2测量误差及数据处理1
测量误差分析与数据处理(1)
２.1.２ 测量误差的表示方法(续)
• 二、相对误差
• 1 、实际相对误差——绝对误差与实际值之比。
A
x A
100%
x
A 100% A
– 只具有大小、正负，但无量纲
– 接上例可得:
A1
1 100
100%
1%;
A2
1 5
100%
20%
– 相对误差可以表征测量的准确程度。
x x A0
• 重点：
– 误差的表示和分类 – 三种误差的特征及其处理方法 – 数据的处理 – 误差的合成
• 难点：
– 三种误差的特征及其处理方法
２.1 测量误差的基本原理
• ２.1.1 误差的定义 • ２.1.２ 测量误差的表示方法 • ２.1.３ 电子测量仪器误差的表示方法 • ２.1.４ 一次直接测量时最大误差的估计
例1:
• 一个被测电压，真值U0=100V,用一只电压 表测量，指示值U为101V，则绝对误差:
U U U0 101100 1V
• 表明: 测得值比真值大1V，为正误差。
２.1.２ 测量误差的表示方法(续)
• 2 、修正值(校正值)
C x A x
– 给出:通过校准由上一级标准以表格或曲线的形 式给出受检仪器的修正值。
– 等级度越低，仪器越准确。0.1、0.2是精密仪器 。
２.1.３ 电子测量仪器的表示方法(续)
• （2）附加误差
– 是指仪器在超过规定的正常条件下所增加的误差， 与影响误差相似。例如：环境温度、电源电压等
– 例：MF-20型晶体管万用表。
• 基本误差： – 直流电压、电流为±2.5%
• 附加误差：
– 根据误差的性质，测量误差可分为系统误差、 随机误差、疏失（粗大）误差三类。
第二章测量数据处理及测量误差分析
第二章测量数据处理及测量误差分析测量数据处理及测量误差分析是科学实验中非常重要的一个环节，它涉及到对实验数据进行整理、处理以及对测量误差进行分析、评估的过程。
本章主要包括数据的整理、数据处理的常用方法、误差分析和误差处理方法等内容。
一、数据的整理在进行数据整理之前，首先要明确实验的目的和要求，明确需要获得的数据类型和数据量，有针对性地进行数据测量和记录。
数据整理主要包括：1.数据记录：将实验过程中获得的原始数据按照一定的格式记录下来，包括数据名称、数据值、测量单位等。
2.数据清洗：对记录下来的数据进行初步的筛选和清理，去除明显的异常值和错误数据，保留有效和可靠的数据。
同时，要注意将数据转换为适当的统计量，如平均值、中位数、标准差等。
二、数据处理常用方法数据处理是对记录下来的数据进行统计、分析和加工的过程，常用的数据处理方法有：1.统计分析：包括计算数据的平均值、中位数、众数等统计量，分析数据的分布特征，进行图表的绘制和描述。
2.走势分析：通过时间序列数据的走势分析，观察数据的变化规律，判断数据是否存在趋势性、周期性等特征。
3.相关分析：用于研究两组或多组数据之间的相关性，包括相关系数的计算和相关关系的绘图等。
4.假设检验：通过已知的数据样本对一些假设的合理性进行检验，判断假设是否成立并进行统计推断。
三、误差分析误差是指测量结果与真实值之间的差异，它是不可避免的，但可以通过分析和处理来减小误差的影响。
误差分为系统误差和随机误差两种。
1.系统误差：主要源于测量仪器、测量方法和实验设计的不确定性，它会导致测量结果的整体偏移，常常是可检测和可纠正的。
调整测量仪器的零点、校正仪器的偏差、改进实验设计等方法可以减小系统误差的影响。
2.随机误差：主要源于测量过程中的各种随机因素，如环境的变化、测量操作的不精确等。
随机误差是不可避免的，通过多次重复测量可以获得多组数据，然后进行数据的平均处理和统计分析，可以减小随机误差的影响。
测量误差与数据处理
ε=n lim ∞
∑(x −m)
i=1 i
n
2
t
sx =
x
(xi − x)2 ∑
i=1
n
−
n
n −1
实验中先用贝塞尔公式计算测量列的标准偏差,然后,用t分布因 子对标准偏差进行修正,从而获得测量列的标准偏差.实验中常用 的t因子如表: 当n>6时,ε≈s 证明见后 ε=sχT0.683统误差大
准确度高
正确度好但精密度差 正确度好但精密度
不确定度(uncertainty) 不确定度
不确定度是测量结果带有的一个参数,用以表征合理赋予被测量值的分散性.不确定度提
供了测量分散范围的一个量度,它以很大的可能性包含了真值.它包含有A类不确定 度分量(随机误差统计分析所获)和B类不确定度分量(非统计方法所获).
δ仪
-δ仪 δ
Δ仪
均匀分布
对于正态分布:仪器不确定度 对于正态分布 仪器不确定度 u仪与仪器误差限的关系为 与仪器误差限的关系为:u 仪=kp×δ仪/C 为置信因子, kp为置信因子,在一倍标准偏 差下的置信概率0.683,C=3, 差下的置信概率0.683,C=3, 故uB=δ仪/3.
综上所述,所谓 类不确定度应由贝塞尔公式 算出有限次测量的标准偏差,然后 综上所述 所谓A类不确定度应由贝塞尔公式 算出有限次测量的标准偏差 然后 所谓 类不确定度应由贝塞尔公式S算出有限次测量的标准偏差 用平均标准偏差S 作为A类不确定度 类不确定度u 再由u 乘以因子t 用平均标准偏差 X作为 类不确定度 A = S X 再由 A乘以因子 p来求得扩展不 n 确定度UA.所以 确定度 所以: UA=uA×tP 所以 B类不确定度的评估 类不确定度的评估: 类不确定度的评估
20第2章测量误差及数据处理
• 按国家标准规定，用最大引用误差来定义和划分仪器仪表 的精度等级，将仪器仪表的精度等级分为： …… ， 0.05， 0.1，0.25，0.35，0.5，1.0，1.5，2.5，4.0，5.0……（以前 只有七种）
• 当计算所得的与仪表精度等级的分档不等时，应取比稍大 的精度等级值。仪表的精度等级通常以S来表示。例如， S=1.0，说明该表的最大引用误差不超过±1.0%。
•
最大满度相对误差是仪表基本误差最大值 程之比的百分数，即：
xm与基 仪器仪表量
om量 xm基 程10% 0
• 最大引用误差是仪表的绝对误差最大值 xm与绝仪器仪表量程 之比的百分数，即：
量xm程 绝100%
• 当仪表是在标准条件下使用的，则：
最大满度相对误差＝大 最引用误差
仪表精度等级的确定
即：
Axc
c) 可见，用修正值可以减小测量误差，得到更接近于被 测量真值的实际值。
d) 应该指出，使用修正值必须在仪表检定的有效期内。 修正值本身也有误差。
实际值相对误差
例 测量两个电压，实际值U1 100V，U2 5V，仪表的 示值分别为Ux1 101V，Ux2 6V。其绝对误差分别为：
c) 随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精 密度高，反之，精密度低。
服从正态分布规律的随机误差
d) 当测量次数足够多时，大多数随机误差是服从正态分布的。服从 正态分布规律的随机误差具有下列特点（如 图所示）： ① 单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，
在误差 0处，出现的概率最大。
• 掌握随机误差、粗大误差和系统误差的估算、判断和减小方法
测量误差与数据处理实验报告
测量误差与数据处理实验报告实验报告格式：
标题：测量误差与数据处理实验报告
摘要：本实验旨在探究测量误差的来源及其处理方法，通过自己设计的实验进行数据采集与处理，最后得出结论并分析误差的影响。
实验结果表明，合理控制误差和精准处理数据非常重要。
1. 实验目的：
通过自己设计的实验了解测量误差的来源和处理方法，掌握精度等基本概念。
2. 实验步骤：
(1) 设计实验：以电容为例，设计了“通过变化距离来测量电容的实验”。
(2) 组装仪器：根据实验设计，组装了测量电容的仪器。
(3) 测量数据：对实验进行了多次测量，得到了电容的测量值。
(4) 数据处理：使用 Excel 等工具处理数据，计算出各项指标和
误差范围，并进行精度等级划分。
3. 实验结果：
(1) 根据数据处理结果，得到平均电容值为3.5μF，标准差为
0.2μF。
(2) 通过进行误差分析，可知测量误差来源主要包括仪器本身
误差、环境因素干扰和人为误差等多方面因素。
(3) 在误差控制和数据处理方面可采用实验平均法、精度等级
标准等方法。
4. 实验结论：
通过本实验的设计和数据处理，在实验中了解了测量误差的来源和处理方法，识别出了各方面因素影响到精度结果的准确性。
同时也提醒了我们在进行实验操作时需严格控制误差，避免产生干扰和误差现象，最终希望以此为基础，提高本人的实验操作、数据分析和综合思考能力。
测量误差和数据处理1
§2.3.3 随 机 误 差
一、随机误差的分布及其特征
随机误差有如下四个特点（性质）：
① 绝对值相等的正误差和负误差出现的次数大致相等，即 对称性 ；
② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即 单峰性 ；
③ 在一定条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度，即
在实践中常认为 δ=±3σ的概率约等于 1， 从而将± 3σ 称为 随机误差的极限误差 。
即： δlim=±3σ
算术平均值的极限误差： δlimL=±3σ L
*用极限误差表示 测量结果的分散
特性，亦表示测
量的不确定度。
第九页，编辑于星期二：十点 二分。
§2.3.4 系 统 误 差
一、发现方法 1、与标准量比较法 2、残余误差观察法
——即? 愈小，正态分布曲线愈陡，说明随机误差分
布愈集中，则测量方法的精密度愈高。 —— 亦即不存在系统误差时， 测量方法精密度的高低
可用? 表示。
第六页，编辑于星期二：十点 二分。
? —— 测量列中单次测量的标准偏差；
? ——测量列中相应各次测得值与真值之差。
引入残余误差的概念： 由残余误差求标准偏差 （Bessel 公式）：
由正态分布的性质 ④可知，当测量次数ｎ增大时，算术平均
值愈趋近于真值。因此 ——用算术平均值作为最后的测 量结果比用其它任一测量值作为测量结果更可靠。
第五页，编辑于星期二：十点 二分。
2．标准偏差
由式
可知，
当δ ＝0时，正态分布的概率密度
最大，即 ：
ymax=
?
1 2?
若 ? 1﹤? 2﹤? 3，则： y1max > y2max > y3max
测量误差及数据处理
x0
x
相对误差ε是一个无量纲的数据，通常以百分数的形式表
示。相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。例如，
在上面的例子中，ε1＝0.002/20×100%＝0.01%，ε2＝ 0.02/250×100%＝0.008%，可以看出，后者的测量精度更高。
1.2 测量误差的来源
计量器具 误差
计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用
（2）随机误差的评定指标
① 算术平均值 。对同一被测量进行n次等精度测量，测
量结果为x1、x2、…、xn，则算术平均值x 为：
x
x1 x2 xn n
1 n
n i1
xi
测量次数n越大，算术平均值 越趋近于真值x0。因此，用
算术平均值 x 作为最后测量结果是可靠的、合理的。
② 标准偏差σ。
用算术平均值 x 表示测量结果虽然可靠，但不能全面反
映测量精度。例如，有两组测得值： 第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002； 第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00。
两组测得值的算术平均值 x1＝ x2＝12，但第一组测得
值比较集中，第二组测得值比较分散，也就是说，第一组的 每一个测得值比第二组的更接近于算术平均值，第一组测得 值的测量精度比第二组高。此时，算术平均值就不能准确地 反映测量精度了，而常用标准偏差σ来反映测量精度的高低。
源
误差
所引起的误差。环境条件主要包括温度、湿度、气压、振
动和灰尘等，其中，温度对测量结果的影响最大。
测量人员 误差
测量人员误差是指由测量人员的主观因素所引起的误
差。例如，测量人员技术不熟练、测量瞄准不准确、估读 判断错误和测量习惯等引起的误差。
测量误差理及数据处理
第2章 测量误差理论及数据处理2.1 测量误差的基本概念 教学目的1.掌握测量误差的分类，随机误差、系统误差、粗大误差的概念和来源。
2.了解准确度、精密度、精确度，及它们与系统误差、随机误差、总误差的关系。
教学重点及难点1. 根据误差的性质，将测量误差分为随机误差、系统误差、粗大误差三类，给出了这三类误差的概念和来源。
2.与测量结果有关的三个术语：准确度、精密度、精确度，及它们与系统误差、随机误差和总误差的关系。
教学方式：讲授 教学过程：2.1.1 测量误差的定义.分类根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。
1．随机误差随机误差的定义：在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差随机误差的产生原因：对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。
这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。
随机误差的新定义：随机误差（i δ）是测量结果i x 与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值x 之差。
即i i x x δ=- （3－1）∑==+++=ni in x n n x x x x 1211Λ （n →∞） （3－2）定义的意义：随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性 随机误差愈小，精密度愈高。
2．系统误差系统误差的定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。
系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的，这些因素主要有： 1） 测量仪器方面的因素：仪器机构设计原理的缺点；仪器零件制造偏差和安装不正确；电路的原理误差和电子元器件性能不稳定等。
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四
五
测量结果=样本平均值+不确定度
Xxˆx
x
s n
12/17/2020
13
误差与测量
2.3 静态误差数据处理
一. 测量数据表示法.
在测量过程中,被测量与测试仪器的输出之间存在一定的关系.为把
这种关系建立,常常在特定的条件下改变被测量的量值,测出对应的输出,
特别是对传感器而言,这种过程称之为标定.即给出传感器输入/输出之
t(k)3.250 lim x 3.25S 10
③粗大误差的消除:
当测量值产生的误差 |x1x|3 时,便可认为粗大误差可以删除.
误差与测量
2.1.4 精密度、准确度、精确度
精密度：用标准差评定，说明测定值的分散程度（指随机误差）。 准确度：算术平均值偏离真值的程度（指系统误差）。 精确度：前二者的综合评定，有时也指精密度。
误差与测量
所以,单次测量值的极限随机误Fra bibliotek可定义为:lim 3
算术平均值的极限随机误差:
lim x 3 N3x
-- x
为算术平均值的标准值
误差与测量
②α未知时，用α的估计值S来替代，用算术平均值作为测量结果
则:
limx t(k)
S N
k—自由度=N-1 N 为测量次数 α--显著水平=1-p
例:有10个测量数据,要求测量结果的置信概率为99% 则:α=1-0.99=0.01 k=N-1=9 从P15表0-1可知
误差与测量
具有这样特性的事件称之为服从正态分布（高斯分布）， 正态分布的概率密度：
fx
1 2 ex 2 x p u 2 2
1 2 ex 2 2 2 p
测量值分布中心可用求算术平均值的方法求得：
u =
x
1 N
N
Xi
i1
——样本均值。
误差与测量
测量值的可靠性（偏离真值的程度）可用标准差来评价：
N
yi
i1
误差与测量
采用线性回归的条件:
当y,x两变量之间的相关系数的绝对值
xyyx yx
N
(yi y)(xi x)
i1
N
N
(yi y)2(xi x)2
i1
i1
大于最小相关系数 m i n 时才能采用线性回归方程,最小相关系数
的确定与N及概率有关.
误差与测量
回归方程的使用应注意:
1. 回归方程一般只适用于原测量数据所适用的范围,超出标定曲 线的范围则误差很大.
设测量值x落在区间
[utxut]
的概率 P { u t x u t} 1
—α称为显著水平（不可靠性）
当t值不同时，概率不同，见P15 表0-1 若取t=1 则 p=68.26%
t=2 p=95.45% t=3 p=99.73% 接近于100%
而测量值超过|u± 3σ|的概率很小,认为不可能出现.
间的关系.比如:测力传感器,输入为力,输出为电流,这样力与电流的关系
可用不同的表示方法表示出来. 输入力(N)
输出电流(mA)
1. 列表法:
60
12.2
70
14.2
80
16.2
90
18.3
100
20.4
150
30.4
误差与测量
2. 图示法,即描点作图 坐标可采用直角坐标,极坐标等.
上述两种方法直观但不便于从理论上分析研究,所以通常还 要采用第三种方法.
对一组数据Xi，Yi,若它们之间是线性相关的.则可用一条直线来表示，即 ：
y mx b (对线性关系的评价由相关函数来评价)
通常这条直线可用最小二乘法获得,即设实测值yi与理论计算值 y 之差的
平方和为最小,可列成下式:
N
Q (yi y)2 min i1
Q为剩余平方误差
误差与测量
N
即: Q (yi mxi b)2 min i1
2. 用最小二乘法求回归方程是以自变量误差较小或无误差为前 提的,即只考虑Y的误差而不考虑X的误差.
3. 如果两变量中一个变量的误差可以忽略,则应采用另一个变量 对该变量的回归直线（误差小的为自变量）.
4. 如果两变量的误差大体相当,则可以采用两条相交的回归直线 的平均直线.
5. 如果两个变量的误差不相当,一个误差大,一个误差小,则所采 用的中间直线应偏向于误差小的变量对另一变量的回归直线.
n l im N 1iN 1(xix0)2n l im N 1iN 1i2
或用σ的估计值
S N11iN1(xi x)2
——样本标准差
随机误差的分布与测量值相同，只是μ＝０。
误差与测量
2. 极限随机误差的估计 ①σ已知:单次测量的极限随机误差的估计
limt —— t 称为置信系数，其数值与误差出现的概率有关
2.2 测量结果的表达方式(p13)
一. 用极限误差表示测量结果
x0 xmax
二 . 区间估计原理表达测量结果
x 0 x t ˆ x
概率不同，见P15 表0-1
n
x 1 n xi i1
n
(xi x )2
ˆ 12/17/2020
x
i1
n (n 1)
(0 8)
12
三 .国际上近年来表达测量结果的方式
3. 回归方程—经验公式法. 根据数理统计的方法,求出两个甚至多个量之间的关系,用
一个数学方程来表示，该方程称之为回归方程,而建立该方程 的过程称之为回归分析,回归分析包括一元线性回归,一元非 线性回归,多元线性回归及多项式回归等.常用的是一元线性 回归分析.
误差与测量
二. 一元线性回归方程的建立
End of chapter 2
谢谢大家 请批评指正！
若要使Q最小,可通过求极值的办法来确定m和b两个未知量,即令:
m b 00m biNiN1122((yyiimmxxiibb))xi00 m，b为未知量
解方程便可求得m和b。
误差与测量
N
xi yi N .x .y
m
i1 N
x
2 i
Nx2
i1
b y mx
其中:
x
1 N
N
xi
i1
y
1 N