(完整版)高等数学第一章测试题10选择(带答案和解析)

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高数(一)第一章练习题

高等数学（一）（第一章练习题）一、单项选择题1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ）A.x 2+2xB.x 2-2xC.-x 2+2xD.-x 2-2x2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ）A.2x 2B.x 2xC.x 2xD.22x3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)4.函数2x x y -=的定义域是（ D ）A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]5.设函数=-=)x 2(f 1x x )x 1(f ，则（ A ） A.x 211- B.x 12- C.x 2)1x (2- D.x)1x (2- 6.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（）A.x+3B.x-3C.2xD.-2x7.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ）A.x 2-6x+5B.x 2-5x+6C.x 2-5x+2D.x 2-x 8．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（）A ．[a,3a]B ．[a,2a]C ．[-a,4a]D ．[0,2a]9．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ）A ．|x|≤1B ．|x|<1C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<110.函数y=1-cosx 的值域是（ C ）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞) 11．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ）A ．x(x-1)B ．x(x+1)C ．(x-1)2-(x-1)D ．(x+1)(x-2)12.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ）A.[0，2]B.[0，16]C.[-16，16]D.[-2，2]13.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ）A.t 2+1B.t 4+2C.t 4+t 2+1D. t 4+2t 2+2 14．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x15.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞) 16.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]17.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B ) A.(a a 2,1) B.（aa 1,2) C.(a ，2a) D.(a a ,2] 18．函数f (x )=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 的定义域为（ B ） A ．[]1,1- B ．[]3,1- C ．(-1,1)D ．(-1,3) 19.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 20．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ）A ．(-1,+∞)B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．(0,1) 二、填空题1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.3．函数y=x ln ln 的定义域是 .4．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.5．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.6．.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题1. 请问函数的定义是什么？函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的关系。

具体来说，如果有两个集合A和B，函数f可以将A中的每个元素映射到B中的唯一元素。

函数通常以以下形式表示：f: A → B，其中A为函数的定义域，B为函数的值域。

2. 简述函数的性质和特点。

函数具有以下几个性质和特点：- 映射关系：函数中的每个输入元素都对应着唯一的输出元素，不存在多对一的情况。

- 定义域和值域：函数的定义域是指所有可能作为输入的元素的集合，值域是指函数的输出元素的集合。

- 单调性：函数可以是单调递增的（当输入增加时，输出也增加），也可以是单调递减的（当输入增加时，输出减少）。

- 奇偶性：函数可以是奇函数（满足f(-x) = -f(x)）或偶函数（满足f(-x) = f(x)）。

- 周期性：函数可以是周期函数，具有以某个常数为周期的特点。

- 极限性质：函数在某些点或无穷远处可能存在极限值，可以用来描述函数的增长趋势。

3. 简述极限的定义和性质。

极限是描述函数在某一点上的趋势和变化的概念。

数学中，当自变量逐渐接近某个特定值时，函数的极限描述了因变量的变化趋势。

具体来说，对于函数f(x)，当x趋近于某个常数a时，如果存在一个常数L，使得当x足够接近a时，f(x)无论是大于L还是小于L，那么我们就称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。

极限具有以下几个性质：- 唯一性：如果函数在某一点上存在极限，那么极限值是唯一确定的。

- 局部性：函数的极限只与函数在某一点附近的取值有关，与函数在其他点的取值无关。

- 保序性：如果函数在某一点的左侧和右侧存在极限，且左极限小于右极限，那么函数在该点的极限存在。

- 代数运算性质：极限运算可以与基本的代数运算（如加法、减法、乘法、除法等）进行组合，具体规则可根据各种运算法则进行推导。

4. 列举几个常见的初等函数，并简要介绍它们的性质和特点。

高等教育数学测试和答案解析[第一章]

高等数学测试（第一章）一 .选择题（每题2分，共20分） 1.（2分）712arcsin16)(2-+-=x x x f 的定义域为（） A ．[]3,2 B ．[]4,3- C ．[)4,3- D ．()4,3-2.（2分）已知函数)12(-x f 的定义域为[]1,0，则函数)(x f 的定义域为（） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 B ．[]1,1- C ．[]1,0 D ．[]2,1-3.（2分）已知1)1(2++=+x x x f ，则)(x f = （） A ．22+-x x B ．12--x x C ．12++x x D ．12+-x x4.（2分）下列函数对为相同函数的是（）A ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f B ． 3ln )(,ln 3)(x x g x x f == C ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f == D ． 2)(,)(x x g x x f ==5.（2分）若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（） A ．(2)f x B ．(2)f x -+ C ．(||)f x D ．2()f x6.（2分）函数122+=x xy 的反函数为（）A ．x x y -=1log 2B ．x x y +=1log 2C ．x x y +=1log 2D ．xx y -=1log 2 7.（2分）已知极限22lim()0x x ax x→∞++=，则常数a 等于（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．28.（2分）当0x +→ （）A．1-．ln(1 C1 D．1-9.（2分）点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点10.（2分）下列命题正确的是（） A ．两无穷大之和为无穷大； B ．两无穷小之商为无穷小；C ． )(lim 0x f x x →存在当且仅当)(lim 0x f x x -→与)(lim 0x f x x +→均存在；D ． )(x f 在点0x 连续当且仅当它在点0x 既左连续又右连续．二．填空题（每题3分，共15分）11.（3分）函数()f x 在点0x 处有定义是()f x 在0x 处极限存在的________________. 12.（3分）当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=____________. 13.（3分）已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =_____.14.（3分）若lim ()x f x π→存在，且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-，则lim ()x f x π→=________________.15.（3分）设函数()()[]x x x f g x x f -=-=1,21，则⎪⎭⎫⎝⎛21g =________________. 三．计算题(共55分)16.（5分）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221...2111lim . 17.（5分）)1(lim 2x x x x -++∞→.18.（5分）xx e x x x 2sin 1lim 3202-→--. 19.（5分）xx x x cot 20)32sin 1(lim +-→.20.（5分）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→x x x 1ln 11lim 0. 21.（5分）30tan sin lim x x x x →-.22.（5分）01x x e →-. 23.（5分） xx x +→0lim .24.（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值.25.（8分）若)(lim 1x f x →存在，且23)(2++=x x x f )(lim 1x f x →，求)(x f 和)(lim 1x f x →.四.证明题（共10分）26.（10分）设函数()f x ，()g x 均在闭区间[],a b 上连续，且有()()f a g a a >+，()()f b g b b <+，证明：存在,a b ξ∈（），使()()fg ξξξ=+成立.答案：一. 选择题1—5 BBDBC ；6—10 AABBD ．二．填空题11、无关条件； 12、3； 13、 0； 14、 1；15、3．三．计算题16. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221 (211)1lim . 【解析】因为),...,2,1(1111222n i n i n nn =+≤+≤+，所以11 (21)1122222+≤++++++≤+n n nn n n nn n ，而11limlim22=+=+∞→∞→n nnn n n n .由两边夹逼准则可知，11 (211)1lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 17.)1(lim 2x x x x -++∞→.【解析】原式211111lim1lim22=++=++=+∞→+∞→x xx x x x . 18. xx ex x x 2sin 1lim3202-→--. 【解析】原式16116lim 161lim 3222lim 81lim 2202030320222-=-=+-=+-=--=→-→-→-→xx x e x xe x x x e x x x x x x x x . 19. xx x x cot 20)32sin 1(lim +-→.【解析】原式x x x xx x x xx x xx x x eex x tan 32sin limtan 32sin 0tan 32sin 32sin 122022lim )32sin 1(lim +-+-→+-∙+-→→==+-=23lim2sin lim32sin lim20020-+-+-===→→→e eex x x x x x x x x x .20. ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→x x x 1ln 11lim 0. 【解析】原式()()()212111lim 1ln lim 1ln 1ln lim 0200-=-+=-+=+-+=→→→x x x x x x x x x x x x . 21. 30tan sin lim x x x x→-. 【解析】原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===.22.21lim1x x e →-.【解析】原式=2121lim sin 21lim 22020==→→x xxx x x x .23.（5分） xx x +→0lim . 【解析】原式1lim 011lim1ln limln lim ln 02000======-→+→+→+→+e eeee x x xxxx xx x x x x .24.设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值.【解析】因为1lim(1)0x x →-+=，所以 321lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式321144(1)(1)(4)lim lim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++25.若)(lim 1x f x →存在，且23)(2++=x x x f )(lim 1x f x →，求)(x f 和)(lim 1x f x →.【解析】设A x f x =→)(lim 1，对等式23)(2++=x x x f )(lim 1x f x →两边同时取极限()1→x 可得，())(lim 23lim )(lim 1211x f x x x f x x x →→→++=，即()A x x A x 23lim 21++=→，故4)(lim 1-==→A x f x .所以83)(2-+=x x x f . 四．证明题26.设函数()f x ，()g x 均在闭区间[],a b 上连续，且有()()f a g a a >+，()()f b g b b <+，证明：存在,a b ξ∈（），使()()fg ξξξ=+成立.【证明】构造函数()()()F x f x g x x =--，则函数()F x 在闭区间[],a b 上连续，而()()()0F a f a g a a =-->，()()()0F b f b g b b =--<，显然()()0F a F b ⋅<于是由连续函数的零点定理知，(,),a b ξ∈使得()0F ξ=，即存在,a b ξ∈（），使()()fg ξξξ=+.。

(完整版)高等数学测试题及解答(分章)

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

高等数学测试题及答案1-9章全

高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（）Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值；Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值；Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在；Ｄ如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（） .Ａ ln(2)x -；Ｂ 22x -；Ｃ 242x y x -=-；Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（）Ａ 2 ；Ｂ 1 ；Ｃ 0 ；Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=．二、填空题5．函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ；（2）221241lim 232x x x x →-+-；（3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解（1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++；（2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ；（2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ；（2）314x →=；（3）x →∞=0；（4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩；固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额．解（1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章自测题一、选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则．二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为．解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ．解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。

高一数学第一章试题及答案

高一数学第一章试题及答案【高一数学第一章试题及答案】一、选择题1. 在直线上，如果两点A、B的坐标分别是(2, 3)和(6, 9)，则点A到点B的距离是：A. 4B. 5C. 6D. 7解析：根据坐标公式，设点A(x1,y1)、点B(x2,y2)，则点A到点B 的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

代入数值计算：√((6-2)²+(9-3)²) =√(16+36) = √52，即点A到点B的距离是√52，约等于7.211。

选D。

2. 已知函数 f(x) = x²-4x+3，那么 f(-1) 的值等于：A. 8B. 6C. 4D. 2解析：将x = -1代入函数f(x)中计算：f(-1) = (-1)²-4(-1)+3 = 1+4+3 = 8。

选A。

3. 若两个圆的半径分别为3cm和4cm，则它们的外切圆的半径为：A. 7B. 5C. 3.5D. 2.5解析：两个圆的外切圆半径等于两个圆半径之和。

即 3 + 4 = 7。

选A。

二、填空题1. 若直线l的斜率为2/3，过点(4, 5)，则直线l的方程为y =___________。

解析：直线的斜率为2/3，表示直线上任意两点的纵坐标变化量与横坐标变化量的比值为2/3。

过点(4, 5)的直线方程为 y - 5 = (2/3)(x - 4)，整理得 y = (2/3)x + 14/3。

填写答案为 (2/3)x + 14/3。

2. 设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则 A∪B = ________。

解析：集合的并运算指的是将两个集合中所有不重复的元素放在一起。

集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则 A∪B = {1, 2, 3, 4}。

填写答案为 {1, 2, 3, 4}。

三、解答题1. 解方程 3(x+2) + 2(2x-1) = 4(3x-2)。

高数测试卷一及答案(第一章)

高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。

故选B 。

3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。

(完整版)高数第一章例题及答案(终)理工类吴赣昌

第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合；思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围；解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

高数一试题与答案解析

高数一试题(卷)与答案解析(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《高等数学(一) 》复习资料一、选择题1. 若23lim 53x x x k x →-+=-，则k =（） A. 3- B.4- C.5- D.6-2. 若21lim 21x x k x →-=-，则k =（） A. 1 B.2 C.3 D.43. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( )A.22y x =+B.22y x =-+C.23y x =+D.23y x =-+4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.132y x =-+ 5. 211lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.56.设函数0()(1)(2)xf x t t dt =+-⎰，则(3)f '=（） A 1 B 2 C 3 D 47. 求函数43242y x x =-+的拐点有（）个。

A 1B 2C 4D 08. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（）。

A. sin xB.1x e C. 211x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3)lim 2h f h f h→--=( ) 。

A. 32 B. 32- C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（）。

A. 极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( )A.至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定12. [()'()]f x xf x dx +=⎰( ).A.()f x C +B. '()f x C +C. ()xf x C +D. 2()f x C +13. 已知22(ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 222(ln )()f x f x x ' 14. ()d f x ⎰=( B)A.'()f x C +B.()f xC.()f x 'D.()f x C + 15. 2ln x dx x=⎰( D ) A.2ln x x C + B.ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211lim ln x x x→-=( ) A.2 B.3 C.4 D.517. 设函数0()(1)(2)xf x t t dt =-+⎰，则(2)f '-=（） A 1 B 0 C 2- D 218. 曲线3y x =的拐点坐标是( )A.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A ) A.(ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln )f x x20. ()d df x =⎰( A)A.()df xB.()f xC.()df x 'D.()f x C +21. ln xdx =⎰( A )A.ln x x x C -+B.ln x x C -+C.ln x x - D.ln x二、求积分（每题8分，共80分）1．求cos ⎰．2. 求．3. 求arctan xdx ⎰．4. 求⎰5. 求2356x dx x x +-+⎰．6. 求定积分80⎰7. 计算20cos x xdx π⎰．8. 求2128dx x x +-⎰．9. 求11. 求2212x xe dx -⎰12. 求3x ⎰13. 求21ln e xdx x ⎰14.求⎰三、解答题1.若(1lim 36x x →∞=,求a 2.讨论函数321()2333f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间3. 求函数22()2x x f x x --=-的间断点并确定其类型 4. 设2sin ,.xy xy x e y '+=求5.求y =的导数． 6. 求由方程cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩确定的导数x y '. 7. 函数1,0()1,0tan ,0x e x f x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否连续？8. 函数1,0()1,0tan ,0x e x f x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否可导？9. 求抛物线2y x =与直线y x =所围成图形D 的面积A .10. 计算由抛物线22y x =与直线4y x =-围成的图形D 的面积A .11. 设y 是由方程sin y y y xe =+确定的函数，求y '12.求证： ln 1,1x x x <->13. 设y 是由方程1y y xe =+确定的函数，求y '14. 讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间15.求证： 21,x e x >-16. 求函数3(1)()x x f x x x -=-的间断点并确定其类型五、解方程1. 求方程0)(22=-+dy xy x dx y 的通解.2.求方程20yy y '''+=的通解.3. 求方程22y y y x '''-+=的一个特解.4. 求方程3595x y y y xe -'''-+=的通解.高数一复习资料参考答案一、选择题1-5： DABAA6-10：DBCDD11-15： BCCBD16-21：ABAAAA二、求积分1．求cos ⎰．解：322cos (sin )sin 3x x C C ==+=⎰2. 求dx x⎰．解：13(43ln )(ln )x d x x=+⎰⎰131(43ln )(43ln )3x d x =+⋅+⎰ 431(43ln )4x C =++． 3. 求arctan xdx ⎰．解：设arctan u x =，dv dx =，即v x =，则arctan arctan (arctan )xdx x x xd x =-⎰⎰2arctan 1x x x dx x =-+⎰21arctan ln(1)2x x x C =-++． 4.求⎰解：32222e 33e 3e 3e 23e 6e t t t t t t x t t dt t dt t tdt t t dt ===-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰223e 6e 6e 3e 6e 6e t t t t t t t t dt t t C =-+=-++⎰2)C =+．5. 求2356x dx x x +-+⎰．解：由上述可知23565623x x x x x +-=+-+--，所以 2356()5623x dx dx x x x x +-=+-+--⎰⎰115623dx dx x x =-+--⎰⎰5ln 26ln 3x x C =--+-+．6.求定积分80⎰t =，即3x t =，则23dx t dt =，且当0x =时，0t =；当8x =时，2t =，于是28222000313ln(1)3ln312t dt t t t t ⎡⎤==-++=⎢⎥+⎣⎦⎰⎰．7. 计算20cos x xdx π⎰．解：令2u x =，cos dv xdx =，则2du xdx =，sin v x =，于是 22200000cos sin (sin )2sin 2sin x xdx x d x x x x xdx x xdx πππππ==-=-⎰⎰⎰⎰．再用分部积分公式，得20000cos 2cos 2(cos )cos x xdx xd x x x xdx ππππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 002(cos )sin 2x x x πππ⎡⎤=-=-⎣⎦．8. 求2128dx x x +-⎰．解：221113(1)(1)ln 28(1)963(1)x dx d x C x x x x -+=+=++-+-++⎰⎰ 12ln 64x C x-=++． 9. 求解：令u =32x u =-，23dx u du =，从而有22311311u u du du u u -+==++⎰⎰ 213(1)3(ln 1)12u u du u u C u =-+=-++++⎰ 11. 求2212x xe dx -⎰ 解：2222222411112x x x xe dx e dx e e e -----===-⎰⎰12. 求3x ⎰解：333223(3)(3)3xx x C =--=--+⎰13. 求21ln ex dx x⎰ 解：22111ln 111ln (ln )ln ln 333e e e x dx xd x x e x ====⎰⎰ 14.求⎰解：3322222121(3)(3)(3)233x x C x C =--=-⋅-+=--+⎰三、解答题1.若(1lim 36x x →∞=,求a解：因为223x =，所以9a =否则极限不存在。

高数第一章+习题详细解答

习题 1-11．求下列函数的自然定义域：（1）211y x =-；解：依题意有21020x x ⎧-≠⎨+≥⎩，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．（2）21arccosx y -=解：依题意有2211360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩，则函数定义域()D x =∅．（3）2ln(32)y x x =-+-；解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．（4）312x xy -=；解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．（5）1sin1,121;x y x x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩, ，解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞．（6）1arctan y x =解：依题意有030x x ≠⎧⎨-≥⎩，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-(0a >)的定义域．解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +；当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；当0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若12a <，[],1x a a ∈-；（2）若12a =，12x =；（3）若12a >，x ∈∅．3．设21()1,f x x ⎛⎫= ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1f x x ⎛⎫=- ⎝，则 2211(2)142a f a a a a -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4．设1||1,()0||1,()21|| 1.x x f x x g x x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．解：121(())0211 21x x xf g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩，1012||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||12x g f x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨≥⎩，即2,1,[()]1,1x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩，得证．6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？（1）))()ln,()ln3f x x g x ==- ；不是，因为定义域和对应法则都不相同．（2）()()f x g x == 是．（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-；不是，因为对应法则不同．（4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==；不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性：（1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．（2）1xy x-=-，(,1)x ∈-∞．解：(1)111111x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1x y x -=-是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性．（1）lg(y x =；解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-==-=-，所以lg(y x =是奇函数．（2）0y =；解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数．（3）22cos sin 1y x x x =++-；解：因为2()2c o s s i n 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22c o s s i n 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．（4）2x xa a y -+=.解：因为()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2x xa a y -+=是偶函数． 9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数；（2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则 ()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．（2）任意函数()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+，由（1）可知()()2f x f x +-是偶函数，()()2f x f x --是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：（1）|sin |y x =；周期函数，周期为π．（2）1sin πy x =+；周期函数，周期为2．（3）tan y x x =；不是周期函数．（4）2cos y x =.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数：（1）331xx y =-；解：依题意，31x y y =-，则3log 1yx y =-，所以反函数为13()log ,(,0)(1,)1xf x x x -=∈-∞⋃+∞-．（2）()ax by ad bc cx d+=≠+；解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dxf x ad bc cx a--=≠-．（3）(lg y x =；解：依题意，1(1010)2y y x -=+，所以反函数11()(1010),2x x f x x R --=+∈．（4）ππ3cos 2,44y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．解：依题意，arccos32yx =，所以反函数1arccos 3(),[0,3]2x f x x -=∈．13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-．解：（1）215()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πVh V r H r=∈．15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有0.64,0 4.5() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩，所以(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．习题 1-21．设21(1,2,3,)31n n a n n +==+ ，（1）求110100222||,||,||333a a a ---的值；（2）求N ，使当n N >时，不等式42||103n a --<成立；（3）求N ，使当n N >时，不等式2||3n a ε-<成立．解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393a -=-=100220121||||33013903a -=-=．（2）要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1），则只要9997,9n > 取N ＝99971110,9⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故当n>1110时，不等式42||103n a --<成立．（3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么当n N >时， 2||3n a ε-< 成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）1lim 0!n n →∞=；（2）1n →∞=．解：（1）0ε∀>，要使111|0|!!n n n ε-<<＝，只要取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，对任意0ε>，存在1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!n n →∞=.(2) 0ε∀>,要使2212)nε-=<<, 即n >,只要取N =,所以,对任意的ε>0,存在N =, 当n N >, 总有1|ε<, 则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim||||n n x a →∞=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．证明: 因为lim n n x a →∞=, 所以0ε∀>, 1N ∃, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0,由收敛数列的保号性可知:2N ∃, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε∀>, N ∃, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim||||n n x a →∞=成立.反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列()1nn x =-, ||1n x =，显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞不存在．4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞=．证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤，又lim 0n n y →∞=, 对0ε∀>, 存在N ,当n N >时, |0|n y ε-<, 因为对上述N , 当n N >时, |0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞=．5．设数列{}n x 的一般项(3)π2n n x +=，求lim n n x →∞．解: 因为0x =, (3)π|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：()n x A n →→∞．证明: 由于21lim k k x A -→∞=, 所以, 0ε∀>, 10N ∃>, 当1>k N 时，有21||k x A ε--<, 同理,0ε∀>,20N ∃>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε∀>, 当n N >时,||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．习题 1-31．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？解：令 1|1|2x -<，则35|1|22x <+<，要使225|4||34||1||1||1||1|0.012y x x x x x -=+-=-=-+<-<，只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．2．当x →∞时，222123x y x +=→-．问X 等于多少，使当||x X >时，|2|0.001y -<？解：要使222217|2||2|3|3|x y x x +-=-=--<0.001, 只要2|3|7000x ->, 即237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X ≥3．根据函数极限的定义证明：（1）3lim(21)5x x →-=；（2）35lim31x x x →∞+=-；（3）224lim 42x x x →--=-+；（4）lim0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|xx --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2x ε-<．因此取2εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故3lim(21)5x x →-=．(2) 由于358|3|1|1|x x x +-=--,任给0ε>, 要使35|3|1x x ε+-<-,只要8|1|x ε<-,即81x ε>+或81x ε<-, 因为0ε>,所以88|1||1|εε+>-, 取8|1|M ε=+，则当||x M >时, 对0ε∀>,总有35|3|1x x ε+-<-,故有35lim 31x x x →∞+=-．(3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24|(4)|2x x ε---<+,只要|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24|(4)|2x x ε---<+,故224lim 42x x x →--=-+.(4) 由于0|-=<,任给0ε>,要使0|ε-<,ε<,即21x ε>,因此取21M ε=,则当x>M 时,总有|0|ε<,故lim 0x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义：（1）lim ()1x f x →-∞=；（2）lim ()x f x a →∞=；（3）lim ()x af x b +→=；（4）3lim ()8x f x -→=-．解: (1) 0,ε∀> 0M ∃>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;(2) 0,ε∀> 0M ∃>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;(3) 0,ε∀> 0δ∃>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε∀> 0δ∃> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=.证明: 由于0lim ||lim 0x x x x ++→→==, 0lim ||lim()0x x x x --→→=-=,所以0lim ||0x x →=. 6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则l i m ()x f x A →∞=．证明: 由于li m ()x f x A →+∞=,则对0ε∀>,10M ∃>,当1x M >时,有|()|f x A ε-<．又lim ()x f x A →-∞=,则20M ∃>,当2x M <-,有|()|f x A ε-<.取{}12max ,M M M =那么对0ε∀>,当||x M >时,总有|()|f x A ε-<,故有lim ()x f x A →∞=.习题 1-41．根据定义证明：（1）211x y x -=+为当1x →时的无穷小；（2）1sin y x x =为当x →∞时的无穷小；（3）13xy x+=为当0x →时的无穷大．证明:(1) 0ε∀>,因为21|0||1|1x x x --=-+,取δε=,则当0|1|x δ<-<时, 总有0x ≠,故211lim 01x x x →-=+．(2) 0ε∀>,因为111|sin 0||sin |||||x x x x x -=≤,取1M ε=, 则当||x M >时, 总有1|sin |1|sin 0|||||x x x x x ε-=≤<, 故1lim sin 0x x x →∞=.(3) 0M ∀>, 13M δ∃=+,当0||x δ<<时,总有1311|||3|3||x M x x x +=+>->,所以 013lim x x x→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数 sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．下证该函数在()0,+∞内是无界的. 0M ∀>,π2π2n x n ∃=+且()n x n →+∞→∞, πππ2πsin 2π2π222n y n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取[]01N M =+, 00π2π(0,)2x N ∃=+∈+∞,有0π2π2n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.3．证明：函数11cos y x x=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时的无穷大．证明: 令1t x=,类似第2题可得．习题 1-51．求下列极限：（1）23231lim 41n n n n n →∞+++-；（2）111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ ；（3）22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ；（4）1132lim 32n nn n n ++→∞+-；（5）2211lim 54x x x x →--+；（6）3221lim 53x x x x →+-+；（7）limx →+∞；（8）2221lim 53x x x x →∞+++；（9）330()lim h x h x h→+-；（10）22131lim 41x x x x →+-+；（11）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（12）23lim 531x x xx x →∞+-+；（13）x →（14）3lim 21x x x →∞+；（15）3lim(236)x x x →∞-+；（16）323327lim 3x x x x x →+++-．解:(1) 23231lim 41n n n n n →∞+++- = 233311lim 0411n n n n n n→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ = 111111lim ()()()12231n n n →∞⎡⎤-+-++-⎢⎥+⎣⎦ = 1lim(1)11n n →∞-=+． (3) 22212lim n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=21(1)12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n nn n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-⋅． (5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112lim 43x x x →+=--．(6) 3221lim 53x x x x →+-+=322132523+=--⨯+．(7) limx →+∞=limx=limx=111lim2x -=． (8) 2221lim53x x x x →∞+++=2212lim 2531x x x x→∞+=++． (9) 330()lim h x h x h →+-=322330(33)lim h x x h xh h x h→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=．(10) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=2313(1)lim 1x x x x →⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭=21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-++ =212lim 11x xx x →+=++． (11) 23lim 531x x x x x →∞+-+=22311lim 0315x x x x x→∞+=-+．(12) x →=x →=x →(13) 3lim 21x x x →∞+=2lim 12x x x→∞=+∞+．(14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336lim (2)x x x x→∞-+=∞．(15) 323327lim 3x x x x x →+++-=32331lim(327)lim 3x x x x x x →→+++⨯=∞-．2．设,0,()2,0.x e x f x x a x ⎧<=⎨+≥⎩问当a 为何值时，极限0lim ()x f x →存在．解：因为0lim ()lim 1,lim ()lim(2)x x x x x f x e f x x a a --++→→→→===+=，所以，当0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a =时，0lim ()x f x →存在．3．求当x 1→时，函数12111x x e x ---的极限．解：因为11211111limlim(1)0,1x x x x x e x e x ----→→-=+=- 11211111lim lim(1),1x x x x x e x e x ++--→→-=+=+∞- 所以12111lim1x x x e x -→--不存在。

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高等数学第一章测试题
一、单项选择题
1.0
.
(),()x x x x x x βα→→当时，都是无穷小，则当时（,）不一定是无穷小
()()()x A x αβ+
()
22()()x B x αβ+
()ln[1()()]x C x αβ+⋅
()2
()()
x x D αβ
答案：D
2
0()
(),()1,.
()
lim x x x x x x x ααββ→===解析：当时
2
1
2.(
)0,,,1
lim x x ax b x a b a b →∞
+--=+则常数的值所组成的数组（）为（）设
10011111A B C D -（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）
答案：D 解析：
0)1
1(2
lim
=--++∞
→b ax x x x 1
)
1)((1)11(
2
2
lim lim +++-+=--++∞
→∞
→x x b ax x b ax x x x x 01
1)()1(2
lim =+-++--=∞
→x b x b a x a x
10,0,a a b -=+=则分子的二次项和一次项系数为零:
即1,1-==b a
22
1)32
3(x f x x x -=-+、已知函数，
下列说法正确的是（）。

2(A)f(x)有个无穷间断点
())1(1B f x 有个可去间断点，个无穷间断点 ()2()C f x 有个第一类间断点
()111()f D x 有个可去间断点，个无穷间断点,个跳跃间断答案：B
221(1)(1)1
()32(2)(1)2
x x x x f x x x x x x --++===
-+---解析：
212320,1,2x x x x -+===令得
2.1x x ==是可去间断点，是无穷间断点
4、
是。

A.奇函数 B.周期函数 C.有界函数 D.单调函数答案：A
()()f x f x -=-解析：
1()11115.
f x x
=
+
+、函数的定义域为＿＿＿＿
A.
0,≠∈x R x 但
1
,10
.x R B x
∈+≠ 1,0,1,.2x x C R ∈≠--
0.,,1x R x D ∈≠- x ∈R,但x ≠0,−1
答案：C 解析：略.
6、
答案：C
|sin |
()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞的值为
，极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x
x b
x 答（）．．　a
be D e C a b B A a b
)
()(ln )(1)(
00
(1)(1)lim lim b a
b b x x a
a
x x x x e a a ⋅→→+=+=解析：
()li 7m x x f x →存在的充分必要条件是（）
、极限
0.()f x A 存在
()()lim l m .i x x x x f x f x B +-
→→与至少有一个存在
()().lim lim x x x x f x f x C +-→→与都存在
()()lim .lim x x x x f x f x D +-→→与都存在且相等
答案：D 解析：略.
1
1(2),1,
()1,8()
1
x x x f x x a x +⎧⎪+≠==-⎨⎪=-⎩、要使函数在处连续，则常数应为
A.1
B.e
C. e 1
D. ∞
答案：B
1
11
1
1
1
(2)
[1(1)]
lim lim x x x x x x e
++→-→-+=++=解析：
9、下列极限存在的是（）
.x A →+∞
2(21)
.lim x x x B x →∞
+ 11
lim .x
x e
C →+∞
-2ln(1)
.lim x x D →∞
+
答案：
C
:.,x x A A →+∞
→+∞
+∞解析：对选项应该排除
对选项B:
2)1
2()12()12(lim lim lim
2
2
=+=+=++∞
→+∞
→+∞
→x
x x x x x x x x x 2)1
2()12()12(lim
lim lim 2
2
-=--=+-=++∞
→-∞
→-∞
→x
x x x x x x x x x 于是极限不存在，排除B.
:0x x C e →-∞→对选项因时，，所以
111101.lim x
x C e →-∞
==---，所以应选 2
l (.
n 1):lim x x D D →∞
+=+∞，极限不存在，排除对选项很明显
10、函数
⎩⎨
⎧≥+<≤-=1
,2,10,1)(2
x x x x x f 在1=x 处间断是因为（）
(1).f A 无定义
1()lim .x f x B -
→不存在
1()lim .x f x C +
→不存在
1
()lim .x f x D →不存在
答案：D
1
11()0,() 3.().
lim lim lim x x x f x f x f x -
+=
→→→==解析：所以不存在。