波动方程与波速
15波动(横波、纵波、行波、简谐波、波长、波速、波动方程)
t
x 20
m
得： u=20m/s
由 = uT = u/ ν = 20/200 = 0.1m
速度和加速度的公式如下：
v y A sin(t 2x / )
18
t
代入相应的量
v 2103 400 sin(400t 20x)
加速度为：
a v 2103 (400 )2 cos(400t 20x)
t x = 1m代入得
v 0.8 sin 400t(m / s) a 320 2 cos(400t)(m / s2 )
19
例2、对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 u
F
F为绳索或弦线中张力; 为质量线密度
y(0,0)=0 v0>0 初位相为 φ= －π/2
X
0.2m 0.4m
y Acos(2 t 2x ) T 2
4102 cos(100t 5x
2)m
20
因为：v
y
y( x,
x) u
0
]
所以 v y y(x,t) 12.6cos(100t 5x)(m / s)
第六章
波动
1
6-1、波动学基础
波动是自然界最常见的一种运动形式。例如 机械波：水波、声波、地震波。其传播需要有介质。
电磁波：无线电波、光波、各种射线等，其传播无需 介质。
物质波：近代物理发现实物粒子也具有波性，即物质 波。
各种波性质不同，但又有共性。可以传递能量，可以 产生反射、折射、干涉、衍射等现象。以有限的速率 传播。
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
11-3 波动方程 波速
E 杨氏模量
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2.体变
F
V V
压强增量与体积增量成正比
p k V V
k 体积模量
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3.切变
F
S
切应力 F S
S
切应变
F G
S
G 切变模量
F
它们成正比：
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x2 F t2
波速 u F
l
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三、波速
柔软细绳和弦中横波 固体内纵波
u F
l
u E
固体内横波
u G
E固体杨氏模量，G剪切模量， 密度
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*四、介质的形变及其模量
1.线变
F
l
F
l l
截面积S 正应力 F 线应变 l
S
l
实验表明，在弹性范围内
F E l Sl
o Fa
x
合力
Fy Fb sinb Fa sina F(sinb sin a )
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对于微小扰动 sina tana ，sinb tanb
而且 tan y 可得：
x
Fy
F
y x
b
y x
a
F
2 y x2
x
由牛顿定律，可得
Fy
may
l x
2 y x2
2 y l 2 y
在三维空间中的一切波动过程，只要介质无吸收 且各向同性，都适合下式：
2
x2Biblioteka 2y 22
z 2
1 u2
2
t 2
代表振动位移。
球面波的波动方程：2 (r
波的运动方程与波速
波的运动方程与波速波是指能够在介质中传播的一种物理现象。
波的运动方程描述了波在空间和时间上的变化规律，而波速则表示波在介质中传播的速度。
本文将探讨波的运动方程及其与波速之间的关系。
一、波动方程波的运动方程是描述波随时间和空间变化的数学表达式。
不同类型的波具有不同的运动方程。
下面以机械波为例，讨论波动方程的一般形式。
对于机械波，其运动方程可以用以下泛定的形式表示：y = A sin(kx - ωt + φ)其中，y表示波的振幅，A表示振幅的最大值，k表示波数，x表示位置坐标，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
波动方程中的每一项都具有特定的物理意义。
振幅A表示波的振动幅度，反映了波的能量大小。
波数k表示波的空间频率，描述了波的周期性。
角频率ω则表示波的频率，与波的周期倒数成正比。
初相位φ表示波动的起始相位。
二、波速的计算波速是指波在介质中的传播速度。
对于机械波，波速可以由波动方程中的波长和周期来计算。
波长λ表示波的一个完整周期所对应的空间距离。
周期T表示波完成一个振动周期所需的时间。
波速v定义为波长和周期的商：v = λ / T波速的计算与波的性质和介质有关。
例如，在弹性介质中传播的横波和纵波的波速分别由介质的弹性模量和密度决定。
在真空中，电磁波的波速等于光速。
三、波速的影响因素波速的大小受多种因素影响，包括介质性质、温度、压力等。
以下介绍一些常见的影响因素：1. 介质性质：不同介质具有不同的质量和弹性特性，因此波速会因介质而异。
例如，声音在不同材料中的传播速度会有所不同。
2. 温度：温度的变化也会影响波速。
一般来说，温度升高会导致介质的分子和原子振动加剧，使波速增加。
3. 压力：在气体中传播的声波受压力的影响。
随着压力的增加，气体的密度增加，分子之间的相互作用也会增强，导致波速增加。
除了以上因素，波速还可受到介质中存在的其他波或障碍物的干扰而发生变化。
四、应用与意义波动方程和波速的研究对于物理学和工程学领域具有重要的意义。
波动方程与波速 波的能量 惠更斯原理 波的反射与折射
波速小的媒质（光密媒质） 波速大的媒质（光疏媒质）
光密媒质→光疏媒质时， 折射角r >入射角 i ，会发生全反射现象。
光密u1(小)
i
光疏u2(大)
r
动能
v = ∂y = − Aω sinω(t − x )
∂t
u
d
Ek
=
1 2
∆ mv 2
=
1 2
ρ dV
⎜⎛ ∂y ⎟⎞2 ⎝ ∂t ⎠
= 1 ρ dVA 2ω 2 sin 2 ω ⎜⎛ t − x ⎟⎞
2
⎝ u⎠
势 能： 质元长度变化：Δy
质元线应变为
∆y ∆x
由胡克定律，应力为 f = Y ∆y ∆x
F = Y ∂y
S
∂x
Y杨氏模量
F1
=
SY
∂y ( ∂x )x
F2
=
∂y SY ( ∂x )x+∆x
F2
−
F1
=
SY[( ∂y ∂x
)x+∆x
−
∂y ( ∂x )x ]
=
SY
∂ ∂x
( ∂y )∆x ∂x
=
SY
∂2 y ∂x2
∆x
质元的质量 ∆m = ρ S∆x
质元的加速度
a
=
∂2y ∂t 2
（Δx很小）
u1 sin γ = u2 sin i
u2 > u1 ⇒ γ > i
i u1(小) u2(大) r
γ > 900 时，入射波全部反射
回原来介质，称为全反射
i = iC u1(小) u2(大) r = 90°
sin iC
=
u1 u2
波动方程通解
波动方程通解
波动方程是研究波的传播与变化规律的重要方程，其通解可以通过偏微分方程的求解得到。
波动方程的一般形式为：
^2u/t^2 = c^2 ^2u/x^2
其中u表示波函数，t表示时间，x表示空间位置，c表示波速。
解波动方程需要使用分离变量法，即假设u(x,t)可以分解为两个函数的乘积，即u(x,t) = X(x) × T(t)。
将u(x,t)带入波动方程中，得到：
X(x) × T''(t) = c^2 X''(x) × T(t)
两边同时除以X(x) × T(t)，得到：
T''(t) / T(t) = c^2 X''(x) / X(x)
由于左边只与t有关，右边只与x有关，所以等式两边必须相等，即：
T''(t) / T(t) = c^2 X''(x) / X(x) = -ω^2
其中ω为常数，可表示波的频率或角频率。
根据上述等式，我们可以分别求解出X(x)和T(t)的通解：
X(x) = A sin( kx + φ)
其中A、k、φ为常数，k = ω / c。
T(t) = B cos( ωt + α)
其中B、α为常数。
因此，波动方程的通解为：
u(x,t) = A sin( kx + φ) × B cos( ωt + α)
其中A、B、φ、α为常数，k = ω / c。
该通解可以表示任意形式的波函数，包括机械波、电磁波等。
在具体求解时，需要根据实际问题进行边界条件的约束，从而确定待定常数的具体取值。
波动学中的波速与波动方程知识点总结
波动学中的波速与波动方程知识点总结波动学是物理学中一个重要的分支，研究波的传播和性质。
在波动学中，波速以及波动方程是两个关键的知识点。
本文将对波速和波动方程进行总结介绍，以帮助读者更好地理解波动学的基本概念和原理。
一、波速波速是指波沿介质传播的速度。
根据波速的不同，波动可以分为机械波和电磁波两种类型。
1. 机械波的波速机械波是指需要介质传播的波动，例如水波和声波。
机械波的波速可以通过介质的性质来确定。
在同一介质中，波速与介质的密度以及弹性有关。
一般情况下，密度越大，波速越小，弹性越大，波速越大。
波速的确定可以通过实验测量，例如在绷紧的绳子上传播波动，可以通过测量绳子的质量和拉伸力来确定波速。
2. 电磁波的波速电磁波是指不需要介质传播的波动，例如光波和无线电波。
电磁波的波速与空气中的光速相等，约为3×10^8米/秒。
这是一个常数，与电磁波所处的媒质无关。
二、波动方程波动方程是用来描述波动传播的数学方程，可以根据波动的性质和场景的不同而有所差异。
常见的波动方程包括一维波动方程、二维波动方程和三维波动方程。
1. 一维波动方程一维波动方程描述沿着一个维度传播的波动。
一维波动方程可用以下形式表示：∂^2u/∂t^2 = v^2 ∂^2u/∂x^2其中，u表示波函数，t表示时间，x表示空间坐标，v表示波速。
这个方程说明了波函数在时间和空间上的二阶导数与波速的平方成正比。
2. 二维和三维波动方程二维和三维波动方程描述沿着两个或三个维度传播的波动。
以二维波动方程为例，可用以下形式表示：∂^2u/∂t^2 = v^2 (∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)其中，u表示波函数，t表示时间，x和y表示空间坐标，v表示波速。
这个方程说明了波函数在时间和空间上的二阶导数与波速的平方成正比。
三、波动学中的应用波速和波动方程在波动学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 声学声波是一种机械波，其传播速度取决于介质的性质。
人教版高中物理知识点解析机械波中的波动方程与波速
人教版高中物理知识点解析机械波中的波动方程与波速人教版高中物理知识点解析——机械波中的波动方程与波速机械波是一种通过物质粒子之间的振动传递能量的波动现象。
在机械波的研究中，波动方程和波速是非常重要的概念。
本文将对人教版高中物理中关于机械波的波动方程和波速进行详细解析，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。
1. 机械波的波动方程机械波的波动方程描述了波的传播过程中粒子的振动状态。
在一维情况下，机械波的波动方程可以表示为：y(x, t) = A*sin(kx - ωt + φ)其中，y表示波的振幅；x表示波传播的位置；t表示时间；A表示振幅的最大值；k表示波数，它与波长λ之间的关系为k = 2π/λ；ω表示角频率，它与周期T之间的关系为ω = 2π/T；φ表示相位差。
通过波动方程，我们可以描述出不同位置和不同时刻波的振动状态。
波动方程中的k和ω都与波的性质相关，它们可以通过波的频率f和周期T来计算，其中 f = 1/T。
2. 机械波的波速机械波的波速是指波沿着介质传播的速度。
在弹性介质中，波速的大小与介质的性质有关。
一维机械波的波速v可以通过介质的弹性模量E和密度ρ来计算，公式如下：v = √(E/ρ)其中，E表示介质的弹性模量，单位为帕斯卡(Pa)；ρ表示介质的密度，单位为千克/立方米(kg/m³)。
三. 波动方程与波速的应用波动方程和波速是研究机械波传播和振动性质的重要工具。
它们在各个领域中都有广泛的应用。
首先，波动方程和波速可以用于解释声波的传播和声学现象。
声波是一种机械波，通过媒质传播而产生的压力波动。
通过对波动方程和波速的理解，我们可以解释声波的特性，如音量大小、音调高低等。
其次，波动方程和波速也可以用于解释光的传播和光学现象。
光是一种电磁波，通过介质或真空传播而产生的辐射。
光的传播速度是万亿倍的光速，它的波动方程和波速可以帮助我们理解光的折射、反射等现象。
此外，波动方程和波速还可以应用于地震波、海洋波、地下水波等自然现象的研究。
例1 已知波动方程如下,求波长、周期和波速
例10 已知驻波方程：y 2.0cos 0.16x cos 750t
求：（1）波幅与波速。（2）节点间的距离。（3）
t=2.010-3秒时，位于x=5.0cm处质点的速度。
解： 标准方程： y 2Acos 2 x cos 2 t
T
2A 2.0
A 1.0 cm
2 0.16 2 0.16
2 T 750 T 2 750
u 4.7 103 cm s1
T
（2）节点间的距离 2 20 cm s1
2 0.16 2
（3） t=2.010-3秒时，位于x=5.0cm处质点的速度
y 2Acos 2 x cos 2 t
T
A 1.0 cm 2 0.16 T 2 750
法一：
C oB A
Dx
B比A相位超前 xA xB 4 5 π
u
20
B点振动方程： yB (3 10 2 m) cos[4π t π ]
波动方程: y (3102 m) cos[4π
法二：由以A为原点的波动方程：
(t
x) 20
π
]
y
(3 10
2
m)
cos4π
A cos (t
x) u
(3 10 2 m) cos4π
(t
x 20
)
(3 102 m) cos(4t x)
5
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA (3102 m) cos(4 π s1)t
u
8m 5m 9m
u 20m.s-1
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1. 思考题：教材368-369页； 2. 练习题：10.2.5 10.5.1 10.5.3 10.5.5 10.6.2
§1 波的基本概念
一、波是振动状态的传播
波是与振动密切相关性的。在宏观上，可将气体、液体或 固体当作连续体，其体内各个相邻的质元间以弹性力维系着。 当任一质元在外界作用下偏离平衡位置时，邻近质元作用的弹 性回复力就会使它发生振动；同时，这些邻近质元又受到该质 元的弹性力作用，也会振动起来，于是振动就会由近及远、由 此及彼地传播开去。这种机械振动在物质中的传播称为机械波。
4、周期：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线 上某点所需的时间，用 T 表示。周期反映了波的时间周期性， 即每经过一个周期，媒质中各点的振动状态重复一次；
5、波速：振动状态在媒质中传播的速度，用v 或 u 表示。由于
振动状态由相位决定，所以波速也可以说是相位在媒质中的传
播速度，因此又可称为相速。 v
二、本章的基本要求
1、理解波动的本质及其物理图象，建立正确的波动概念；
2、掌握描述波动的基本物理量（波长、波速、波的频率）的 物理意义和相互关系；
3、掌握平面简谐波的概念及其方程，理解波的空间周期性和 时间周期性的含义；
4、了解波的能量传播特征及能量密度和能流密度的物理意义 及数学表达式；
5、了解波的叠加原理及波干涉的一般概念； 6、掌握驻波产生的条件，理解驻波方程的导出及驻波的特点； 7、了解机械波的多普勒效应及其产生原因。
问题：能否用一个式子表达出波线上全部质元的振动。现在就 无吸收媒质（A不变）中平面简谐波情形来讨论这一问题。
具体过程：取 x 轴沿某一波射线，只要能写出同时表达轴上各 点振动的表达式，就是沿轴的这一条波线上的波的表达式。
P1
O
1
P2
2
x
x
下面根据振动状态（相位）以波速 v 沿 x 轴传播的观点讨论一 条波线上的简谐波。
设波向 x 轴正方向传播，取平衡位置在坐标原点O 处的质 元作参考。设它在时刻 t 的振动位移为（振动方程）
y0 A cost(初相 0)
现在问：在时刻 t ，平衡位置坐标为 x 的一点处的质元位移等
于什么？
在 x 处的振动状态是 O 处振动状态经过一段时间 x 后传到
中传播。
二、多种多样的波
● 按物理性质分：机械波、电磁波等。 ● 按波的传播方向和振动方向间的关系分：横波、纵波、混 合波（水波及地震波）；在气、液、固介质内部能形成纵波， 而横波通常是在固体内部传播的，也能沿液体表面传播。 ● 按照传播的空间维数分：一维（沿弦的波）、二维的（表 面波）和三维的； ● 按波源扰动的时间分：脉冲波、持续波； ● 按波传主要部分：第一，以波动本质—— 位相依次传播为中心的有关波动的基本概念，平面简谐波的运 动学方程的建立及方程的物理意义；第二，波的能量；第三， 波的叠加和驻波，另外介绍了多普勒效应。全章的重点是波动
的物理图象，平面简谐波运动学方程是建立在位相传播这个物 理图象上的，不理解位相传播是波动的本质，就很难真正领会 波的运动学方程及其物理意义，波动的能量特征、波的叠加和 驻波的特点都离不开位相和位相传播这个概念，我们研究机械 波的目的是通过对具有直观性的机械波的研究，认识波动的基 本规律。这对于我们研究其它形式的波是十分重要的。
§2 平面简谐波方程
若平面波的波源作简谐振动，则在波已传到的区域中各质 元都按波源振动的频率作简谐振动， 这样的波就称为平面简 谐波。可以证明，其它复杂的波可视为平面简谐波的叠加。
思考问题的方法：因为同一波面上各质元的位相相同，所以要 描述某一波面上各质元的振动状态，只需任意选择其上一点作 为代表，描述这个“代表点”的振动状态，就是描述了波面上 所有质元的运动。波射线上的各点，可以看作是各波面的“代 表点”。若能描述波射线上各点的振动状态，也就是描述了媒 质中各质元的运动，用这样的方法，把描述空间各点的运动转 变为讨论一直线上各点的运动，问题得到了简化。
三、描述波传播的几个物理量
1、波阵面（波前）：在某一时刻，振动到达的各点构成的面
（位相相同）；
2、波射线：波的传播方向，用带有箭头的线表示。在各向同 性的媒质中，波线总是与波阵面垂直；
3、波长：同一波线上两个相邻的相位差为 2π，即振动状态相 同的相邻两质点之间的距离，通常用λ表示。波长反映了波的 空间周期性，即每经过一个波长，媒质中的各点的振动状态重 复一次；
T
由于v ,所以v ,式中k 2 , 表示 2 长度
2
2 k
长度上波的数目，称为波数，有的称它为角波数，而波数为1/
即单位长度内完整的波的数目，用 或 v~ 表示。也可以看作
是在波的传播方向上每经过一个单位距离后波位相的改变量， 单位是 m-1，它在波动中是一个很有用的物理量。
第十章 波动和声
（Chapter 10 Waves & Sounds）
前言 波的基本概念 平面简谐波方程 波动方程与波速 平均能流密度 • 声强与声压 波的叠加和干涉 • 驻波 多普勒效应
前言
一、本章的基本内容及研究方法
波动是很普遍的现象，在我们周围常见的波有：水波、声、 光、无线电波，还有宇宙深处许多天体的有韵律的辐射也是波。 人类就生活在这各种各样波的“海洋”之中。近代物理证明， 波动不仅存在于宏观世界中，甚至对于单个的电子、质子、中 子等微观粒子而言，它们也具有波的性质，称之为物质波。不 过，物质波与宏观世界中的波有完全不同的本质。尽管各种类 型波的性质不同，但它们有相似的波动微分方程和波函数，且 都具有波动特有的现象，如折射、反射、平涉和衍射等。
各个质元仅在各自的平衡位置附近振动，传播开去的只是振动 或振动状态。由于位相可以反映振动状态，所以也可以说波动 是位相的传播，顺着波传播的指向看过去，位相依次滞后，这
反映了振动的传播需要时间，振动的传播速度叫作波速，不要 把波速与质点的振动速度混淆起来！
形成机械波有两个条件：波源、介质。但光波可以在真空