2018年春人教版九年级数学下《第27章相似》专训3相似三角形与函数的综合应用含答案

OB BA
，∴
P4O＝
3 2.
又易得
P4 在 P3M
上，∴ P4M ＝
3 4.
∴ P4
3， 4
3 4
.
(第 1 题③ )
当∠ BOP＝ 90°时，点 P 在 x 轴上，不符合要求．
综上得，符合条件的点有四个，分别是：
P1(3，
3)， P2(1，
3) ，P3
34，
3
3 4
， P4
34，
3 4
.
2． 解： (1) 由题意得 A(3 ， 0)， B(0， 3)，∵抛物线经过 A ，B ， C 三点，∴把 A(3 ， 0)，
(1)求直线 BD 和抛物线对应的函数解析式；
(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点
M ，作 MN 垂直于 x 轴，垂足为点 N， 使
得以 M ， O， N 为顶点的三角形与△ BOC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请
说明理由．
(第 3 题 )
相似三角形与反比例 函数
4．如图，矩形 OABC 的顶点 A， C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为 (2， 3)，双曲
m＝2，
k＝－ 2，
得
解得
k＋m＝0，
m＝ 2.
∴直线 BD 对应的函数解析式为 y＝－ 2x＋ 2. ∵抛物线对应的函数解析式为 y＝－ x2＋ bx＋ c， ∴把 B(0 ， 2)， D(3 ，－ 4)的坐标分别代入 y ＝－ x 2＋bx ＋ c，
c＝2，
b＝ 1，
得
解得
－ 9＋ 3b＋ c＝－ 4，
线
y＝
k x
(x>0)
经过
BC
的中点
D ，且与
AB 交于点
E，连接
DE.
(1)求 k 的值及点 E 的坐标；
(2)若点 F 是 OC 边上一点，且△ FBC∽△ DEB ，求直线 FB 对应的函数解析式．
(第 4 题 )
答案
1． 解： (1) 设直线 AB 对应的函数解析式为 y＝ kx＋ b，将 A(3 ， 0)， B(0 ， 3) 的坐标分
重合，∴ P2(1， 2)，∴点 P 的坐标为 (－ 1， 4)或 (1， 2)．
(第 2 题) 3． 解： (1) 易得 A( － 1， 0)， B(0 ， 2)，C(1 ， 0)． 设直线 BD 对应的函数解析式为 y＝ kx ＋ m. 把 B(0 ， 2)， C(1 ， 0)的坐标分别代入 y＝ kx ＋ m，
别代入得
3k ＋ b＝ 0， 解得
b＝ 3，
k＝－
3， 3
b＝ 3.
∴直线 AB 对应的函数解析式为
y＝－
3 3 x＋
3.
(2)设点 C 的坐标为
3 x，－ 3 x＋
3
， [来源 学* 科*网 Z*X*X*K][
来源 :Z&xx&]ຫໍສະໝຸດ 那么 OD ＝ x， CD＝－
3 3 x＋
3.
（ OB ＋ CD） ·OD
BP 1＝ OA
＝
3，
∴ P1(3， 3)．
Ⅱ.
若
△ BP2O∽△ OBA
，
则
BP 2
＝
OB
BO OA
，
∴
BP2＝
OB
2
＝
OA
1，∴
P2
(1，
3)．
当∠ OPB＝ 90°时，
Ⅲ .若△ P3BO ∽△ OBA( 如图② )，过点 P3 作 P3M ⊥ OA 于点 M.
(第 1 题② )
则
PO3BB＝
专训 3 相似三角形与函数的综合应用
名师点金： 解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命 题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．
相似三角形与一次函数 1．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴， y 轴分别交于 A(3 ， 0)， B(0 ， 3) 两点，点 C 为线段 AB 上的一动点，过点 C 作 CD⊥ x 轴于点 D. (1)求直线 AB 对应的函数解析式；
ABO
∽△
AP 1D
，则
AO AD
＝
OB ， DP 1
∴DP 1＝AD ＝ 4，∴ P1(－1， 4)；若△ ABO ∽△ ADP 2，过点 P2 作 P2M ⊥x 轴于 M ，∵△ ABO
为等腰直角三角形，∴△ ADP 2 是等腰直角三角形，∴ DM ＝ AM ＝ 2＝ P2M ，即点 M 与点 C
43 (2)若 S 梯形 OBCD＝ 3 ，求点 C 的坐标； (3)在第一象限内是否存在点 P，使得以 P， O，B 为顶点的三角形与△ OBA 相似．若存 在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(第 1 题)
[来源 学科网 ]
相似三角形与二次函数 2．如图，直线 y ＝－ x ＋3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B，抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ c 经过
BO BA
＝
P3O OA
又易知 AB ＝ 2
3
，∴
P3B
＝
OB AB
2
＝
3 2
，
P3O＝
OA·OB AB
＝
3 2.
∴ P3A ＝ 2
3－
3＝ 2
3
2
3 .
∵
OP3·P3A
＝
P3M·OA
，∴
P3M
＝
3
4
3 .
∴ OM
＝
3 4.
∴
P3
34， 3 4 3
.
Ⅳ .若△ P4OB ∽△ OBA(
如图③
)，则
PO4BO＝
B(0 ， 3) ， C(1， 0) 三点的坐标分别代入
y ＝ ax2＋ bx＋ c ，得方程组
9a＋ 3b＋ c＝ 0，
c＝3，
解得
a＋ b＋c＝ 0，
a＝ 1， b＝－ 4，∴抛物线对应的函数解析式为 c＝ 3，
y＝ x 2－ 4x＋3.
(2) 如图，由题意可得△ ABO 为等腰直角三角形．若△
c＝ 2.
∴抛物线对应的函数解析式为 y＝－ x2＋ x＋ 2.
∴ S 梯形 OBCD ＝
2
＝－
3x2＋ 6
3x.
由题 意得－
3 6
x2＋
3x＝ 4 3，解得 3
x1 ＝2， x2＝ 4(舍去 )．
∴C
2，
3 3
.
(3)存在．当∠ OBP＝ 90°时，如图① .易知 OB ＝ 3， OA＝ 3.
(第 1 题① )
Ⅰ
.若△
BOP
1∽△
OBA
，则
BP 1＝ OA
BO ，∴ OB
A ， B， C(1 ，0) 三点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
[来源 学科网 ZXXK]
(2)若点 D 的坐标为 (－ 1， 0)，在直线 y＝－ x＋3 上有一点 P，使△ ABO 与△ ADP 相
似，求出点 P 的坐标．
(第 2 题 )[来源 学科网]
3．如图，直线 y＝ 2x＋ 2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，把△ AOB 沿 y 轴翻折， 点 A 落到点 C 处，过点 B 的抛物线 y＝－ x 2＋ bx ＋c 与直线 BC 交于点 D(3 ，－ 4)．