊙(x －2) < 0的实数x的取值围为 (A) (－2,1) (B) (0,2) (C) (－∞,－2)∪(1,+∞) (D) (－1,2)12. 在 △ABC 的角 A 、B 、C 所对的边的长分别为 a 、b 、c ，则下列命题正确的是① 若 ab > c 2，则 C < π3；② 若 (a + b ) c < 2ab ，则 C > π2 ；③ 若 a + b > 2c ，则 C < π3；④ 若 (a 2 + b 2) c 2 < 2a 2 b 2，则 C > π3.(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ③④第II 卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13. 已知 △ABC 中，a = 2 ，b = 3 ，B = 60°，那么角A 等于 *** .14. 若实数 x 、y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ x + 2y －4≤0x －y －1≤0 x ≥1，则 z = x + y 的最大值是 _***_ .15. 设常数 a > 0.若 9x + a 2x≥a + 1 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值围为 *** .16.设数列 {a n} 满足a1 = 1，且a n+1－a n= n + 1(n∈N*)，则数列 { 1an} 前10项的和为 *** .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边.若A =3，b = 1，△ABC的面积为32，求a及B的值.18.(本小题满分12分)已知 {a n} 是递增的等差数列，a2，a4 是方程x 2－5x + 6 = 0 的根.(1) 求 {a n} 的通项公式；(2) 求数列 { an2n} 的前n项和.19.(本小题满分12分)港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正向的B处有一轮船，距离检查站为 31 n mile，该轮船从B处沿正西方向航行 20 n mile后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离 21 n mile，问此时轮船离港口A还有多远?20. (本小题满分12分)对于函数 y = f (x )，定义方程 f (x ) = x 的根为函数 y = f (x ) 的不动点.已知函数 f (x ) = a －xx的一个不动点为 1(1) 求 a 的值；(2) 解关于 x 的不等式 f (x ) > 2－m x－m21. (本小题满分12分)已知函数 f (x ) = ax 2 + bx －2b (1) 当 a = 1 时，若对任意的 x ∈(－ ,2)，不等式 f (x )≥1 恒成立，数 b 的取值围; (2) 若 | f (－1) |≤1，| f (1) |≤3，求 | a | + | b + 2 | 的取值围.22. (本小题满分12分)数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 S n + a n = －n (n ∈N *) 恒成立. (1) 求数列 {a n } 的通项公式；(2) 求证：12a 1a 2 + 12 2a 2a 3 + … + 12 n a n a n +1< 22016－2017数学必修五模块测试A 卷答案一、BAADBC CDBDAB12.【解析】① cos C = a 2 + b 2－c 22ab > 2ab －ab 2ab = 12 ⇒ C < π3⇒ ① 正确② cos C = a 2 + b 2－c 22ab > a 2 + b 2－( 2ab a + b )22ab = a 2 + b 22ab －2ab(a + b ) 2 > 1－1 = 0⇒ C < π2⇒ ② 错误③ cos C = a 2 + b 2－c22ab>a 2 +b 2－( a + b 2 )22ab= 3 (a 2 + b 2)－2ab 8ab > 6ab －2ab 8ab = 12⇒ C < π3⇒ ③ 正确④ cos C = a 2 + b 2－c 22ab > a 2+ b 2－2a 2 b2a 2 +b 22ab = a 2 + b 22ab －2aba 2 + b2 > 1－1 = 0⇒ C < π2 不能说明 C > π3，如 c = b = 1，a = 2 ，满足 (a 2 + b 2) c 2 < 2a 2 b 2，但C = π4，C > π3不成立 ⇒ ④ 错误二、13. 45︒ 14. 3 15. [15 ,+∞) 16. 201116.【解析】由a 1 = 1,且a n +1－a n = n + 1(n ∈N *)得,a n = a 1 + (a 2－a 1) + (a 3－a 2) + … + (a n－a n －1) = 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)2 ,则 1a n = 2n (n + 1) = 2 ( 1n －1n + 1),故数列 { 1a n } 前10项的和S 10 = 2(1－12 + 12 －13 + … + 110 －111 ) = 2(1－111 ) = 2011 .三、17. 【解析】由已知得：12 bc sin A = 12 ×1×c ×sin 60° = 32 ⇒ c = 2由余弦定理可得：a 2= 4 + 1－2×2×1×cos 60° = 3 ⇒ a = 3由正弦定理 a sin A = b sin B ⇒ 3sin 60︒ = 1sin B ⇒ sin B = 12∵ b < a ⇒ 0︒ < B < A < 180︒ ⇒ B = 30︒【另解】∵ a 2 + b 2 = c 2⇒ C = 90︒ ⇒ cos B = a c = 32又 0︒ < B < 180︒ ⇒ B = 30︒18. 【解析】(1)方程 x 2－5x + 6 = 0 的两根为2、3，由题意得 a 2 = 2，a 4 = 3，设数列 {a n } 的公差为 d ，则 a 4－a 2 = 2d ，故d = 12 ，从而 a 1 = 32，∴ {a n } 的通项公式为 a n = 12n + 1(2)设求数列 { a n 2 n } 的前 n 项和为S n ,由(1)知 a n 2 n = n + 22n +1 ，则 S n = 32 2 + 42 3 + 52 4 + … + n + 12 n + n + 22 n +112 S n = 32 3 + 42 4 + 52 5 + … + n + 12 n +1 + n + 22n +2 两式相减得12 S n = 34 + (12 3 + 12 4 + … + 12 n +1 )－n + 22 n +2 = 34 + 14 (1－12 n +1 )－n + 22n +2 ∴ S n = 2－n + 42n +119. 【解析】在△BDC 中，由余弦定理知，cos ∠CDB = BD 2 + CD 2－BC 22BD ·CD = －17∴ sin ∠CDB = 437.∴ sin ∠ACD = sin (∠CDB －π3 ) = sin ∠CDB cos π3 －cos ∠CDB sin π3 = 5314.在△ACD 中，由正弦定理知 AD sin ∠ACD = CDsin A⇒ AD = 5314 ×21÷32= 15(n mile ).∴ 此时轮船距港口还有15 n mile .20. 【解析】(1) 由题意 a －x x = x 的根为 1 ⇒ a －11 = 1 ⇒ a = 2(2) 由 (1) 得 f (x ) = 2－xx∴ f (x ) > 2－m x －m ⇔ 2－x x > 2－m x －m ⇔ (m －1) x + m x> 01︒ 当 m > 1 时，不等式为x －m1－m x > 0，由 m1－m< 0 ⇒ 不等式解集为 x > 0 或 x < m1－m2︒ 当 m = 1 时，不等式为 m x> 0，由m > 0 ⇒ x > 03︒ 当 m < 1 时，不等式为 x －m1－m x < 0，由 m1－m> 0 ⇒ m > 0 ∴ 0 < m < 1 时，m 1－m > 0，不等式解为 0 < x < m1－mm < 0 时，m 1－m < 0，不等式解为 m1－m< x < 0m = 0 时，m1－m= 0，不等式解集为空集综上，不等式解集当 m > 1 时，为 (－∞,m1－m)∪(0,+∞)当 m = 1 时，为 (0,+∞) 当 0 < m < 1时，为 (0,m1－m)当 m = 0 时，为 ∅当 m < 0 时，为 (m1－m,0)21. 【解析】(1) 当 a = 1 时，原不等式化为 b (x －2)≥1－x 2∵ x ∈(－∞,2)∴ 原不等式化为 b ≤x 2－12－x，x ∈(－∞,2) 恒成立∵ x 2－12－x = 2－x + 32－x－4≥2 3 －4且 2－x =32－x，即 x = 2－ 3 时，等号成立 ∴ b ≤2 3 －4∴ b 的取值围是 (－∞,2 3 －4](2) 题目条件化为－1≤a －3b ≤1，－3≤a －b ≤3 ⇒ a ∈[－5,5]，b ∈[－2,2], 可行域如图阴影部分设目标函数 z = | a | + | b + 2 | = | a | + b + 2 1︒ 当－5≤a ≤0 时，取可行域 y 轴左边部分目标函数 z = －a + b + 2，z 在BC 上达到最大值 5，在区域顶点 E (0,－13 ) 达到最小值 53∴ 53≤z ≤5;2︒ 当 0≤a ≤5时，取可行域 y 轴右边部分目标函数 z = a + b + 2z 在区域顶点 A (5,2) 上达到最大值 9，在点 E 达到最小值 53∴ 53≤z ≤9;综上可得 z 的取值围是 [53,9]22.【解析】由 S n + a n = －n 得n = 1时，S 1 + a 1 = －1, S 1 = a 1 ∴a 1 = －12n ≥2时, a n = S n －S n －1S n + a n = －n ⇒ S n －1 + a n －1 = －(n －1) ∴S n + a n －(S n －1 + a n －1) = －1 ∴ 2a n = a n －1－1∴2(a n + 1) = a n －1 + 1a 1 + 1 = －12 + 1 = 12 ≠0∴a n + 1a n －1 + 1 = 12= q ≠0∴ {a n + 1} 是以 12 为首项，公比 q = 12的等比数列∴ a n + 1 = (a 1 + 1) q n －1= 12 n ∴ a n = 12n －1(2) 由 (1) 知 12 n a n a n +1 = 12 n (12 n －1)(12n +1－1)= 2n +1(1－2 n ) (1－2 n +1)= 2n +1(2 n －1) (2 n +1－1)= 2 (12 n －1 －12 n +1－1 )∴ 12a 1a 2 + 12 2 a 2a 3 + … + 12 n a n a n +1= 2[(12 1－1 －12 2－1 ) + (12 2－1 －12 3－1 ) + … + (12 n －1 －12 n +1－1 )] = 2(1－12 n +1－1)< 2。