2010年数学高考试题评分细则
2010年普通高考数学二卷答案详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在，每小题给出的四个选项中， 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A-B ）=P(A)-P(B)一、选择题（1）{}{}{}*UU=6,A 13B 35A B =x N x ∈<==⋃设全集集合，，，，则（）ð （A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。
B={3,5}，∴ {1,3,5}A B = ，∴(){2,4}U C A B = 故选 C . （2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵ 302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=（A）3-（B ）19-（C ）19（D）3【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴11ln(1)1,1,1y x x y x ey e---=--==+(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。
数学(理科)试题参考答案及评分标准 (2).doc
2010 年广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 910．1- 11. ①②③ 12．3413. ()(),01,-∞+∞14．50 15．()1,1- 简答或提示：7．解1：设圆心为2,(0)a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则r =≥=1a =时等号成立.当r 最小时，圆的面积2S r π=最小，此时圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=，选A .解2：画图可得，当直线20x y m ++=与曲线2(0)y x x=>相切时，以切点为圆心，切点到直线210x y ++=的距离为半径的圆为所求.设切点为000(,)(0)P x y x >，因为22'y x =-，所以222x -=-，解得001,2x y ==，r =22(1)(2)5x y -+-=为所求，选A . 8．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,, (112)1231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a =，选B ．12．22012132()4(2)P A x x dx ⨯⨯==-+⎰． 14．由FP BC ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠()180A C =-∠+∠()180607050=-+=．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（1）解：依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-，……………………………2分 所以()(222cos 3sin ABθθ=-+136cos 13θθ=-+=，……………………………………………………4分3cos θθ=．因为cos 0θ≠，所以tan θ=． ……………………………………………………………6分 （2）解：由02πθ≤≤，得6AOB πθ∠=+． ………………………………………………8分所以1sin 2AOB S OA OB AOB∆=∠ 11sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………10分所以当3πθ=时，△AOB …………………………………………12分17．（本小题满分12分）（1）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．………………………………………………………1分依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 124236C C 1(2)C 5P ξ===． ∴ξ的分布列为∴ 0121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……………………………………………………………6分 （2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()2536C 1C 2P A ==，()1436C 1C 5P AB ==， ……………………………………………………10分∴()()()25P AB P B A P A ==．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………12分 解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C ，从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为25C 10=，…………………………8分 男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为14C 4=，……………………………………………10分∴()1425C 42C 105P C ===． 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………12分18．（本小题满分14分） 方法1：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ．xyz…………………………………………………………………1分 设0(1,,0)E y ()002y ≤≤．………………………………2分 （1）证明：∵()101,,1D E y =-，()11,0,1A D =--． 则()()1101,,11,0,10D E A D y =---=， ∴11D E A D ⊥，即11D E A D ⊥． ……………………………4分 （2）解：当2AE =-1D EC D --的平面角为4π．…………………………5分 ∵0(1,2,0)EC y =--，()10,2,1D C =-， …………………………………………………6分 设平面1D EC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则10110(2)0200EC x y y y z D C ⎧=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-==⎩⎪⎩n n ， ………………………………………………………8分取1y =，则()102,1,2y =-n 是平面1D EC 的一个法向量．…………………………………9分 而平面ECD 的一个法向量为()20,0,1=n ， ………………………………………………10分 要使二面角1D EC D --的平面角为4π，则121212coscos 42π=<>===⋅n n n ,nn n ，………………………12分 解得02y =()002y ≤≤．∴当2AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为4π．………………………………14分方法2：（1）证明：连结1AD ，在长方体1111ABCD A B C D -中，∵BA ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，∴1A D AE ⊥．……………………………1分 ∵11AD AA ==，则四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥．…………………………2分1A 1B11D∵1AEAD A =，∴1A D ⊥平面1AD E ．………3分∵1D E ⊂平面1AD E ，∴11D E A D ⊥． …………4分（2）解：当23AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π． …………………………………………………………5分 连结DE ，过D 作DH EC ⊥交EC 于点H ，连结1D H ．………………………………6分 在长方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，∴1D D ⊥EC ．…………………………………………………………………………………7分 ∵1DHD D D =，∴EC ⊥平面1D DH ．…………………………………………………8分∵1D H ⊂平面1D DH ，∴EC ⊥1D H ．……………………………………………………9分 ∴1D HD ∠为二面角1D EC D --的平面角，即16D HD π∠=．…………………………10分设AE x =()02x ≤≤，则2EB x =-，进而EC = ……………………11分 在△DEC 中，利用面积相等的关系有，EC DH CD AD ⨯=⨯， ∴DH =． ……………………………………………………………12分在Rt △1D DH 中，∵16D HD π∠=，∴1tan6D DDHπ=． ………………………………13分=，解得2x =-()02x ≤≤．故当2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为6π．………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．……………2分 由||||MN NP MN MP ⋅=⋅，得2(1)x =+，…………………………………………………………………4分化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．……………………………………………………………5分（2）解：由点(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ． ………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………7分 当4m ≠时，直线AK 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=，…………8分 圆心(0,2)到直线AK的距离d =令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．…………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-.…………………………………………1分∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．……2分即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，……………………………………………………………………3分3321223x <⨯=，∴1a ≥．故实数a 的取值范围为[)1,+∞．……………………………4分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．…………………………5分 ①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是 增函数，所以()()11h a f a ==-．……………………………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >．∴()f x 在21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数．∴()324327h a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．…8分④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数． 所以()()284h a f a ==-．………………9分综上()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩…………10分 （3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个 不同的交点．……………………………………………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．……14分21．（本小题满分14分）（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．……………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．…………………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=．1∵m 为常数，且0m >，∴11n n a ma m-=+()2n ≥．…………………………………………3分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．………………………………………4分 （2）解：由（1）得，()m f q =1mm=+，1122b a ==． ………………………………5分∵()1111n n n n b b f b b ---==+，…………………………………………………………………6分∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥．………………………………………………7分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………………8分∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（∈n N *）．………………………………9分 （3）证明：由（2）知221n b n =-，则()22421n b n =-．…………………………………10分 所以2222123n n T b b b b =++++ ()2444492521n =++++-，………………………11分当2n ≥时，()()24411222121n n n n n <=----， ………………………………………12分所以()2444492521n T n =++++-41111114923341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭4011899218n =+-<．…………………………………………………………………14分。
2010年全国高考文科数学试题-山东
2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页, 满分150分, 考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式： 锥体的体积公式：Sh V 31=.其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A ，B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A ，B 独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集=R U ，集合{}240M x x =-≤ ，则U M =ð （ ）A.{}22x x -<<B.{}22x x -≤≤C.{}22x x x <->或D. {}22x x x ≤-≥或2. 已知2i i(,)ia b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则=+b a （ ）A. -1B. 1C. 2D. 33. 函数)13(log )(2+=xx f 的值域为 （ ）A.(0,)+∞B.[)0,+∞C.(1,)+∞D.[)1,+∞4. 在空间，下列命题正确的是 （ ） A. 平行直线的平行投影重合 B. 平行于同一直线的两个平面平行C. 垂直于同一平面的两个平面平行D. 垂直于同一平面的两个平面平行5.设()f x 为定义在R 上的函数.当0x ≥时，()22()xf x x b b=++为常数，则(1)f -=（ ）A. -3B. -1C. 1D. 36. 在某项体育比赛中，七位裁判为一位选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为（ ） A. 92，2 B. 92 ，2．8C. 93，2D. 93，2．87. 设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为21812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件9. 已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段A B 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为 （ ） A.1x = B.1x =-C.2x =D.2x =-10. 观察2'()2x x =，4'3()4x x =,(cos )'sin x x =-. 由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()()g x f x 为的导函数，则()g x -= （ ）A.()f xB.()f x -C.()g xD.()g x -11.函数22xy x =-的图象大致是 （ ）ABCD12. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的(,),()m v p q ==⋅a b ，令a ⊙ .mq np =-b 下面说法错误的是 （ ） A. 若a 与b 共线，则a ⊙0=bB. a ⊙=b b ⊙aC. 对任意的,()λλ∈R 有a ⊙(λ=b a ⊙)bD. (a ⊙222)()||||2+⋅=b a b a bD.2222()()a b a b ab +⋅=e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.13.执行右图所示流程框图，若输入4x =，则输出y 的值为____________________． 14. 已知,x y +∈R ，且满足134x y +=，则xy 的最大值为____________________．15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,， 若2cos sin ,2,2=-==B B b a ，则角A 的大小为 .16.已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l被该圆所截得的弦长为，则圆C 的标准方程为____________.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数2()sin()cos cos (0)f x x x x ωωωω=π-+＞的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值. 18. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令*21()1n n b n a =∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19. （本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（Ⅰ）从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m +＜的概率. 20. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ABCD ⊥平面,PD ∥MA ,E G F ,,分别为MB ，PB PC ,的中点，且2AD PD M A ==． （Ⅰ）求证：平面EFG PDC ⊥平面;（Ⅱ）求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --．21. （本小题满分12分） 已知函数1()11().a f x nx ax a x-=-+-∈R（Ⅰ）当处的切线方程；，在点（时，求曲线))2(2)(1f x f y a =-= （Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．22. （本小题满分14分） 如图，已知椭圆12222=+by ax (0)a b >>过点（1，22），离心率为22，左、右焦点分别为12,F F ．点P 为直线l ：2x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B ,和,C D O ,为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF ，2PF 斜率分别为1k 2k ,．（ⅰ）证明：12132k k -=；（ⅱ）问直线l 上是否存在一点P ，使得直线O A O B O C O ,,,的斜率O A O BO COk kkk ,,,满足0O A O B O C O D k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案评分说明： 1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1. C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. B 7. C 8.C 9.B 10.D 11.A 12.B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13.54-14.3 15.6π 16.22(3)x y -+=4三、解答题17. 本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力，满分12分.（Ⅱ）由（Ⅰ）知21)42sin(22)(++=πx x f ，所以21)44sin(22)2()(++==πx x f x g .当60π≤≤x 时，2444πππ≤+≤x ，所以1)44sin(22≤+≤πx .因此 1()2g x ≤≤，故()g x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最小值为1． 18. 本小题主要考察等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力. 解：（Ⅰ）设等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d . 由于a 3=7，a 5+ a 7=26， 所以 a 1+2d =7，2a 1+10d =26，解得 a 1=3，d =2.由于 a n = a 1+（n -1）d ，S n = 12n (a 1+ a n ),所以a n =2n +1, S n =n 2+2n . （Ⅱ）因为a n =2n +1，所以 a n 2-1=4n （n +1），因此1111()4(1)41n b n n n n ==-++. 故 T n =b 1+ b 2+…+ b n = 14(1-12+ 12-12+…+1n-11n +)=14(1-11n +)=4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)n n +.19. 本小题主要考察古典概型、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的能力，满分12分.解：（Ⅰ）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个. 从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2, 1和3两个.因此所求事件的概率为13.（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果（m , n ）有： （1,1），（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1），（3,2）, （3,3） （3,4）,（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个.又满足条件n ≥ m +2 的事件为（1,3），（1,4），（2,4），共3个，所以满足条件n ≥ m +2 的事件的概率为1316P =.故满足条件n <m +2 的事件的概率为.20. 本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力，满分12分. （Ⅰ）证明：由已知,,MA ABCD PD MA ⊥平面∥ 所以PD ABCD ∈平面. 又BC ABCD ⊂平面， 所以P D D C ⊥.因为四边形ABCD 为正方形， 所以B C D C ⊥. 又=PD D C D ⋂， 因此BC PDC ⊥平面.在P B C 中，因为G , F 分别为PB ，PC 的中点， 所以G F P C ∥， 因此GF PDC ⊥平面. 又GF EFG ⊂平面，所以EFG PDC ⊥平面平面．（Ⅱ）解：因为PD ABCD ⊥平面,四边形ABCD 为正方形，不妨设=1M A ， 则 ==2P D A D， 所以1=3P -A B C D A B C D V S 正方形·8=3P D .由于DA MAB ⊥面，且P D M A ∥所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥 322212131V MAB -P =⨯⨯⨯⨯=，所以4:1V V ABCD -P MAB -P =：.21. 本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.满分12分.解：（Ⅰ）当=-=)(1x f a 时，2ln 1,(0,).x x x x++-∈+∞所以)('x f 222,(0,)x x x x+-=∈+∞，因此，）（12=f即曲线()2(2)) 1.y f x f =在点（，处的切线斜率为 又,22ln )2(+=f所以曲线()2(2))(ln 22)2,y f x f y x =-+=-在点（，处的切线方程为ln 20x y -+=即.（Ⅱ）因为11ln )(--+-=xa ax x x f ，所以211)('xa a xx f -+-=221xa x ax-+--=，),0(+∞∈x .令,1)(2a x ax x g -+-=(0,).x ∈+∞（1）当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时，所以当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0,f x '>函数f(x)单调递.（2）当0a f x '≠时,由()=0，即210ax x a -+-=，解得1211,1x x a==-.①当12a =时，12,()0x x h x =≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； ②当110,1102a a<<->>时(0,1)x ∈时，()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减； 1(1,1)x a∈-时，()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增；1(1,),()0x h x a ∈-+∞>时，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；③当0a <时，由于110a-<(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在（０，１）上单调递减； 函数()f x 在（１，＋∞）上单调递增； 当12a =时，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a-上单调递增；函数1()(1,)f x a-+∞在上单调递减，22. 本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力.（Ⅰ）解：因为椭圆过点（1，2），e =2.所以221112ab+=，2c a=．又222a b c =+，所以11a b c ===，.故所求椭圆方程为2212xy +=．（Ⅱ）（ⅰ）证明：方法二:1,1,,P 00200100-=+=x y k x y k y x 则）（设因为点P 不在x 轴上，所以00≠y .又200=+y x ， 所以22241313100000021==-=--+=-y y y x y x y x k k ）（.因此结论成立.（ⅱ）解：设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，(,)C C C x y ，(,)D D D x y ．12,1,0,0,022222--=+≠≠≠k k k k k x x OD OC D c ，故1222122()11O A O B O C O D k k k k k k k k +++=-+--2212112222122(1)(1)k k k k k k k k -+-=---121222122(1)()(1)(1)k k k k k k -+=---.若0O A O B O C O D k k k k +++=，须有12k k +=0或12k k =1．① 当12k k +=0时，结合（ⅰ）的结论，可得2k =－2，所以解得点P 的坐标为（0，2）；② 当12k k =1时，结合（ⅰ）的结论，可得2k =3或2k =－1（此时1k =－1，不满足1k ≠2k ，舍去 ），此时直线CD 的方程为3(1)y x =-，联立方程2x y +=得54x =，34y =因此53 (,)44 P．综上所述，满足条件的点P的坐标分别为(0,2)，（54，34）.。
2010年高考数学重庆卷试题评析及建议
2010年高考数学重庆卷试题评析及建议重庆市教育科学研究院张晓斌400015一、命题范围及试卷结构本次考试的命题范围是全日制普通高中数学必修课和选修课的全部内容。
本次试题充分考虑了文理科学生的实际情况，拉大了文理科试题的差异，既体现了个性，也体现了共性，文理科试题差异个数见下表。
表1 文理科试题差异个数二、命题原则及指导思想今年重庆高考数学试题，按照国家教育部考试中心2010年制定的《数学考试大纲》的要求，严格遵循现行中学数学教学大纲的规定，力求发挥三个有利——有利于高校选拨优秀人才，有利于全体学生正常发挥水平，有利于指导中学数学教学。
充分体现“以四基为本，深化能力立意，积极改革创新，注重导向作用”的命题指导思想，并希望能对中学数学教学如何实施素质教育和培养学生创新意识与实践能力方面产生良好的影响。
三、试题的特点1.低起点，多层次，重基础，宽角度这是今年高考文理科数学试题的一个最大特点，也是往年所不能企及的，重视基础知识、基本技能的全面考查，不少题目起点低，入手容易深入难，为大多数考生作答创造了条件，也有利于考生能够发挥出正常水平，获得自己较为满意的成绩。
如文理科选择题的前8个题，填空题的前3个题，每一个解答题的第1问都是非常基础和容易入手的，且入手的角度较多，绝大多数学生都能够得到满分的，这样考生就获得了一个基本分数，也就有时间有信心去解决后面一些稍难的问题。
本次考题严格遵循考试大纲，注重基本知识、基本技能和基本的数学思想方法的考查，大多数题目是常规常见题，较好的体现了循序渐进，入手宽，深入难，分步设防，多层次，多题把关的设题思路，使不同层次的学生都能下笔答题，获得较为理想的成绩，这样区分度也会自然提高。
应该说这是今后高考命题在难度控制上的一个参照。
2.突出数学本质与数学思想方法的考查本次考题不偏不怪，常规常见，题面叙述平适近人，数学味较浓，淡化非数学成分，不少试题体现了对数量关系和空间形式的要求，突出了数学本质的考查。
2010年高考数学试题评价
第 4题图三、2010年高考数学试题评价1．已知集合 {|||2 A x x =£ ， } x R Î ， {|4 B x x =£ ， } x Z Î ，则A B = I （ ）A ．(0，2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}命制意图与评析：考查集合的基本概念与集合运算，同时考查了数集的特定符号，这几 年考查集合概念与运算题型稳定，但难度有所上升． 2．已知复数 23 (13)z + =- i i ，z 是z 的共轭复数，则z z = g （ ）A ．1 4 B ． 12C ．1D ．2命制意图与评析：考查复数的乘除运算，共轭复数的概念与性质，前几年都考查复数的 简单运算，多属于复数概念和分母实数化，2010 年对复数的考查难度明显加大，增加了对复数的平方运算和共轭复数的性质 2z z z = g 考查． 3．曲线 2xy x =+ 在点(1 - ， 1) - 处切线方程为（ ） A ． 21 y x =+ B ． 21 y x =- C ． 23 y x =-- D ． 22y x =-- 命制意图与评析：考查商数的导数运算，导数的几何意义和点斜式方程，属于常见的 基础题，这几年曲线的切线问题出现的机率较高，多数出现在小题中，有时出现在大题中， 如 2008 年就出现在大题中，应该说对多数考生难度是不大的，但要注意区分在某点处和过 某点的曲线的切线问题．4．如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为0 (2 P ， 2) - ，角速度为 1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（） （注意曲线画的有点误差！）A ．B ．C ． D．命制意图与评析：考查三角函数的图像、性质及物理学上圆周匀速运动的概念，同时考 查考生识图像能力，利用特别赋值排除选项的能力．教学中要向考生渗透数形结合思想．题 再往下发展就是要考虑质点在x 轴和 y 轴方向的速度，就得自用导数解决问题了．5．已知命题 1 p ：函数 22 x x y - =- 在R 上为增函数， 2 p ：函数 22 x xy - =+ 在R 上为减函数，第 7 题图 则在命题 1 q ： 12 p p Ú ， 2 q ： 12 p p Ù ， 3 q ： 12 () p p ØÚ 和 4 q ： 12 () p p ÙØ中，真命题是（ ） A ． 1 q ， 3q B ． 2 q ， 3q C ． 1 q ， 4q D ． 2 q ， 4q 命制意图与评析：考查简单逻辑用语中“与” （一假则假，都真则真） 、 “或” （一真则 真，都假则假） 、 “非” （真假相对）运算性质，事实还考查了函数 ( ) ( ) f x f x -- 是奇函数，( ) ( ) f x f x +- 是偶函数这个性质．回顾简单逻辑用语命题规律，07 年特称命题的否定，08年的充要条件，09 年以三角函数为背景的命题真假判断，2010 年考查“与” 、 “或” 、 “非” 运算性质是在预料之中的事，未来试题走向就不好判断了．6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补 种 2 粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A ．100 B ．200 C ．300 D ．400命制意图与评析：考查了二项分布列及数学期望，同时考查了离散变量的线性关系的数 学期望公式 () E a b aE b x x +=+ ．由于在大题中没考查离散变量的分布列，作为整体考虑就 设计了这个小题，这道应是常见的基础题． 7．如果执行如图所示的框图，输入 N =5， 则输出的数等于（ ）A ．5 4 B ．45 C ．6 5 D ．5 6命制意图与评析：考查了简单的循环结构，并且把简单合 情推理结合起来了，事实上，对于k =1，2，3，…，时，一组数列是： 1 2 ， 2 3 ， 34，…关键要找到终止条件．这几年一直再考查程序框图，多数是在考查循环结构与数列结合的情 境，试题的走向比较稳定，从数学逻辑思维上去掌握框图．8．设偶函数 ( ) f x 满足 ( ) 38 f x x =- （ 0 x ³ ），则 ( ) { } |20 x f x ->=（）A ．{|2 x x <- 或 4} x >B ．{|0 x x < 或 4} x >C ．{|0 x x < 或 6} x >D ．{|2 x x <- 或 2}x > 命制意图与评析：考查了函数的奇偶性，函数图像及数形结合思想，属于考查综合能力的试题，考生平时养成勤作函数草图，理解不等式的含义，采用数形结合方法解决问题也是 比较简单的． 这几年考查函数的图像与性质的题目不多， 考生复习中容易忽视这方面的内容．9．若 4 cos 5 a =- ，a 是第三象限的角，则1tan2 1tan 2aa + - =（ ）A ． 1 2 - B． 1 2C．2 D． 2- 命制意图与评析：考查同角的三角函数关系式和半角的万能公式，也可以考查两角和的 正切公式的逆向思维和半角的公式， 应该说新课程对半角公式和同角关系式的要求降的很低了，现行教材考查这些东西相对有一定的难度，半角的万能公式属于考生了解的内容，平时 训练这类问题不多．三角函数中学对图像及性质，两角的和与差公式和欧拉变换平时训练的 较多，考生掌握的较好，从考试走向来看，今后要加强三角变换训练．10．设三棱柱的侧面垂直于底面，所有棱的长度都为a ，顶点都在球面上，则该球的表面积 为（ ）A． 2a p B ． 2 7 3 a p C． 2 11 3a p D． 2 5 ap 命制意图与评析：考查考生三棱柱内接于球的情形，考查考生分析球心所在的位置，事 实上考查了正三角形的中心到顶点的关系，要分析球心在两底中心连线的中点，各个顶点到 中心的距离都是球的半径，也考查了球的表面积公式．这几年考查球内接长方体情形较多， 考查球内接三棱柱不多，立体几何喜欢考查球内多面体的问题．11． 已知函数 ( ) |lg |,010 1 6,10 2x x f x x x <£ ì ï= í -+> ï î ， 若a ，b ，c 互不相等， 且 ( ) f a ( ) f b = ( ) f c = ，则abc 的取值范围是（ ）A ．(1，10)B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)命制意图与评析：考查函数的图像与性质，图像的关键点的找出与利用，考查估算与预 测能力，利用函数图像解决问题．平时绘画草图对解函数题在平时复习中应引起注意． 12．已知双曲线E 的中心为原点， ( ) 3,0 F 是E 的焦点，过点F 的直线l 与E 相交于 A ，B 两点，且AB 的中心为 (12,15) N -- ，则E 的方程为（）A． 22 1 36 x y -= B ． 22145 x y -= C ． 22 1 63 x y -= D ． 22154x y -= 命制意图与评析：综合考查直线方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的应用 及待定系数的思想方法，如果按提供的数据把草图画的规范可以直接看出结果．13．设 ( ) y f x = 为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 ( ) 01 f x ££ ，可以用随机模拟方法近 似计算积分 ( ) 10 f x dx ò ，先产生两组（每组N 个）区间[0，1]上的均匀随机数 1 x ， 2 x ，…，N x 和 1 y ， 2 y ， …， N y 由此得到N 个点(,) i i x y （1 i = ，2， …，N ） ． 再数出其满足 ( ) i i y f x £ （ 1 i = ，2，…，N ）的点数 1 N ，那么由随机模拟方法可得积分 () 10 f x dx ò 的近似值为 1N N命制意图与评析：考查几何概型、积分的概念及教材中的随机模拟估计面积例题，考查 考生对数学概念与模拟实验的本质的理解，只要理解了题的含义，推断出结果并不难．试题 在选择题上面走向是向传统教材靠拢，但对必修三、选修 23教材的考查与挖掘的力度还是 很大．14．正视图为一个三角形的几何体可以是 （写出三种）命制意图与评析：开放性考查考生对空间几何的认识，考查考生识图与视图能力，考查考生的空间想象能力．考查三个视图轮廓线的概念．15．过点 ( ) 4,1 A 的圆C 与直线 10 x y --= 相切于点 (2,1) B ，则圆C 的方程为命制意图与评析：直线与圆相切的性质，圆的切线的性质及圆的方程，考查对基础知识 与基础概念的掌握．16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点， 1 2BD DC = ， 120 ADB Ð= o， 2 AD = ．若△ADC的面积为33 - ，则 BAC Ð=命制意图与评析：考查了解斜角三角形的二大内容：三角形面积公式和余弦定理，也 考查了考生的转化思想和处理几何信息的能力．17．设数列{ } n a 满足 1 2 a = ， 211 32 n n n a a - + -= g． （Ⅰ）求数列{ } n a 的通项公式；（Ⅱ）令 n n b na = ，求数列{ } n b 的前n 项和 n S ．解：（Ⅰ）由 21 1 32 n n n a a - + -= g，令 1 n = ，2，…， 1 n - ， 得 1 21 32 a a -= g ，3 32 32 a a -= g ， 5 43 32 a a -= g ，………………231 32 n n n a a - - -= g ，上述 1 n - 个式相加，得351 3(222 n a a =++++ (23)2) n - + 1 2(14) 23 14n - - =+´ - 21 2 n - = ；（Ⅱ） n n b na = 1 4 2 n n = g，则 21 11 4(1424 22n k n k S k = ==++ å g g ... 4) n n + g 令 2 1424 n T =++ g g ... 4 n n + g .........，则 23 41424 n T =++ g g (1)(1)44 n n n n + +-+ ………②②—①得， 2 3(44 n T -=++ (1)4)4 n n n + +- 14(14) 4 14n n n + - =- - g ，所以， 44 (14)4 93 n n n n T =-+ g 44 (31)4 99 n n =+- g ， 因此， 22 (31)4 99nn S n =+- g ．命制意图与评析：考查数列的递推关系，等比数列前n 的求和公式，用叠加法求通项公 式，用错位相减的求和公式，这些都是数列的通性通法，但难度较大，错位相加考生学习 过程并不困难，但真正被考生掌握是特别困难的，新课程背景下的考生运算能力极差，是 中学数学教育中无法回避的短板，也是考生很难跨过的一道坎．18．如图，已知四棱锥P ABCD - 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC BD ^ ，垂足为H ， PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． （Ⅰ）证明：PE BC ^ ； （Ⅱ）若 60 APB ADB Ð=Ð= o ，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值． 解法一：（Ⅰ）延长EH 交BC 于F ，在△CAB 和△DBA 中， ∵ ABCD 为等腰梯形， ∴CB DA = ， CBA DAB Ð=Ð ， AB BA = ，∴△CAB ≌△DBA ， ∴ 35 Ð=Ð ，又∵EH 是直角三角形AHD 斜边的中线 ∴ AE EH = ， ∴ 12 Ð=Ð 4 =Ð ，在直角三角形AHD 中，1390 Ð+Ð= o ，即 4590 Ð+Ð= o ，∴ 90 HFC Ð= o ，即EH BC ^ ，又∵PH ^平面 ABCD ，BC Ì平面ABCD ， ∴PH BC ^ 图，又∵PH ，EH 是平面PEH 内两相交直线， ∴BC ^ 平面PEH ， 又∵ PE Ì平面PEH ∴ PE BC ^ ；（Ⅱ）由于△AHB 是等腰直角三角形，则 45 HAB Ð= o ，又因为 60 ADB = o ，则 130 Ð= o ，设 AB AP a == ，则 sin 45sin 60 AD AB = o o，得 6 3 AD a = ， 66EH a = ，设PH h = ，则 22 22() 22h a a a =-= ，作AK 垂直HE 延长线于K ，则AK ^平面PEH ， 则 2 sin 2 4 AK AH a =Ð=，所以， 2sin 4AK APK AP Ð== ， 故直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值是 24．解法二：易知AC ，BD ，PH 两两垂直，建立空间直角坐标系H xyz - （如图），由于ABCD 为等腰梯形，设 AH BH m == ，CH DH n == （n m < ） ，HP h = ， 则 (,0,0) A m ， (0,,0) B m ， (,0,0) C n - ， (0,,0) D n - ， ( ) 0,0, P h ，由于E 是 AD 中点，则 (,,0) 22 m nE - ，3 分 （Ⅰ）∵ (,,) 22m nEP h =- uuu r ，∵ (,,0) BC n m =-- uuu r，∴ ()()00 22m n EP BC n m h =-´-+´-+´= uuu r uuu r g （此算式1 分，没有扣 1 分），∴ EP BC ^ uuu r uuu r，即PB BC ^ ；（Ⅱ）∵ (,0,) PA m h =- uuu r ， (0,,) PB m h =- uuu r ，∵ 60 APB = o，∴ 2 22221 cos60 2hm h m h == +´+ o，即 2222h m h =+ ，………①∵ (,,0) DA m n =-- uuu r ，∵ (0,,0) DB n m =-- uuu r ，∴ 2222 ()1cos 60 2 ()n n m nm n n m m n+ === +´++ o ，即 3 m n = ，………② 由①、②得， 3 m n = ， 3 h n = ，因为z 轴Ì平面PEH ，所以平面PEH 的法向量可设 (,1,0) x = n ，由于 (,,0) 22 m nHE =- uuu r ，所以， 00 22 m n HE x =-+= n uuu r g ，解之 n x m = ，即 3 (,1,0) 3= n ，所以， (3,0,3) AP n n =- uuu r，设线PA 与平面PEH 所成角是q ，则sin AP AP q = nnuuu rg uuu r 46 3n n =g2 4=， 故直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值是2 4．（1 分） 命制意图与评析：以四棱锥为背景来考查空间几何线线垂直、直线与平面成角、平面 几何中等腰梯形的性质及空间向量应用中平面法向量的设置和用公理体系中直面成角的定 义与角的找法．应该说难倒考生道不空间几何问题， 而是平面几何问题和考生的分析问题与 解决问题的能力．中学数学教育中另一短板是学生的平面几何知识学的很不扎实，其原因除 课标因素外，另一个原因是中考的命题，初中不是基础教育的最终学段，中考中有相当多的 内容不列入考试， 致使很多内容初中没有学． 按新课标之理念， 初中有对称图形对折叠问题， 高中有合情推理问题， 命题者怎么不能想到考生中百分之九十的人不会用等腰梯形对角线的 对称性（AH =BH ，CH =DH ） ．在立体几何中设未知数问题本来几年前外省考试中已经是一种趋 势，但对于见到未知量就怕的新课标下的考生确是又是迈不过的一道坎．19．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男 女 需要 40 30 不需要160270（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）是否有99% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿 者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：2 ()P K k ³ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．635 10．828( )( )( )( )22()n ad bc k a b c d a c b d - =++++ 解：（Ⅰ）该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为 304014% 500+ = ；（Ⅱ） 22500(4027016030)70430200300k ´-´ = ´´´ 9.967 = 6.635 > ，所以有99% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关； （Ⅲ）由（Ⅱ）知有99%把握认为老年人是否需要提供帮助与性别有关，抽样时按老年人的性别抽样，其中需要提供帮助男老年人的比例是 1408% 500P == ； 需要提供帮助女老年人的比例是 2 306% 500P == ．命制意图与评析：考查独立检验的 2×2 列联表，抽样调查方法，设计抽样方法搜集数 据和用样本估计总体等知识．试题难度不大，但对于这类问题中学教学中注意不够，是容易 被忽视的内容．这几年高考把课标 23 新增加的内容都已经考了，对于概率与统计离散数学 试题的走向不好判断了，应该回归过程事件分析中．20．设 1 F ， 2 F 分别是椭圆E ： 22221 x y a b+= （ 0 a b >> ）的左、右焦点，过 1 F 斜率为1的 直线l 与E 相交于A ，B 两点，且 2 AF ， AB ， 2 BF 成等差数列．（Ⅰ）求E 的离心率；（Ⅱ）设点 (0,1) P - 满足 PA PB = ，求E 的方程． 解（Ⅰ）由 2 AF ， AB ， 2 BF 成等差数列得，2 AF + 2 BF 2 = AB ，由椭圆定义 2 AF + AB + 2 BF 4a = ，所以， 43AB a = ，设 11 (,) A x y ， 22 (,) B x y ，直线 AB ： y x c =+ ，联立 2222220 b x a y a b y x c ì +-= í =+ î，得 2222222()2()0 b a x a cx a c b +++-= ，2 12 22 2a c x x b a +=- + ， 22212 22() a c b x x b a- = + （或△ 22222 4() a b b c a =-+ 248a b = ） 2121212 ()4 x x x x x x -=+- （弱智公式）（或 212 222222ab x x b a b a-== ++ V ）， 2 2 12 224 11|| ab AB x x b a =+-= + 4 3 a = ，即 2222222 a b a c ==- ，解之 2 2e = ； （或用焦半径公式： 12 ||2() AB a e x x =++ 2 222 2 c a a b a =- + 43a = ， 22 2 a c = ） （Ⅱ）设椭圆E ： 2222 1 2 x y b b += （ 0 b > ），由于 PA PB = ，则点 (0,1) P - 在线段 AB 的中垂线上 ， 设 AB 中点 00(,) M x y ， 联立 222220x y b y x bì +-= í =+ î ， 2 340 x bx += ， 120 2 23 x x b x + ==- ， 0 2 33 b b y b =-+= ， 线段AB 的中垂线： 2 () 33b y x b -=-+ ， 将点 (0,1) P - 代入得， 2 1 33 b b --=- ，解之 3 b = ，故椭圆E ： 221 189x y += ．命制意图与评析：考查直线方程和直线与圆锥曲线的关系，利用方程思想分析位置关系， 同时考查了等差数列的定义，都属于传统平面解析试题．如果使用焦半径公式做可能更简捷 些，命题者往往喜欢在新增内容和减弱处命题，但解答绝对是不超纲的，对数学试题而言超 不超纲，学问全在做答案上．平时命制试题要说让课标和考纲去见鬼吧！ 21．设函数 ( ) 2 1 x f x e x ax =--- ．（Ⅰ）若 0 a = ，求 ( ) f x 的单调性区间； （Ⅱ）若 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）若 0 a = 时， ( ) 1 x f x e x =-- 的定义域为(,) -¥+¥ ，( ) 1 x f x e ¢ =- ，令 ( ) 0 f x ¢ = ，得 0 x = ，作出 ( ) f x ¢ 的根轴图：（或当 (,0) x Î-¥ 时， ( ) 0 f x ¢ < ，当(0,) x Î+¥ 时， ( ) 0 f x ¢ > ），所以， ( ) f x 的减函数区间是(,0) -¥ ；增函数区间是(0,) +¥ ．（Ⅱ）（i ） 若 0 a > 时， ( ) 12 x f x e ax ¢ =-- 由于 1 x e x ³+ ， ( ) 2(12) f x x ax a x ¢ ³-=- ，(12)0 a x -= ，得 0 x = ，（i ）若120 a -³ ，即 1 2a £ 时，当 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ¢ ³ ，而 (0)0 f = ，于是， 有 ( ) (0)0 f x f ³= ；（ii ） 若 12a > 时， 由于 0 x ¹ 时， 1 x e x >+ ， 可得 1 x e x - >- ，1 x e x - ->- ，所以， 22(1) xax a e - -<- ， ( ) 12(1)(1)(2) x x x x x f x e a e e e e a -- ¢ <-+-=-- ，当 (0,ln 2) x a Î 时， ( ) 0 f x ¢ < ，而 ( ) 00 f = ，于是存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) (0)0 f x f <= ，即 12 a > 时， ( ) 0 f x ³ 在[0,) +¥ 不恒成立，综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．（Ⅱ）（另解：）（i ）若 0 x = 时， ( ) 0 f x ³ 成立时，a 是任意实数；（ii ）若 0 x > 时， ( ) 0 f x ³ 等价于 22 11 x e a x x x £-- ，令 ( ) 2 1 x e x g x x -- = ，由（Ⅰ）知1 xe x ³+ （仅 0 x = 等号成立）， 所以 ( ) 2 (1) 0 x e x g x x -+ => ， ( ) 3(1)2(1) x x e x e x g x x---- ¢ = ， 即 ( ) 3 (1)2(1)2 x x e x e x g x x ---+ ¢ = 3(1)2(1)x x e x e x+-- = 因为 0 x > ，要 ( ) 0 g x ¢ > ，只需(1)2(1)0 x x e x e +--> ，现在设 ()(1)2(1) x x h x e x e =+-- ，即只需 ()22 x x h x xe e x =-++ 0 > （x 0 > ）， 又 (0)0 h = ，则只需 ()0 h x ¢ > （x 0 > ）， （1）当 1 x ³ 时因为 ()21x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1x e x =-+ (1)(1)1 x x >+-+ （ 1 x e x ³+ ）当 1 x ³ 时 2 0x => 即 () h x ¢ 0 > （2）当 0<x<1 时因为 ()21x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1x e x =-+ 此时，令 ()(1)1 x t x e x =-+ ，则 () x t x xe ¢ = >0，所以 ()(0)0 t x t >= ， 综上所述： () h x (0)0h >= 所以 ( ) 3 (1)2(1)2 x x e x e x g x x ---+ ¢ = 3(1)2(1) x x e x e x+-- = 0 > ， 则 ( ) g x 在区间(0,) +¥ 上是增函数，因此， 0 lim () x a g x ® £ 2 0 1 limx x e x x ® -- = 0 1 lim 2 x x e x ® - = 0 1lim 22x x e ® == ， 综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．解法：令 ( ) 12 x g x e ax =-- （ 0 x ³ ），则 ( ) 2 x g x e a ¢ =- ，由于 0 x ³ ，则 1 x e ³ ，则 12a £ 时， ( ) 0 g x ¢ ³ ，所以 ( ) g x 在(0,) +¥ 是增函数，即在[0,) +¥ 是增函数，所以 ( ) ( ) 00 g x g >= ，所以，当 12 a £ 时， [0,) x Î+¥ 时， ( ) 0 f x ¢ ³ ， ( ) ( ) 00 f x f ³= ；当 12a > 时，存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) 0 g x ¢ < ，则 ( ) g x 在[0,ln 2) a 是减函数，所以存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) ()00 f x f <= ，所以 12a > 时， 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ 不恒成立，综上所述实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．命制意图与评析：考查了用导数解决函数的单调性问题，不等式成立的充分必要条件，分 类讨论思想．从解题机理分析，实际上是在考查问题的充分性和必要性．但解答不是中学数 学教育中的通性通法，中学教师和考生对解答的接受有一定的难度．附：一道新课标高考试题解法机理分析及其通性通法海南华侨中学 李红庆（570206）2010年全国统一招生考试理科 （新课标） 数学试卷的第21题： 设函数 ( ) 21 x f x e x ax =--- ．（Ⅰ）若 0 a = ，求 ( ) f x 的单调区间；（Ⅱ）若 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ，求a 的取值范围．这一道题看似简单其实是一道深思熟虑的试题，尤其是第（Ⅱ）问，命题者给出的答案 非常巧妙并且颇有思辨性，但命题者解法不是中学数学教育中的通性通法， 该解法中学教师 和中学生接受都有点困难． 基于此， 本文就命题者的解法机理分析及其通性通法谈一下看法．先看命题者给予的解答（记为方法 1）： 方法 1：（Ⅱ） ( ) 12 x f x e ax ¢ =-- ，由于 1 x e x ³+ ， ( ) 2(12) f x x ax a x ¢ ³-=- ，（i ）若120 a -³ ，即 12 a £ 时，当 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ¢ ³ ，而 (0)0 f = ，于是，有 ( ) (0)0 f x f ³= ；（ii ）若 12a > 时，由于 0 x ¹ 时， 1 x e x >+ ，可得 1 x e x - >- ， 1 x e x - ->- ，所以，22(1) xax a e - -<- ， ( ) 12(1)(1)(2) x x x x x f x e a e e e e a -- ¢ <-+-=-- ，当 (0,ln 2) x a Î 时， ( ) 0 f x ¢ < ，而 ( ) 00 f = ，于是存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) (0)0 f x f <= ，即 12a > 时， ( ) 0 f x ³ 在[0,) +¥ 不恒成立，综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．1、解题机理分析：从命题的逻辑关系来看，所谓的“若 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ，求a 的取值范围． ”实际上是 求“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充要条件，解答中对参量a 的分类讨论“ （i ）若 12a £时，任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ¢ ³ ，所以当 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ” ，即“ 12a £ ”就是“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充分条件， 并非是必要条件， “ （ii ） 若 12a > 时，存在 (0,ln 2)x a Î 时， ( ) 0 f x < ， ”是求的“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的必要条件，即“若 x "Î[0,) +¥ ，( ) 0 f x ³ ，则 1 2 a £ ”等价于“若 12a > 时，则存在 [0,) x Î+¥ ， ( ) 0 f x < ” ．从同一解题思想方法出发， 还可以选择两次求导数的方法来求 “任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ” 的充要条件．方法 1：（Ⅱ） ( ) 12 x f x e ax ¢ =-- ，令 ( ) ( ) g x f x ¢ = ，则 ( ) 2 x g x e a ¢ =- ，由于 0 x ³ 时，1 x e ³ ，若 12a £ 时， ( ) 0 g x ¢ ³ （等号仅当 0 x = 时成立），所以， ( ) g x 在[0,) +¥ 上单调递增，且 ( ) 00 g = ，因此，当 0 x ³ 时， ( ) ( ) 00 g x g ³= ，即 ( ) 0 f x ¢ ³ ，且 ( ) 00 f = ，所以， ( ) ( ) 00 f x f ³= ；由于 ( ) 0 g x ¢ ³ 只是“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充分条 件，同方法1 一样也要求“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的必要条件，以下同方法一． 方法 1、方法 2分别利用了若 0 x ³ ，则 1 x e x ³+ 1 ³ 的结论，事实上，对于 0 x ³ ，有更精确的结论是 2 11 2x e x x ³++ ，并且利用这个结论恰好可以进行变量分离、构造函数和化归成恒成立问题来来解决，而变量分离、构造函数和化归成恒成立问题也恰好是中学数学常用的通性通法和思想方法，并且可以直接得到“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充要条件． 2、本题的通性通法：方法 3（参变量分离法）： （Ⅱ）（i ）若 0 x = 时， ( ) 0 f x ³ 成立时，a 是任意实数；（ii ）若 0 x > 时， ( ) 0 f x ³ 等价于 22 11 x e a x x x £-- ，令 ( ) 21 x e x g x x -- = ，令 21 ()1 2x K x e x x =--- ， ( ) 1 x K x e x ¢ =-- ，由于 1 x e x ³+ ， ( ) 0 K x ¢ ³ ，() K x 在(0,) +¥ 上是增函数，即在[0,) +¥ 上是增函数，且 (0)0 K = ， ()(0)0 K x K ³= ，即 2 1 1 2 xe x x ³++ ，而 ( ) 2 1 xe x g x x -- = 221 12 2xx >= ， 即 1 2 a £ ，综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．方法 4（化归思想）：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 0 x ³ 时， 1 x e x ³+ ，令 ( ) 211 2x h x e x x =--- （ 0 x ³ ），则 ( ) 10 x h x e x ¢ =--³ ，则 ( ) h x 在区间[0,) +¥ 上是增函数，且 ( ) 00 h = ，所以， ( ) 2 1 1 2 x h x e x x =--- 0 ³ ，即 2 11 2x e x x ³++ ，所以， ( ) 2(1) x f x e x ax =-+- 222 11 (12) 22 x ax a x ³-=- ，由于 ( ) 0 f x ³ 在 0 x ³ 时恒成立，即 21 (12)02 a x -³ 恒成立，则120 a -³ ，解之 1 2a £ ，故实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．方法 3 和方法 4 都利用了 0 x ³ 时， 2 11 2x e x x ³++ 这个结论，事实上已经触及这个问题的底线，也就是泰勒（Taylor ）公式： 21 12 xe x x =+++… 1 !(1)!n n x x x e n n q + +++ ，01 q << ． 3、构造函数利用极限思想方法 5：（Ⅱ）（i ）若 0 x = 时， ( ) 0 f x ³ 成立时，a 是任意实数；（ii ）若 0 x > 时， ( ) 0 f x ³ 等价于 22 11 x e a x x x £-- ，令 ( ) 21 x e x g x x -- = ，由（Ⅰ）知 1 xe x ³+ （仅 0 x = 等号成立），所以 ( ) 2 (1) 0 x e x g x x -+ => ， ( ) g x ¢ 3(1)2(1) x x e x e x+-- = 因为 0 x > ，要 ( ) 0 g x ¢ > ，只需(1)2(1)0 x x e x e +--> ，现在设 ()(1)2(1) x x h x e x e =+-- ，即只需 ()22 x x h x xe e x =-++ 0 > （x 0 > ），又 (0)0 h = ，则只需 ()0 h x ¢ > （x 0 > ）， （1）当 1 x ³ 时，因为 ()21 x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1 x e x =-+ (1)(1)1 x x >+-+ 2 0 x => ， 即 () h x ¢ 0 > （2）当 0<x<1 时因为 ()21x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1x e x =-+ 此时，令 ()(1)1 x t x e x =-+ ，则 () x t x xe ¢ = >0， 所以 ()(0)0 t x t >= ， 综上所述： () h x (0)0h >= 所以 ( ) 3 (1)2(1)2 x x e x e x g x x ---+ ¢ = 3(1)2(1) x x e x e x+-- = 0 > ， 则 ( ) g x 在区间(0,) +¥ 上是增函数，因此， 0 lim () x a g x ® £ 2 0 1 limx x e x x ® -- = 0 1 lim 2 x x e x ® - = 0 1lim 22x x e ® == ， 综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．选考试题命题走向分析：选修 41：几何证明选讲试题命题走向主要考查圆内接四边形、圆的切线性质、圆周角与弦切角等性质、相似三角形、弧与弦 的关系．试题分两问，难度不大，图形比较简单，可以考作辅助线，但必须很简单，08 年 图形过于复杂了， 考生心理产生恐惧， 几何证明选讲， 主要把教材例题与习题落实了就行了． 选修 44：坐标系与参数方程命题走向试题命题分坐标系与参数方程轮换进行，就坐标系而言，主要考查图形的伸缩变换，极 坐标系与直角坐标系的坐标和方程的互化，在极坐标系下的点与线，线与圆的位置关系；就 参数方程而言，主要考查参数方程与普通方程的互化，圆、椭圆、直线参数的几何意义，直 线的参数方程在直线与圆锥曲线的位置关系中，弦长、割线长的计算问题．今年应该考坐标 系．选修 45：不等式选讲试题命题走向这几年几乎都在考绝对值不等式问题，也可以考查基本不等式，辽宁省试题就开始考查 3 个正数的基本不等式，由于参与新课标试题的省份参加的增加，不等式选讲也可以考查比 较法、综合法和分析法等不等式方法，但柯西不等式，排序不等式，应用数学归纳法证明不 等式还不会进行试题的命题中．22．如图，已知图上的弧 » » AC BD = ，过点C 的圆的切线与BA 的延长线交于点E ，证明：（Ⅰ） ACE BCD Ð=Ð ； （Ⅱ） 2 BC BE CD =´ ．（Ⅰ）证明：∵ » » AC BD = ，∴ ABC BCD Ð=Ð ，又∵ 点C 的圆的切线与BA 的延长线交于点E ∴ ACE ABC Ð=Ð （弦切角等于对应圆周角） ∴ ACE BCD Ð=Ð ；（Ⅱ）∵ » » AC BD = ，∴ ABC BCD Ð=Ð ，又∵ 点C 的圆的切线与BA 的延长线交于点E ∴ BCE CDB Ð=Ð （弦切角等于对应圆周角） ∴ △DCB ∽△CBE∴CD ：CB BC = ：BE ，∴ 2 BC BE CD =´ ．命制意图与评析：主要考查圆内接四边形、圆的切线性质、圆周角与弦切角等性质、相 似三角形、弧与弦的关系．试题相对于其他两选做题而言难度要小，由于考生对平面几何中 基本知识掌握的不好，得分情况应该与其他两道试题持平．23．已知直线 1 C ： 1cos sin x t y t a a =+ ì í = î （t 为参数），圆 2C ： cossin x y q q = ì í = î（q 为参数）， （Ⅰ）当 3pa =时，求 1 C 和 2 C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作 1 C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当a 变化时，求点P 轨 迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：（Ⅰ）当 3 p a = 时，直线 1 C ： 1 1 23 2 x t y tì=+ ï ïíï = ï î （t 为参数），即为 3(1) y x =- ， 圆 2 C ： 221 x y += ，联立 22 3(1) 1y x x y ì =- ï í += ï î ，解之 1 0 x y = ì í = î 或 12 3 2 x y ì = ï ï í ï =- ï î ， 故 1 C 和 2C 的交点坐标是(1,0)和 13(,) 22- ； （Ⅱ）曲线 1 C 的普通方程为： sin cos sin 0 x y a a a --= ．点A 坐标为 2 (sin ,cos sin ) a a a - ，故当a 变化时，点P 轨迹的参数方程为2 1 sin 21 sin cos 2x y a a a ì = ï ï íï =- ï î （a 为参数） 点P 轨迹的普通方程为 22 11()416 x y -+= ，故点P 轨迹是圆心为 1(,0) 4 ，半径为 14的圆．（ （Ⅱ）（另解）设 (,) P x y ，则 (2,2) A x y ，由于 A 在直线 1 C 上，且OA ^ 直线 1 C ，则直线 1 C 的向量l = r(21,2) x y -， 所以，OP l = uuu r r g (21)20 x x y y -+= g ，即 22 11 ()416 x y -+= ，所以，点P 轨迹的参数方程是 11cos 441 sin 4x y q q ì =+ ï ï í ï = ï î （q 为参数），图形是圆． 命制意图与评析：考查圆和直线的参数方程及参数方程与 普通方程的互化知识，试题难度不大，但给予解答过于复 杂．试题与解答中有一个常识错误是“ P 点” ，应该是“点 P ” ．对于图形的表述是：名称+字母，如：三角形 ABC ．不 能写成：字母+名称：ABC 三角形．24．设函数 ( ) |24|1 f x x =-+ ． （Ⅰ）画出函数 ( ) y f x = 的图像；（Ⅱ）若不等式 ( ) f x ax £ 的解集非空，求a 的取值范围．解：（Ⅰ） ( ) 25(2) 23(2) x x f x x x -+< ì = í -³ î，当 0 x = 时， 5 y = ；当 2 x = 时， 1 y = ；当 4 x = ， 5 y = ，函数 ( ) y f x = 的图像是： （Ⅱ）（i ）若 0 a = 时，由于 ( ) 1 f x ³ ，显然( ) f x ax £ 解集是空集；（ii ）若 0 a > 时，由于不等式 ( ) f x ax £ 的解集非空，所以， 101202a - ³= - ； （iii ）若 0 a < 时， 2 a <- ；综上所述：a 的取值范围是 1 (,2)[,) 2-¥-+¥ U ．（Ⅱ）另解：令 ()() g x f x ax =- (2)5(2) (2)3(2) a x x a x x -++< ì= í --³ î ，不等式 ( ) f x ax £ 的解集非空，则2 (2)50 x a x < ì í -++< î 有解，或 2 (2)30 x a x ³ ì í--£ î有解，解之 2 a <- 或 1 2 a ³ ． 命制意图与评析：考查绝对值三角不等式，含绝对值的函数化为分段函数的化归思想， 含参量的处理方法及数形结合思想．试题比较常规，中学模拟考试中见较多，应该说难度不 大，但由于前面试题花的时间太多，后面没有太多时间思考，解答并不理想．。
数学(理科)试题参考答案及评分标准
2010 年广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 910．1- 11. ①②③ 12．3413. ()(),01,-∞+∞14．50 15．()1,1- 简答或提示：7．解1：设圆心为2,(0)a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则r =≥=1a =时等号成立.当r 最小时，圆的面积2S r π=最小，此时圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=，选A .解2：画图可得，当直线20x y m ++=与曲线2(0)y x x=>相切时，以切点为圆心，切点到直线210x y ++=的距离为半径的圆为所求.设切点为000(,)(0)P x y x >，因为22'y x=-，所以222x -=-，解得001,2x y ==，r =22(1)(2)5x y -+-=为所求，选A .8．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a =，选B ．12．2212132()4(2)P A x x dx⨯⨯==-+⎰．14．由F P B C ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠ ()180A C =-∠+∠()180607050=-+= ．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（1）解：依题意得，(cos 3,sin AB O B O A θθ=-=-+，…………………………………2分所以()(222cos 3sin ABθθ=-++136cos 13θθ=-+=，……………………………………………………………4分3cos θθ=． 因为cos 0θ≠，所以tan θ=．………………………………………………………………………6分（2）解：由02πθ≤≤，得6A OB πθ∠=+．…………………………………………………………8分所以1sin 2A O BS O A O B A O B ∆=∠11sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………………10分所以当3πθ=时，△AO B．…………………………………………………12分17．（本小题满分12分）（1）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．………………………………………………………………1分依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 124236C C 1(2)C 5P ξ===．∴ξ的分布列为∴ 1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………………………6分………………4分（2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ， 则()2536C 1C2P A ==，()1436C 1C5P A B ==， ……………………………………………………………10分∴()()()25P AB P B A P A ==．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………………12分解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C ，从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为25C 10=，…………………………………8分男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为14C 4=，……………………………………………………10分 ∴()1425C 42C 105P C ===．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………………12分18．（本小题满分14分） 方法1：以D 为原点，D A 、D C 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ．……………………………………………………………………1分 设0(1,,0)E y ()002y ≤≤．…………………………………2分 （1）证明： ∵()101,,1D E y =- ，()11,0,1A D =--． 则()()1101,,11,0,10D E A D y =---=，∴11D E A D ⊥，即11D E A D ⊥． ……………………………4分（2）解：当2AE =-1D EC D --的平面角为4π．…………………………………5分∵0(1,2,0)EC y =--，()10,2,1D C =- ，……………………………………………………………6分设平面1D EC 的法向量为1(,,)x y z =n ，xyz则10110(2)0200EC x y y y z D C ⎧=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-==⎩⎪⎩n n ， ………………………………………………………………8分 取1y =，则()102,1,2y =-n 是平面1D EC 的一个法向量．…………………………………………9分 而平面EC D 的一个法向量为()20,0,1=n ，……………………………………………………………10分 要使二面角1D EC D --的平面角为4π，则121212coscos 42π=<>===⋅ n n n ,n n n ，………………………………12分解得02y =-()002y ≤≤．∴当2AE =-1D EC D --的平面角为4π．……………………………………………14分方法2：（1）证明：连结1AD ，在长方体1111ABC D A B C D -中，∵B A ⊥平面11AD D A ，1AD ⊂平面11AD D A ，∴1A D AE ⊥．…………………………………1分 ∵11AD AA ==，则四边形11AD D A 是正方形，∴11A D AD ⊥．…………………………………2分 ∵1AE AD A = ，∴1A D ⊥平面1A D E ．………………3分∵1D E ⊂平面1A D E ，∴11D E A D ⊥．…………………4分（2）解：当23AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π．…………………………………………………………………5分 连结D E ，过D 作D H E C ⊥交E C 于点H ，连结1D H ．…………………………………………6分 在长方体1111ABC D A B C D -中，1D D ⊥平面A B C D ，E C ⊂平面A B C D ，∴1D D ⊥E C ．……………………………………………………………………………………………7分 ∵1D H D D D = ，∴E C ⊥平面1D D H ．……………………………………………………………8分 ∵1D H ⊂平面1D D H ，∴E C ⊥1D H ．………………………………………………………………9分 ∴1D H D ∠为二面角1D EC D --的平面角，即16D H D π∠=．……………………………………10分设A E x =()02x ≤≤，则2E B x =-，进而EC =．………………………………11分A 1在△D E C 中，利用面积相等的关系有，E C D H C D A D ⨯=⨯， ∴2D H =12分在R t △1D D H 中，∵16D H D π∠=，∴1tan6D D D Hπ=．……………………………………………13分23=，解得23x =-()02x ≤≤．故当23AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)M N = ，(1,)N P x y =- ，(1,)M P x y =+．……………………2分由||||M N N P M N M P ⋅=⋅，得2(1)x =+，…………………………………………………………………………4分 化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．……………………………………………………………………5分 （2）解：由点(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ．………………6分 当4m =时，直线A K 的方程为4x =，此时直线A K 与圆22(2)4x y +-=相离．……………7分 当4m ≠时，直线A K 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=，………………8分圆心(0,2)到直线AK 的距离d =令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线A K 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线A K 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线A K 与圆22(2)4x y +-=相离．………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-. ………………………………………………1分∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．…………2分 即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，……………………………………………………………………………3分 3321223x <⨯= ，∴1a ≥．故实数a 的取值范围为[)1,+∞．…………………………………………………………………………4分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．…………………………………5分①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >．所以()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数． 所以()324327h a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………8分 ④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()fx 在区间[]1,2上是减函数．所以()()284h a f a ==-．……………………………………………………………………………9分 综上所述，函数()f x 在区间[]1,2的最小值()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩………………………10分 （3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个 不同的交点．…………………………………………………………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．…………………………14分21．（本小题满分14分）（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．……………………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S m a m a --=-=-．……………………………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴11n n a m a m -=+()2n ≥．……………………………………………………3分∴数列}{n a 是首项为1，公比为1m m+的等比数列．…………………………………………………4分（2）解：由（1）得，()m f q =1mm=+，1122b a ==． …………………………………………5分∵()1111n n n n b b f b b ---==+，………………………………………………………………………………6分∴1111nn b b -=+，即1111=--n nb b ()2n ≥．……………………………………………………………7分∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列．…………………………………………………………8分∴()11211122nn n b -=+-⋅=，即221n b n =-（∈n N *）．…………………………………………9分（3）证明：由（2）知221n b n =-，则()22421n b n =-．……………………………………………10分 所以2222123n n T b b b b =++++ ()2444492521n =++++- ，…………………………………11分当2n ≥时，()()24411222121n n n nn <=----，……………………………………………………12分所以()2444492521n T n =++++-41111114923341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭4011899218n =+-<．……………………………………………………………………………14分。
2010年高等数学参考答案及评分标准
《高等数学》参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共15分）1B ，2A ，3D ，4C ，5C二、填空题：（每小题3分，共15分）1、118- 2、5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭31)x + 4、24231x y z --==- 5、2sec 304()d f r rdr πθπθ⎰⎰ 三、计算题（要求写出主要计算步骤及结果，每小题7分，共91分）1、1x →2、tan 01lim ()x x x +→解：1x →解：原式0ln lim cot x x x e +→-=……2分1x →=……3分 201lim csc x x x e +→--= ………4分x →=………5分 20sin lim x x x e +→= ………6分 12= …………………………7分 01e == ………7分3、设2ln y x x = ，求y ''.解： 212ln y x x x x'=+⋅………………3分 2ln x x x =+ …………………4分12ln 21y x x x''=+⋅+ …………6分 2ln 3x =+ …………7分4、求由方程x y xy e +=所确定的隐函数()y y x =的微分dy .解： 方程两边分别对x 求导，得：………………………1分(1)x y dy dy y xe dx dx++=+……………………………4分 于是 x y x y dy e y dx x e ++-=- ……………………………5分所以 x y x ye y dy dx x e ++-=- ………………………7分 5、求由参数方程(1sin )cos x t t y t t=-⎧⎨=⎩所确定的函数的导数dy dx . 解： dydy dt dx dxdt= ……………………3分 cos (sin )(1sin )(cos )t t t t t t +-=-+- …………………6分 cos sin 1sin cos t t t t t t-=--…………………………7分 6、求函数(,)x y w f y z=(其中f 具有一阶连续偏导数)的一阶偏导数. 解： 1()x w y f x x∂∂'=⋅∂∂ ……………………………2分 11f y'= ………………………………………3分 12()()x y w y z f f y y y∂∂∂''=⋅+⋅∂∂∂……………………4分 1221x f f y z''=-+……………………………5分 2()y w z f z z∂∂'=⋅∂∂ ……………………………6分 22y f z'=- ……………………………………7分7、求函数y x z e =的全微分dz . 解：2()y x z y e x x ∂=⋅-∂……2分 ， 1yx z e y x ∂=⋅∂……4分 z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂ …………………………………6分 21()yx y e dx dy x x=-+ ………………………7分8、计算反常积分20x xe dx +∞-⎰ 9、已知2sec x 是()f x 的一个原函数，求()xf x dx ⎰. 解：20x xe dx +∞-⎰ 解：原式2sec xd x =⎰ …………2分2201()2x e d x +∞-=--⎰……3分 22sec sec x x xdx =-⎰…5分 2012x e +∞-=- …………6分 2sec tan x x x C =-+……7分 12= ……………………7分10、计算二重积分cos()D x x y dxdy +⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0),(,0),(,)πππ的三角形闭区域.解：区域D 可表示为：00x y x π≤≤⎧⎨≤≤⎩ ………………3分 00cos()cos()xD x x y dxdy xdx x y dy π+=+⎰⎰⎰⎰ ………………4分 0(sin 2sin )x x x dx π=-⎰ ………………6分32π=- . ………………7分11、计算曲线积分22()(sin )L x y dx x y dy --+⎰，其中L是圆周y =自点(0,0)到(1,1)的一段弧.解： 22(,),(,)sin P x y x y Q x y x y =-=--…………………1分因为1Q P x y∂∂=-=∂∂，所以该曲线积分与路径无关；……2分 取从(0,0)O 经过(1,0)A 到(1,1)B 的折线段积分 ……3分 原式112200(sin )x dx x y dy =+--⎰⎰ ………5分 1021cos 232y dy -=--⎰ …………6分sin 2746=- …………7分 12、求幂级数2012n n n n x ∞=+∑的收敛域.解： 22211()22lim lim ()2(1)2nn n n n n n n x u x n x u x n x +++→∞→∞+=⋅=+ …………2分 当 212x <，即x <时，幂级数绝对收敛 ……4分 当x =2001((1)2n n n n n n ∞∞==+=+∑∑发散……6分所以该幂级数的收敛域为(. …………7分13、将函数21()(2)f x x =-展开为x 的幂级数，并指出收敛区间. 解： 1112212x x =⋅-- ………1分 1001()222nn n n n x x ∞∞+====∑∑ …………3分 逐项求导得: 12111(2)2n n n nx x -∞+==-∑ …………5分 由12x <得收敛区间为(2,2)- …………7分 四、综合题与应用题（本大题共3个小题，共29分）1、 求微分方程369(1)xy y y x e '''-+=+的通解. (10分)解：先求对应的齐次方程的通解Y由2690r r -+=，得123r r == ………2分于是，对应的齐次方程的通解为3312x x Y C e C xe =+ ………4分 3λ=是特征方程的二重根∴设原方程的特解为23()x y x ax b e *=+ ………6分代入原方程得：621ax b x +=+ ………7分 比较同类项的系数，解得：11,62a b == ………8分所以原方程的通解为：333231211()62x x x y C e C xe x x e =+++ ………10分 2、求曲线22,y x x y ==所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积.（10分） 解：取y 作积分变量， 01y ≤≤ …………2分体积元素222()]dv y dy π=- …………5分140()V y y dy π=-⎰ …………8分12501132510y y ππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ …………10分 3、设函数()y f x =由微分方程120x xy y x y ='+=⎧⎨=⎩所确定，（1）求函数()f x 的表达式。
2010年广东高考数学试卷评
2010年广东高考数学试卷评2010年广东高考数学试卷分文、理两卷,共性是观点明确、特点突出,都有一批求新、求稳、突出重点的好题.既考查了考生在高中阶段所学知识的掌握程度,又考查了考生进入高校继续学习的数学潜能,都是融知识、能力、素质于一体的优秀试卷.这对今后的教学起着重要的导向作用.下面全面分析一下试卷,供参考:一、抽样得分情况由于计算机的应用,使得分数统计方便了很多.在阅卷过程中,从一个小组(一万份以上)的记录,可以看出各小题的平均分.文科:11~13题平均得分9.49分;选做题平均得分3.85分;16题平均得分9.19分;17题平均得分9.31分;18题平均得分5.74分;19题平均得分4.89分;20题平均得分1.14分;21题平均得分1.12分;理科:9~13题平均得分18.78分;选做题平均得分3.34分;16题平均得分11.42分;17题平均得分7.89分;18题平均得分7.43分;19题平均得分7.7分;20题平均得分1.47分;21题平均得分2.09分.这些枯燥的数字能说明什么?大的方面,可以看出全省对于相应知识与技能的教学情况、考生的掌握情况;小的方面,可以让同学们了解对相应知识的掌握是否可以达到全省的平均水平.有一个全省的基准线,随时可以参照.二、试题特点今年高考题的个性突出、特点鲜明,下面针对试题特点谈谈个人浅见.1. 基础题,推陈出新.理科卷中第1、2、3、9、10、16(1)(2)等;文科卷中第1、2、3、5、7、8、12都是基础题,这些题目所要求的是基本的运算能力.只要对题目涉及的基础知识比较熟悉,再按照常规方法进行求解,运算比较细心,基本上都可以牢牢地得满分.由于这些题目在试卷的排版上都靠前,因此,对考生是一种安慰和鼓励,让考生普遍感觉,题目平易近人.显然,这对于考生的正常发挥起到了积极作用,也是“以人为本”的社会理念在高考试卷中的重要体现.但,基础题不等于送分题,请看:例1. 理科第9题:函数f(x)=lg(x-2)的定义域是.分析与点评:这道题应该说够简单的了,由于它是填空题,如何表述这个答案是关键. 是x>2吗?不是,函数定义域的表示有两种形式:一是集合,二是区间. 不规范的表示,肯定是不能得分的.例2. 理科第9题:已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于轴y左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是.分析与点评:待定系数法是求曲线方程的重要方法,而此法正是在圆与方程这一节中介绍的.能否准确应用直接影响着本题的求解.设圆心为(a,0),则方程为(x-a)2+y2=2,因为与直线x+y=0相切,得=a=±2,由于圆O位于y轴左侧,所以a=-2,得方程为(x+2)2+y2=2.注意“位于y轴左侧”不可漏掉,否则,将前功尽弃.2. 常规题,引人入胜.无论多么新颖的试卷,一定存在着常规题,高考卷更不例外,关键是这些试题以什么样的“容颜”呈现在考生面前?今年的试题个性突出,请看:例3. 理科第9题已知{an｝为等比数列,Sn是它的前n 项和.若a2•a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5=()A. 35B. 33C. 31D. 29分析与点评:从方程的角度出发,不难看出只要设出公比q,很容易将条件转化为a1、q的方程组,解方程产生a1、q的值,再代入前5项和的公式即可产生结论.看看计算吧!设公比为q,则a1q•a1q2=2a1,a1q3+2a1q6=a1q3=2,a1q3+2a1q3̶ 6;q3=a1q3=2,q3=a1=16,q=S5==31.这是等比数列的常规题,主要考查基本运算,难吗?不难.运算量大吗?也不大.但必须注重基本算理,掌握运算中整体的“巧”与“妙”方能快速产生结论.例4. 理科第13题:某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中n位居民的月均用水量分别为x1,…,xn(单位:吨),根据图2所示的程序框图,若n=2,且x1,x2 分别为1,2,则输出地结果s为.解析与点评:运行一下是求解此类题的基本方法,第一步:i=1,s1=s1+x1=1,S2=s2+x21=1,s=0;第二步:i=1,s1=s1+x2=3,s2=s2+x22=5,s=(s2-s21)=.在这些眼花缭乱的替换中,你能阵脚不乱吗?它不仅要求你有娴熟的运算能力,还要求你必须始终保持高度清醒的头脑.3. 创新题,新而不怪.本套卷中的创新力度是较大的,有些题目的设计相当漂亮. 如:例5.文科第10题:在集合{a,b,c,d}上定义两种运算和如下:那么d(ac)=()A. aB. bC. cD. d分析与评:由的定义可知ac=c,又由的定义可知dc=a.多么漂亮的试题,只要抓住定义,细心观察,便会立即产生答案.例6. 理科第8题:为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯彩只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同.记这这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是()A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒分析与点评:首先要“不同的闪烁个数”,其次,要分析每个“闪烁”所用的时间.由于,所有不同的闪烁个数也就是“红、橙、黄、绿、蓝”在5个位置上的不同排列,因此,个数为A55=120.又因为相邻两闪烁之间的间隔为5秒,而每一个间隔的时间也是5秒,因此,需要的时间至少是120×10-5=1195.这些题目无论是从基本结构、还是从表述形式,一看便有一种想征服它的欲望.当完成求解,再回过头来欣赏这些题目时,可以发现构思巧妙、结构新颖,堪称妙题.4. 应用题,悄悄加码.考试说明对应用意识要求较高,它指出:能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型;应用相关的数学方法解决问题并加以验证,并能用数学语言正确地表达和说明.应用题是高考的一棵“长青树”,始终焕发着时代气息,看看今年高考试题:理科第8题、第13题、第17题、第19题.累计分值多达34分,约占全卷的五分之一.文科第11题、第12题、第17题、第19题.累计分值也是34分,同样大概占全卷的五分之一.文、理都是如此,足以可见不是什么偶然现象.涉及知识从排列、组合、程序框图、统计概率、独立性检验到线性规划等.涉及题型也是选择题、填空题、解答题样样都有.这是不是一种信号?它告诉我们依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,构造数学模型,将现实问题转化为数学问题,并加以解决将是下一步高考改革方向,当然,它也必将重新掀起高中数学教学侧重于应用意识的培养之风.5. 压轴题,刚柔相济.压轴题,也就是最后一题,很多人都会认为压题最难,其实今年的压轴题并非是最难的题,可以说是有难有易的刚柔相济试题.例7. 设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=|x2-x1|+|y1-y2|.对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B (x2,y2)(1) 若点C(x, y)是平面xOy上的点,试证明ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B);(2) 在平面xOy上是否存在点C(x, y),同时满足①ρ(A,C)+ρ(C,B)= ρ(A,B);②ρ(A,C)= ρ(A,B);若存在,请求所给出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明.分析与点评:对于第一问,大家会想到先写出ρ(A,C)、ρ(C,B)及ρ(A,B),看看到底是个什么“东西”,也许不写不知道,写了,还真的吓一跳.ρ(A,C)=|x1-x1|+|y-y1|,ρ(C,B)=|x2-x1|+|y2-y1| ,ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|,再一对照第一问的结果,这不是绝对值不等式吗?就这么一步到位,还真是太“温柔”了.第二问呢?由于“ρ(A,C)+ρ(C,B)= ρ(A,B)”,也就是第一问中取等号,由|x-x1|+|x2-x|≥|x2-x1|等号成立,可得(x-x1)(x2-x)≥0,于是,第一问等号成立即为(x-x1)(x2-x)≥0且(y-y1)(y2-y)≥0,不失一般性,设x1≤x2,则x1≤x≤x2 .(1)若y1≤y2,由(y-y1)(y2-y)≥0得y1≤y≤y2,结合x1≤x ≤x2可知,点C(x-y)在矩形内部或在边界上.而“ρ(A,C)= ρ(C,B)”呢?也就是|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|即y=-x+.设AB中点为(x0,y0),则y=-x+x0+y0,此时,点C存在,所有符合条件的点构成过AB中点、斜率为-1且位于矩形区域内的线段(包括端点).(2)若y1>y2,由(y-y1)(y2-y)≥0,得y2≤y≤y1且x1≤x≤x2.由第二个条件,得y=-x-.设AB中点为(x0,y0),则y=x-x0+y0,此时,点C存在,所有符合条件的点构成过AB中点、斜率为1且位于矩形区域内的线段(包括端点).由(1)(2)可知点C(x, y)是存在的,所有符合条件的点构成过AB中点、斜率为-1或1且位于矩形区域内的线段(包括端点).此题难吗?不难.简单吗?不简单.怎么评价?有难有易、刚柔相济.6. 陷阱题,假象巧妙.一套好的试题,一定存着一些思维陷阱型的试题,用以考查思维的严谨性、全面性.例8. 理科第6题(文科第9题):如图1,△ABC为正三角形,AA′//BB′//CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体ABC -A′B′C′的正视图(也称主视图)是分析与点评:看看图一的一个侧面A′ABB′,再看另一个侧面A′ACC′,由于从图一上观察可知BB′。
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2010年数学高考试题评分细则一、填空题（13~16题）文科：(13)不等式22032x x x -++ 的解集是 . (14)已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= . (15)某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且BF 2FD =uu r uu r ，则C 的离心率为 .理科：(13)1x ≤的解集是 .(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =uu r uu r ，则C 的离心率为 .理科：13．{}|02x x ≤≤或[0,2] ；14．17-；15．5(1,)4或514a <<；16．3文科：13． {|21,x x -<<- 或 2};x > 或 (2,1)(2,)--⋃+∞； 14．247-；或 337- ； 15． 30； 16．， 或二、解答题文17．（本小题满分10分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S .解法1：设数列{}n a 的公差为d . 依题意有12312a a a ++= ① 21322(1)a a a += ② …………2分即 14a d += ③ 22111220a a d d a +-+= ④解得111,3;8,4a d a d ====-. ⑤ ……………………………………6分因此1(31)2n S n n =- ⑥ 或 2(5)n S n n =- .⑦………………………..10分 解法2：设数列{}n a 的公差为d . 依题意有12312a a a ++= ① 即14a d += ③ …………………………………2分又 21322(1)a a a += ② 即22111220a a d d a +-+= ④ ……………………4分解得 111,3;8,4a d a d ====-. ⑤ ……………………………………6分因此1(31)2n S n n =- ⑥ 或 2(5)n S n n =- .⑦………………………..10分 解法3：设数列{}n a 的公差为d 。
依题意有12312a a a ++= ① 解得24a = ③ ………………………………… 2分又 21322(1)a a a += ② 即 2120d d +-= ④………………………… 4分解得3d = 或 4d =-. ⑤ ………………………………… …6分因此1(31)2n S n n =- ⑥ 或 2(5)n S n n =- .⑦…………… …………..10分 解法4：设数列{}n a 的公差为d 。
依题意有12312a a a ++= ① 解得2134,8a a a =+= ③ ……………… ………… 2分又 21322(1)a a a += ② 即132(1)16a a += ④ …………………… 4分解得11a = 或 8，37a = 或0 ⑤ ………………………………… …..6分因此 1(31)2n S n n =- ⑥ 或 2(5)n S n n =- .⑦…………… …………..10分说明：（1）①式可写为13(31)3122a d -+=或133()122a a +=； （2）方法一中的④式可写为2111241620a a d a +-+=或1(5)8a d +=； （3）①式或③式正确，各给1分，全正确给2分；（4）⑤式正确，①②式或③④式正确，则到此处给6分；（5）⑤式不正确（指⑤式中的值没有完全对或一个都不对），则看前面的①—④式：如果有③式，不管①式是否有，给③式相应的2分；如果有④式，不管②式是否有，给④式相应的2分；（6）⑤式中的值有求对的，但有不完全对，给⑤式相应的1分；（7）⑥式或⑦式正确，各给2分；（8）⑥式或⑦式只要是只含变量n 的多项式，且能化为答案所给形式的，视为正确。
理17、文18．(本小题满分理10分、文12分)已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．解法1：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理R Bb A a 2sin sin == 解法1：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理R B b A a 2sin sin == ……2分得sinA + sinB = cosA + cosB ，移得项sinA －cosA = cosB －sinB ………4分由辅助角公式（两角和与差公式）得4cos sin 4sin cos 4sin cos 4cos sin ππππB B A A -=- ……………6分 所以)4sin()4sin(B A -=-ππ………………8分又因为π<+<B A 0，)43,4(4πππ-∈-A ，)4,43(4πππ-∈-B 所以B A -=-44ππ 所以2π=+B A 所以2π=C ………………10分 另：或)4sin()4sin(ππ--=-B A ………………8分 又因为π<+<B A 0，)43,4(4πππ-∈-A ，)43,4(4πππ-∈-B 所以)4(4ππ--=-B A 所以2π=+B A 所以2π=C ………………10分 另：或)43sin()4sin(ππ+=-B A ………………8分 又因为π<+<B A 0，)43,4(4πππ-∈-A ，)47,43(43πππ∈+B 所以πππ=++-434B A 所以2π=+B A 所以2π=C ………………（10分） 解法2：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理R Bb A a 2sin sin == …………2分 得sinA + sinB = cosA + cosB ，移得项sinA －cosA = cosB －sinB … ……………4分两边平方得1+2sinAcosA=1+2sinBcosB ……………6分由此可知A 、B 均为锐角，且sin2A = sin2B ………………8分 又因为π<<B A 2,20，得2A=2B 或2A+2B=π所以 A=B 代入原式得A=B=4π从而C=2π 或 A+B=2π即C=2π …………… …10分 解法3：由已知可得a+b= a A A sin cos +b BB sin cos ………………2分 由正弦定理 RC c B b A a 2sin sin sin === 可得a+b = c C A sin cos + c CB sin cos …… ……4分 由余弦定理可得a+b =C c sin （bc a c b 2222-++acb c a 2222-+） …………6分 化简可得sinC=abab a b c 22222+--即sinC+cosC=1 ……………8分 平方可得sinC cosC=0 又因 π<<C 0所以C=2π ……………10分 解法4：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理R Bb A a 2sin sin == ………2分 得 sinA + sinB = cosA + cos B ……………4分所以 B c o s （sinA + sinB ） = B cos （cosA + cos B ）B sin （sinA + sinB ） = B sin （cosA + cos B ）A cos （sinA + sinB ） = A cos （cosA + cos B ）A sin （sinA + sinB ） = A sin （cosA + cos B ） ……………6分由前两个式子可得 )cos(12sin )sin(B A B B A ++=++，由后两个式子可得 )cos(12sin )sin(B A A B A ++=++，进而得 sin2A = sin2B ……………8分又因为π<<B A 2,20 得2A=2B 或 2A+2B=π所以 A=B 代入原式得A=B=4π从而C=2π 或 A+B=2π即C=2π . … ……10分 说明：（1）文科在第1、2个得分点处分值分别为3、6分，其余依次累加。
（2）用和差化积公式求解也给分；（3）若直接令A=B=4π，然后代入解得结果给2分； 理18．(本小题满分12分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审． (I) 求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II) 记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．（1）解法1：记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用.则D A B C =+⋅， ()0.50.50.P A =⨯= ………………2分()20.50.50.5,()0.3P B P C =⨯⨯==， P (D )=P (A +BC )=P (A )+P (BC )=P (A )+P (B )P (C )0.250.50.3=+⨯ ………………4分0.4= ……………………6分解法2：稿件未通过两位初审专家评审的概率为：(10.5)(10.5)0.25-⨯-= …2分稿件恰能通过一位初审专家的评审且未通过复审专家的评审的概率为：20.50.5(10.3)0.35⨯⨯⨯-= …………… …4分稿件被录用的概率为：10.250.350.4--= …………6分（2）(4,0.4)X B ，其分布列为：413422243344(0)(10.4)0.1296(1)0.4(10.4)0.3456(2)0.4(10.4)0.3456(3)0.4(10.4)0.1536(4)0.40.0256P X P X C P X C P X C P X ==-===⨯⨯-===⨯⨯-===⨯⨯-====……………………10分 期望 40.4EX =⨯或 00.129610.345620.345630.153640.0256⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1.6=………………12分 说明：（1）第（1）问中，没有叙述不扣分；（2）6～10分段中5个概率，式子对但得数错不扣分，甚至可以只用组合数来表示而无需算出结果；（3）6～10分段中5个概率，式子全对得4分，不全对得2分，全不对得0分；（4）第（1）问中结果错误，6～10分段中5个概率按错误结果带入全对者得2分，否则不得分；（5）期望式子全对，结果计算错误扣1分。