有心力场中的运动
物体在有心力场中运动的分析(毕业论文)
本科毕业论文题目：物体在有心力场中运动的分析目录1.引言 (1)2.有心力基本概念及它的性质： (1)3.推出动力学方程 (2)4.用开普勒定律推出引力公式 (6)5.两体问题 (7)6.结论 (9)7.参考文献 (10)8.致谢......................................................... - 10 -物体在有心力场中运动的分析摘要有心力场中的运动是经典力学和天体力学的一个重要问题.本文概括地介绍了有心力及其有关它的一些重要结论.首先研究质点和质点系在有心力作用下的运动，有心力的基本性质.用动力学方法推导关于有心力的公式,及在开普勒三定律的基础上推导万有引力方程.,介绍有心力场在物理学中的应用。
关键词有心力；动力学；开普勒定律；两体问题。
1.引 言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的.早在17世纪初叶，开普勒（J.Kepler ）通过对太阳系各行星运动的观察，总结出行星运动的三个定律，于1620年发表在《论天体之协调》（On Celestial Harmonics ）一书中.在此基础上，牛顿建立了著名的万有引力定律.行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动.有心运动是一类常见的运动，天体的运行，原子核外的电子运动都属于这类运动.火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究.首先我们介绍有心力的基本概念及它的性质，然后利用开氏三定律推导出引力公式并对公式进行分析.2.有心力基本概念及它的性质：一般来讲，如果运动质点所受力的作用线始终通过惯性系中某一个固定点，则我们就说这个质点所受的力是有心力，此固定点称为力心.有心力的量值，一般是矢径（即质点和力心之间的距离）r 的函数，而力的方向则始终沿着质点和力心的连线，凡是趋向定点的是引力，离开定点的是斥力。
行星绕太阳运动时受到的力，电子饶原子核转动时受到的库仑引力，近似看做有心力.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.有心力构成的力场称为有心力场.我们平时假定力心不动研究有心力场问题.这时以力心作为坐标质点,变成一个平面问题.质点受变力作用而沿曲线运动时，变力所作的总功为d W B A .⎰= （1）在平面极坐标系中，力所做的功为θθd F dr F W B A r +=⎰ （2）因为有心力只具有径矢方向的分量)(r F F r =,而横向分量为0=θF ，故质点由A 点运动到B 点时有心力作的功是dr r F dr r F W B A r r ⎰⎰==21)()( (3)这个顶积分的值只取决于起点和终点的矢径，与质点运动的路径无关，这就证明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐标相互平行且应满足0=⨯∇,那么角动量守恒.这是有心力场的一个特点，根据有心力场的特点，下面推导有心力场的动力学方程及加讨论。
§3-7 质点在有心力场中的运动
地球 相对太阳的速度 v 29.8 103 m / s 物体相对于地球的发射速度
v3 v3 v
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球 引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能 必须满足
2 vm v m v m 3 1 2 2 2 1 2 2 3 1 2
v3
v v3
2 2 2
v (v3 v)
2 2
2
16.7 10 (m s )
3
1
第三宇宙 速度
地球 相对太阳的速度 v 29.8 103 m / s 物体相对于地球的发射速度
v3 v3 v
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球 引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能 必须满足
2
v
G0 M r
(2 )
卫星在地球表面时
G0 Mm 1 mg 2 R
( 2 ) (3 )
1 g G0 M (3 ) 2 R
gR r
2
环绕速度
v
(4 )
宇宙速度
将 (4 ) 代入 (1 )
发射速度
v1
R) 2 Rg (1 2r
r
当r R 时
v1 Rg
2 vm v m v m 3 1 2 2 2 1 2 2 3 1 2
v3 Leabharlann v v3 2 2 2
v (v3 v)
2 2
2
16.7 10 (m s )
3
1
第三宇宙 速度
§3-7
质点在有心力场中的运动
1. 有心力
有心力的定义：运动质点所受的力的作用线始 终通过某个给定点，而且力的大小也只依赖于质点 对该给定点的距离，这种力叫做有心力。这个给定 点叫做力心。 有心力场中质点运动的性质：（1）质点在有 心力作用下，它的角动量守恒；（2）质点在有心力 作用下，它的机械能守恒； （3）有心力是保守力。
关于质点在有心力场中
由(1) (2)解得: (r1/r2)2-(r1/r2)/a+1/a-1=0 解出两个根｛
r1/r2=1 r1/r2=(1-a)/a
其中r1/r2=1为圆轨道,不合题意,舍去. 应取 r1/r2=(1-a)/a 由于 0<r1/r2<1 故有 前速度为v1,设发射后飞 船速度为v1’,设探测器相对飞船得速度为u, 由动量守恒， mv1 = (m-m0)v1’+m0(u+v1’) (1) 发射后，探测器沿抛物线运动，总机械能为 0。即 E = 1/2*m0(u+v1’)2-GMm0/r1 = 0 (2) 发射探测器后，飞船作圆运动，故 GM(m-m0)/r12 = (m-m0)v1’2/r1 式中M为地球质量，即 v1’ = GM / r1 = v1/2a (3)
故
1 -2a + a v2'+ u = 1 -a 2GM 2bGM = r2 r2
式中
(1 -2a + a ) b= 1 -a
2
• 令
y = (1 -2a + a ) -(1 -a)
探测器轨道得类型可根据其总能量E来判断 E=1/2mv2-GMm/r 其中v探测器速度可写成
2 E 2GM 2GM v= + = m r r GMm E= (b -1) r
• 故发射后探测器的速度为 u+v2’ = [mv2+(m-m0)u]/m = v2+(1-m0/m)u 式中的相对速度 u前已求出， 利用已知的关系 v1 = (r2/r1)v2 r1/r2 = (1-a)/a 可将u用v2表示，得： 2 -1 r 2 2 -1 a u= v2 = v2 2a r1 2a 1 -a
有心力轨道方程怎么积分
有心力轨道方程怎么积分
有心力轨道方程是描述质点在中心力场中运动的方程。
一般来说，有心力场是指力的大小只与质点到场中心的距离有关的力场。
在这种力场中，质点的运动可以由有心力方程描述，一般形式为：
μ(d²r/dt²) = -∇U + μv²/r.
其中，μ是质点的质量，r是质点到场中心的距离，U是势能函数，v是质点的速度。
这个方程可以通过积分来求解。
首先，我们可以将有心力方程化为极坐标系下的形式，然后利用角动量守恒等方法简化方程。
接着，我们可以利用分离变量的方法，将方程分解为径向方程和角向方程。
径向方程可以通过变量代换或者适当的技巧化为一阶微分方程，然后进行积分。
角向方程也可以通过类似的方法进行求解。
在实际应用中，具体的积分方法会根据具体的力场和势能函数的形式而有所不同。
一般来说，需要运用微分方程的解法、变量代换、积分技巧等数学方法来对有心力轨道方程进行积分求解。
总的来说，对有心力轨道方程进行积分求解是一个复杂而繁琐的过程，需要根据具体情况采用不同的数学方法和技巧来完成。
希望这个回答能够帮助你对这个问题有一个初步的了解。
the 1 质点在有心力场中运动的一般规律第十章有心力guide download
（A）
因而可得
t=∫
r (t )
dr 2 L2 [E − V (r )] − 2 2 m m r
r ( t =0 )
原则 上从这个积分可求出 r = r (t ) . 再将 求 得 的 r 代入角动量守恒式, 可得积分 Ldt θ = ∫ 2 +C （B） mr 式中 C 为积分常数, 原则上通过积分可求得 θ 与 t 的关系: θ = θ (t ) .
(1) 由于 r 和 v 始 终在 垂 直 于角动量 LO 的平
面内, 所以质点必做平面曲线运动; (2) 从角动量 大 小 为 常 数可 得出 位矢 的 掠面 速度为常量. 用极坐标表示得 =h r 2θ h 是两倍的掠面速度.
通 常 有 重 要 意义 的有心力的大 小 都是质点 到 力心距离的函数, 故力可写成 r F = F (r ) r
第十章
有心力
万有引力, 两荷电质点间的库仑引力或斥力, 都是有心力 . 两种力与两质点间距离的关系是平 方反比关系, 是非线性的， 给求解问题带来困难. 单体问题——二体问题； 三体问题是 19 世纪 经典力学中两大难题之一 , 最终证明它的解不可 能表达为解析形式 . 实际问题大多要用计算机数 值计算解决. 在数值计算研究中, 20 世纪 80 年代 发现了圆型限制性三体问题中也有混沌现象. 经典力学理论虽很古老, 但在现代宇航中仍然 创造着令人惊叹的辉煌成就.
§10.1 质点在有心力场中运动的一般规律
一、单体问题 最 简 单最 基本 的问题是单体问题 , 即 研究一 个 质点的 运动 , 它 所受 的 作 用力的 作 用线 始 终都 通过惯 性系中一 固定 点 , 即 力心是 固定 的 . 这 种 力 ( 力 场 ) 称 为有心力 ( 有心力 场 ). 行星绕太阳运 动时受到 的万有引力 , 电 子绕原子核转动时受到 的库仑引力, 都可近似看做有心力. ——模型 二、质点在有心力场中运动具有的守恒律、 动力
有心力作用下的运动
有心力作用下的运动·有心力问题的基本规律如前所述，力的作用线始终通过某定点的力称为有心力。
该定点称为力心。
显然，物体之间的万有引力，带电粒子之间的库仑力都是有心力。
仅受有心力作用的物体，其运动必定具有以下特征：（1）物体在其初速度和力心所决定的平面内运动。
（2）有心力对其力心的力臂为零。
所以，有心力对其力心的力矩恒为零，物体对力心的角动量守恒。
（3）由于有心力的大小通常只取决于物体与力心的距离，而与方位角无关，可以证明有心力对物体做功只与起点、终点的位置有关，与其间所通过的路径无关，即有心力是保守力（有势力）。
于是，有心力系统的机械能守恒。
这样，由角动量守恒、机械能守恒可以列出研究有心力问题的两个基本方程。
对下面天体运动、粒子散射实例，我们只作定性讨论。
·天体运动－平方反比引力作用下的运动丹麦天文学家第谷.布拉赫（1546－1601）曾经系统地观测星球的位置。
当时望远镜尚未发明，全部观测仅凭肉眼进行，但其测量结果却以高精密度著称。
其测量的不确定度为2'，‘精度比前人高5倍，有的数据甚至沿用至今。
他把大量资料留给了助手开普勒。
开普勒潜心研究，终于突破自古以来认为行星作圆周运动的思想束缚，总结出开普勒行星运动三定律：（1） 行星轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点。
（2） 行星位矢在相等时间内扫过相等面积。
（3） 行星公转周期的平方正比于轨道半长轴的立方。
事实上，由万有引力和引力势能rGMm E r GMm F -=-=P 2, 从系统角动量守恒和机械能守恒容易得出与开普勒相同的结论。
不仅如此，牛顿得出，质点在平方反比有心力作用下，除了椭圆(e <1)运动以外还可能作抛物线(e =1)和双曲线(e >1)运动（图1），天文观测也证实了有些彗星就是按抛物线或接近抛物线的双曲线运动的。
当然，不管是自然天体，还是人造天体，都可以用有心力作用下的运动进行讨论。
由此，还可以解释，为什么银河系和宇宙中的许多星系都具有类似铁饼的扁平涡旋状结构。
(完整版)第五章有心力场中的运动
p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
上节讨论的二体问题是多体问题中唯一可导出解析积分 的最简单情况。三体问题，即三个相互以万有引力吸引的质 点运动，不存在解析积分。
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2， 以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑 地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三 体问题。
可以看出e在轨道面内且与速度方向垂直。在近地点e与e
方向一致，在远地点e与e方向相反，在其它位置e与e有夹角。
由此可以得出结论：在近地点或远地点施加冲量对改变偏 心率有最好的效果。
在近地点，e与e一致，使e增
加，轨道椭圆更扁。相反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球卫星的 发射过程设计为先进入近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道(称为霍曼转 移轨道)，然后在远地点施加冲量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
质点在有心力场中的运动
学特 征 为动 量矩 守 恒 为 计算 方便
,
机 械 能守 恒
所 以有 心 力对 力 心 的力矩
以
后.Βιβλιοθήκη =尸又户=
0
,
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:
了一
由 力矩 与 动量 矩 的关 系
:
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m 司 ( ( r l 司 r
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1
掠 面 速度或 面 积
U
由 上式 知
、
夕=
h 为速 度矩 (
二 一
f
盯_
滋 . 伙
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-
勒 定律 对椭 圆 进行 面 积分 和周 期 积 分导 出 牛顿 万 有 引 力定律
一
、
,
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=
( h 为常 数 ) (
,
5
)
或 任意位 置 它 的动 能 与势 能 之和 是 一 个 恒 定不 变 的 常 数 质点 的 动能 和 势能 之和 叫做 质点 的机 械 能
用 符号 E 来表 示
, ,
通 过实 例加 以说 明
布 句 昨
_
、
,
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-
。 U
[1] 求
u
( 和
7
) ) 和 (刀 由 (3
因 此运 动 质 点 在 有心 力 场 中 动 量矩 为一 恒 量
即: J
=
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又
-
速度 ) 【 ] 所 以通 过 上 述 对 质点 在 有 心 力 场 中 运 Z 动形 式
,
代替 r
。
夕的 微分 方 程
、
运 动 规律 分 析可 知 质点 在 有心 力场 中的 运
。
在 进
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引向
的矢量)
(
用一个变量r表示 )
系统的拉格朗日为:
——与质量为m,矢径为r的质点在有心力场中的拉格朗 日函数一样.即:二体问题可转化为在有心力场中 运动的单体问题.
讨论:若
,则
重的 m2 固定在质心位置上不动,成为力心; 轻的 m1 在 m2 产生的有心力场中运动. 例子:地球绕太阳的运动.
§1.3.2 有心力场中运动的一般分析
碰撞: a,在另一些初始条件下,它们也可能相互飞开,无限 远离.如果两个质点先互相飞近,然后再飞开,就 称为碰撞; b,两个质点之间是排斥力,则它们不可能形成束缚体 系,而只能发生碰撞. 6.数学上看两体问题: 对N个无约束的质点系统,当 N ≥ 3时求解运动方程 很困难,N=2(两体问题),运动方程易于求解. 7.有心力场中的运动:归结为两体问题.
一,守恒量 在有心力场中,角动量 守恒
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上.即:有心力场中的运动是平面运动. 设:质点运动所在的平面为xz平面( 则: )
L不包含变量 与
:循环变量
对应的广义动量(角动量)守恒
2.L不显含t
能量守恒
上式说明:两维(平面)运动能量等效一维运动的能量 (一维运动最简单)
一,运动形式的分类
设:平方反比引力为 质点移动 ,F做功: F ;
对dw积分,得势能:
设:
时,
,则
等效势能:
又:
则 :
——限制了质点的运动区域 中运动
由图:E<0: 质点限制在有限区域 E E>0: 运动区域
E=0: 过渡情况,质点也能运动到无穷远 即运动形式分两类: 束缚运动 无限运动
二,轨道运动
几何关系:
:与行星无关的常量,只可能与太阳的性质 (太阳的质量)有关.
显然: 行星与太阳之间的引力应该正比于而不是反 比于太阳的质量M 令 (G:普适常量)
——万有引力定律
�
4.两体问题:实际上力心并非静止,所以行星和太阳, 电子和原子核应分别作为一个整体同时 考虑,即它们实际上组成了两体问题. 定义:由两个相互作用着的质点组成的封闭系统,在 惯性系中的运动问题,称为两体问题. 5.两体问题的类型 束缚运动: 如果两个质点之间有吸引力,则在一定的初始条件 下,它们可能形成一个束缚体系,在有限空间范围内运 动;
已学:
——矢径在单位时间扫过的 矢径在单位时间扫过的 面积正比于角动量
开普勒第二定律 空间各向同性
常数
常数
行星所受到的力只能是有心力(可用有心力运动规律) 开普勒第一定律 行星的轨道:椭圆
椭圆方程:
比耐公式:若已知轨道,则可求力.
——行星受到太阳的平方反比力
开普勒第三定律
比例系数
由
积分:
经过一周期:
: r在单位时间扫过的面积,又 r
——在有心力场中运动的质点的矢径在相等时间内 扫过相等的面积.
三,运动方程的解:利用守恒律来解
由能量守恒:
得:
Байду номын сангаас分离变量:
积分:
——确定了r=r(t) . r是t的隐函数.
四,轨道微分方程——比耐公式 ——
由: 得:
令
,则
对 求导:
——运动微分方程 (比耐公式) 运动微分方程 比耐公式)
令:
——等效势能 (等效一维运动的"势能") ——离心能
——等效力
——惯性离心力
产生惯性离心力的原因: 上述等效的一维运动实际上是在以角速度转动的 转动坐标系中观察质点的运动,而转动坐标系是非惯 性系.
二,等面积定律———开普勒第二定律
角动量守恒 设: ; 的几何意义:
:矢径r在时间
内扫过的面积
但:开普勒不知道行星和太阳之间有平方反比引力. 牛顿:由开普勒三定律 万有引力定律
任务:弄清这一推证过程. 行星运动三定律 第一定律: 第一定律:行星绕太阳作椭圆运动,并以太阳为椭圆 的一个焦点; 第二定律: 第二定律:从太阳引向行星的矢径在相等时间内扫过 相等的面积;
第三定律: 第三定律:行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比.
第三章
有心力场中的运动
1.力心:如果运动质点所受力的作用线始终通过质点和 空间某固定点,则称此力为有心力,此固定点 称为力心. 2.有心力场:有心力构成的力场. 3.研究有心力场的原因:有心力场是自然界中最普遍, 最重要的力场之一. 宏观:行星绕太阳的运动 微观:电子绕原子核的运动
研究有心力场的前提:假定力心不动
§1.3.1 二体问题
设:两个质点
约化质量
,且不存在外场
则:由两个质点组成的系统的总动量守恒 (V:质心的速度)
——两质点系统不处于外场中时,它们的质心作匀速 直线运动(不感兴趣,转到质心系). 在质心系中:V=0 ——质心固定不动
以质心为坐标原点建立坐标系 而
质心系的矢径为0.
又令: 则
(r:由 :
说明: (1) 轨道方程:可用势能表示,也可用力表示; (2) 由比耐公式,可求运动轨道; (3) 若已知轨道,则可求作用力F. .
§1.3.3 平方反比引力
开普勒问题
重要的有心力:平方反比有心力(和 成反比的力) 例:万有引力,带异号电荷之间的库仑力 任务: 任务:研究行星的运动 近似处理:行星只受到太阳引力的作用,而忽略行星 之间的相互作用. 行星的运动是在平方反比引力作用下的运动.
由于已知 将 代入比耐公式得: ,所以由比耐公式可求运动轨道.
令: 则: ——谐振动方程
其解为:
令:
,有:
又:
将r的表达式代入得到:
E<0: e<1 E=0: e=1 E>0: e>1
椭圆轨道
(束缚运动)
抛物线轨道 (无限运动) 双曲线轨道 (无限运动)
三,行星的运动
开普勒问题
运动规律
已讲:已知平方反比引力