考研高数总复习第四章矩阵第六节(讲义)
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
矩阵讲义全
本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。
要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。
§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。
④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。
记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
高等数学第四章课件-矩阵的概念
§4.1 矩阵的概念11112211211222221122n n n n s s sn n s a a x x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1. 线性方程组的解取决于()1,,,1,,,ij a i s j n ==⋯⋯系数()1,2,,i b i s =⋯常数项一、矩阵概念的引入11121121222212n n s s sn s a a a b a a b a a a a b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为为了便于计算,把表中的0,就得到一个数表二、矩阵的概念111212122212n n s s sn a a a a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋮⋮⋮⋯().ij s n A a ×=简记为数 称为矩阵A 的 i 行 j 列的元素，其中i 为行指ij a 标，j 为列指标.定义由数域 上个数排成的 行 列的数表s n ×s n P 称为数域 上一个矩阵,s n ×P注意：矩阵与行列式有本质的区别行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值.而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.三、矩阵的相等1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,,列数相等时列数相等时,,称为同型矩阵.例如⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛9348314736521与为同型矩阵.(),(),ij m n ij k l A a B b ××==2.设矩阵 若(1) A 与B 是同型矩阵;,1,,,1,,ij ij a b i m j n ===⋯⋯(2)则称矩阵A 与B 相等，记作 A ＝B ．称为矩阵A的行列式(2)只有一行的矩阵(),,,,21n a a a A ⋯=称为行矩阵(或行向量).,21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n a a a B ⋮只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).。
高等数学第四章课件-矩阵的逆
( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证： （反证法） 假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
ห้องสมุดไป่ตู้
高等数学第四章课件-初等矩阵
类似地, 类似地, ⎛ A ⎞ P −1 ⋯ P −1 P −1 ⎜E ⎟ l 2 1 ⎝ n⎠ ⎛ APl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎞ =⎜ E n Pl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ En ⎞ = ⎜ −1 ⎟ ⎝A ⎠
A 施 行 初 等列 变 换 ， 即 对 2n × n 矩 阵 E −1 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A .
R( A) = R( B ).
⎛ 1 0 −1 ⎞ 例2 将可逆矩阵 A = ⎜ −2 1 3 ⎟ 表成若干初等 ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ 矩阵的乘积. 矩阵的乘积. ⎛ 1 0 −1 ⎞ 左乘P (2,1(2)) ⎛ 1 0 −1 ⎞ → 解: A = ⎜ −2 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 −1 ⎞ 右乘P (1,3(1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,1( −3)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ → → ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 0 ⎞ 右乘P (2,3( −1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,2(1)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 0 ⎟ → → ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 0 0⎞ 左乘P (3( )) 6 ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ ⎜ ⋱ ⎟ 1 ⎜ ⎟ P ( i ( c )) = ⎜ ⎟ c ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
←第i 行
第i列
倍法矩阵 (倍法矩阵 倍法矩阵)
( 3 )以 数 k 乘 某 行 ( 列 )加 到 另 一 行 ( 列 )上 去 以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( krj + ri ) 以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( kci + c j )，
高等学校数学-讲义ppt-第四章矩阵第六节
A1 是一个 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩阵. 对 A1 再重复以
上的步骤. 这样下去就可得出所要的标准形.
显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1 的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个
数也就是矩阵 A 的秩.
证毕
例 1 任意输入一个矩阵，用初等变换把它
化为标准形. 单击这里开始
初等行变换
其中
解
5 1 5 8 5 ( A | B) 3 3 2 3 9 1 2 1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 3
4 5 , 6
故
1 X 2 3
4 5 . 6
本节内容已结束 !! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 .. ,, ! 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 若想结束本堂课 , , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 .. ,, 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 若想结束本堂课 请单击返回按钮 .. , 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 .. 请单击返回按钮 请单击返回按钮 请单击返回按钮. .
高等代数第四章 矩阵
30 10 15
10 70 35
45 20 25
100
,B
150 320000
20 45 16200
15500 ,C 28000
19750
5650 10350, 6775
第四章 矩阵
16
高等代数
东北大学秦皇岛分校
定义2
（1）结合律 ABC ABC;
（2）分配律 AB C AB AC,
B C A BA CA;
第四章 矩阵
18
高等代数
东北大学秦皇岛分校
4）矩阵乘法不满足交换律，即一般来说 AB BA
例如 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
A1 A
Ak
1
Ak
A
由乘法结合律有 Ak Al Akl
Ak
l Akl
注 1）方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。
2）一般来说 ABk Ak Bk
第四章 矩阵
21
高等代数
东北大学秦皇岛分校
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
第四章 矩阵
2
高等代数
东北大学秦皇岛分校
化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但 是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。 定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种 原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。
第四章 矩阵
3
高等代数
东北大学秦皇岛分校
矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2,
经济应用数学 第4章 矩 阵
（2）(k μ)A kA μA (分配律) ；
（3）k(A B) kA kB (分配律) ．
4.2.4 矩阵的乘法
1．矩阵乘法的定义
定义4 设A (aij )ms ，B (bij )sn ，C (cij )mn ，若
s
cij ai1b1j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ，，m ；j 1，2 ，，n) ， k 1
定义2 设 A (aij )mn ，B (bij )mn ，C (cij)m，n 若 cij aij bij (i 1，2 ，，m ；j 1，2 ，，n) ，则称矩阵C为矩阵A与B之和 （或差），记作 C A B(或A B) ，即 C A B (aij bij )mn ． 矩阵的加减法满足以下运算律： （1） A B B A (交换律) ； （2）(A B) C A (B C) (结合律) ； （3）A B A (B) ．
类似地可引入初等列变换的概念． 将上面所述的行换成列，便可得矩阵初等列变换的定义，并分 别记为 cj cp ，kcj ，kcj cp ． 矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换．
4.3.2 矩阵的秩
定义2 矩阵 Amn 经过有限次初等行变换后，变成阶梯型矩阵，其非
零行的行数称为矩阵A的秩，记作 R(A) ．
（4）( AB)T BT AT .
§4.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩
4.3.1 矩阵的初等行变换
如果对线性方程组实施下列变换： （1）将方程组中某两个方程的位置互换； （2）用一个非零的数乘以某个方程的两边； （3）用一个常数k乘以方程组中某一个方程，然后加到另一个 方程上去．
定义1 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下3种变换： （1）位置变换：互换矩阵某两行的位置，用 ri rj 表示；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1k
第i 行
1
第j行
1
二、初等矩阵的性质
引理 设 A 是一个 s n 矩阵, 对 A 施行一次
初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 s 级初
等矩阵;
对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A
的右边乘以相应的 n 级初等矩阵.
证明 我们只看行变换的情形，列变换的情
形可同样证明.
(ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
3. 行最简形矩阵和标准形矩阵
定4. 义矩阵一与个其行标阶梯准矩形阵的若关满系足 定(1)理每5个任非意零一个行s 的 n第矩阵一A个都与非它零的标元准素为 1 ;
形等价，(2并)且其每标个准形非的零主对行角线的上第1 的一个个数等非于零元素所在列
显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1
的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个
数也就是矩阵 A 的秩.
证毕
例 1 任意输入一个矩阵，用初等变换把它
化为标准形.
单击这里开始
5. 两个矩阵等价的充要条件
根据引理，对一矩阵作初等变换相当于用相应
的初等矩阵去乘这个矩阵.
因此，矩阵 A，B 等价
ai1 a11
( i = 2, 3, … , s ) 倍，其余的列减去第一列的
a1 j
( j = 2, 3, … , s ) 倍.
然后，用
a11 1 乘第一行，A a11
就变成
1 0 0
0
0
A1
.
A1 是一个 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩阵.
对 A1 再重复以
上的步骤. 这样下去就可得出所要的标准形.
第i行
3. 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上 去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( cj + kci ) ], 得 初等矩阵, 记为 P( i , j(k) ) .
第i列 第j列
1
P(i, j(k))
k Aj
P(i, j(k))A
第i行
这相当于把 A 的 j
Aj
第j 行
行的 k 倍加到 i 行.
As
第i行
推论 初等矩阵都是可逆知阵, 且
1) P( i, j )-1 = P( i, j );
2) P( i(c) )1 P( i(c1) ) ;
3) P( i , j(k) )-1 = P( i , j(-k) ).
A = Q1 Q2 … Qm .
(2)
由此即得
推论 1 两个 s n 矩阵 A，B 等价的充分必
要条件是，存在可逆的 s 级矩阵 P 与可逆的 n 级
矩阵 Q 使
A = PBQ .
推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行
变换化成单位矩阵.
证明 设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存
在初等矩阵 Q1 , Q2 , … , Qm 使 把它改写一个，有
这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩 阵的方法.
一 、初等矩阵的定义
定义 13 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 到的矩阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵.
1. 对调两行或对调两列
把单位矩阵中第 i , j 两行对调 ( ri rj ), 得初
A = Q1 Q2 … Qm ,
Qm-1
Qm
-1 -1
…
Q1-1A
=
E
.
因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩
阵 A 的左边乘初等矩阵就相当于对 A 作初等行变 换，所以结论得证.
证毕
四、求逆矩阵的初等行变换法
当 |A| 0 时, 由 A = P1P2 ... Pl , 有
Pl-1Pl-1-1 ... P1-1A = E,
在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化
简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可
以进一步化简.
为了方便，我们引入：
三、两个矩阵的等价关系
1. 定义
定义 14
等价 矩阵 A 与 B 称为
，如果 B 可以
由 A 经过一系列初等变换得到.
记为 A ~ B .
2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A;
A1
Aj
P(i, j) A
第i行
这相当于把 A 的 i 行
Ai
第j 行
与 j 行互换.
As
令 B = P( i (c) ) , 得
A1
P(i(c)
)
A
cAi
这相当于用 c 乘 A 的第 i 行.
令 B = P( i , j(k) ) , 得
A1
As
Ai
的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt
使
A = P1 P2 … Pl B Q1 Q2 … Qt .
(1)
n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准
形为单位矩阵； 反过来显然也是对的.
由 (1) 即得
定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是
它能表成一些初等矩阵的乘积：
的矩阵其A他的秩元( 素1 的全个数为可零以是, 零则) .称之为行最简形矩阵.
证定明义 如如果果 一A =个O矩，那阵么的它左已经上是角标为准单形了位. 矩阵, 其以下他无位妨置假的设 元A 素O都. 为零,经则过称初等这变个换矩，A阵一为定标可以准形 矩变成阵一.左上角元素不为零的矩阵.
当 a11 0 时，把其余的行减去第一行的
令 B = ( bij ) 为任意一个 s s 矩阵,
A1 , A2 , … , As 为 A 的行向量.
由矩阵的分块乘法,
B
A
b11 A1 b21 A1
b12 A2 b22 A2
b1s As b2s As
bs1A1 bs2 A2 bss As
特别，令 B = P( i , j ) , 得
(i)
及
Pl-1Pl-1-1 ... P1-1E = A-1.
(ii)
(i) 式表明 A 经一系列初等行变换可变成 E , (ii)
式表明 E 经这同一系列初等行变换即变成 A-1 .
等矩阵, 记为 P( i , j ) .
1
1
0
1
1
P(i,j)
1
1
0
1
1
第i行 第j行
2. 以数 c 0 乘某行或某列
以数 c 0 乘单位矩阵 E 的第 i 行 ( ri c ) ,
得初等矩阵, 记为 P( i(c) ) .
1
1
P(i(c))
c
1
1