高等数学第一章

g( x) = x 2 ;
(3) f ( x ) = ln( x 2 + 1 − x ) , g ( x ) = − ln( x 2 + 1 + x ) . ⎧ 2, | x |< 1, ⎧ 0, | x |≤ 2, 例1.1.3 设 函 数 f ( x ) = ⎨ g( x) = ⎨ ⎩ 0, | x |≥ 1, ⎩ 1, | x |> 2, 则 f [ g ( x )] = ， g[ f ( x )] = . 例1.1.4 设 ⎧ ( x + 1) 2 , x ≤ 1, ⎪ f ( x) = ⎨ 1 , x > 1, ⎪ ⎩ 1− x . 则 f [ f ( x )] = 例1.1.5 已知 f ( x ) 为定义在 R 上的偶函数， 且当 x ≥ 0 时， f ( x ) = 3 x 2 + 2 x − sin x .求 f ( x ) 的表达式. 第二节 极限 例1.2.1 . 例1.2.2 设 f ( x ) 在 x = 0 的某个邻域内连续，f (0) ≠ 0 ，
2
第一节 函数 例1.1.1 确定下列函数的定义域： 1 (1) f ( x ) = + x+2; 1 − x2 2x − 1 arccos 7 ． (2) f ( x ) = x2 − x − 6 例1.1.2 判断下列各对函数是否相同？并说明理由. (1) f ( x ) = ln x 2 , g ( x ) = 2ln x ; (2) f ( x ) = x ,
x →−∞
.
.
.
x2 ]x = 例1.2.10 lim[ x →∞ ( x − a )( x + b ) (A) 1 (B) e
.
(C)
1
e a−b
(D) e b − a
ln(1 + x ) e x −1 ] . 例1.2.11 求极限 lim[ x →0 x 例1.2.12 求极限 lim (π − 2arctan x ) ln x .
x →+∞
例1.2.13 求下列极限:
(1) lim ∫
n→∞
n+ p n
sin x dx ; x
(2) lim
( ∫ e x dx ) 2
2
x
x →+∞
∫
0 x 0
e
2 x2
dx
.
Байду номын сангаас
4
例1.2.14 求 lim(
x →0
2+e
1 x 4 x
+
1+ e 例1.2.15 已知 lim (5 x − ax 2 − bx + c ) = 2 ，求 a 与 b 的
1
极限的性质及四则运算法则，极限存在的两个准则，用两个 重要极限求极限的方法，洛必达法则求未定式极限的方法， 皮亚诺余项泰勒公式并会用它求极限. 了解 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函 数及隐函数的概念，初等函数的概念，连续函数的性质和初 等函数的连续性. 会 建立应用问题的函数关系，利用极限存在的两个准 则求极限，等价无穷小量求极限，判别函数间断点的类型， 会应用闭区间上连续函数的性质. 考点聚焦 极限的计算、无穷小量及其比较、求间断点及判断间断 点的类型、洛必达法则求极限.
1
6
第三节 函数的连续性 例1.3.1 设 f ( x ) 与 g ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内都有定义， f ( x ) 连 续， g ( x ) 有间断点且 f ( x ) ≠ 0 ，则下列函数中必有间断点的 是( ). (A) g[ f ( x )] (B) f [ g ( x )] g( x) + f ( x) (D) (C) [ g ( x )]2 [ f ( x )]2 ⎧ 1 − e tan x , x>0 , ⎪ x ⎪ 例1.3.2 函 数 f ( x ) = ⎨ arcsin 在 x=0点 2 ⎪ 2x , x≤0 . ⎪ ⎩ ae 连续，求 a 的值. x 2 n−1 + ax 2 + bx 例1.3.3 设 f ( x ) = lim 在 在 ( −∞, +∞ ) 上 x →∞ x 2n + 1 连续，试确定常数 a, b . 1+ x ， 讨论函数 f ( x ) 的间断 例1.3.4 设函数 f ( x ) = lim n→∞ 1 + x 2 n 点. 例1.3.5 讨 论 函 数 ⎧ x ( x + 2） , x < 0, x ≠ − n, n ∈ N , ⎪ ⎪ sin(π x ) f ( x) = ⎨ 的间断点及其类 ⎪ sin x , x≥0 ⎪ x2 − 1 ⎩ 型. x sin t sin t − ) sin x ，记此极限为 f ( x ) ，求 例1.3.6 求极限 lim( t → x sin x 函数 f ( x ) 的间断点并指出类型. 例1.3.7 设 f ( x ) 在[a, b] 内连续,且 a < c < d < b ，证明在 ( a, b ) 内必存在一点 ξ ， 使得等式 sf ( c ) + tf ( d ) = ( s + t ) f (ξ ) 成 立，其中 s, t 为自然数.
x →+∞
sin x ). |x|
值.
x2 − ax − b ) = 0 ，试确定常数 a, b . 例1.2.16 已知 lim( x →∞ x + 1 例1.2.17 设 f ( x ) = x − ( ax + b sin x ) cos x ， 并 且 f ( x) lim 5 存在且不为零，求常数 a, b 及此极限值. x →0 x f ( x) ln[1 + ] f ( x) sin x 3 , 例1.2.18 已知 lim = 求 . lim x 2 x → x →0 0 2 −1 x 例1.2.19 设 xf ( x ) + ln(1 − 2 x ) = 4， lim x →0 x2 f ( x) − 2 ). =( 则 lim x →0 x (A) 2 (B) 4 (C)6 (D) 8
第一部分
第一章 函数
考试内容
高等数学
极限 连续
函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性 和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初 等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立. 数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与 右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的 性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个 准则(单调有界准则和夹逼准则,两个重要极限). 函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续 性，闭区间上连续函数的性质. 考试要求 理解 函数的概念，复合函数及分段函数的概念，极限 的概念，函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与 左、右极限之间的关系，无穷小量、无穷大量的概念，函数 连续性的概念(含左连续与右连续)，闭区间上连续函数的性 质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) 掌握 函数的表示法，基本初等函数的性质及其图形，
1 + 2x + 1 − 2x − 2 = x →0 x2 1 3sin x + x 2 cos x = lim x → 0 (1 + cos x ) ln(1 + x ) x ln(1 + x ) = . lim x → 0 1 − cos x [sin x − sin(sin x )]sin x 求极限 lim . x →0 x4 1 cos 2 x 求极限 lim( 2 − ) 2 x → 0 sin x x 2 lim [ x + 2 x + sin x + ( x + 2)] = lim
lim x +1 x2 − x + 1 + x2 + x + 1 =
x →−∞
3
∫ 则 lim
x →0
x
0
( x − t ) f ( t )dt
x
0
x ∫ f ( x − t )dt
=
1 x
.
例1.2.3
lim
(1 + x ) − e = x →0 x
.
例1.2.4
例1.2.5 例1.2.6 例1.2.7 例1.2.8 例1.2.9
7
例1.3.8 证明方程 x = sin x + 2 至少有一个小于 3 的正 根. 自测练习 一、选择题(说明(1)-（8）是原题的第 5 小题) ⎧ 1 , | x |≤ 1 , (1) 设 f ( x ) = ⎨ 则 f { f [ f ( x )]} 等于 . x 0 , | | 1 . > ⎩ (A) 0 ; (B) 1 ; ⎧ 1 , | x |≤ 1 , ⎧ 0 , | x |≤ 1 , (D) ⎨ (C) ⎨ ⎩ 0 , | x |> 1 . ⎩ 1 , | x |> 1 . . (2) 下列各式中正确的是 1 1 (A) lim (1 + x ) x = e ； (B) lim (1 + ) x = e ； x →+0 x →+0 x 1 1 (C) lim(1 − ) x = − e ； (D) lim(1 + ) − x = e . x →∞ x →∞ x x (3) 当 x → 0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其 . 它三个更高阶的无穷小量 2 ; (B) 1 − cos x ; (A) x (D) x − tan x . (C) 1 − x 2 − 1 ; (4) 设 对 任 意 的 x ， 总 有 φ ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) ， 且 lim[ g ( x ) − φ ( x )] = 0 .则 lim f ( x ) .
8