(完整版)高等数学第一章测试题10选择(带答案和解析)

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高数(一)第一章练习题

高等数学（一）（第一章练习题）一、单项选择题1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ）A.x 2+2xB.x 2-2xC.-x 2+2xD.-x 2-2x2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ）A.2x 2B.x 2xC.x 2xD.22x3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)4.函数2x x y -=的定义域是（ D ）A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]5.设函数=-=)x 2(f 1x x )x 1(f ，则（ A ） A.x 211- B.x 12- C.x 2)1x (2- D.x)1x (2- 6.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（）A.x+3B.x-3C.2xD.-2x7.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ）A.x 2-6x+5B.x 2-5x+6C.x 2-5x+2D.x 2-x 8．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（）A ．[a,3a]B ．[a,2a]C ．[-a,4a]D ．[0,2a]9．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ）A ．|x|≤1B ．|x|<1C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<110.函数y=1-cosx 的值域是（ C ）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞) 11．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ）A ．x(x-1)B ．x(x+1)C ．(x-1)2-(x-1)D ．(x+1)(x-2)12.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ）A.[0，2]B.[0，16]C.[-16，16]D.[-2，2]13.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ）A.t 2+1B.t 4+2C.t 4+t 2+1D. t 4+2t 2+2 14．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x15.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞) 16.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]17.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B ) A.(a a 2,1) B.（aa 1,2) C.(a ，2a) D.(a a ,2] 18．函数f (x )=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 的定义域为（ B ） A ．[]1,1- B ．[]3,1- C ．(-1,1)D ．(-1,3) 19.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 20．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ）A ．(-1,+∞)B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．(0,1) 二、填空题1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.3．函数y=x ln ln 的定义域是 .4．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.5．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.6．.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题1. 请问函数的定义是什么？函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的关系。

具体来说，如果有两个集合A和B，函数f可以将A中的每个元素映射到B中的唯一元素。

函数通常以以下形式表示：f: A → B，其中A为函数的定义域，B为函数的值域。

2. 简述函数的性质和特点。

函数具有以下几个性质和特点：- 映射关系：函数中的每个输入元素都对应着唯一的输出元素，不存在多对一的情况。

- 定义域和值域：函数的定义域是指所有可能作为输入的元素的集合，值域是指函数的输出元素的集合。

- 单调性：函数可以是单调递增的（当输入增加时，输出也增加），也可以是单调递减的（当输入增加时，输出减少）。

- 奇偶性：函数可以是奇函数（满足f(-x) = -f(x)）或偶函数（满足f(-x) = f(x)）。

- 周期性：函数可以是周期函数，具有以某个常数为周期的特点。

- 极限性质：函数在某些点或无穷远处可能存在极限值，可以用来描述函数的增长趋势。

3. 简述极限的定义和性质。

极限是描述函数在某一点上的趋势和变化的概念。

数学中，当自变量逐渐接近某个特定值时，函数的极限描述了因变量的变化趋势。

具体来说，对于函数f(x)，当x趋近于某个常数a时，如果存在一个常数L，使得当x足够接近a时，f(x)无论是大于L还是小于L，那么我们就称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。

极限具有以下几个性质：- 唯一性：如果函数在某一点上存在极限，那么极限值是唯一确定的。

- 局部性：函数的极限只与函数在某一点附近的取值有关，与函数在其他点的取值无关。

- 保序性：如果函数在某一点的左侧和右侧存在极限，且左极限小于右极限，那么函数在该点的极限存在。

- 代数运算性质：极限运算可以与基本的代数运算（如加法、减法、乘法、除法等）进行组合，具体规则可根据各种运算法则进行推导。

4. 列举几个常见的初等函数，并简要介绍它们的性质和特点。

高等教育数学测试和答案解析[第一章]

高等数学测试（第一章）一 .选择题（每题2分，共20分） 1.（2分）712arcsin16)(2-+-=x x x f 的定义域为（） A ．[]3,2 B ．[]4,3- C ．[)4,3- D ．()4,3-2.（2分）已知函数)12(-x f 的定义域为[]1,0，则函数)(x f 的定义域为（） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 B ．[]1,1- C ．[]1,0 D ．[]2,1-3.（2分）已知1)1(2++=+x x x f ，则)(x f = （） A ．22+-x x B ．12--x x C ．12++x x D ．12+-x x4.（2分）下列函数对为相同函数的是（）A ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f B ． 3ln )(,ln 3)(x x g x x f == C ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f == D ． 2)(,)(x x g x x f ==5.（2分）若()f x ()x R ∈为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（） A ．(2)f x B ．(2)f x -+ C ．(||)f x D ．2()f x6.（2分）函数122+=x xy 的反函数为（）A ．x x y -=1log 2B ．x x y +=1log 2C ．x x y +=1log 2D ．xx y -=1log 2 7.（2分）已知极限22lim()0x x ax x→∞++=，则常数a 等于（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．28.（2分）当0x +→ （）A．1-．ln(1 C1 D．1-9.（2分）点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点10.（2分）下列命题正确的是（） A ．两无穷大之和为无穷大； B ．两无穷小之商为无穷小；C ． )(lim 0x f x x →存在当且仅当)(lim 0x f x x -→与)(lim 0x f x x +→均存在；D ． )(x f 在点0x 连续当且仅当它在点0x 既左连续又右连续．二．填空题（每题3分，共15分）11.（3分）函数()f x 在点0x 处有定义是()f x 在0x 处极限存在的________________. 12.（3分）当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=____________. 13.（3分）已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =_____.14.（3分）若lim ()x f x π→存在，且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-，则lim ()x f x π→=________________.15.（3分）设函数()()[]x x x f g x x f -=-=1,21，则⎪⎭⎫⎝⎛21g =________________. 三．计算题(共55分)16.（5分）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221...2111lim . 17.（5分）)1(lim 2x x x x -++∞→.18.（5分）xx e x x x 2sin 1lim 3202-→--. 19.（5分）xx x x cot 20)32sin 1(lim +-→.20.（5分）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→x x x 1ln 11lim 0. 21.（5分）30tan sin lim x x x x →-.22.（5分）01x x e →-. 23.（5分） xx x +→0lim .24.（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值.25.（8分）若)(lim 1x f x →存在，且23)(2++=x x x f )(lim 1x f x →，求)(x f 和)(lim 1x f x →.四.证明题（共10分）26.（10分）设函数()f x ，()g x 均在闭区间[],a b 上连续，且有()()f a g a a >+，()()f b g b b <+，证明：存在,a b ξ∈（），使()()fg ξξξ=+成立.答案：一. 选择题1—5 BBDBC ；6—10 AABBD ．二．填空题11、无关条件； 12、3； 13、 0； 14、 1；15、3．三．计算题16. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221 (211)1lim . 【解析】因为),...,2,1(1111222n i n i n nn =+≤+≤+，所以11 (21)1122222+≤++++++≤+n n nn n n nn n ，而11limlim22=+=+∞→∞→n nnn n n n .由两边夹逼准则可知，11 (211)1lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 17.)1(lim 2x x x x -++∞→.【解析】原式211111lim1lim22=++=++=+∞→+∞→x xx x x x . 18. xx ex x x 2sin 1lim3202-→--. 【解析】原式16116lim 161lim 3222lim 81lim 2202030320222-=-=+-=+-=--=→-→-→-→xx x e x xe x x x e x x x x x x x x . 19. xx x x cot 20)32sin 1(lim +-→.【解析】原式x x x xx x x xx x xx x x eex x tan 32sin limtan 32sin 0tan 32sin 32sin 122022lim )32sin 1(lim +-+-→+-∙+-→→==+-=23lim2sin lim32sin lim20020-+-+-===→→→e eex x x x x x x x x x .20. ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→x x x 1ln 11lim 0. 【解析】原式()()()212111lim 1ln lim 1ln 1ln lim 0200-=-+=-+=+-+=→→→x x x x x x x x x x x x . 21. 30tan sin lim x x x x→-. 【解析】原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===.22.21lim1x x e →-.【解析】原式=2121lim sin 21lim 22020==→→x xxx x x x .23.（5分） xx x +→0lim . 【解析】原式1lim 011lim1ln limln lim ln 02000======-→+→+→+→+e eeee x x xxxx xx x x x x .24.设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值.【解析】因为1lim(1)0x x →-+=，所以 321lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式321144(1)(1)(4)lim lim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++25.若)(lim 1x f x →存在，且23)(2++=x x x f )(lim 1x f x →，求)(x f 和)(lim 1x f x →.【解析】设A x f x =→)(lim 1，对等式23)(2++=x x x f )(lim 1x f x →两边同时取极限()1→x 可得，())(lim 23lim )(lim 1211x f x x x f x x x →→→++=，即()A x x A x 23lim 21++=→，故4)(lim 1-==→A x f x .所以83)(2-+=x x x f . 四．证明题26.设函数()f x ，()g x 均在闭区间[],a b 上连续，且有()()f a g a a >+，()()f b g b b <+，证明：存在,a b ξ∈（），使()()fg ξξξ=+成立.【证明】构造函数()()()F x f x g x x =--，则函数()F x 在闭区间[],a b 上连续，而()()()0F a f a g a a =-->，()()()0F b f b g b b =--<，显然()()0F a F b ⋅<于是由连续函数的零点定理知，(,),a b ξ∈使得()0F ξ=，即存在,a b ξ∈（），使()()fg ξξξ=+.。

(完整版)高等数学测试题及解答(分章)

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

高等数学测试题及答案1-9章全

高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（）Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值；Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值；Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在；Ｄ如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（） .Ａ ln(2)x -；Ｂ 22x -；Ｃ 242x y x -=-；Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（）Ａ 2 ；Ｂ 1 ；Ｃ 0 ；Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=．二、填空题5．函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ；（2）221241lim 232x x x x →-+-；（3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解（1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++；（2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ；（2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ；（2）314x →=；（3）x →∞=0；（4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩；固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额．解（1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章自测题一、选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则．二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为．解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ．解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。

高一数学第一章试题及答案

高一数学第一章试题及答案【高一数学第一章试题及答案】一、选择题1. 在直线上，如果两点A、B的坐标分别是(2, 3)和(6, 9)，则点A到点B的距离是：A. 4B. 5C. 6D. 7解析：根据坐标公式，设点A(x1,y1)、点B(x2,y2)，则点A到点B 的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

代入数值计算：√((6-2)²+(9-3)²) =√(16+36) = √52，即点A到点B的距离是√52，约等于7.211。

选D。

2. 已知函数 f(x) = x²-4x+3，那么 f(-1) 的值等于：A. 8B. 6C. 4D. 2解析：将x = -1代入函数f(x)中计算：f(-1) = (-1)²-4(-1)+3 = 1+4+3 = 8。

选A。

3. 若两个圆的半径分别为3cm和4cm，则它们的外切圆的半径为：A. 7B. 5C. 3.5D. 2.5解析：两个圆的外切圆半径等于两个圆半径之和。

即 3 + 4 = 7。

选A。

二、填空题1. 若直线l的斜率为2/3，过点(4, 5)，则直线l的方程为y =___________。

解析：直线的斜率为2/3，表示直线上任意两点的纵坐标变化量与横坐标变化量的比值为2/3。

过点(4, 5)的直线方程为 y - 5 = (2/3)(x - 4)，整理得 y = (2/3)x + 14/3。

填写答案为 (2/3)x + 14/3。

2. 设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则 A∪B = ________。

解析：集合的并运算指的是将两个集合中所有不重复的元素放在一起。

集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则 A∪B = {1, 2, 3, 4}。

填写答案为 {1, 2, 3, 4}。

三、解答题1. 解方程 3(x+2) + 2(2x-1) = 4(3x-2)。

高数测试卷一及答案(第一章)

高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。

故选B 。

3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。

(完整版)高数第一章例题及答案(终)理工类吴赣昌

第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合；思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围；解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

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高等数学第一章测试题
一、单项选择题
1.0
.
(),()x x x x x x βα→→当时，都是无穷小，则当时（,）不一定是无穷小
()()()x A x αβ+
()
22()()x B x αβ+
()ln[1()()]x C x αβ+⋅
()2
()()
x x D αβ
答案：D
2
0()
(),()1,.
()
lim x x x x x x x ααββ→===解析：当时
2
1
2.(
)0,,,1
lim x x ax b x a b a b →∞
+--=+则常数的值所组成的数组（）为（）设
10011111A B C D -（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）
答案：D 解析：
0)1
1(2
lim
=--++∞
→b ax x x x 1
)
1)((1)11(
2
2
lim lim +++-+=--++∞
→∞
→x x b ax x b ax x x x x 01
1)()1(2
lim =+-++--=∞
→x b x b a x a x
10,0,a a b -=+=则分子的二次项和一次项系数为零:
即1,1-==b a
22
1)32
3(x f x x x -=-+、已知函数，
下列说法正确的是（）。

2(A)f(x)有个无穷间断点
())1(1B f x 有个可去间断点，个无穷间断点 ()2()C f x 有个第一类间断点
()111()f D x 有个可去间断点，个无穷间断点,个跳跃间断答案：B
221(1)(1)1
()32(2)(1)2
x x x x f x x x x x x --++===
-+---解析：
212320,1,2x x x x -+===令得
2.1x x ==是可去间断点，是无穷间断点
4、
是。

A.奇函数 B.周期函数 C.有界函数 D.单调函数答案：A
()()f x f x -=-解析：
1()11115.
f x x
=
+
+、函数的定义域为＿＿＿＿
A.
0,≠∈x R x 但
1
,10
.x R B x
∈+≠ 1,0,1,.2x x C R ∈≠--
0.,,1x R x D ∈≠- x ∈R,但x ≠0,−1
答案：C 解析：略.
6、
答案：C
|sin |
()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞的值为
，极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x
x b
x 答（）．．　a
be D e C a b B A a b
)
()(ln )(1)(
00
(1)(1)lim lim b a
b b x x a
a
x x x x e a a ⋅→→+=+=解析：
()li 7m x x f x →存在的充分必要条件是（）
、极限
0.()f x A 存在
()()lim l m .i x x x x f x f x B +-
→→与至少有一个存在
()().lim lim x x x x f x f x C +-→→与都存在
()()lim .lim x x x x f x f x D +-→→与都存在且相等
答案：D 解析：略.
1
1(2),1,
()1,8()
1
x x x f x x a x +⎧⎪+≠==-⎨⎪=-⎩、要使函数在处连续，则常数应为
A.1
B.e
C. e 1
D. ∞
答案：B
1
11
1
1
1
(2)
[1(1)]
lim lim x x x x x x e
++→-→-+=++=解析：
9、下列极限存在的是（）
.x A →+∞
2(21)
.lim x x x B x →∞
+ 11
lim .x
x e
C →+∞
-2ln(1)
.lim x x D →∞
+
答案：
C
:.,x x A A →+∞
→+∞
+∞解析：对选项应该排除
对选项B:
2)1
2()12()12(lim lim lim
2
2
=+=+=++∞
→+∞
→+∞
→x
x x x x x x x x x 2)1
2()12()12(lim
lim lim 2
2
-=--=+-=++∞
→-∞
→-∞
→x
x x x x x x x x x 于是极限不存在，排除B.
:0x x C e →-∞→对选项因时，，所以
111101.lim x
x C e →-∞
==---，所以应选 2
l (.
n 1):lim x x D D →∞
+=+∞，极限不存在，排除对选项很明显
10、函数
⎩⎨
⎧≥+<≤-=1
,2,10,1)(2
x x x x x f 在1=x 处间断是因为（）
(1).f A 无定义
1()lim .x f x B -
→不存在
1()lim .x f x C +
→不存在
1
()lim .x f x D →不存在
答案：D
1
11()0,() 3.().
lim lim lim x x x f x f x f x -
+=
→→→==解析：所以不存在。