浙江大学微积分一习题解答 第十章(春季)

∫∫ ∫∫
D1
( xy + x 1 − y 2 )dσ xydσ
B) 2 D)0
∫∫
D1
x 1 − y 2 dσ
D1
D = D1 U D 2 U D 3 U D 4
(1) xy 关于 y 为奇函数，因此 xy 关于 x 为奇函数，因此 因此 (2)
∫∫ ∫∫
D1 U D 2
xydσ ＝0； xydσ ＝0.
2
= −2, B =
∂ 2f ∂ 2f = 1, C = 2 = −2 。 A < 0, B2 − AC < 0 。 故 (2 , 1 ) 为极大点。 极大值为 f ( 2 , 1) = 1 3 3 3 3 3 ∂x∂y ∂y
因为 σ 内仅有一个驻点， 因此最小值点应在边界上取到。而最大值点也有可能在边界上取到。下面 逐一求出四条边界直线段上的极值。 (1) x=0,0≤y≤2.此时 f(0,y)= − y 2 . 因此此边界上最大值 f(0,2)=0,, 最小值 f(0,0)= -4 (2) x=1,0≤y≤2.此时 f(1,y)= y − y 2 = 因此此边界上最大值 f(1,
故得证。# 题 5 (p142)▲ 【5】 设 平 面 区 域 D = {( x , y) | y ≤ x , x 2 + y 2 ≤ 1} , D1 = {( x , y) | 0 ≤ y ≤ x , x 2 + y 2 ≤ 1} 则 积 分
∫∫
3
D
( xy + x 1 − y 2 )dσ 等于
A) 4 C) 2 『解』
(4ξ 2 + η 2 + 9)4π ≤ (4ξ 2 + 4η 2 + 9)4π ≤ (4 × 4 + 9)4π ＝ 100π
(4ξ 2 + η 2 + 9)4π ≥ 36π #
题 3(2) (p142)▲ 【2】 估计下列积分值
∫∫
σ
[ x (1 + y) − ( x 2 + y 2 )]dσ ， σ = {( x , y) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2}
2
∫∫ dσ
σ σ
根据积分区域分关于 x,y 的地位的同等性，有 于是 I ＝4 ＝5 于是 I≤ 5 4 2 又 I＝ 4 『解 2』利用中值定理 I＝
2
∫∫ x dσ = ∫∫
σ
y 2 dσ
∫∫ x dσ + ∫∫ x dσ + 9σ (对称性)
2 2
σ σ
∫∫ x dσ + 9σ ＝ ∫∫
σ
5 2
x2 a
σ
2
求积分
∫∫
σ
( x + y) R 2 − x 2 − y 2 dσ , σ = {( x , y) | x 2 + y 2 ≤ R 2 }
∫∫
σ
x R 2 − x 2 − y 2 dσ
∫∫
σ
y R 2 − x 2 − y 2 dσ ＝0。因此原积分为 0#
+
y2 b2
≤ 1} ，试证
∫∫ ∫∫ ∫∫
σ
( x + y) 2 dσ =
∫∫
( x 2 + y 2 )dσ
(ii) 『证』 (i)
sin x 2 + y 2 dσ = 0 y σ
σ
( x + y) 2 dσ =
∫∫
σ
( x 2 + y 2 )dσ +
∫∫
σ
2xydσ =
∫∫
σ
( x 2 + y 2 )dσ ＋0＝
∫∫
σ
( x 2 + y 2 )dσ
1 2 1 4
− (y − 1 )2 . 2
)=
1 4
, 最小值 f(1,2)=-2
1 4
(3) y=0,0≤x≤1.此时 f(x,0)= x − x 2 = 因此此边界上最大值 f(
1 2
− (x − 1 )2 . 2
,0)=
1 4
, 最小值 f(0,0)=0
(4) y=2,0≤x≤1.此时 f(x,2)= 3x − x 2 − 4 = − 7 − (x − 3 )2 . 4 2 因此此边界上最大值 f(1,2)=-2, 最小值 f(0,2)=-4 综上知， 在 σ 的边界上，f(x,y)的最大值 f(1,
D3 U D 4
∫∫
D
xydσ ＝
∫∫
D1 U D 2
xydσ ＋
∫∫
D3 U D 4
xydσ ＝0
x 1 − y 2 关于 x 为奇函数， 因此 x 1 − y 2 关于 y 为偶函数，因此
因此
∫∫
D3 U D 4
x 1 − y 2 dσ ＝ 0
∫∫
D1 U D 2
x 1 − y 2 dσ ＝ 2
e f ( y) e f (x)
∫∫
σ
x 2 y 3 dσ ＝0。同理，积分区
∫∫
σ
x 3 y 2 dσ ＝0。
∫∫
σ
( x 2 y 3 + x 3 y 2 + 1)dσ ＝ σ ＝ πR 2 #
4
题 6(2) (p142) 【7】 『证』 利用对称性， 积分区域关于 y 轴对称，x R 2 − x 2 − y 2 关于 x 为奇函数， 所以 ＝0。同理 题 7 (p142) 【8】 设积分区域 σ = {( x , y) | (i)
∫∫ e
f ( x ) −f ( y )
σ
dσ ≥1
∫∫ e
∫∫
f ( x ) −f ( y )
σ
dσ ＝
1 2
∫∫ ∫∫
ef (x)
σ e f ( y)
dσ ＝
+
∫∫
e f ( y)
σ ef (x)
1 2
dσ (根据对称性)
ef (x)
σ e f ( y)
dσ ＝
σ
[
e f (x) e f ( y)
∫∫
D1
x 1 − y 2 dσ
∫∫
D
x 1 − y 2 dσ ＝
∫∫
D1 U D 2
x 1 − y 2 dσ ＋
பைடு நூலகம்
∫∫
D3 U D 4
x 1 − y 2 dσ
＝2
∫∫
D1
x 1 − y 2 dσ
综上， 知 故选 B
∫∫
D
( xy + x 1 − y 2 )dσ ＝ 2
∫∫
D1
x 1 − y 2 dσ
y
0
D4 D3
D1 D2
x
#
题 6(1) (p142) 【6】 『证』 利用对称性，积分区域关于 y 轴对称， x 3 y 2 关于 x 为奇函数， 所以 域关于 x 轴对称， x 2 y 3 关于 y 为奇函数，所以 于是 求积分
∫∫
σ
( x 2 y 3 + x 3 y 2 + 1)dσ , σ = {( x , y) | x 2 + y 2 ≤ R 2 }
( x , y )∈σ
∫∫
σ
[ x (1 + y) − ( x 2 + y 2 )]dσ ≤ σ max f ( x , y)
( x , y )∈σ
其中 max f ( x , y), min f ( x , y) 分别为 f(x,y)在 σ 上的最大、最小值。
( x , y )∈σ ( x , y )∈σ
σ
( x 2 + y 2 )dσ + 9σ
∫∫ dσ + 9σ ＝ 19σ ＝ 76π
σ σ
∫∫ x dσ + ∫∫
2
σ
y 2 dσ + 9
∫∫ dσ ≥ 9∫∫ dσ ＝ 36π
σ σ
∫∫
σ
(4 x 2 + y 2 + 9)dσ ＝ (4ξ 2 + η 2 + 9)
∫∫ dσ ＝ (4ξ
σ
2
+ η 2 + 9)4π
∫
(1 +1 y− 1 − y 2 )dy 2 2 3
＝−
#
2
题 3(3) (p142) 估计下列积分值 【3】 『解 1』 记 I1 =
∫∫∫
V
(cos xyz + sin xyz )dV ，V={(x,y,z)|0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}
∫∫∫
V
cos xyzdV ，则
I1 ≤
∫∫∫
『解 1』较粗略的估计 因 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 ， 所以 0 ≤ x (1 + y) ≤ 3,−5 ≤ −( x 2 + y 2 ) ≤ 0 。于是
− 5 ≤ x (1 + y) − ( x 2 + y 2 ) ≤ 3 。因此 − 5σ ≤
由于 σ ＝2，因此 − 10 ≤ 『解 2』★较精确的估计
其中
∫∫
σ
2 xydσ ＝0 是因为奇函数在对称区域上的积分为 0。
(ii)
∫∫
sin x 2 + y 2 dσ = 0 也是因为奇函数在对称区域上的积分为 0。# y σ
题 8 (p142) 【9】 『证』 设 f(x)在[0,1]上连续，积分区域 σ = {( x , y) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} ，则
2 3
.
∫∫
σ
[ x (1 + y) − ( x 2 + y 2 )]dσ ＝