长方体的元素
第1讲 长方体的元素及其直观图的画法
第8章第1讲长方体的元素及其直观图的画法知识精要1.长方体的元素长方体(cuboid)有六个面(face)，八个顶点(vertex)，十二条棱(edge)。
2.长方体的性质(1)长方体的每个面都是长方形(rectangle)；(2)长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱长度相等；(3)长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小都相同。
注意：正方体是特殊的长方体。
3.长方体的直观图的画法(1)平面的画法与表示：在数学中，平面是平的，无边无沿，通常可以画一个平行四边形来表示它，特别地，把水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线所成的角为45°的平行四边形(如图所示).该平面可以用平行四边形的顶点表示，记作：平面ABCD；也可以在表示平面的平行四边形的一个角上写上小写的希腊字母α，将平面记作：平面α。
(2)直观图的概念：把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形，叫做这个图形的直观图。
(3)长方体的直观图画法：(斜二测画法)水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，∠=(如图(1)所示)。
第二步：过A、B分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂DAB45线CG、DH，使它们的长度等于长方体的高(如图(2)所示)。
第三步：顺次连接(如图(3)所示)。
第四步：将被遮住的线段改用虚线(隐藏线)表示(如图(4)所示)。
这样，长方体的直观图就画成了。
(1) (2) (3) (4)经典题型精讲(一)长方体的元素例1.在右图所示的长方体中，(1)从正面看，看不见的棱有____________.(2)与棱EH相等的棱有____________.(3)与平面BCGF相对的平面有____________.(4)位于水平位置的平面有____________.举一反三：填空：如图所示，在长方体中，与棱AE相等的棱是____________，与面ABCD相对的面是____________．从点E出发的棱有______条．它们是_________________．例2.用一根长100厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为5厘米，6厘米，7厘米的长方体架子，应该如何截取?材料够吗?举一反三：一个长方体的长、宽、高之比为4:3:2，已知这个长方体的棱长之和是108厘米，求这个长方体的表面积和体积．例3.要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大的纸?最多需要多少纸? 107cm2, 127 cm2举一反三：一个正方体的所有棱长之和为60cm，则这个正方体的所有面的面积之和是_________cm2．例4.如图，将一个长方体的木块，沿线段CD从右侧截去一个长方体，成为一个正方体后，表面积减少了84cm2，已知新长方体的棱AB长3cm。
8.1长方体的元素8.2长方体直观图的画法
长方体有12条棱，相对的四条棱为一组，可以分为三组， 每组中的棱长度相等．
三条棱相交的点叫结： 1．长方体的每个面都是长方形．
2．长方体的十二条棱可以分为三组， 每组中的四条棱的长度相等． 3．长方体的六个面可以分为三组， 每组中的两个面的形状和大小都相等．
在数学中，我们约定把水平放置地平面画成一边是水平位置， 另一边与水平线所成的角为45度的平行四边形．
如何表示一个平面？
1. 依次用平行四边形四个顶点的字母来表示，记作：平面ABCD；
2 .用平行四边形相对的两个顶点的字母来表示， 记作：平面AC 或 平面BD ；
3.在表示平面的平行四边形的一个角上写上小写的希腊字母α， 记作：平面α．
自主小结
长方体、正方体的特征；
平面的画法及表示法；
长方体的斜二侧画法及表示法．
如何将长方体直观图画在纸上 ？
1. 画平行四边形ABCD，使AB等于长方体 的长，AD等于长方体宽的二分之一， ∠DAB = 45°． 2 . 过A、B分别画AB的垂线AE、BF， 过C、D分别画CD的垂线CG、DH， 使它们的长度都等于长方体的高． 3. 顺次连接EFGH． 4. 将被遮住的线段改用虚线表示 ． 长方体ABCD—FFGH 斜二侧画法 平面ABCD、平面FFGH
8.1 长方体的元素
8.2 长方体直观图的画法
平面图形
立体图形
长方体有几个面？ 每个面是什么形状？ 相对的两个面有什么特点？
长方体有6个面. 每个面都是长方形. 相对的两个面形状、 大小相同. 相对的两个面为一组，长方体的六个面可以分为三组， 每组中的两个面的形状和大小都相同．
长方体有多少条棱，相对的棱长短怎样？ 长方体有十二条棱，相对的棱长相等．
长方体正方体的特征
长方体正方体的特征一、长方体的特征长方体是一种立体图形，具有以下特征：1. 定义：长方体是指六个矩形面围成的立体图形。
其中，相对的两个面是相等的矩形，且所有顶点都是直角。
2. 元素：长方体由六个面、十二条棱和八个顶点组成。
3. 每个面都是矩形，有两对相等的边。
其中，相邻两个面共享一条边。
4. 所有棱都相等，并且每条棱都与四个面相邻。
5. 所有顶点都是直角，并且每个顶点都与三条棱和三个面相邻。
6. 长方体有三条对称轴，分别为通过中心的三条互相垂直的轴线。
其中，任意两条对称轴在中心交汇。
7. 长方体的表面积公式为2(ab+bc+ac)，其中a、b、c分别为长方体的三条边长。
8. 长方体的体积公式为abc，其中a、b、c分别为长方体的三条边长。
9. 长方体具有稳定性好、容量大等优点，在日常生活中广泛应用于建筑、家具制造、运输等领域。
二、正方体的特征正方体是一种立体图形，具有以下特征：1. 定义：正方体是指六个正方形面围成的立体图形。
其中，相对的两个面是相等的正方形，且所有顶点都是直角。
2. 元素：正方体由六个面、十二条棱和八个顶点组成。
3. 每个面都是正方形，边长相等。
其中，相邻两个面共享一条边。
4. 所有棱都相等，并且每条棱都与四个面相邻。
5. 所有顶点都是直角，并且每个顶点都与三条棱和三个面相邻。
6. 正方体有四条对称轴，分别为通过中心的两条互相垂直的轴线和通过中心的两条对角线。
其中，任意两条对称轴在中心交汇。
7. 正方体的表面积公式为6a²，其中a为正方体的边长。
8. 正方体的体积公式为a³，其中a为正方体的边长。
9. 正方体具有稳定性好、容量大、造型美观等优点，在日常生活中广泛应用于建筑、家具制造、运输等领域。
三、长方体与正方体的区别长方体和正方体都是立体图形，但它们的特征存在一些区别：1. 定义不同：长方体是由六个矩形面围成的立体图形，其中相对的两个面是相等的矩形；而正方体是由六个正方形面围成的立体图形，其中相对的两个面是相等的正方形。
长方体的认识(一)
长方体的认识（一）引言长方体是我们日常生活中常见的一种几何体，它具有一些独特的性质和特征。
本文将对长方体进行全面介绍，包括它的定义、特征、计算公式以及一些常见的应用场景等。
定义长方体是一种有六个面的多面体，在几何学中属于一种特殊的柱状体。
长方体的六个面都是矩形，它的相邻面是矩形，且对应的边长度相等。
特征1. 面的性质长方体的六个面都是矩形，因此具有以下特性： - 面积：长方体的每个面的面积可通过长度、宽度和高度计算得出，且相邻两个面的面积相等。
- 对角线：长方体的每个面都有两条对角线，它们的长度也可以通过长度、宽度和高度计算得出。
2. 体积长方体的体积是指其所占的三维空间大小，也就是长方体内部的容积。
计算长方体的体积公式为：体积 = 长度 × 宽度 × 高度其中，长度、宽度和高度均为长方体相应边的长度。
3. 表面积长方体的表面积是指长方体各个面的总面积，计算长方体的表面积公式为：表面积 = 2 × (长度 × 宽度 + 长度 × 高度 + 宽度 × 高度)其中，长度、宽度和高度均为长方体相应边的长度。
4. 对角线长方体的对角线是指连接长方体相对角的线段，一个长方体共有四条对角线。
计算长方体的对角线的长度公式为：对角线= √(长度² + 宽度² + 高度²)其中，长度、宽度和高度均为长方体相应边的长度。
应用场景长方体作为一种常见的几何体，在我们的日常生活中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 建筑与构造在建筑与构造领域中，长方体经常被用作建筑物的基本形状。
例如，房屋、办公楼和大型建筑等都可以使用长方体作为基本结构来设计和建造。
2. 家具设计长方体的形状使得它在家具设计方面具有很大的灵活性。
很多家具，例如桌子、椅子和柜子等，都可以使用长方体作为基本构件进行设计和制造。
3. 货物包装由于长方体具有规则的形状和可测量的体积，因此它被广泛用于货物包装行业。
长方体和正方体统一的体积计算公式
长方体和正方体统一的体积计算公式一、长方体体积计算公式推导。
1. 长方体的基本元素。
- 长方体有长、宽、高这三个维度。
设长方体的长为a，宽为b，高为h。
2. 体积的意义及计算方法。
- 体积是指物体所占空间的大小。
对于长方体来说，我们可以通过数小正方体的个数来计算它的体积。
- 我们把长方体看作是由若干个单位体积（棱长为1的小正方体）组成的。
沿着长的方向，可以摆放a个小正方体；沿着宽的方向，可以摆放b个小正方体；沿着高的方向，可以摆放h个小正方体。
- 那么长方体所含小正方体的总个数（也就是长方体的体积V）就等于长、宽、高的乘积，即V = a×b×h。
二、正方体体积计算公式推导。
1. 正方体的特点。
- 正方体是特殊的长方体，它的长、宽、高都相等，设正方体的棱长为a。
2. 正方体体积计算。
- 由于正方体的长、宽、高都为a，根据长方体体积公式V=a×b×h，此时b = a，h=a，所以正方体的体积V=a×a×a=a^3。
1. 统一公式的原理。
- 我们可以把长方体和正方体的体积公式统一起来。
对于长方体V = a×b×h，而正方体是特殊的长方体，当a=b = h时，正方体体积V=a^3。
- 如果我们把长方体底面的面积S = a×b（底面积就是长乘宽），那么长方体的体积V=S×h（体积等于底面积乘高）。
- 对于正方体，它的底面积S = a×a=a^2，体积V = S×a=a^2×a=a^3，也符合V = S×h这个公式（这里h=a）。
用1.1.1构成空间几何体的基本元素
练 3．在空间中，下列说法正确的是（ B ） 习 （A）一个点运动形成直线 （B）直线平行移动形成平面或曲面 （C）直线绕定点运动形成锥面 （D）矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 解：A错误，一个点运动形成线， 若运动方向保持不变则形成直线，运 动方向发生变化则形成曲线； C错误，直线绕定点转动形成锥面，而不是直线绕定点“ 运动”形成锥 面； D错误，矩形上各点沿同一方向移动，没有具体说明移动的具体方向及 移动的距离的大小，故而不一定形成长方体。 故选B
几何体的相关概念： 1.异面直线 2.直线与平面平行 3.直线与平面垂直 4.点到平面的距离 5.两个平面互相垂直 6.两个平面互相平行
D1 B1 D
C1
A1
C B
A
以上概念只要求在形象感觉的基础上理解即可，在后面的各个小节中 还会具体地进行研究和学习.
六、点、线、面的位置关系及表示
空间看成点的集合,点是空间的基本元素,直线和平面都是点的集合.
A1 B1 D C B
C1
A
异面直线的画法 如图，通常以平面α为依托，将一条直线a画在平面α内，另一条直线不 在平面α内，且经过平面α内、直线a外一点，来画异面直线a，b.
b
a
异面直线a，b
五、相关概念
2．直线和平面平行： 如果直线和平面没有公共点，我们就说直线和平面平行。 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B1平行于平面ABCD。 记作A1B1//平面ABCD.
四、长方体
观察长方体中的线和面，并思考以下问题： 存在！
D' A' B' C'
（1）存在平行的直线吗？
AB∥CD∥C′D′∥A′B′; D∥BC∥B′C′∥A′D′; AA′∥ DD′ ∥ CC′∥ B B′. （2）存在既不平行也不相交的直线吗？ 存在！ AB与CC′;AB与DD′;AD与BB′;AD与CC′;等等. 这样的直线叫做异面直线！ （3）存在直线与平面没有公共点的情况吗？ 存在！ A′B′与平面ABCD；B′C′与平面ABCD；等等. 这时称直线与平面平行，记作A′B′∥平面ABCD；B′C′∥平面ABCD.
长方体正方体.知识点总结
长方体的再认识一、 概念1、 长方体的元素：六个面、八个顶点、十二条棱2、 长方体的三元素的特点：（主要是外观特征和数量关系）①长方体的每个面都是长方形；②长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。
③长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面形状大小都相同。
3、 正方体是特殊的长方体。
4、 平面是平的，无边无沿，没有厚度和大小，一般用平行四边形来表示。
记作：平面ABCD 或平面α。
5、 将水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线成45度角的平行四边形。
6、 斜二侧画法画长方体时要注意：宽画成标注尺寸的一半；看不到的线画成虚线；要标字母和尺寸，要写结论。
长方体ABCD-EFGH 、平面ABCD 、棱AB 、顶点A 。
7、 空间中两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面① 如果两条直线在同一平面内，有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是相交； ② 如果两条直线在同一平面内，没有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是平行； ③ 如果两条直线既不平行也不相交，称这两条直线的位置关系是异面。
8、直线垂直于平面记作：直线P Q ⊥平面ABCD ；直线平行于平面记作：直线P Q ∥平面ABCD 。
9、 计算公式之一：（三条棱长分别是a 、b 、c 的长方体）① 棱长和 = 4()a b c ++ ； ② 体积 = abc ；③ 表面积 = 2()ab bc ac ++ ； ④ 无盖表面积 = S ab -、S bc -、S bc - 10、计算公式之二：（边长是a 正方体）① 棱长和= 12a ；②体积= 3a ；③表面积= 26a ；④无盖表面积 =25a 。
11、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。
12、长方体中棱与棱的位置关系有3种，分别是平行、相交、异面。
13、长方体中棱与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。
14、长方体中面与面的位置关系有2种，分别是：平行、垂直。
长方体的知识点整理
长方体的知识点整理长方体是三维空间中最基本的几何体之一，它的特点是有六个面，每个面都是一个矩形。
在日常生活和学习中，长方体是非常常见的，因此对长方体的知识点进行整理和学习掌握，能够帮助我们更好地认识和应用长方体，下面就来仔细学习长方体吧。
一、长方体的定义和性质长方体是一种六个面都是矩形的立体图形，其中任意相邻两个面彼此垂直，每个面的对边长度相等。
除此之外，长方体还具有以下几个性质：1. 所有的棱和面都是直角。
2. 任意两个相对的面互为平行面。
3. 所有的对面积相等。
4. 所有的顶点的维数都是 $3$。
二、长方体的元素长方体的面、棱、顶点构成了长方体的元素，接下来分别介绍一下。
1. 面：长方体有六个面，其中三对面互为平行面，共有三种不同的面：上下底面、前后底面和左右底面，三对相对的底面都是矩形。
2. 棱：长方体有 $12$ 条棱，每条棱都是两个相邻面的交线，其中任意两条垂直的棱互为正交棱，还有任意两个相邻棱的长度相等。
3. 顶点：长方体有$8$ 个顶点，每个顶点是三个相邻面的交点，每个顶点的维数都是 $3$。
三、长方体的表面积和体积长方体的表面积可以用公式 $S=2ab+2bc+2ac$ 来计算，其中$a$、$b$、$c$ 分别为长方体的三条边长，横截面积也可以用$S=ah$ 来计算。
长方体的体积可以用公式 $V=abc$ 来计算，其中 $a$、$b$、$c$ 分别为长方体的三条边长。
四、长方体的投影和展开图长方体的三个不同方向的投影都是矩形，分别称为正视投影、俯视投影和侧视投影。
展开图就是将长方体拆开后展开成一个平面的二维图形，可以用来计算长方体的面积和体积等。
五、长方体的应用长方体在日常生活中应用非常广泛，例如：建筑中的砖、石等都是长方体，以及一些器具、家具等也是长方体。
此外，长方体还有很多科学和数学应用，例如计算机图形学中的三维图形处理、微积分中的三重积分等。
以上就是关于长方体的一些基本知识点的整理，希望对大家有所帮助。
1.1.1构成空间几何体的基本元素
平静的水面
平面式处处平直的面，而曲面就不是处处平直的.
曲面
曲面的形成
生活中的平面与曲面
从运动的观点，理解空间基本图形之间 的关系.
流星“点动成线”
动态观察几何体
直线平行移动，可以形成平面或曲面.
面动成体
结论
在集合中，可以把线看成点运动的轨迹， 如果点运动的方向始终不变，那么他的轨迹 就是一条直线或线段；如果点运动的方向时 刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线 的一段. 同样，一条线运动的轨迹可以是一个面， 面运动的轨迹（经过的空间部分）可以形成 一个几何体.
过程与方法
通过让学生探究点、线、面 之间的相互关系，掌握文字语言、 符号语言、图示语言之间的相互 转化.
情感态度与价值观
通过用集合论的观点和运动的观 点讨论点、线、面、体之间的相互关 系培养学生会从多角度，多方面观察 和分析问题，体会将理论知识和现实 生活建立联系的快乐，从而提高学生 学习数学的兴趣.
各种形状的玩具
实际存在的几何图形
后来又通过学习几何知识，认识 了许多几何图形，如：长方形、长 方体、圆、球等.同学们有没有想过， 为什么画在纸上的各种各样的物体， 你一看就能认出它是某种物体呢？
三角形和半圆
1.1.1构成空间几何体的基本元素
教学目标
知识与能力
掌握空间点、线、面之间的 相互关系以及相互之间的位置 关系.
D`
A` B`
C`
D
A B连线 段中最短的一条，线段AA`的长称作点A` 到平面AC的距离.
D`
A` B`
C`
D
A B
C
平面AC∥平面A`C`
如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行.
8.1 长方体的元素
2）数一数长方体有多少条棱.相对的棱长短怎样？
长方体有12条棱，相对的棱长相等．
3）３条棱相交的点叫做顶点.数一数 长方体有几个顶点.
长方体有8个顶点.
分组
面：长方体有六个面，
相对的两个面为一组，可以分为三组， 每组中的两个面的形状和大小都相同．
棱：长方体有12条棱，
相对的四条棱为一组，可以分为三组， 每组中的棱长度相等．
想一想：
有没有六个面都一样的长方体？
正方体
A D B C
正方体各个元素有什么特征呢？
正方体的12条棱的长度都一样， 6个面的形状都一样，都是正方形．
E
H G F
练习1：
1）长方体有（6）个面，每个面都是（长方形）， 相对的面的（ 形状和大小 ）相等；
正方体的表面积、体积怎样计算？
S表=6a2
V=a3
练习3：
一个正方体的棱长的和是60厘米， 求正方体的表面积是多少平方厘米 ？
体积是多少立方厘米？
练习4：
如图，是边长为10厘米的三个小正方体 拼成的图形，这个图形共有几个面？ 求出它的表面积和体积. 把一个棱长为3cm的正方体的六个面如图都涂上颜色， 将它的棱三等分，然后从等分点把正方体锯开。 27 1）能得到________ 个棱长为1cm的小正方体。 8 个。 2）三个面涂有黄色的小正方体有_____ 12 个。 3）两个面涂有绿色的小正方体有_____ 6 个。 4）一个面涂有红色的小正方体有_____ 5）有没有各面都没有涂颜色的小正方体？ 1 个。 如果有，那么有______
2）这是一个（ 长方体 ），它的长（ 8 ）厘米，
宽（ 4 ）厘米，高（ 3 ）厘米。
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长方体的元素
教学目标
1、进一步认识长方体的元素及其特征。
2、通过观察、操作，初步具备认识长方体等几何体的能力及空间想象能力。
3、能熟练计算长方体的表面积和体积。
4、体会数学与生活的联系，学会与人合作，获得在活动中克服困难，运用知识
解决问题的成功体验。
教学重点
长方体的元素及其特征。
教学难点
运用所学知识（什么具体知识？）解决问题。
教学过程
一、创设情境，导入新课
1、比较平面图形和立体图形的差别，由平面图形过渡到立体图形，特别是
其中的长方体。
强调正方体是特殊的长方体。
2、列举生活中的长方体。
感性认识长方体，让学生体会到长方体图形来源
于生活。
本节课我们将对长方体进行进一步的认识，引出课题——长方
体的元素。
二、尝试发现，探索新知
1、长方体是由哪些元素组成的？顶点、棱和面。
2、学生自行讨论得出长方体的主要特征。
提高学生识图能力，渗透分类思想。
（1）数一数长方体有几个顶点？
（2）数一数长方体的棱有多少条？量一量相对（讲法确切吗？）的棱的长短有什么关系？
（3）长方体有多少个面？分别是是什么形状？相对的两个面有什么特点？
3、试一试：
结合身边长方体模型，概括长方体的面、棱、顶点的特点。
4 、探讨长方体和正方体的关系。
让学生知道正方体是特殊的长方体，强化识图能力。
（1）正方体也是长方体吗？
（2）正方体的棱与棱之间、面与面之间有什么特点?
三、巩固新知，及时反馈
判断题
(1)长方体的每个面都是长方形。
( )
(2)长方体有十二条棱,并且每条棱都相等。
( )
(3)六个面,十二条棱和八个顶点组成的图形都是长方体。
( )
（教具演示）
(4)长方体相对的面的面积都相等。
( )
(5)长方体的任一个顶点都可以引出四条棱。
( )
(6)存在一个八条棱长相等的长方体。
( )
四、动手实践，增强体验
1、考考你：
小明想用一些长度为16厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长分别为6厘米、8
厘米和10厘米的长方体架子。
请问至少需要几根这样的塑料管？应如何裁
截？
2、动手操作，小组搭建长方体。
对长方体有更感性的认识，进一步掌握长
方体的特点，培养学生团结互助的良好个性品质。
前后四名同学组成一个小
组，制作一个长方体艺术品。
看看哪个小组做的又快又好！
五、复习旧知，熟练应用
1、长方体的表面积和体积
长方体六个面的总面积，叫做它的表面积。
长方体的容积，叫做它的体积。
2、长方体的表面积、体积怎样来计算哪？
长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
长方体的体积=长×宽×高
3、熟练计算
（1）已知一个长方体的纸盒,棱长分别是6厘米,3厘米和4厘米,那么,这个纸
盒的表面积和体积各是多少?（提醒学生注意单位）
（2）一个正方体的棱长的和是60厘米，求正方体的表面积是多少平方厘米？
体积是多少立方厘米？
六、问题探究，拓展思维
思考：由4个边长为2cm的正方体拼接而成的长方体的表面积是多少？
七、总结归纳，提升认识
谈谈你今天的收获。
八、回家作业
1、预习6.10
2、订正并完成练习册8.1。