4离散时间系统的差分方程描述
离散时间系统的数学模型—差分方程
一．用差分方程描述线性时不变离散系统
线性：均匀性、可加性均成立；
x (n) 1
离散时间系统
y (n) 1
x 2 ( n ) 离散时间系统
c x (n ) + c x (n )
x1n+ x2n
x2 n
乘法器：
x1n x1n+ x2n
x2 n
x1 n
x1n x2 n
x2 n
系统框图
乘法器
xn
延时器
axn
a
yn
1
yn 1
E
xn a axn
yn
yn 1
z 1
五．差分方程的特点
(1)输出序列的第n个值不仅决定同一瞬间的输入样值， 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。
11
22
离散时间系统
y2 (n )
c y (n ) + c y (n )
11
22
时不变性
xn yn，xn N yn N 整个序列右移 N位
x(n)
y(n)
1 1 0 1 2 3 n
1
系统
1 o 1 2 3 4 n
x(n N )
y(n N )
1
1
系统
1 0 1 2 3
yt ynT yn
f t f nT f n
yn yn 1 ayn+ f n
T
yn 1 yn 1+ T f n
1 aT
1 aT
当前输出 前一个输出 输入
线性时不变系统描述和系统响应
(1)n{u[n
]
u[n
2]}
2 3
2n{[u[n]
u[n
2]}
1. 冲激响应h[n]的求解
？
信号 系统 响应
h[n]的求解过程： (1)求出激励信号为δ[n]时对应的冲激响应h1[n]
a)求出特征根； •根据n<0时，h[n]=0,迭代出h1[n]中的待定系数 (2)根据线性时不变系统的线性性和非时变性，求出激 励信号为其他信号时对应的hi[n]，h[n]= h1[n]+... hi[n]
所以：1 1, 2 2,
则：h1[n] A1[1]n A2 2n 由系统为因果系统，所以n时，h[n] 0,
得：n 0时，h1[0]- h1[-1]- 2h1[-2] [0] 1,即h1[0] 1, n 1时，h1[1]- h1[0]- 2h1[-1] [1] 0,即h[1] 1,
所以：A1 2，A2 3， 所以：h[n] (2 2n 3 3n )u[n]＝(3n＋1－2n＋1)u[n]
？
信号 系统 响应
考虑：激励信号由多项组成，h(n)如何求解？
例2：一LTI离散时间因果系统的差分方程为: y[n]-y[n-1]-2y[n-2]=f[n]- f[n-2] ，求h[n]=?
？
信号 系统 响应
解：设y[n] An，代入差分方程同时令激励信号为0， 则：An 2＋An 1＋An＝0， 即特征方程为；2＋3＋2＝0， 特征根：1 1,2 2, 则：y zi[n] A1(1)n A2(2)n
由初始条件：
yzi[0] A1(1)0 A2 (2)0＝0 yzi[1] A1(1)1 A2 (2)1＝1， 得：A1 2，A2 2 所以：yzi[n] [2(1)n 2(2)n ]u[n]
《信号与线性系统分析》重要公式
《信号与线性系统分析》重要公式信号与线性系统分析是电子信息专业重要的基础课程之一，具有重要的理论和实际应用价值。
随着信息技术的快速发展，信号与线性系统的研究在通信、图像处理、音频处理、控制系统等各个领域都扮演着重要的角色。
本文将介绍信号与线性系统分析中的一些重要公式，帮助读者更好地理解和应用信号与线性系统分析。
1.线性系统的定义：-叠加定理：线性系统对两个输入信号的线性组合作用后的响应等于对每个输入信号分别进行线性系统的响应再进行线性组合，即y(t)=a1*x1(t)+a2*x2(t)=>H[a1*x1(t)+a2*x2(t)]=a1*H[x1(t)]+a2*H[x2 (t)]-时间因果性：线性系统的输出，必须要随着输入的改变而改变，即输出仅依赖于当前和过去的输入值，而与未来的输入无关。
-线性系统的时不变性：线性系统的性质和特性在不同时刻都是不变的，即系统的输出只依赖于当前的输入和系统的当前状态。
-线性系统的稳定性：当输入系统后，输出会逐渐趋于有限值的性质。
2.常见信号的基本性质：-单位冲激函数δ(t)：在t=0时刻取值为无穷大，其他时刻取值为0，可以表示信号的零值以外的非零值。
-单位阶跃函数u(t)：在t=0时刻取值为0，t>0取值为1，可以表示信号的跃迁性质。
-正弦信号：具有周期性的函数，可表示信号的频率和相位。
-矩形信号：具有有限宽度和平坦的值，可表示信号的持续时间。
3.傅里叶级数与傅里叶变换：-傅里叶级数：将周期性信号分解为一系列正弦和余弦函数，以求得信号频谱的方法。
-傅里叶变换：将非周期性信号分解为连续频谱的方法，常用于信号的频谱分析和滤波等应用。
-时域与频域的转换关系：傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，反之，傅里叶逆变换可以将信号从频域转换到时域。
4.系统的频率响应：- 时域脉冲响应h(t)与频域频率响应H(f)的关系：频域频率响应等于时域脉冲响应与复指数e^(-j2πft)的卷积。
§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
2n − 1 ∇ sin nω = sin nω − sin(n − 1)ω = 2 sin cos ω 2 2
ω
∑δ (i ) = u(n)
n
i =−∞ n
∑ u(i ) = (n + 1)u(n)
2
n
1 ∑ iu(i ) = 2 n(n + 1)u(n) i =−∞
i =−∞
1 ∑ i u(i ) = 6 n(n + 1)(2n + 1)u(n) i =−∞
n代表序号
注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 注意：微分方程近似写作差分方程的条件是样值间隔T 要足够小， 越小，近似程度越好。实际上， 要足够小， T越小，近似程度越好。实际上，利用计算 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 机来求解微分方程时，就是根据这一原理完成的。 返回
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(四）稳定系统
有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 称为稳定系统 有界输入、产生有界输出的系统称为稳定系统。 稳定系统的充要条件：∑ h (n ) < ∞ 稳定系统的充要条件：
n = −∞ ∞
即：单位脉冲响应绝对可和。 单位脉冲响应绝对可和。
lim 注意： 注意： h( n ) = 0，只是系统稳定的必要条件， 只是系统稳定的必要条件，
n→∞
而非充分条件 而非充分条件。 充分条件。
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二、差分方程
在连续时间系统中， 在连续时间系统中，系统内部的数学运算关系可归结 为微分（积分）、乘系数、相加的关系， ）、乘系数 微分方程。 为微分（积分）、乘系数、相加的关系，即：微分方程。 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 在离散时间系统中，基本运算关系是延时（移位）、 乘系数、相加的关系， 差分方程。 乘系数、相加的关系，即：差分方程。 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 这是由于系统的组成以及所处理的信号的性质不同， 因此描述系统的数学手段也不同。 因此描述系统的数学手段也不同。 （一）数学模型的基本单元 数学模型的基本单元 （二）差分 （三）差分方程 （四）差分方程的建立 （五）差分方程的特点
离散系统的差分方程
离散系统的差分方程
哎呀，各位看官，今儿咱来摆摆龙门阵，说说这离散系统的差分方程。
首先咱得搞明白，啥子是离散系统呢？简单说，就像咱们数豆子一样，一颗颗地数，这就是离散；不像流水那样连续不断，那就是连续系统了。
那差分方程又是啥玩意儿呢？说白了，它就是描述离散系统变化规律的数学式子。
就像咱陕西的秦腔一样，有板有眼，差分方程也是一步一步地揭示系统的行为。
咱们先来看看四川话咋个说。
就说这离散系统吧，它就像咱们四川的串串香，一颗颗的串串，就是离散的；而那热辣辣的辣椒油，就是差分方程，它决定了串串的味道变化，让咱们吃得津津有味。
再来说说陕西方言。
离散系统就像咱陕西的黄土高原，一颗颗的土粒儿就是离散的；而差分方程就像那沟沟壑壑，揭示了高原地貌的变化规律，让咱们感受到大自然的鬼斧神工。
最后说说北京话儿。
这离散系统啊，就像咱们老北京的糖葫芦，一颗颗的糖球儿，那就是离散；而差分方程就像那糖衣，它包裹着糖球儿，让糖葫芦甜而不腻，回味无穷。
总而言之，离散系统的差分方程就是用来描述离散系统如何一步步变化的。
它就像咱们各地的方言一样，各有特色，但都揭示了同一个道理。
咱们在日常生活中，也要学会用差分方程的眼光去看待问题，这样才能更好地把握事物的变化规律，做出正确的决策。
时域离散系统的差分方程描述
一个 N阶常系数差分方程表示 为： y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i 0 i 1 M N
或者 ai y(n i) bi x(n i), a0 1
i 0 i 0 N M
线性：y(n-i)，x(n-i)各项只有一次幂。
求解差分方程——MATLAB
MATLAB提供了filter函数求解差分方程。 调用格式1：yn=filter(B, A, xn) 计算系统对输入向量xn的零状态响应yn。 调用格式2：yn=filter(B, A, xn, xi) 计算系统对输入向量xn的全响应yn。全响应就是由初始 状态引起的零输入响应和输入信号xn引起的零状态响应 之和。xi是等效初始条件的输入序列，所以xi由初始条 件确定，MATLAB中由函数filtic计算，其调用格式如 下： xi=filtic[B,A,ys,xs] 其中，ys和xs是初始条件向量： ys=[y(-1),y(-2),…,y(-N)] xs=[x(-1),x(-2),…,x(-M)] 如果xn是因果序列，由xs=0，调用时可缺省。
用递推法求解差分方程练习2
对于实际系统，用递推法求解，总是由初始条 件向n>0的方向递推，是一个因果解。但对于 差分方程，基本身也可以向n<0的方向递推， 得到的是非因果解。因此差分方程本身不能确 定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要 用初始条件进行限制。 例：设差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n) ，n>0时， y(n)=0。当 x(n)= (n)-1 时，求输出序列 y(n)。 解： y(n-1)=a (y(n)- (n))
用递推法求解差分方程练习1 设系统用差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n) 描述， x(n)=(n)，分别求y(-1)=0和y(-1)=1时输出 序列y(n)。 [解答] (1)y(-1)=0 n=0, y(0)=ay(-1)+δ(0)=1 n=1, y(1)=ay(0)+δ(1)=a n=2, y(2)=ay(1)+δ(2)=a2 …. n=n, y(n)=an y(n)= an u(n) (2)y(-1)=1，同理可得 y(n)= (1+a)nu(n) [单击退出]
已知离散系统的差分方程
已知离散系统的差分方程1. 离散系统的简介离散系统是指具有离散时间和状态的系统，其中系统的状态显式地在时刻t（整数）和t+1处考虑，相邻时刻之间存在一个固定的时间差DT。
与之相对比的是连续系统，其时间和状态是连续变化的。
离散系统的一些应用包括数字信号处理、数字滤波器和离散事件系统。
2. 差分方程的定义差分方程被用于描述离散系统的行为，它类似于微分方程，只是它描述的是相邻状态之间的变化而不是时间的变化。
它的一般形式是x [n+1] = f (x [n], x [n-1]，…，x [n-k])，其中x [n]表示在时刻n的系统状态，f是一个给定的函数，k是差分方程的阶数。
3. 差分方程的求解为了求解差分方程，我们需要使用数值方法来预测未来的状态。
其中一个广泛使用的技术是欧拉法，它使用当前状态和状态方程来预测下一个时间步的状态。
然而，欧拉法有时会导致误差累积，尤其是当步长很大时。
因此，更高级的数值方法如龙格-库塔方法（RK4）或Adams-Bashforth方法可以用来提高精度。
4. 差分方程的应用差分方程可以用于模拟各种离散系统，如经济模型、环境模型和机械模型。
例如，在经济模型中，差分方程可以用于描述物价、就业率和商品供求关系等变量的变化。
在环境模型中，它可以用于模拟植物和动物的生长和相互作用。
在机械模型中，它可以用于设计控制系统和机器人运动。
5. 总结差分方程是描述离散系统行为的重要工具。
它被广泛应用于各种领域，如经济、环境和机械。
数值方法可以用来求解差分方程，以预测未来状态。
了解差分方程的概念和应用可以帮助我们更好地了解离散系统，并解决实际问题。
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-2
§3.4 离散时间系统E)
y(n)
H(E)
12 E 1 2E 1 1 E 1 2
三 差分方程的求解方法
1.时域经典法
2.零输入响应与零状态响应 3.递推求解方法 4.其他方法
1 1 例：因果系统 y( n) y( n 1) x( n) 求输入x(n)=(t)时的响应。 2 2
一阶后向差分方程
dy( t ) 对于一阶微分方程描述 的系统： y( t ) x( t ) dt
因为
dy( t ) y( nT ) y[( n 1)T ] lim dt T T 0
y( n) y( n 1) y( n) x( n) T 一阶差分方程 1 T y( n) y( n 1) x ( n) 1 T 1 T dy( t ) dy( t ) dt t nT dt t ( n1)T d 2 y( t ) d dy( t ) 对于二阶： 2 dt dt t nT T dt t nT
前向差分方程式
a k y( n k ) a k 1 y( n k 1) ... a1 y( n 1) a 0 y( n) bm x( n m ) ... b1 x( n 1) b0 x( n)
后向差分方程式
a k y( n k ) a k 1 y( n k 1) ... a1 y( n 1) a 0 y( n) bm x( n m ) ... b1 x( n 1) b0 x( n)
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7
如果把幅度为A的阶跃序列[ x(n) Au(n) ]作为系 统的输入，并且用初始值 y(1) 作为Ａ的估计值， 则系统的响应 y(n) 随着n的增大就会不断地逼近 于 A。 不需要确切的初始条件，粗略的估计就可以。
例：令A 2, y (1) 1, 则可得： y (0) 3 / 2, y (1) 1.4166667, y (2) 1.4142157。 类似地，对于y (1) 1.5，可得： y (0) 1.416667，y (1) 1.4142157。 他们和 2的值差1.414236不多。
k
卷积公式不仅给出了任何线性时不变系统输入输出之间 的关系,而且给出了系统的实现方法。FIR系统可按卷积 和直接实现,但IIR系统用这种方法实现是不可能的。 除了卷积和方法外，能不能用其他方法实现IIR 系统呢? 卷积公式仅以输入信号明确地表示了LTI的输出。在IIR 系统中，离散时间系统更方便用差分方程来表示。 这类系统在包括数字滤波器的实现和一些物理现象及物 理系统的建模在内的许多实际应用中是非常有用的。
则这样的系统称为非递归的。 用卷积公式描述的因果线性时不变FIR系统称为非递归系统
y ( n) h( k ) x ( n k ) h(0) x(n) h(1) x(n 1) h( M ) x(n M ) F[ x(n), x(n 1), , x(n M )]
2.4 离散时间系统的差分方程描述
1 2 3 4 递归离散时间系统和非递归离散时间系统 线性时不变系统的常系数差分方程描述 线性常系数差分方程的解 线性时不变递归系统的冲激响应
1
线性时不变系统由单位冲激响应 h(n) 表示, 反过来,对于 任何给定的输入序列 x(n) ，系统的输出y (n) 可通过 h(n) 并借助卷积公式来得到: y ( n) h( k ) x ( n k )
k 0
M
函数 F 实际是当前和过去若干时刻的输入的线性加权和， h(n), 0 n。 M 加权的系数就是系统的
9
递归和非递归系统的框图表示
10
递归系统和非递归系统之间的主要差别
(1)递归系统有从输出到输入的反馈环路。 反馈环路包含一个延迟元件，延迟对于 系统的实现是很重要的。 (2)必须按顺序计算递归系统的输出，即 ，而非递归系统，没有顺序 y (0), y(1), 的约束［即 y(200), y(15), y(3), y(300), ］。
8
因果的实际可实现的递归系统的输出更一般地表示为 y(n) F [ y(n 1), y(n 2), , y(n N ), x(n), x(n 1), , x(n M )] 如果仅取决于当前时刻和以前时刻的输入，
y(n) F [ x(n), x(n 1), , x(n M )]
2
1 递归和非递归离散时间系统
存在许多系统，不仅以输入的当前值和过去值 来描述系统，而且以现在已有的过去的输出值 来描述系统。 计算信号 x(n) 在区间 0 k n 上累加平均值
1 y ( n) n 1
k 0
n
x(k )
一是直接计算;
3
二是简单的代数变换,更有效地计算
(n 1) y(n) x(k ) x(n) ny(n 1) x(n) n 1 y ( n) y (n 1) x ( n) n 1 n 1
n k 0
ax ( y (1) a k x(n k ) y zi ( n) y zs (n) , n 0
11
2 线性时不变系统的常系数差分方程描述
假定一个递归系统的输入输出差分方程描述为 y(n) ay(n 1) x(n) a为常数 (1)
一个LTI系统. 而累加平均系统是线性时变系统。 假定输入为 x(n), n 0 ，不考虑 n 0 时的输 入，但是假设 y(1) 是已知的,解方程以得到系 统输出的明确表达式。
1 2 2 3
y (0) x(1) y (1) x(2)
3 n0 2 1
1
n0 1
y (n0 1)
1 n0 1
x(n0 )
y (n1 )
5
说明：
计算系统对 n n0 时刻施加的输入信号 x(n) 的响应，需要值 y(n0 1) 和 n n0 时的输入 取样值 x(n) 。 y(n0 1) 被称为初始条件，而且包含着确定 在 n n0 时刻系统对输入信号 x(n) 的响应 所需的所有信息，而与以前的值无关。
12
y (0) ay (1) x(0) y (1) ay (0) x(1) a 2 y (1) ax(0) x(1) y (2) ay (1) x(2) a 3 y ( 1) a 2 x(0) ax(1) x(2) y (n) ay ( n 1) x( n) a n 1 y (1) a n x(0) a n 1 x(1)
k 0 n 1
递归累加平均系统的实现
4
递归系统: 一般说来，如果一个系统当前时 刻 n 的输出 y (n)依赖于任意个以前时刻的输 出 [ y(n 1), y(n 2), ] 就被称为递归系统。 递归系统的计算
y (0) x(0) y (1) y (2) y (n0 )
6
例2.4.1 平方根算法:大多数计算机和计算器
利用迭代算法求正数A的方根，该迭代算法为
1 A sn (sn1 ) 2 sn1
其中，s 1 是 A 的初始猜测值。当迭代收敛时， 有 sn sn1 ，所以，由此很容易地得出 sn A 。 现在，考虑递归系统 1 x(n)